第二积分中值定理
积分第二中值定理中的渐进性
一、
１
＋ｍ＋ｎ－ｒ １
＼４７
于是．忽我们有 １婴｝ｒ丽掣ｂ 矗豢裔搀，ｂ ２娑（畿：）ｃ素悬卜，＂护（岛‰“。
（６）
万方数据
一３９一
芜湖职业技术学院学报２００１年第３卷第２期
¨ｌｉｒａ弋Ｆ丽而Ｆｉ矿２一ｌｉｒａ百专琢商２ ｇ（ｂ）ｆｌｆ（ｘ）ｄｘ－Ｊ．ｂｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ ｇ（ｂ）』Ｉｘ肌肛）ｄ）【
相似文献(4条)
1.期刊论文 陈新一.唐文玲.CHEN Xin-yi.TANG Wen-ling 关于积分第二中值定理"中值点"的一个注记 -甘肃联合
大学学报(自然科学版)2005,19(3)
利用极限理论,给出并证明了减弱条件的积分第二中值定理"中值点"的渐近性的几个结论,相信在积分学中有着很重要的作用.
．
．
．上
“ｘ）－ｆ（ａ）州’ａ）（…）＋眢（ｘ－ａ）２＋．．．＋粼（ｘ＿ａ）ｎ～，ａ＜牝ｘ 证明：因为ｆ‘”１’（ａ）存在，所以在ｘ＝ａ的某邻域内ｆ，（ｘ），ｆ，（ｘ），…，ｆ（”２’（ｘ）都存在，从而由Ｔａｙｌｏｒ公式有 （２）
于是我们可得
陬）ｄ）【：等导（。川ｎ’ａ＜∈１ｘ＜。
（３）
·收稿日期：２００１－０２．１２ 作者简介：唐金菊，女，１９６４年出生，安徽枞阳人，中教一级。
ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］在存在ｍ阶导数，ｇ（ｋ＋１’（ｂ）＝…＝ｇ（ｋ＋ｍ－１）（ｂ）＝ｏ，ｇ‘。＋“’（ｂ）≠０，且ｇ‘。＋”’（ｘ）在ｂ点连续。ｋ＝ｏ，１，２…，则
对于（１）中的∈有
ｌ／ｍ．ｄａ－ｂｂ＝离ａ＝（毒Ｋ我ｍ
＋
Ｄ一
、
十
＋
ｎ／１“
当定理２中ｋ：０即得支［４］的定理２。
文稿责编：吴月红
积分平均值定理、积分第二中值定理
定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明简单不等式定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有⎰≥ba dx x f 0)(。
定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有⎰>ba dx x f 0)(。
证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。
由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0⊂∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有)(21)(0x f x f ≥由积分对区间的可加性，知⎰⎰⎰⎰++=ba ab dx x f dx x f dx x f dx x f αββα)()()()( ⎰≥βαdx x f )( ⎰≥βαdx x f )(210 0))((210>-=αβx f 。
推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有⎰=ba dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[]b a x ,∈。
推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=ba dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ，[]b a x ,∈。
积分平均值定理定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b ab a ba Mdx dx x f mdx )( )()()(ab M dx x f a b m ba -≤≤-⎰从而有 M dx x f a b m b a≤-≤⎰)()(1。
如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ，有⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ。
积分第二中值定理证明_139202166
xi xi 1
[
g
(
xi
)
g(
xi 1 )]dx
K
lim[U
|T |0
(g,T
)
L(g,T
)]
0
,
其中 K sup | f (x) | .再结合（3）式，若在等式（2）中令 | T | 0 ，可得
a xbΒιβλιοθήκη bmg(b) a f (x)g( x)dx Mg(b) .
由于 M 与 m 分别是 F (x) 在a,b 上的最大值与最小值，根据连续函数的介值定
理， [a, b] 使得
b
b
a f ( x)g(x)dx g(b)F ( ) g(b) f (x)dx .
(4)
2. 设 g 在a,b 上单调递增, 则 g(x) g(a) 在a,b 上非负且单调递增,若在
等式(4)中用 g(x) g(a) 代替 g(x) ,可得
n1
A(T ) m{g(x1) [g(xi1) g(xi )]} mg(b) i1
即对于区间a,b 的任何分割T ,
mg(b) A(T ) Mg(b) .
