零点的存在性定理
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数零点存在定理
函数零点存在定理函数的零点存在定理在数学分析中起着重要的作用，它确保了函数在一定条件下存在零点。
具体来说，这个定理可以分为两部分：罗尔定理和零点存在定理。
首先，我们来看罗尔定理。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，它断言了若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数的两个端点值相等，那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在c 处为零。
简单来说，罗尔定理保证了连续函数在一些开区间上存在导数为零的点。
零点存在定理是建立在罗尔定理的基础上的。
它断言了若函数在一个闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数在该区间的两个端点值异号（即一个为负数，一个为正数），那么在该区间上至少存在一个根（即函数的零点）。
这是因为根据罗尔定理，可以找到一个导数为零的点c，而由于函数在该区间的两个端点值异号，所以在这个区间上函数必定穿过x轴，即存在根。
零点存在定理的证明可以用反证法来完成。
假设在闭区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)没有任何零点。
那么我们可以得出以下两个结论：首先，函数在该区间上的值要么全部大于0，要么全部小于0；第二，由于函数没有零点，所以在该区间上函数的值要么一直大于0，要么一直小于0。
由于函数连续，根据介值定理，这与函数的值要么全部大于0，要么全部小于0的结论相悖，所以我们的假设是错误的。
因此，零点存在定理得证。
零点存在定理的应用非常广泛。
它可以用于找到函数的零点，即方程的根。
这在实际问题中经常遇到，例如求解方程、寻找曲线与坐标轴的交点等。
除此之外，零点存在定理还可以帮助我们研究函数的性质。
例如，通过研究函数的导数为零的点，我们可以找到函数的极值点，进而研究函数的增减性和凸凹性。
同时，零点存在定理还为数值计算提供了理论基础。
在计算机科学中，求解方程是一个重要的问题，通过零点存在定理，我们可以设计出一些高效的数值计算算法，用来求解方程的根。
零点存在定理的应用不仅局限于实数范围，它也可以推广到复数范围。
高中数学必修一 零点存在性定理及典例
零点存在性定理如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围.解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则(0)0(3)00032f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点(0)011(3)03f a f >⎧⇒>⎨<⎩例1 已知集合A = {x ∈R |x 2– 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0}= 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则1212340,.2260.a Ux x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}. 例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x ∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0. 解得，a ＜–1.3°当B = {0}，即方程x 2+ 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时，即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
高考数学专题函数零点的个数问题
第 10 炼函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x称为函数y f x x D 的零点2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ，那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得f x0 。
（1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续）① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程1lnx x 0 ，无法直接求出根，构造函数f x lnx x ，由f 1 0, f 0 即可判定21其零点必在1,1 中22、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
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注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
零点存在定理的理解与辨析
零点存在定理的理解与辨析零点定理，也叫派索多·贾马尔定理，是指一个多项式函数等于零，零点定理可以帮助我们知道该多项式函数的零点是什么：1. 定义：零点定理指的是在一个函数多项式的图像中，当函数值为0时，多项式就一定有对应的零点，即若一个多项式P(x)，当且仅当P(x) = 0 时，存在x0使得P(x0) = 0。
2. 证明：假设P(x)有n阶，则可表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n由泰勒公式，多项式就可以展开为如下的函数：P(x) = f(x) = f0 + f1x + f2x^2 +f3x^3+ … + fnx^n又由于P(x) = 0，则f也要等于0。
所以零点定理也可以表达为：【假设一个n阶多项式P(x)的展开函数f(x)的n阶项系数不为0，则当f(x) = 0时，多项式P(x)也有相应的零点】3. 应用：零点定理经常用于求解多项式函数的零点，例如一元多项式函数P(x) = 3x^2 - 5x + 3，当P(x) = 0时，则0 = 3x^2 - 5x + 3，可得到两个实数解2/3，1。
以及一元二次方程式求解方法，二元一次方程章形式求解方法等均可使用零点定理，同理，n阶一元多项式函数也可以求出n个零点。
4. 特点：零点定理仅限于一元多项函数，不具有通用性，另外，零点定理只告诉我们多项式函数的零点是什么，但是无法给出零点的复杂度。
5. 限制：零点定理的限制在于其局限性，特别是当函数的最高项系数a_n=0时，零点定理就不能成立，另外，零点定理只可以给出实数的零点，而不能给出复数的零点。
总之，零点定理是一个有用的定理，虽然它有一定的局限性和限制，但可以帮助我们准确求出一元多项式函数的零点。
通过理解零点定理，学生可以更快速、正确的求解多项式函数的零点问题。
零点存在定理的前提条件 -回复
零点存在定理的前提条件-回复零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它断言了一个连续函数在某个区间上必然存在一个零点。
在讨论前提条件之前，我们首先来了解一下零点存在定理的具体表述。
零点存在定理（Bolzano 定理）：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)<0，则必存在一个c\in(a,b)使得f(c)=0。
这个定理非常直观，它告诉我们，只要一个函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号，那么在这个区间上一定存在至少一个点，使得函数的值等于零。
现在让我们来分析零点存在定理的前提条件，即函数连续和函数值异号。
首先，我们来了解一下连续函数的定义。
一个函数f(x)在某个区间上连续，意味着对于任意给定的x_0，当x足够接近x_0时，f(x)也会足够接近f(x_0)。
换句话说，函数在这个区间上没有断点、无间断。
接下来，我们考虑定理中的第二个前提条件：函数在区间的两个端点上的函数值异号。
这意味着函数在区间的两个端点上的函数值一个为正，一个为负。
这个条件比较容易满足，因为只要函数在区间的两个端点的函数值异号，我们就可以找到一条连接这两个端点的连续曲线，而且这个曲线肯定会与x轴相交，即存在函数的零点。
