二元函数的积分中值定理的探究

合集下载

二元函数的积分中值定理的探究

⼆元函数的积分中值定理的探究⽬录摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前⾔.. (1)1预备知识 (1)1.1相关定理 (1)2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2)2.1 曲线积分中值定理的推⼴ (2)2.1.1第⼀型曲线积分中值定理 (2)2.1.2第⼆型曲线积分中值定理 (4)2.2⼆重积分中值定理的探究及推⼴ (5)2.3曲⾯积分中值定理的探究及推⼴ (7)2.3.1第⼀型曲⾯积分中值定理 (7)2.3.2第⼆型曲⾯积分中值定理 (7)结论 (9)参考⽂献 (10)致谢 (11)摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了⼆元函数的曲线、重积分、曲⾯的各种形式中值定理，⽽且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.关键词：积分中值定理；第⼆中值定理；曲线积分中值定理；⼆重积分中值定理；曲⾯积分中值定理Study on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals offunctions of two variablesAbstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mean-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. We obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given. Key word s: mean-value theorem integral; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals⼆元函数的积分中值定理的探究前⾔积分中值定理是微积分中的⼀个重要定理，主要包含⼀元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多⽂献，对于多元函数的曲线积分、曲⾯积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴⼀元函数的第⼀、第⼆积分中值定理的研究⽅法及思想，在⽂献[1-6]的基础上，主要讨论⼆元函数的积分中值定理在曲线、曲⾯、重积分情形上是否成⽴，通过研究该课题，进⼀步完善积分中值定理的相关理论.1预备知识1.1相关定理定理1[5]假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最⼤值和最⼩值，且()f x 在区间[,]a b 上可积，则有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-? ()a b <成⽴. 定理2[5](⼀元函数的介值性定理 ) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续.并且函数()f a 与()f b 函数不相等.如果µ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()()f a f b µ<<或()()f a f b µ>>，则⾄少存在⼀点0x ，使得0()f x µ=成⽴，其中0(,)x a b ∈. 定理3[5](⼆元函数的介值性定理)设函数f 在区域2D R ?上连续，若12,P P 为D 中任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满⾜不等式12()()f P f P µ<<的实数µ，必存在点0p D ∈，使得0()f P µ=.定理4]3[（定积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上⾄少存在⼀个点ξ，使下式()()()baf x dx f b a ξ=-?()a b ξ≤≤成⽴.定理5]3[（推⼴的第⼀积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上⾄少存在⼀点ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=?()a b ξ≤≤成⽴. 定理6]3[（积分第⼆中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，⽽()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上⾄少存在⼀点ξ，使下式成⽴()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+?定义1[6]设平⾯光滑曲线L :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈，两端点为((),())A x y αα和((),())B x y ββ.若()x t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标x 是⽆反向的. 若()y t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标y 是⽆反向的.2 多元函数积分中值定理的各种形式受⽂献[1],⽂献[2]的启发，本⽂主要对曲线积分的三种形式，⼆重积分及曲⾯积分的三种形式的中值定理进⾏探讨.2.1 曲线积分中值定理的推⼴⾸先对曲线积分中值定理进⾏探讨，在本⽂中只讨论曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈为参数⽅程的情形，⽽对于曲线C 为直⾓坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到. 2.1.1（第⼀型曲线积分中值定理）定理7 如果函数(,)f x y 在光滑有界曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，则在曲线C 上⾄少存在⼀点(,)ξη.使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=?成⽴，其中Cds ?为曲线C 的弧长，并且Cds S =?.证明因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以22(,)((),())()()Cf x y ds f x t y t x t y t dt βα''=+?记 22()((),()),()()()F t f x t y t G t x t y t ''==+由已知条件知()F t 在[,]αβ上连续，()G t 在[,]αβ上连续且⾮负，则根据推⼴的第⼀积分中值定理，0[,]t αβ?∈，00(,)((),())x t y t ξη=使2222(,)((),())()()(,)()()(,)Cf x y ds f x t y t x t y t dt f x t y t dt f S ββααξηξη''''=+=+=?成⽴.即(,)(,)Cf x y ds f S ξη=?从⽽命题得证.在数学分析等⽂献中仅仅阐述了定理7，⽽对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下⾯我们将对其探究证明,并进⾏推⼴.定理8]1[如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界曲线C (),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，(,)g x y 在C 上不变号，则在曲线C 上⾄少存在⼀点(,)ξη，使(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=?成⽴.证明由于22(,)(,)((),())((),())()()Cf x yg x y ds f x t y t g x t y t x t y t dt βα''=+?，由条件知,(,)g x y 在C 上不变号，则22((),())()()g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上不变号，(,),(,)f x y g x y ⼜在C 上连续，由此可知22((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上也连续. 由定理7可知0[,]t αβ?∈，使得00(,)((),())x t y t ξη=,有以下式⼦222200((),())((),())()()((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t dt f x t y t g x t y t x t y t dt ββαα''''+=+??