积分第一中值定理及其推广证明

2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:
如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在
闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得
()()()(),()
b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰
⎰成立。

证明如下：
由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同
乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有
()()()()
mg x f x g x Mg x ≤≤成立。

对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到
()()()()b b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰。

此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有
()()()b
b
a
a
f x
g x dx g x dx
μ=⎰
⎰成立。

由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使
()f ξμ=成立。

此时即可得到
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰，
命题得证。

2.2积分第一中值定理的推广
定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，
()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得
()()()(),(,)
b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰
⎰成立。

推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。

证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()x
a
F x f t g t dt =⎰，()()x
a
G x g t dt =⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连
续。

并且()0,()()()b a
F a F b f t g t dt ==⎰，()0,()()b
a
G a G b g t dt ==⎰，
()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= 。

由柯西中值定理即可得到
()()()
,(,)()()()
F b F a F a b
G b G a G ξξξ'-=∈'-，
化简，即
()()()()
()
()b
a
b
a
f t
g t dt
f g g g t dt
ξξξ=
⎰
⎰
，
根据上式我们很容易得出
()()()(),(,)b
b
a a
f t
g t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰
⎰，
命题得证。

证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥。

而
函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，
{}sup ()|[,]M f x x a b =∈。

假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即
()(),[,]F x f x x a b '=∈。

我们就可以得到下面等式
()()()()b
b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰（2.2.1）
此时由于()0g x ≥，则会有()0b
a
g x dx ≥⎰，由于存在两种可能性，那么下面我们
就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：
(1).如果()0b
a
g x dx =⎰，由等式（2.2.1）可得出()()0b
a
f x
g x dx =⎰，那么对
于(,)
a b ξ∀∈都有
()()0()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx
ξ==⎰
⎰恒成立。

(2).如果()0b
a
g x dx >⎰，将（2.2.1）除以()b
a g x dx ⎰可得
()()()b
a
b
a
f x
g x dx
m M g x dx
≤
≤⎰⎰
，（2.2.2）
我们记
()()()b
a
b
a
f x
g x dx
g x dx
μ=
⎰⎰
，（2.2.3）
此时我们又分两种情形继续进行讨论：
（Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有()()()b
a
b a
f x
g x dx
m M g x dx
<
<⎰⎰
成立
，则此时一定就存在m M μ<<，可以使得
12(),()m f x f x M μμ<≤<≤，
我们不妨假设12x x <，这其中12,[,]x x a b ∈。

因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则会
有
1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=。

此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有
12()()()(),(,)[,]
b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰
⎰成立，从而结论成立。

（Ⅱ）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M μ=，因为()0b
a g x dx >⎰，此时一定存在区间11[,](,)a
b a b ∈（其中11a b <），使得
11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化
()()()b
b
a
a
g x dx f x g x dx μ⋅=⎰⎰，
因为M μ=，则有
[()]()0b
a
M f x g x dx -=⎰
（2.2.4）
而且我们已知[()]()0M f x g x -≥，则
1
1
0[()]()[()]0x b
y a
M f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰。

于是
11
[()]()0x y M f x g x dx -=⎰
（2.2.5）
在式子（2.2.5）下必定存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使得()f M ξμ==。

如果不存在一个11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使得()f M ξμ==，则在闭区间11[,]x y 上必定有()0M f x ->及()0g x >成立，从而使得[()]()0M f x g x ->。

如果11
[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -:，这与[()]()0M f x g x ->矛盾。

如果
1
1
[()]()0b a M f x g x dx ->⎰
，这与（2.2.5）式矛盾。

所以存在[,]a b ξ∈，使
()()()(),(,)b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰
⎰，定理证毕。