另一方面,由 f Ra, b 可得,
（3）
n
lim B(T ) lim K
|T |0
|T |0 i1
积分第二中值定理： 设 f Ra, b ， g 在a,b 上单调，则存在 [a,b]使得
b
a
f
( x)g(x)dx
g
a
a
f
( x )dx
g
b
b
积分中值定理及应用
毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。
首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。
最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
积分中值定理
b
g ( b ) f ( x )dx g ( a ) f ( x )dx
a
b
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复习思考题
1.设 f , g R[a , b],
b
证明柯西-施瓦兹不等式
b b
( Cauchy-Schwaz Inequality )
[ f ( x ) g ( x )dx] f ( x )dx g 2 ( x )dx
注1 还可以在 (a , b) 内取到,事实上若
1 b x (a , b), f ( x ) f ( x )dx , ba a
则由连续函数的介值定理, 必恒有
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f ( x ) f ( t )dt , x (a , b),
a
b
或恒有
因此
f ( x ) f ( t )dt , x (a , b).
4. 证明：若函数 f ( x ) 在 [0 , 1] 上单调递减，则
0
1
1 n k f (0) f (1) f ( x )dx f ( ) n k 1 n n
3. 提示：
0 f ( x )dx k 1
1
k
n
n 1 n k k n f ( )dx f ( ) 1 n n k 1 n k 1 k n
则
a f ( x ) g ( x ) dx a g ( x )dF ( x )
b b g( x )F ( x ) F ( x ) g( x )dx a a
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b b g( x )F ( x ) F ( x ) g( x )dx a a
关于积分第二中值定理介值点的讨论
Ｖｏｌ．２９Ｎｏ．１Ｊａｎ．２０１３赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第29卷第1期（下）2013年1月定理1［１，２］设函数ｇ在［ａ，ｂ］上可积，此时有如下三个命题：⑴若函数ｆ在［ａ，ｂ］上非负，递减，则埚ξ１∈［ａ，ｂ］，使得ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ξ１ａ乙ｇ（ｘ）ｄｘ．⑵若函数ｆ在［ａ，ｂ］上非负，递增，则埚ξ２∈［ａ，ｂ］，使得ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ｂξ２乙ｇ（ｘ）ｄｘ．⑶若函数ｆ在［ａ，ｂ］上单调，则埚ξ∈［ａ，ｂ］．使得ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ξａ乙ｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ｂξ乙ｇ（ｘ）ｄｘ．那么此定理中的ξ１，ξ２，ξ能否在开区间（ａ，ｂ）内取得呢？假如，设ｆ（ｘ）＝２，ｘ＝０，１，０＜ｘ＜２π，ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，０≤ｘ≤２π，１，ｘ＝２乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙π则ｆ与ｇ在区间［０，２π］上满足定理５⑴中的条件，且２π０乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０．但是要使得ｆ（０）ξ０乙ｇ（ｘ）ｄｘ＝２ξ０乙ｓｉｎｘｄｘ＝０，必须取ξ＝０或ξ＝２π才行，也就是说ξ只能取积分区间端点．如果在定理中的⑴中加上一个非常一般化的条件，那么一定能在开区间（ａ，ｂ）内取得．定理2设函数在区间［ａ，ｂ］上非负，递减，ｆ（ａ＋０）－ｆ（ｂ－０）＞０，函数ｇ在［ａ，ｂ］上可积，则ξ∈［ａ，ｂ］，使得ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ξａ乙ｇ（ｘ）ｄｘ．证明由定理５的⑴可知，埚ｃ∈［ａ，ｂ］，使得ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ξａ乙ｆ（ｘ）ｄｘ．如果ｃ∈（ａ，ｂ），取ξ＝ｃ，定理６便已获证．如果ｃ埸（ａ，ｂ），则必定ｃ＝ａ或ｃ＝ｂ．令Ｇ（ｘ）＝ｘａ乙ｇ（ｔ）ｄｘ，则Ｇ在［ａ，ｂ］上连续，故有ｍ＝ｍｉｎａ≤ｘ≤ｂ｛Ｇ（ｘ）｝，Ｍ＝ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ｛Ｇ（ｘ）｝．当ｍ＝Ｍ时或ｍ＜Ｍ且ｍ＜Ｇ（ｘ）＜Ｍ时，由连续函数介值定理易知，埚ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｇ（ξ）＝Ｇ（ｃ），此时定理也成立．余下只要证明：当ｍ＜Ｍ且Ｇ（ｃ）＝ｍ或Ｇ（ｃ）＝Ｍ时，埚ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｇ（ξ）＝Ｇ（ｃ）．