成⽴. 即(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=?从⽽命题得证.定理9如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界闭曲线(,)C A B :(),()x x t y y t ==,[,]t αβ∈上连续可积，(,)g x y 在C 上不变号,其中min (,)m f x y =,max (,)M f x y =，其中(,)x y C ∈.则在曲线(,)C A B 上⾄少存在⼀点O ,把曲线(,)C A B 分为曲线1(,)C A O 和曲线2(,)C O B ,使得12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+?成⽴.证明由定理8知(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=?，记(,)f k ξη=，则有m k M <<.记12(,)(,)(,)(,)(,)C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--??Q 是关于点(,)O x y 的函数. (1)当(,)0Cg x y ds =?时，显然成⽴.（2）当(,)0Cg x y ds >?,当1C C =时，则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=-??；由于0k m ->，，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=->??即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =-->??.当2C C =时，则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-??；由于0k M -<，(,)0Cg x y ds >?，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--.（3）当(,)0Cg x y ds,类似可讨论.综上由零点存在定理，则⾄少有⼀点O C ∈，使得0Q =,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--=??即12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+?从⽽命题得证.以上给出了⼆元函数的第⼀型曲线积分中值定理的三种形式及证明，⽽我们仅仅讨论了曲线C 形如(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈的情形，对于直⾓坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，类似可讨论.2.1.2（第⼆型曲线积分中值定理）第⼆型曲线积分中值定理定理是否成⽴，接下来我们对其进⾏探讨. 如果成⽴，则有如下命题.函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的⽅向确定的，则在曲线C 上⾄少存在⼀点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±?(1)成⽴.但有如下例⼦，设(,)f x y y =,曲线C 为圆，⽅程为222x y y +=.如图1图1 由积分的对称性知0C I dx -==?,可得(,)0f I ξη±=，⽽0Cy d x π=-≠?,故不可能存在点(,)C ξη∈使（1）成⽴.于是第⼆型曲线积分中值定理在此不成⽴.由此可见第⼆型曲线积分中值定理⼀般不成⽴，下⾯我们探讨特殊形式的第⼆型曲线积分中值定理. 定理10]1[设(,)P x y ，(,)Q x y 在定向光滑曲线L 上连续，曲线L 上任意⼀点(,)x y 处与L ⽅向⼀致的切线⽅向与x 轴余弦为cos α，且(,)Q x y 在曲线L 上不变号，则在L ⾄少存在⼀点(,)ξη，O X Y 1使得(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=?证明因为(,)(,)(,)(,)cos LLP x y Q x y dx P x y Q x y ds α=?且(,)P x y ，(,)Q x y 在L 上连续，(,)cos Q x y α在曲线L 上不变号，由于曲线L 光滑，从⽽cos α在线L 上连续，由定理8知，存在(,)L ξη∈,使得(,)(,)cos (,)(,)cos (,)(,)LLLP x y Q x y ds P Q x y ds P Q x y dx αξηαξη==?即(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=?从⽽命题得证. 定理11[6]设曲线L 关于坐标x 是⽆反向的，(,)f x y ，(,)g x y 为定义在L 上的⼆元函数，满⾜(,)f x y ，(,)g x y 沿曲线L 从A 到B 关于坐标x 第⼆型可积，(,)f x y 在L 上是可介值的，(,)g x y 在L 上不变号.则⾄少存在⼀点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)(,)(,)LLf x yg x y dx f g x y dx ξη=?成⽴.证明过程参考⽂献[6].推论1设曲线L 关于坐标x 是⽆反向的，(,)f x y 为定义在L 上的⼆元函数， (,)f x y 在L 上是可介值的.则⾄少存在⼀点(,)P Lξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)LLf x y dx f dx ξη=?成⽴.即(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±?I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影.类似的，可以推⼴到对坐标y 的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.2.2⼆重积分中值定理的探究及推⼴下⾯给出⼆重积分中值定理的三种形式.定理12假设函数(,)f x y 在有界是D 的⾯积，则在D 上⾄少存在⼀点(,)ξη使得(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=成⽴.证明由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，假设(,)f x y 在闭区域D 上的最⼤值和最⼩值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤.对不等式在区域D 上进⾏⼆重积分可得,(,)DDDmds f x y ds Mds ≤≤即(,)DDDm ds f x y ds M ds ≤≤其中Dds ??为闭区域D 的⾯积，我们不妨记Dds σ=??.有 (,)Dm f x y ds M σσ≤≤??由于0σ≠，将不等式除以σ可得1(,)Dm f x y ds M σ≤≤?? 由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，由⼆元函数的介值性定理知，则在D 上⾄少存在⼀点(,)ξη使得1(,)(,)Df x y ds f ξησ=?? 成⽴.将上式两边同乘以σ即可得到(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=从⽽命题得证.定理13假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的⾯积，则在D 上⾄少存在⼀点(,)ξη使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=成⽴.证明不妨设(,)0((,))g x y x y D ≥∈由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)f x y 在闭区域D 上的最⼤值和最⼩值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤,从⽽(,)(,)(,)(,)DDDm g x y dxdy f x y g x y dxdy M g x y dxdy ≤≤若 (,)0Dg x y dxdy =??则(,)(,)0Df x yg x y dxdy =??成⽴.即对任意(,)D ξη∈,等式成⽴；若(,)0Dg x y dxdy >??(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdym M g x y dxdy≤≤由⼆元函数的介值性定理，存在(,)D ξη∈. 