所以，零点存在定理的前提条件可以简单总结为，函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号。
接下来，我们需要思考为什么这些前提条件是成立的。
这涉及到实数的基本性质和函数连续性的相关知识。
首先，我们知道实数集上存在公理，例如阿基米德性公理、稠密性公理等。
这些公理保证了实数集的完备性，即实数集中没有空隙，任意两个实数之间都存在有理数。
这个完备性是实分析理论的重要基础之一。
其次，函数连续性的概念也是基于实数集的完备性。
连续函数的定义就是基于实数集中的点之间的距离来描述的。
因此，当我们讨论函数在某个区间上连续时，实际上是在讨论实数集中点与点之间的距离的性质。
零点定理官方定义
零点定理官方定义
一、背景介绍
零点定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了在特定条件下函数零点的存在性。
在数学分析的学习和研究中，零点定理有着重要的地位和广泛的应用。
为了更好地理解和掌握零点定理，我们需要对其官方定义进行深入研究和报告。
二、零点定理官方定义
零点定理的官方定义如下：
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a) 与 f(b) 异号，即f(a)*f(b) < 0 ，那么在开区间(a, b) 内至少存在一点(c)，使得 f(c) = 0 ，这个点(c)被称为函数f(x)在区间[a, b]内的零点。
三、零点定理的意义和应用
零点定理的直观含义是，如果一个连续函数在区间的两端取不同符号的值，那么在从一端变化到另一端的过程中至少有一点函数值为零。
这可以理解为函数图像从x轴的一侧穿过x轴到另一侧。
零点定理在求解方程、证明函数性质以及进行函数图像分析等方面有着广泛的应用。
例如，我们可以利用零点定理来证明方程的解的存在性，判断函数的零点个数以及分析函数的图像特征等。
四、总结
通过对零点定理的官方定义的研究和报告，我们可以更好地理解和掌握零点定理的基本内容和应用。
零点定理是数学分析中的一个重要定理，它为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。
在今后的学习和研究中，我们应该深入研究和应用零点定理，发挥其在数学分析中的重要作用。
高中数学讲义：函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
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； 学习目标：
1.了解函数零点定义及函数零点与方程的根的联系；
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法； 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。
学习重点： 重点：体会函数的零点与方程的根之间关系，
掌握零点存在的判定条件．
难点：探究发现函数零点的存在性.
y
14 12 10 8
. . . .
6.
4 2
..
.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
.－2 －4
－6
反思小结:
1．函数零点的定义 2．等价关系 3．函数的零点或相应方程的
根的存在性以及个数的判断
再 见
无实数根 无交点
预习展示3：
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的 图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
判别式△ = b2－4ac
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
△＞0
y
x1 0
x2 x
△=0
y
0 x1 x
△＜0
y
0
x
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
结 论
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
y
y
0a y 0a
bx bx
0a y
0a
bx bx
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
x
1
2
3
4
56
7
8
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。
由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数，所以 它仅有一个零点。
观察上面的函数的图象,并回答以下问题： ①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c) _____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d) _____ 0（＜或＞）．
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点。
探究三：函数在某一区间上零点的存在性结论
探究 1: （1）观察二次函数 f (x) x2 2x 3 的图象： ○1 在区间(-2,1)上有零点____； f (2) ______， f (1) _____, f (2) · f (1) _____0（＜或＞）． ○2 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞）． 探究2:
3.如何应用零点的存在性结论解题。（结合探究三(3)及有关练习）
2020/6/3
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探究二：求函数零点的方法、步骤
1.求函数f（x）=lg(x-1)的零点
巩固练习：求下列函数的零点
（1）f (x) x2 5x 6 2和3
（2） f (x) 2x 1
0
6组A
小结：求函数零点的方法、步骤：
(1)令f(x)=0;
y
函
.
2
.
.y
.
数 的
.1
.
－1 0 1 2 3 x
2
1. .
图
－1 －2
. －1 0 1 2 x
－3
象
. －4
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
； 预习展示1： 问题1 求下列方程的根．
13x 2 0 2x 2 5x 6 0
思考：
3 ln x 2x 6 0
预习展示2：
问题2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函 数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 函数 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习：求函数f（x）=x3-1的零点
零点的求法
代数法
图像法
合作探究： 探究内容：1.求函数零点的方法、步骤;
2：函数在某一区间上零点的存在性结论. 内容及目标：
1.求函数零点的方法、步骤是怎样的？（结合探究二及及有关练习）
2：探究函数在某一区间上零点的存在性结论.(结合探究三(1)(2))
有两个相等的
(a>0)的根
的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有实数根 没有交点
探究一：函数的零点概念
函数的零点定义：
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。 等价关系 方程f(x)=0有实数根
y
bbb bb
b
0 a b b bb bb x
拓展提升：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是
连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值 互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数，那么，这个 函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
例题 2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）