设Ｔ＝｛ｘ０，ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝是［ａ，ｂ］的任一划分，记△ｘｋ＝ｘｋ－ｘｋ－１，λ（Ｔ）＝ｍａｘ１≤ｋ≤ｎ｛△ｘｋ｝，关于积分第二中值定理介值点的讨论杨大勇（陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000）摘要：该文论述了第二积分中值定理中的介值点ξ在开区间(a ,b )内能够取得的条件.关键词：连续；可积；积分中值定理；介值点中图分类号：０１７２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１３）０１－００１５－０２１５－－对坌ξｋ∈［ｘｋ－１，ｘｋ］（ｋ＝１，２，…，ｎ），作和式σ（Ｔ）＝ｎｋ＝１Σｆ（ξｋ）ｘｋｘｋ－１乙ｇ（ｔ）ｄｔ．令｜ｆ（ｘ）｜≤Ｌ．（ａ≤ｘ≤ｂ），ωｋ为ｇ（ｘ）在［ｘｋ－１，ｘｋ］上的振幅，于是σ（Ｔ）－ｎｋ＝１Σｆ（ξｋ）ｇ（ξｋ）△ｘｋ＝ｎｋ＝１Σｆ（ξｋ）ｘｋｘｋ－１乙ｇ（ｔ）－ｇ（ξｋ）ｄｔ］≤Ｌｎｋ＝１Σωｋ△ｘｋ．由定积分存在的充要条件可知，当λ（Ｔ）→０时，有ｎｋ＝１Σωｋ△ｘｋ→０，即ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍλ（Ｔ）→０σ（Ｔ）以下证明当ｍ＜Ｍ且Ｇ（ｃ）＝ｍ时，存在ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｇ（ξ）＝ｍ．用反证法，假若不然，则对坌ｘ∈（ａ，ｂ），有Ｇ（ｘ）＞ｍ，ｆ（ａ＋０）－ｆ（ｂ－０）＞０，所以埚ｂ１，使得ａ＜ａ１＜ｂ１＜ｂｆ（ａ１）－ｆ（ｂ１）＞０．设ａ１与ｂ１是Ｔ的两个分点，并记ａ１＝ｘｎ１，ｂ１＝ｘｎ２，由Ａｂｅｌ变换得σ（Ｔ）＝ｎ－１ｋ＝１Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］ｘｋａ乙ｇ（ｔ）ｄｔ＋ｆ（ξｎ）ｂａ乙ｄ（ｔ）ｄｔ＝ｎ１－１ｋ＝１Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］ｘｋａ乙ｇ（ｔ）ｄｔ＋ｎ２－１ｋ＝ｎ１Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］ｆ（ξｎ）］ｘｋａ乙ｇ（ｔ）ｄｔ＋ｎ－１ｋ＝ｎ２Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］ｘｋａ乙ｇ（ｔ）ｄｔ＋ｆ（ξｎ）］ｂａ乙ｇ（ｔ）ｄｔ设ｍ１＝ｍｉｎａ１≤ｘ≤ｂ１｛Ｇ（ｘ）｝，，则由反证法假设可知ｍ１＞ｍ，并取ξ１＝ａ，ξｎ＝ｂ，利用ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）及ｆ（ｂ）的非负性，由Ａｂｅｌ引理，得σ（Ｔ）≥ｍｎ１－１ｋ＝１Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］＋ｍ１ｎ２－１ｋ＝ｎ１Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］＋ｍｎ－１ｋ＝ｎ２Σ［ｆ（ξｋ）－ｆ（ξｋ＋１）］＋ｍｆ（ｂ）＝ｍ［ｆ（ａ）－ｆ（ａ１）］＋ｍ１［ｆ（ａ１）－ｆ（ｂ１）］＋ｍ［ｆ（ｂ１）－ｆ（ｂ）］＋ｍｆ（ｂ）＝ｍｆ（ａ）＋（ｍ１－ｍ）［ｆ（ａ１）－ｆ（ｂ１）］．令λ（Ｔ）→０，对上式取极限，由①式得ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ≥ｍｆ（ａ）＋（ｍ１－ｍ）［ｆ（ａ１）－ｆ（ｂ１）］＞ｍｆ（ａ），这与ｂａ乙ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｍｆ（ａ）矛盾，这表明埚ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｇ（ξ）＝ｍ．同理可证，当ｍ＜Ｍ且Ｇ（Ｃ）＝Ｍ时，ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｇ（ξ）＝Ｍ．综上所述，定理２得证．———————————————————参考文献:〔1〕华东师大数学系.数学分析(上册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.217—223.〔2〕赵显曾.数学分析拾遗[M].南京:东南大学出版社,2001.21—27.１６－－。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
三个中值定理
三个中值定理
三个中值定理的公式：
罗尔定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。
柯西定理：如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；（3)对任一x∈（a,b)，F'(x)≠0那么在（a,b)内至少有一点ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。
拉格朗日定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导。
那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。
积分中值定理：
积分中值定理，是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
这个定理的几何意义为：若f(x)≥0，x∈［a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。