使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdyf g x y dxdyξη=(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=从⽽命题得证.定理14假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的⾯积，存在两个区域满⾜12D D D ? =,12D D ?=?，(,)f x y 在1D ，2D 上都可积，记min (,)m f x y =，max (,)M f x y =,其中(,x y D ∈）.则有12(,)(,)(,)(,)DD D f x y g x y ds m g x y d M g x y d σσ=+成⽴.证明参照定理9的⽅法及思想即可以得到.2.3曲⾯积分中值定理的探究及推⼴下⾯分别给出第⼀型曲⾯积分与第⼆型曲⾯积分中值定理的⼏种形式. 2.3.1（第⼀型曲⾯积分中值定理）定理15设D 为xoy 平⾯上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲⾯S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，则在曲⾯S 上⾄少存在⼀点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)(,,)(,,)SSf x y zg x y z dS f g x y z ds ξηδ=??成⽴，其中A 是曲⾯S 的⾯积.证明因为22(,,)(,,)(,,(,))(,,(,))1x y SDf x y zg x y z dS f x y z x y g x y z x y z z d σ''=++??因为(,,)f x y z ，(,,)g x y z 在曲⾯S 上连续,可得22(,,(,))(,,(,))1x y f x y z x y g x y z x y z z ''++在D 上也连续，由于(,,)g x y z 在S 上不变号，所以22⼆重积分的中值定理(定理13)，可知存在(,)D ξη∈,使得(,)z δξη=，且2222(,,(,))(,,(,))1(,,(,))(,,(,))1x y x y DDf x y z x yg x y z x y z z d f z g x y z x y z z d σξηξησ''''++=++(,,(,)(,,)(,,)(,,)SSf zg x y z ds f g x y z ds ξηξηξηδ==从⽽命题得证.推论2 设D 为xoy 平⾯上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲⾯S ，并且函数(,,)f x y z ,在S 上连续，在S 上不变号，则在曲⾯S 上⾄少存在⼀点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dS f A ξηδ=??成⽴，其中A 是曲⾯S 的⾯积.定理16设D 为xoy 平⾯上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲⾯S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，存在两个光滑曲⾯满⾜12S S S ?=,12S S ?=?,(,,)f x y z 在1S ,2S 上都可积，记m i n (,,m f x y z =，max (,,)M f x y z =.其中(,,)x y z S ∈则有12(,,)(,,)(,,)(,,)SS S f x y z g x y z dS m g x y z ds M g x y z ds =+??成⽴.证明⽅法参照定理9.在这⾥我们证明了第⼀型曲⾯积分的积分中值定理的⼏种类型，并进⾏了推⼴探究，得到了相关的定理.2.3.2（第⼆型曲⾯积分中值定理）接下来我们对第⼆型曲⾯积分的积分中值定理是否成⽴?以及有⼏种类型进⾏探讨. 若成⽴，则有如下⾯命题.若有光滑曲⾯:(,),(,)yz S z x y x y D ∈，其中yz D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，A 是S 的投影yz D 的⾯积，由此在曲⾯S 上⾄少存在⼀点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dydz f A ξηζ=±?成⽴.但有如下例⼦，设S 是2221x y z ++=在0z ≥的部分，并取球⾯外侧为正，把曲⾯表⽰为参量⽅程sin cos x ?θ=，sin sin y ?θ=，cos z ?=,02)2πθπ≤≤≤≤（0可得 2(,)sin cos (,)y y y z A zz ?θθ?θ?θ=== 他们在yz 平⾯上的投影区域如图2，图2可知222200(,)sin cos sin cos 0(,)SD D y z A dydz d d d d d d ?θθππ?θ?θ?θ??θθ?θ-=====,从⽽(,,)0f A ξηζ±=,取3(,,)f x y z x =，则有25454202(,,)sin cos sin cos 05SD f x y z dydz d d d d ?θπθ?θ??θθπ===≠??. 故曲⾯S 上不存在⼀点(,,)ξηζ，使（2）成⽴. 于是第⼆型曲⾯积分中值定理在此不成⽴.由此可见第⼆型曲⾯积分中值定理⼀般不成⽴，下⾯我们探讨特殊形式的第⼆型曲⾯积分中值定理. 定理17[1]设(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲⾯S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，则在S 上⾄少存在⼀点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)(,,)(,,)SSF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξη?=??证明不妨设曲⾯S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈取上侧，曲⾯S 上点(,,(,))x y z x y 处外法向量的⽅向⾓为α，β，γ，则2 21cos 1x yz z γ=''++，(,,)(,,)(,,)(,,)cos SSF x y z Q x y z dxdy F x y z Q x y z dS λ=??由于(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲⾯S 上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，曲⾯S 光滑，从⽽(,,)cos Q x y z γ在曲⾯S 上连续不变号，由定理15知，在曲⾯S 上⾄少存在⼀点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)cos (,,)(,,)cos SSF x y z Q x y z dS F Q x y z dS γξη?γ=??⼜由于(,,)(,,)cos (,,)(,,)SSF Q x y z dS F Q x y z dxdy ξη?γξη?=即 (,,)(,,)(,,)(,,)SSF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξη?=??从⽽命题得证.结论本论⽂主要介绍了⼆元函数的曲线、曲⾯以及重积分的各类积分中值定理.另外，曲线积分中值定理的坐标形式，三元及三元以上函数的积分中值定理在此论⽂中未进⾏探究，望⼤家继续研究这些问题，进⼀步完善积分中值定理.参考⽂献[1]杜红霞.曲线积分与曲⾯积分中值定理[J].赣南师范学院报，2006，6:1-2.[2]冯美强.关于积分中值定理的改进[J].北京机械⼯业学院学报，2007,22（4）:1-4.[3]皱成.⼆重积分中值定理的改进[J].⽯河⼦⼤学学报，2006,24（5）：1-4.[4]王旭光.⼆重积分中值定理的推⼴[J].徐州师范⼤学，2007,23（4）：1-6.[5]华东师范⼤学数学系.数学分析下册[M].⾼等教育出版社，2001:197-288.[6]唐国吉.第⼆型曲线积分中值定理[J].⼴西民族⼤学，2008,23:1-6.致谢本论⽂是在我的导师李云霞教授的亲切关怀和悉⼼指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的⼯作作风，深深地感染和激励着我 .在论⽂即将完成之际，从开始进⼊课题到论⽂的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我⽆⾔的帮助，在这⾥请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长⼤含⾟茹苦的⽗母，谢谢你们!。

