积分第二中值定理证明_139202166
积分第二中值定理的证明
上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。
积分第二中值定理：()f x 在区间[,]a b 上可积，()x ϕ在区间[,]a b 上单调，那么在[,]a b 上存在内点ξ，使得：()()(0)()(0)()bbaaf x x dx a f x dx b f x dx ξξϕϕϕ=++-⎰⎰⎰特别的，当()x ϕ在区间[,]a b 两端连续时，有()()()()()()bbaaf x x dx a f x dx b f x dx ξξϕϕϕ=+⎰⎰⎰积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel 引理。
Abel 引理：数列{}n a 和{}n b ，对于任意的210n n >>，有222211111111()()n n nnn n n n n n n n n n n n a bb b a a a b a b -++-==-=-+-∑∑实际上：2111111222111111111222221111111122111111111211111121()()()...()()()...()()()...(n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a bb a b b a b b a b b a b b a a b a a b a a a b a b b a a b a a b a --++-=-++++---++++---=-+-++-=-+-+-++-+=-+-+-++∑222222222111111111)()()n n n n n n n nnn n n n n n n a b a a a b b aa ab a b ++++-=-+-+-+-∑下面给出Abel 引理的一个理解方式，便于记忆。
证明二重积分中值定理
证明二重积分中值定理
《证明二重积分中值定理》
二重积分中值定理是数学中的重要定理，它指出：若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
证明二重积分中值定理，首先要证明它在定义域D内连续。
假设D是一个二维闭区间[a,b]×[c,d]，令x=x(t)，y=y(s)，则有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(x(t),y(s))∥(x'(t),y'(s))∥dtds
由于x(t)和y(s)在[a,b]和[c,d]上连续，而f(x,y)在D内连续，所以f(x(t),y(s))在[a,b]×[c,d]上
连续，故可以把f(x(t),y(s))改写为f(t,s)，有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(t,s)∥(x'(t),y'(s))∥dtds
同理，有：
∫∫Df(x,y)dydx=∫dca∫bdsf(t,s)∥(y'(s),x'(t))∥dsdt
由上面的两式可知：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
即证明了二重积分中值定理。
综上所述，证明了二重积分中值定理，即若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx。
积分平均值定理、积分第二中值定理
定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明简单不等式定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有⎰≥ba dx x f 0)(。
定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有⎰>ba dx x f 0)(。
证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。
由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0⊂∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有)(21)(0x f x f ≥由积分对区间的可加性，知⎰⎰⎰⎰++=ba ab dx x f dx x f dx x f dx x f αββα)()()()( ⎰≥βαdx x f )( ⎰≥βαdx x f )(210 0))((210>-=αβx f 。
推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有⎰=ba dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[]b a x ,∈。
推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=ba dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ，[]b a x ,∈。
积分平均值定理定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b ab a ba Mdx dx x f mdx )( )()()(ab M dx x f a b m ba -≤≤-⎰从而有 M dx x f a b m b a≤-≤⎰)()(1。
如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ，有⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ。
积分第二中值定理证明
积分第二中值定理证明这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt （上限为自变量x，下限为常数a）。
以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt= ∫f(t)dt + ∫f(t)dt= Φ(x) + ∫f(t)dt即Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt应用积分中值定理，可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）因此Φ(x)为连续函数其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为Φ'(x) = f(x)证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε< p="">由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+δx]时恒成立，因此得到<="" p="">f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε即|μ-f(x)|<=ε由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)命题得证。
积分第二中值定理
积分第二中值定理
积分中值定理的证明：设f(x)在[a，b]上连续，且最大值为m,最小值为m，最大值和最小值可相等。
由估值定理及连续函数的介值定理可证明积分中值定理。
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函
数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
