根的存在性证明(零点定理)
方程的根与零点定理
解决不等式问题
利用零点定理，我们可以找到满足不等式条件的$x$ 的取值范围。
求解函数的极值
通过寻找函数零点，我们可以确定函数的极值点。
零点定理与方程根的关系
零点定理是求解方程根的一种重要工具，通过寻找函数零点，我们可以找到方程的近似解。
对未来学习的思考与展望
深入学习数学分析
我希望能够深入学习数学分析， 掌握更多的定理和证明方法，提
高自己的数学素养。
拓展应用领域
我希望能够将所学的数学知识应用 到更多的领域中，如物理学、工程 学等，为实际问题提供解决方案。
持续思考与创新
在学习过程中，我会不断思考和创 新，探索更多的数学奥秘和应用前 景。
个，因此需要全面考虑各种情况。
05 总结与思考
本章重点回顾
方程的根的概念
01
方程的根是指使方程成立的未知数的值。
零点定理的应用
02
零点定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果连续函数
在区间两端取值异号，则在该区间内至少存在一个零点。
方程的根与零点定理的关系
03
通过零点定理，我们可以找到方程的根所在的区间，从而逼近
03 零点定理
定义与性质
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) cdot f(b) < 0$，则称$f(x)$ 在区间$(a, b)$内至少有一个零点。
性质
零点定理表明，如果函数在区间的两 端取值异号，则函数在该区间内至少 存在一个零点。
零点定理的应用
确定方程的根
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专题9 方程根的存在性及个数--考研数学
2021考研高等数学17堂课主讲 武忠祥 教授专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
根的存在性证明(零点定理)
根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,[b b a b a a ++，如果0)2(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(222222<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②nn n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
考研数学-专题9 方程根的存在性及个数
专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根.方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究
利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究零点定理（Rolle's theorem）是数学中一个重要定理，它有助于我们证明函数在某一给定区间中是否存在实数根，从而在针对实现某个特定功能的方程组中取得更进一步的瓣解。
简言之，零点定理可以用来验证某一方程在某个区间内是否存在实数根。
零点定理的基本原理是：若满足条件的函数在闭区间[a,b]上连续，并且α,beta 分别为a,b 在函数f(x) 的值均为0 的点，则在[a, b] 将存在某个点c 使得f ' (c)= 0。
一般来讲，零点定理可以应用于有理函数，但有时也可以证明初等函数在给定区间上有实数根。
其重要性不言而喻，尤其是在几何学中，某些正弦波、余弦波和正切的性质的证明等都深受其影响。
而在统计学、抽样理论等方面也有着广泛的应用。
通过分析定理的定义和原理，可以发现，区间[a,b]的限定性是零点定理的关键要素，将定义和原理部分改写一下：若满足条件的函数在闭区间[a,b]上连续，并且已知f(a)和 f(b)分别为有限数量的常数，则在[a, b] 中将存在某个点c使得f ' (c)= 0，也即在[a, b] 中是存在一个根。
也可以说，若函数在某一给定的区间[a,b] 上连续，且在a,b的端点的值不等式，那么函数在该区间内存在至少一个实数根。
事实上，当使用零点定理时，应尽量选定集合[a,b]，使其能够局限性地描述函数，这样可以在较短的运算时间内有效地计算。
另外，当函数不能被完全归纳到有理函数中时，也可以使用零点定理来证明函数实根存在性问题。
至此，可以看出，零点定理在证明函数实根存在性问题方面具有显著的作用。
零点存在定理
零点存在定理零点存在定理是微积分学中一个重要的定理，用于证明在某些特定条件下，一个连续函数在定义域内至少存在一个根（即函数曲线与X轴相交的点）。
这个定理的证明经过了漫长的发展和完善，现在已经成为微积分学中基本的工具之一。
零点存在定理的最初形式是由17世纪法国数学家Rolles提出的，后来被推广到更一般的情况。
当然，像其它许多定理一样，不同的证明方法也相继出现。
今天，我们的证明方法按照经典传统来自Rolles的带状取值原理，这个原理，对于满足一定条件的连续函数，可以找到一个带状区域，其中的函数值就不会变号，故其中存在至少一个零点。
首先，假设f(x)在区间[a,b]上连续。
如果f(a)和f(b)符号相同，那么f(x)在[a,b]上没有根。
因此，我们只考虑f(a)和f(b)符号不同的情况。
现在假设f(a) < 0且f(b) > 0。
由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最大值与最小值定理，f(x)在该区间上必有一个最小值。
不妨设这个最小值为f(c)，其中a < c < b。
现在考虑分两种情况。
第一种情况，f(c) < 0。
因为f(x)在区间[a,c]上连续且有限，所以根据带状取值原理，f(x)在[a,c]上的每一个值都小于f(b)，也就是说，在[a,c]上不存在f(x) = 0的解。
但是，在[c,b]上，f(x)的取值范围为[c,b]中的一个闭区间。
由于f(c) < 0且f(b) > 0，所以这个闭区间中必须至少存在一个点，使得f(x) = 0，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。