(参考资料)二元函数的微分中值定理及罗比达法则

在Ｄ内取异于（ｘ，ｙ）的点（ｘ，ｙ）．００
由条件（２）ｇ１＇（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ，ｙ）ｄｙ在Ｄ内连续且不恒为零，
在ｇ１＇（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ，ｙ）ｄｙ的非零域内应用二元函数的柯西定理，有
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）－ｆ（ｘ０，ｙ０）ｇ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）－ｇ（ｘ０，ｙ０）
［１］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２．
（ｘ，ｙ）→（ｘ，ｙ）
（ｘ，ｙ）→（ｘ，ｙ）
００
００
（４）ｌｉｍｆ ′（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｆ ′（ｘ，ｙ）ｄｙ
１
２
（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）ｇ１′（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｇ２′（ｘ，ｙ）ｄｙ
＝ｆ１＇（ｘ０＋
θΔ
ｘ，ｙ０＋
θΔ
ｙ）ｄｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋
θΔ
ｘ，ｙ０＋
θΔ
ｙ）ｄｙ（０＜
θ
＜１
饢）
ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ，ｙ０＋ θΔ ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ，ｙ０＋ θΔ ｙ）ｄｙ
当（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）时，（ｘ０＋θΔｘ，ｙ０＋θΔｙ）→（ｘ０，ｙ０）
定理２，若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）、ｇ（ｘ，ｙ）满足
（１）在区域Ｄ内有定义，（ｘ０，ｙ０）为Ｄ的一个聚点；（２）在Ｄ内有关于ｘ，ｙ的连续偏导数；
且ｇ１＇（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ，ｙ）ｄｙ≡０；
（３）ｌｉｍ
ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｌｉｍｇ（ｘ，ｙ）＝０；
＝Ａ，
则ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）ｇ（ｘ，ｙ）＝Ａ．
为二元函数的罗比达法则，（０／０型）

积分第二中值定理

积分第二中值定理
积分中值定理的证明：设f(x)在[a，b]上连续，且最大值为m,最小值为m，最大值和最小值可相等。

由估值定理及连续函数的介值定理可证明积分中值定理。

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函
数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数
积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。

不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一
积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证
明不等式成立的目的。

在证明的定分数不等式时, 常常考量运用分数中值定理, 以便换成分数符号, 如果被
内积函数就是两个函数之积时, 可以考量用分数第一或者第二中值定理。

对于某些不等式
的证明, 运用原分数中值定理就可以获得“≥”的结论, 或者不等式显然无法获得证明。

而运用改良了的分数中值定理之后, 则可以获得“\ue”的结论, 或者顺利的解决问题。

积分中值定理及其应用

积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明 1、定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()baf x dx b a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式. 在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在ix ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx ix i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）：若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0ba g x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x Mμμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0bag x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰ =1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4）比较（3），（4）式我们可以得到01lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xam n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-. 证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰2()()()()()()()lim()x xaa a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()xa a x a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-.将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，()()m gx 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)b ax dx a b <<⎰的积分解：设x =则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n nxdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：1010133333111()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰010113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有131x x e dx ->⎰，即131x x e dx-⎰的符号为正号.4、比较积分大小例6 比较积分340sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a≥，使得当,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2：当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a≥，当,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有A ，当x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310[2]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170[3]陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288[4]陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。

二元积分中值定理公式

二元积分中值定理公式【实用版】目录1.二元积分中值定理公式的概念2.二元积分中值定理公式的推导3.二元积分中值定理公式的应用4.总结正文一、二元积分中值定理公式的概念二元积分中值定理公式是微积分学中的一个重要定理，主要用于求解二元函数的定积分。

它指出，如果函数 f(x,y) 在矩形区域 [a,b]×[c,d] 上有界，那么在这个区域内一定存在一个点 (ξ,η)，使得函数在该点处的值为定积分的四则平均值。

二、二元积分中值定理公式的推导为了更好地理解二元积分中值定理公式，我们可以通过以下步骤对其进行推导：设函数 f(x,y) 在矩形区域 [a,b]×[c,d] 上有界，考虑对该函数进行分割，即将矩形区域分割为无数个小矩形。

对于每个小矩形，我们计算函数在该小矩形上的平均值。

根据积分的定义，我们有：∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = Σ[f(x_i,y_i)Δx_iΔy_i]其中，(x_i,y_i) 表示每个小矩形的左上角点，Δx_i 和Δy_i 分别表示小矩形的宽度和高度。