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第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰
⎰
⎰
其中()lim ()x a p a p x +
+→=【右极限】，()lim ()x b
p b p x --→=【左极限】。
特别，若()0p a +=，则
()()d ()
()d b b
a
c
p x f x x p b f x x -
=⎰
⎰
()a c b ≤≤
证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。
其次，在下面的证明中，
①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由
()()d ()
()d b b
a
c
q x f x x q b f x x -
=⎰
⎰
即
[()()]()d [()()]()d b
b
a
c
p x p a f x x p b p a f x x
+
-
+
-=-⎰⎰，可得一般情形
()()d ()()d ()()d b
c
b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰⎰⎰
②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。
证 首先划分区间[,]a b ，即
01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=
而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使
1
1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-⎰
【第一积分中值定理】
于是，1
1()
()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-⎰
，求和得
1
11
1
()()d ()()()i i n
n
x i
i
i
i
i x i i p f x x p f x x
ξξξ--===
-∑∑⎰
（※）
现在，将左端做变换，即
1
11
1
()()d ()()d ()d i i i i n
n
x b b i
i x x x i i p f x x p f x x f x x --==⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑
⎰
⎰⎰
ξξ
1
11
2
()
()d ()()()d i n
b
b
i
i a
x i p f x x p p f x x ξξξ--=⎡⎤=+
-⎣⎦∑⎰
⎰
因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
M 分别表示函数()()d b
x
F x f x x =
⎰
()a x b ≤≤的最小值和最大值，则
11()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p m p p m
ξξξ
-=⎡⎤≥+
-⎣⎦∑()n p m ξ= 1
1
()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p M p p M
ξξξ
-=⎡⎤≤+
-⎣⎦∑()n p M ξ=
于是，根据式(※)，就得到估计式
11
()()()()()n
n i
i
i
i n i p m p f x x
p M ξξξξ-=≤
-≤
∑
让最大小区间的长度0n
x
∆→，注意到()()n p p b -→ξ，则得
()()()d ()b a
p b m p x f x x p b M -
-≤
≤⎰
若()0p b -
=，则
()()d 0b a
p x f x x =⎰
，可任意取[,]c a b ∈；若()0p b ->，则
1
()()d ()
b
a
m p x f x x M p b -≤
≤⎰
根据连续函数的介值定理，必有点()c a c b ≤≤，使1
()()()d ()
b
a
F c p x f x x p b -=
⎰
,即
()()d ()()()
()d b
b
a
c
p x f x x p b F c p b f x x --=
=⎰
⎰
注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。
譬如，若函数()f x 在区间
[,]-ππ上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数k a 和k b 满足
,k k M M
a b k k
≤≤
(1,2,)k = 其中M 为正常数。
事实上，因为区间[,]-ππ可被分成有限个子区间，而()f x 在每一个子区间[,]a b 上是单调有界函数，所以只要证明在[,]-ππ的子区间[,]a b 上有上面的估计式就可以了。
根据第二积分中值定理，则有
1
1()cos d ()
cos d ()
cos d b c b k a
a
c
a f x kx x f a kx x f
b kx x +-⎡
⎤
=
=+⎢⎥ππ⎣
⎦
⎰
⎰
⎰
1sin sin sin sin ()()kc ka kb kc f a f b k k +---⎡⎤=
+⎢⎥π⎣⎦
因此，
sin sin sin sin 1()()k kc ka kb kc a f a f b k k +-⎡++⎤≤+⎢⎥π⎣⎦2()()M f a f b k k +-⎡⎤≤+=⎣⎦π 同理k M
b k
≤。