第二种情况，f(c) > 0。
这种情况下，我们对f(x)作一个取反处理，得到一个新的连续函数g(x) = -f(x)。
由于g(a) > 0且g(b) < 0，且g(x)也在区间[a,b]上连续，那么根据上面的分析，存在一个零点，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。
根的存在性定理及简单应用
< （请用＜或＞填空） 有 有/无)零点； f (c) · f (d ) _____0 3 在区间 [c, d ] 上______( ○ ．
观察探究以上两个函数 f ( x) 在有零点的区间端点函数值的符号有何规律？你能从 中 得出什么样的结论？ ●归纳概括 综上所述可得，零点存在定理:
二、探究新知
例 1. 函数 f ( x) ln x A. (1，2)； 解： ●解后反思 ●变式练习
2 的零点所在的大致区间是( B ) x
C. 1 (1， )和(3，4)； e D. (e，＋∞)．
B. (2，3)；
该题中函数的结构怎样？求解的方法怎样？依据是什么？还有方法吗？ 方程 2
x
x 2 的解所在区间是（
例2几何画板-1.gsp
解后反思 求函数 y 里？还有方法？ ●变式练习
f ( x) 的零点的本质是什么？解 此方程 x3 7 x 6 0 的关键在哪
请问下列函数有零点吗？若有，指出零点所在的大致区间为？
(1) f ( x) x3 3x 5； (2) f ( x) e x1 4x 4.
（Ⅱ）观察下面函数 y
f ( x) 的图象
1 在区间 [a, b] 上______( ○ 有 有/无)零点；
f (a ) · f (b) _____0 ． < （请用＜或＞填空）
2 在区间 [b, c] 上______( ○ ． < （请用＜或＞填空） 有 有/无)零点； f (b) · f (c) _____0
一、学习准备
上节课我们学习了函数零点的概念及求一些简 单函数零点的方法，请会回顾后回答： 1.什么是函数的零点？它与方程的根有什么关 系？2.求函数零点有哪些思想方法？ 3.你能判断方程 ln(x 1) 2x 6 0 有根吗？若有根，根 唯一吗？这些根在什么区间上呢？（链接 1）这就 是本节课我们要研究的问题！
判别代数方程根的存在性的几种方法
判别代数方程根的存在性的几种方法摘要：代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。
有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。
在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。
本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。
总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读。
关键词：代数方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Algebraic EquationWang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer Science Abstract：Algebraic equations usually mean equations of integral expression, that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including equation of integral expression, fractional equation and irrational equation. During learning mathematics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions’zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theorem of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence1 引言中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。
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根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续
0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,
[b b a b a a ++，如果0)2
(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2
(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为
],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(2222
22<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①
[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②n
n n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞
→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，
],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
根据区间的性质③，0)()(<n n a f b f ，矛盾。
综上所述，只有0)(=ξf ，且],[b a ∈ξ。
定理获证。
注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而n n b a ,实际上是函数零点的近似值。