由于 f(x,y) 有界，我们可以令 M=max{f(x,y)}，那么对于每个小矩形，我们有：|f(x_i,y_i)Δx_iΔy_i| ≤ MΔx_iΔy_i根据拉格朗日中值定理，存在一点 (ξ,η)，使得：f(x_i,y_i) = f(ξ,η) + f_x(ξ,η)(x_i-ξ) + f_y(ξ,η)(y_i-η)其中，f_x 和 f_y 分别是函数 f(x,y) 关于 x 和 y 的偏导数。

将上述等式代入积分式中，我们得到：∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = Σ[f(ξ,η)Δx_iΔy_i + f_x(ξ,η)(x_i-ξ)Δx_iΔy_i + f_y(ξ,η)(y_i-η)Δx_iΔy_i] 由于 f(ξ,η)、f_x(ξ,η) 和 f_y(ξ,η) 都是常数，因此我们可以将它们提出来，得到：∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = M∫(a,b)∫(c,d)Δx_iΔy_i= MΣ[∫(c,d)Δx_i∫(a,b)Δy_i]= MΣ[∫(c,d)f(ξ,η)Δx_iΔy_i]= M∫(c,d)∫(a,b)f(ξ,η)Δx_iΔy_i= M∫(c,d)f(ξ,η)[∫(a,b)Δx_iΔy_i]= M∫(c,d)f(ξ,η)(b-a)(d-c)= M(b-a)(d-c)f(ξ,η)由于 M、(b-a) 和 (d-c) 都是常数，因此我们可以将它们提出来，得到：∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = Cf(ξ,η)其中，C=(b-a)(d-c)M。

二重积分中值定理中值点的渐近性

二重积分中值定理中值点的渐近性二重积分中值定理是计算二重积分的重要方法之一。

它是描述在平面上一个闭合图形内的连续函数在该图形上的平均值与该函数在某点处的取值之间存在一种关系。

这个定理中的中值点在整个定理中扮演着重要的角色。

首先，我们回顾二重积分中值定理的具体表述：对于一元连续函数$f(x,y)$在一个有界闭合区域$D$ 上的连通子集$R$ 内，存在一点$(\xi,\eta)$，使得二重积分在$R$ 上的平均值等于$f(\xi,\eta)$，即：$$\frac{\iint\limits_Rf(x,y)d\sigma}{\iint\limits_Rd\sigma}=f(\xi,\eta)$$其中，$d\sigma$表示平面上的面积元素。

接着，我们来介绍中值点的渐近性。

在二重积分中值定理的表述中，“存在一点$(\xi,\eta)$”就是所谓的中值点。

我们可以通过数学的方法来证明，这个中值点的位置通常不是固定的，而会随着有界闭合区域和函数的不同而发生变化。

具体来说，我们可以使用反证法。

假设在一个闭合区域内的所有中值点都聚集在同一条直线上，那么我们可以构造两个不同的闭合区域$R_1$和$R_2$，使得它们都在该直线上，但它们的交集不为空。

对于这两个区域，它们的中值点一定会分别落在交集内的某个点上。

但是，如果我们计算这两个区域的二重积分的平均值，它们应该相等。

因此，这两个区域各自的中值点应该是相等的，这与我们的假设矛盾。

因此，我们可以得出结论：在闭合区域上，中值点的位置不可能一直保持在同一条直线上，它们会随着区域和函数的变化而变化。

总之，二重积分中值定理提供了一种重要的计算方法，它可以帮助我们快速计算二重积分的平均值。

中值点在该定理中扮演者重要的角色，而中值点的渐近性则表明，它的位置通常不是固定的，而会随着有界闭合区域和函数的不同而变化。

二元含参量正常积分函数的分析性质

二元含参量正常积分函数的分析性质正常积分是数学分析中一个重要的概念，它指的是在一个有界区域上沿着特定方向积分函数的过程。

它有普通正常积分、二元含参量正常积分、多元含参量正常积分等不同类型。

其具体的类型则取决于参数的数量。

本文将专注于二元含参量正常积分函数，尝试探讨其分析性质。

二、定义二元含参量正常积分函数的定义为：设R是一个简单、有界的二维平面区域，其中的两个参数分别是a和b。

正常积分函数f(x,y)在R区域上定义为：f(x,y)=a，b∫RΩ(x,y)dxdy其中Ω(x,y)是R上的可积函数。

三、基本性质（1）位置变换若 f(x,y)是二元含参量正常积分函数，那么将R区域上的点(x,y)换成 (x+h,y+k)，正常积分函数的值也会随着位置的变化而变化：f(x+h,y+k)=a，b∫RΩ(x+h,y+k)dxdy（2）函数极限若 f(x,y)是二元含参量正常积分函数，那么当 x y时变化并发散到无穷大时，正常积分函数的值仍可能保持渐近稳定：lim f(x,y)=a，b∫RΩ(x,y)dxdy（3）线性变换此外，若 f(x,y)是二元含参量正常积分函数，那么将R区域上的点(x,y)换成(ax+by,cx+dy)，正常积分函数的值也会发生变化，且线性关系如下：f(ax+by,cx+dy)=a，b∫RΩ(ax+by,cx+dy)dxdy四、性质分析（1）统计特性显然，二元含参量正常积分函数具有较强的统计特性，即它与其积分函数Ω(x,y)、积分区域R以及参数a、b之间建立了密切的关系，因此采取适当的统计处理方法可以得出满足特定预期的结果。