因此，对于证明有关题设中含有某个函数
积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。
不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一
积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证
明不等式成立的目的。
在证明的定分数不等式时, 常常考量运用分数中值定理, 以便换成分数符号, 如果被
内积函数就是两个函数之积时, 可以考量用分数第一或者第二中值定理。
对于某些不等式
的证明, 运用原分数中值定理就可以获得“≥”的结论, 或者不等式显然无法获得证明。
而运用改良了的分数中值定理之后, 则可以获得“\ue”的结论, 或者顺利的解决问题。
定积分第二中值定理
定积分第二中值定理
定积分的第二中值定理是微积分中的重要定理，它是关于定积分的性质之一。
定积分的第二中值定理表述为，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么存在一个ξ∈[a, b]，使得定积分∫[a, b]f(x)dx等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值乘以区间的长度(b-a)，即∫[a, b]f(x)dx = f(ξ)(b-a)。
从几何意义上来理解，定积分的第二中值定理可以解释为，在函数f(x)的图像下方与x轴之间的有界区域的平均高度乘以区域的宽度等于定积分的值。
这个ξ就是函数在区间[a, b]上的平均值所对应的横坐标，也就是说，存在这样一个点ξ，使得函数在这一点的函数值等于定积分的平均值。
定积分的第二中值定理可以被看作是定积分的平均值定理的推广，它为我们提供了一种通过平均值来理解定积分的方法。
这个定理在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学中，可以用来解释物体在一段时间内的平均速度等问题。
总之，定积分的第二中值定理是微积分中的重要定理，它提供
了定积分与函数平均值之间的关系，有助于我们更深入地理解定积分的性质和应用。
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。
[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。
于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。
[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。
（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。
由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。
[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。
若m M =，则f c ≡，ξ可任取。
若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。
[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。
于是[()()]0.b a f x f dx ξ-=⎰由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。
[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。
（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。
由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().x b a af x dx f b dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。
[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。
若m M =，则f c ≡，ξ可任取。
若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x dx Mb a <-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。
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xi xi 1
[
g
(
xi
)
g(
xi 1 )]dx
K
lim[U
|T |0
(g,T
)
L(g,T
)]
0
,
其中 K sup | f (x) | .再结合（3）式，若在等式（2）中令 | T | 0 ，可得
a xbΒιβλιοθήκη bmg(b) a f (x)g( x)dx Mg(b) .
由于 M 与 m 分别是 F (x) 在a,b 上的最大值与最小值，根据连续函数的介值定
理， [a, b] 使得
b
b
a f ( x)g(x)dx g(b)F ( ) g(b) f (x)dx .
(4)
2. 设 g 在a,b 上单调递增, 则 g(x) g(a) 在a,b 上非负且单调递增,若在
等式(4)中用 g(x) g(a) 代替 g(x) ,可得
n1
A(T ) m{g(x1) [g(xi1) g(xi )]} mg(b) i1
即对于区间a,b 的任何分割T ,
mg(b) A(T ) Mg(b) .
另一方面,由 f Ra, b 可得,
（3）
n
lim B(T ) lim K
|T |0
|T |0 i1
积分第二中值定理： 设 f Ra, b ， g 在a,b 上单调，则存在 [a,b]使得
b
a
f
( x)g(x)dx
g
a
a
f
( x )dx
g
b
b
f
( x)dx
.
（1）
证明：1. 先设 g 在a,b 上非负且单调递增.对于区间a,b 的任何分割
T : a x0 x1 xn b ,
b a
f ( x)g(x)dx
n i1
g(xi )
xi xi 1
f (x)dx
n i1
xi xi 1
f
( x)[g(x)
g( xi )]dx
.
（2）
b
记上式右端第一个和式为 A(T ) ,第二个和式为 B(T ) ,令 F (x) x f (t)dt ,注意到
所以等式（1）成立. 最后,若 g 在a,b 上单调递减，则 g(x) 单调递增,在
等式(1)中用 g(x) 代替 g(x) ,即得等式（1）依然成立.
F (xn ) F (b) 0 ,
A(T )
n
g(xi )
i 1
xi xi 1
f (x)dx
n
g(xi )[F (xi1) F( xi )]
i1
n 1
n
g(x1)F ( x0) g( xi1)F( xi ) g(xi )F( xi )
i1
i 1
n 1
g(x1)F ( x0) [g(xi1) g( xi )]F (xi ) . i1
F (x) C[a,b] ,记 M sup F ( x) , m inf F (x) ,由于 g 在a,b 上非负单增,由上式
a xb
axb
n1
A(T ) M {g(x1) [g(xi1) g(xi )]} Mg(b) ， i 1
b
b
a f ( x)[g(x) g(a)]dx [g(b) g(a)] f (x)dx ,
即
b f (x)g(x)dx g a
b
f (x)dx [g(b) g(a)]
b
f ( x)dx
a
a
g
a
a
f
( x )dx
g
b
b
f
( x )dx