第二积分中值定理

第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使

()()d ()

()d ()

()d b c b

a

a

c

p x f x x p a f x x p b f x x +

-

=+⎰

⎰

⎰

其中()lim ()x a p a p x +

+→=【右极限】，()lim ()x b

p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则

()()d ()

()d b b

a

c

p x f x x p b f x x -

=⎰

⎰

()a c b ≤≤

证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中，

①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由

()()d ()

()d b b

a

c

q x f x x q b f x x -

=⎰

⎰

即

[()()]()d [()()]()d b

b

a

c

p x p a f x x p b p a f x x

+

-

+

-=-⎰⎰，可得一般情形

()()d ()()d ()()d b

c

b

a

a

c

p x f x x p a f x x p b f x x +

-

=+⎰⎰⎰

②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即

01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=

而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使

1

1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-⎰

【第一积分中值定理】

于是，1

1()

()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-⎰

，求和得

1

11

1

()()d ()()()i i n

n

x i

i

i

i

i x i i p f x x p f x x

ξξξ--===

-∑∑⎰

（※）

现在，将左端做变换，即

1

11

1

()()d ()()d ()d i i i i n

n

x b b i

i x x x i i p f x x p f x x f x x --==⎡⎤

=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑

⎰

⎰⎰

ξξ

1

11

2

()

()d ()()()d i n

b

b

i

i a

x i p f x x p p f x x ξξξ--=⎡⎤=+

-⎣⎦∑⎰

⎰

因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和

M 分别表示函数()()d b

x

F x f x x =

⎰

()a x b ≤≤的最小值和最大值，则

11()()d i i n

x i

x i p f x x ξ-=∑⎰

112

()()()n

i

i i p m p p m

ξξξ

-=⎡⎤≥+

-⎣⎦∑()n p m ξ= 1

1

()()d i i n

x i

x i p f x x ξ-=∑⎰

112

()()()n

i

i i p M p p M

ξξξ

-=⎡⎤≤+

-⎣⎦∑()n p M ξ=

于是，根据式(※)，就得到估计式

11

()()()()()n

n i

i

i

i n i p m p f x x

p M ξξξξ-=≤

-≤

∑

让最大小区间的长度0n

x

∆→，注意到()()n p p b -→ξ，则得

()()()d ()b a

p b m p x f x x p b M -

-≤

≤⎰

若()0p b -

=，则

()()d 0b a

p x f x x =⎰

，可任意取[,]c a b ∈；若()0p b ->，则

1

()()d ()

b

a

m p x f x x M p b -≤

≤⎰

根据连续函数的介值定理，必有点()c a c b ≤≤，使1

()()()d ()

b

a

F c p x f x x p b -=

⎰

,即

()()d ()()()

()d b

b

a

c

p x f x x p b F c p b f x x --=

=⎰

⎰

注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。譬如，若函数()f x 在区间

[,]-ππ上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数k a 和k b 满足

,k k M M

a b k k

≤≤

(1,2,)k = 其中M 为正常数。事实上，因为区间[,]-ππ可被分成有限个子区间，而()f x 在每一个子区间[,]a b 上是单调有界函数，所以只要证明在[,]-ππ的子区间[,]a b 上有上面的估计式就可以了。根据第二积分中值定理，则有

1

1()cos d ()

cos d ()

cos d b c b k a

a

c

a f x kx x f a kx x f

b kx x +-⎡

⎤

=

=+⎢⎥ππ⎣

⎦

⎰

⎰

⎰

1sin sin sin sin ()()kc ka kb kc f a f b k k +---⎡⎤=

+⎢⎥π⎣⎦

因此，

sin sin sin sin 1()()k kc ka kb kc a f a f b k k +-⎡++⎤≤+⎢⎥π⎣⎦2()()M f a f b k k +-⎡⎤≤+=⎣⎦π 同理k M

b k

≤