（2）可计算性同时，二元含参量正常积分函数也具有较强的可计算性，即它能够根据给定的区域R、积分函数Ω(x,y)以及参数a、b，通过求和的方式计算出结果。

五、结论通过以上分析可以得出，二元含参量正常积分函数具有较强的统计特性和可计算性，可以为实际应用中提供有效支持。

因此，未来可以继续开展更多研究来深入探讨正常积分函数的作用机制，从而为实际应用提供更多启发性的结果。

积分第一中值定理的推广研究

积分第一中值定理的推广研究积分第一中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间上的平均值与其在该区间上的某个点的函数值之间的关系。

这个定理在求积分和积分应用中具有重要的意义。

这个定理只适用于一元函数，对于多元函数则无法直接推广。

本文将探讨对积分第一中值定理的推广研究，特别是在多元函数情况下的推广。

一元函数情况下的积分第一中值定理可以表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且可微，则存在一个点c∈(a, b)，使得f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx即函数在[a, b]上的平均值等于其在(c, f(c))点的函数值。

这个定理在分析函数在某个区间上的平均值和函数值之间的关系时非常有用。

在多元函数情况下，这个定理无法直接推广。

我们需要探讨多元函数情况下的积分第一中值定理的推广。

我们可以考虑在D上的某个子区域E上的平均值，即\overline{f}_E = \frac{1}{A(E)} \iint_E f(x, y) dxdy我们希望证明存在一个点(c, d)∈E，使得f在该点的函数值等于其在E上的平均值。

这个问题可以转化为一个关于E上的某个面积为A(E)的子区域的存在性问题。

我们可以利用微积分中的一些技巧，比如使用拉格朗日乘子法，来证明这个存在性。

通过这种方式，我们可以得到针对二元函数的积分第一中值定理的推广结果。

对于三元及三元以上的多元函数，我们可以依照类似的思路进行推广。

我们可以定义多元函数在闭区域上的平均值，并希望证明存在一个点，使得函数在该点的函数值等于其在该闭区域上的平均值。

这个问题涉及到多元积分中的一些复杂技巧，比如使用紧致性定理来证明存在性。

对积分第一中值定理的推广研究是一个非常有意义的课题。

通过对多元函数情况下的平均值和函数值之间的关系进行研究，我们可以得到对积分第一中值定理的更一般化的结论，从而更好地理解多元函数的性质和行为。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (II)Key words (II)前言 (1)1预备知识 (1)1.1相关定理 (1)2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2)2.1 曲线积分中值定理的推广 (2)2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2)2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4)2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5)2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7)2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7)2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7)结论 (9)参考文献 (10)致谢 (11)摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理Study on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals offunctions of two variablesAbstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mean-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. We obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given.Key word s: mean-value theorem integral; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals二元函数的积分中值定理的探究前言积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.1预备知识1.1相关定理定理1[5]假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，且()f x 在区间[,]a b 上可积，则有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ ()a b <成立. 定理2[5](一元函数的介值性定理 ) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续.并且函数()f a 与()f b 函数不相等.如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>，则至少存在一点0x ，使得0()f x μ=成立，其中0(,)x a b ∈. 定理3[5](二元函数的介值性定理)设函数f 在区域2D R ⊂上连续，若12,P P 为D 中任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满足不等式12()()f P f P μ<<的实数μ，必存在点0p D ∈，使得0()f P μ=.定理4]3[（定积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰()a b ξ≤≤成立.定理5]3[（推广的第一积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ ()a b ξ≤≤成立. 定理6]3[（积分第二中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰定义1[6]设平面光滑曲线L :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈，两端点为((),())A x y αα和((),())B x y ββ.若()x t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标x 是无反向的. 若()y t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标y 是无反向的.2 多元函数积分中值定理的各种形式受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.2.1 曲线积分中值定理的推广首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈为参数方程的情形，而对于曲线C 为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到. 2.1.1（第一型曲线积分中值定理）定理7 如果函数(,)f x y 在光滑有界曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη.使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰成立，其中Cds ⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S =⎰.证明因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以22(,)((),())()()Cf x y ds f x t y t x t y t dt βα''=+⎰⎰记 22()((),()),()()()F t f x t y t G t x t y t ''==+由已知条件知()F t 在[,]αβ上连续，()G t 在[,]αβ上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，0[,]t αβ∃∈，00(,)((),())x t y t ξη=使2222(,)((),())()()(,)()()(,)Cf x y ds f x t y t x t y t dt f x t y t dt f S ββααξηξη''''=+=+=⎰⎰⎰成立.即(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰从而命题得证.在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探究证明,并进行推广.定理8]1[如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界曲线C (),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，(,)g x y 在C 上不变号，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰成立.证明由于22(,)(,)((),())((),())()()Cf x yg x y ds f x t y t g x t y t x t y t dt βα''=+⎰⎰，由条件知,(,)g x y 在C 上不变号，则22((),())()()g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上不变号，(,),(,)f x y g x y 又在C 上连续，由此可知22((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上也连续. 由定理7可知0[,]t αβ∃∈，使得00(,)((),())x t y t ξη=,有以下式子222200((),())((),())()()((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t dt f x t y t g x t y t x t y t dt ββαα''''+=+⎰⎰成立. 即(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰从而命题得证.定理9如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界闭曲线(,)C A B :(),()x x t y y t ==,[,]t αβ∈上连续可积，(,)g x y 在C 上不变号,其中min (,)m f x y =,max (,)M f x y =，其中(,)x y C ∈.则在曲线(,)C A B 上至少存在一点O ,把曲线(,)C A B 分为曲线1(,)C A O 和曲线2(,)C O B ,使得12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+⎰⎰⎰成立.证明由定理8知(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰，记(,)f k ξη=，则有m k M <<.记12(,)(,)(,)(,)(,)C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--⎰⎰⎰Q 是关于点(,)O x y 的函数. (1)当(,)0Cg x y ds =⎰时，显然成立.（2）当(,)0Cg x y ds >⎰,当1C C =时，则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=-⎰⎰⎰；由于0k m ->，，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=->⎰⎰⎰即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =-->⎰⎰⎰.当2C C =时，则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-⎰⎰⎰；由于0k M -<，(,)0Cg x y ds >⎰，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-<⎰⎰⎰,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--<⎰⎰⎰.（3）当(,)0Cg x y ds <⎰,类似可讨论.综上由零点存在定理，则至少有一点O C ∈，使得0Q =,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--=⎰⎰⎰即12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+⎰⎰⎰从而命题得证.以上给出了二元函数的第一型曲线积分中值定理的三种形式及证明，而我们仅仅讨论了曲线C 形如(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈的情形，对于直角坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，类似可讨论.2.1.2（第二型曲线积分中值定理）第二型曲线积分中值定理定理是否成立，接下来我们对其进行探讨. 如果成立，则有如下命题.函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±⎰(1)成立.但有如下例子，设(,)f x y y =,曲线C 为圆，方程为222x y y +=.如图1图1 由积分的对称性知0C I dx -==⎰,可得(,)0f I ξη±=，而0Cy d x π=-≠⎰,故不可能存在点(,)C ξη∈使（1）成立.于是第二型曲线积分中值定理在此不成立.由此可见第二型曲线积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲线积分中值定理. 定理10]1[设(,)P x y ，(,)Q x y 在定向光滑曲线L 上连续，曲线L 上任意一点(,)x y 处与L 方向一致的切线方向与x 轴余弦为cos α，且(,)Q x y 在曲线L 上不变号，则在L 至少存在一点(,)ξη，O X Y 1使得(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=⎰⎰证明因为(,)(,)(,)(,)cos LLP x y Q x y dx P x y Q x y ds α=⎰⎰且(,)P x y ，(,)Q x y 在L 上连续，(,)cos Q x y α在曲线L 上不变号，由于曲线L 光滑，从而cos α在线L 上连续，由定理8知，存在(,)L ξη∈,使得(,)(,)cos (,)(,)cos (,)(,)LLLP x y Q x y ds P Q x y ds P Q x y dx αξηαξη==⎰⎰⎰即(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=⎰⎰从而命题得证. 定理11[6]设曲线L 关于坐标x 是无反向的，(,)f x y ，(,)g x y 为定义在L 上的二元函数，满足(,)f x y ，(,)g x y 沿曲线L 从A 到B 关于坐标x 第二型可积，(,)f x y 在L 上是可介值的，(,)g x y 在L 上不变号.则至少存在一点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)(,)(,)LLf x yg x y dx f g x y dx ξη=⎰⎰成立.证明过程参考文献[6].推论1设曲线L 关于坐标x 是无反向的，(,)f x y 为定义在L 上的二元函数， (,)f x y 在L 上是可介值的.则至少存在一点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)LLf x y dx f dx ξη=⎰⎰成立.即(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±⎰I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影.类似的，可以推广到对坐标y 的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.2.2二重积分中值定理的探究及推广下面给出二重积分中值定理的三种形式.定理12假设函数(,)f x y 在有界是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=⎰⎰⎰⎰成立.证明由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，假设(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤.对不等式在区域D 上进行二重积分可得,(,)DDDmds f x y ds Mds ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即(,)DDDm ds f x y ds M ds ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中Dds ⎰⎰为闭区域D 的面积，我们不妨记Dds σ=⎰⎰.有 (,)Dm f x y ds M σσ≤≤⎰⎰由于0σ≠，将不等式除以σ可得1(,)Dm f x y ds M σ≤≤⎰⎰ 由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，由二元函数的介值性定理知，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得1(,)(,)Df x y ds f ξησ=⎰⎰ 成立.将上式两边同乘以σ即可得到(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=⎰⎰⎰⎰从而命题得证.定理13假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=⎰⎰⎰⎰成立.证明不妨设(,)0((,))g x y x y D ≥∈由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤,从而(,)(,)(,)(,)DDDm g x y dxdy f x y g x y dxdy M g x y dxdy ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰若 (,)0Dg x y dxdy =⎰⎰则(,)(,)0Df x yg x y dxdy =⎰⎰成立.即对任意(,)D ξη∈,等式成立；若(,)0Dg x y dxdy >⎰⎰(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdym M g x y dxdy≤≤⎰⎰⎰⎰由二元函数的介值性定理，存在(,)D ξη∈. 使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdyf g x y dxdyξη=⎰⎰⎰⎰即(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=⎰⎰⎰⎰从而命题得证.定理14假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的面积，存在两个区域满足12D D D ⋃=,12D D ⋂=∅，(,)f x y 在1D ，2D 上都可积，记min (,)m f x y =，max (,)M f x y =,其中(,x y D ∈）.则有12(,)(,)(,)(,)DD D f x y g x y ds m g x y d M g x y d σσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰成立.证明参照定理9的方法及思想即可以得到.2.3曲面积分中值定理的探究及推广下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式. 2.3.1（第一型曲面积分中值定理）定理15设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)(,,)(,,)SSf x y zg x y z dS f g x y z ds ξηδ=⎰⎰⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明因为22(,,)(,,)(,,(,))(,,(,))1x y SDf x y zg x y z dS f x y z x y g x y z x y z z d σ''=++⎰⎰⎰⎰因为(,,)f x y z ，(,,)g x y z 在曲面S 上连续,可得22(,,(,))(,,(,))1x y f x y z x y g x y z x y z z ''++在D 上也连续，由于(,,)g x y z 在S 上不变号，所以22(,,(,))1x y g x y z x y z z ''++在D 上不变号.由二重积分的中值定理(定理13)，可知存在(,)D ξη∈,使得(,)z δξη=，且2222(,,(,))(,,(,))1(,,(,))(,,(,))1x y x y DDf x y z x yg x y z x y z z d f z g x y z x y z z d σξηξησ''''++=++⎰⎰⎰⎰(,,(,)(,,)(,,)(,,)SSf zg x y z ds f g x y z ds ξηξηξηδ==⎰⎰⎰⎰从而命题得证.推论2 设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,在S 上连续，在S 上不变号，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dS f A ξηδ=⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.定理16设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，存在两个光滑曲面满足12S S S ⋃=,12S S ⋂=∅,(,,)f x y z 在1S ,2S 上都可积，记m i n (,,m f x y z =，max (,,)M f x y z =.其中(,,)x y z S ∈则有12(,,)(,,)(,,)(,,)SS S f x y z g x y z dS m g x y z ds M g x y z ds =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰成立.证明方法参照定理9.在这里我们证明了第一型曲面积分的积分中值定理的几种类型，并进行了推广探究，得到了相关的定理.2.3.2（第二型曲面积分中值定理）接下来我们对第二型曲面积分的积分中值定理是否成立?以及有几种类型进行探讨. 若成立，则有如下面命题.若有光滑曲面:(,),(,)yz S z x y x y D ∈，其中yz D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，A 是S 的投影yz D 的面积，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)S f x y z dydz f A ξηζ=±⎰（2）成立.但有如下例子，设S 是2221x y z ++=在0z ≥的部分，并取球面外侧为正，把曲面表示为参量方程sin cos x ϕθ=，sin sin y ϕθ=，cos z ϕ= ,02)2πϕθπ≤≤≤≤（0可得 2(,)sin cos (,)yy y z A zz ϕθϕθϕθϕθ∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂ 他们在yz 平面上的投影区域如图2，图2可知222200(,)sin cos sin cos 0(,)S D D y z A dydz d d d d d d ϕθϕθππϕθϕθϕθϕϕθθϕθ-∂=====∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,从而(,,)0f A ξηζ±=,取3(,,)f x y z x =，则有254542002(,,)sin cos sin cos 05S D f x y z dydz d d d d ϕθππϕθϕθϕϕθθπ===≠⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 故曲面S 上不存在一点(,,)ξηζ，使（2）成立. 于是第二型曲面积分中值定理在此不成立.由此可见第二型曲面积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲面积分中值定理.定理17[1]设(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲面S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，则在S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)(,,)(,,)S SF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξης=⎰⎰⎰⎰ 证明不妨设曲面S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈取上侧，曲面S 上点(,,(,))x y z x y 处外法向量的方向角为α，β，γ，则221cos 1x y z z γ=''++，(,,)(,,)(,,)(,,)cos S SF x y z Q x y z dxdy F x y z Q x y z dS λ=⎰⎰⎰⎰ 由于(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲面S 上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，曲面S 光滑，从而(,,)cos Q x y z γ在曲面S 上连续不变号，由定理15知，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)cos (,,)(,,)cos S SF x y z Q x y z dS F Q x y z dS γξηςγ=⎰⎰⎰⎰ 又由于 (,,)(,,)cos (,,)(,,)S S F Q x y z dS F Q x y z dxdy ξηςγξης=⎰⎰⎰⎰即(,,)(,,)(,,)(,,)S SF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξης=⎰⎰⎰⎰ 从而命题得证. 结论本论文主要介绍了二元函数的曲线、曲面以及重积分的各类积分中值定理.另外，曲线积分中值定理的坐标形式，三元及三元以上函数的积分中值定理在此论文中未进行探究，望大家继续研究这些问题，进一步完善积分中值定理.参考文献[1]杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理[J].赣南师范学院报，2006，6:1-2.[2]冯美强.关于积分中值定理的改进[J].北京机械工业学院学报，2007,22（4）:1-4.[3]皱成.二重积分中值定理的改进[J].石河子大学学报，2006,24（5）：1-4.[4]王旭光.二重积分中值定理的推广[J].徐州师范大学，2007,23（4）：1-6.[5]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].高等教育出版社，2001:197-288.[6]唐国吉.第二型曲线积分中值定理[J].广西民族大学，2008,23:1-6.致谢本论文是在我的导师李云霞教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我 .在论文即将完成之际，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!。