零点的存在性定理
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数零点存在定理
函数零点存在定理函数的零点存在定理在数学分析中起着重要的作用，它确保了函数在一定条件下存在零点。
具体来说，这个定理可以分为两部分：罗尔定理和零点存在定理。
首先，我们来看罗尔定理。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，它断言了若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数的两个端点值相等，那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在c 处为零。
简单来说，罗尔定理保证了连续函数在一些开区间上存在导数为零的点。
零点存在定理是建立在罗尔定理的基础上的。
它断言了若函数在一个闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数在该区间的两个端点值异号（即一个为负数，一个为正数），那么在该区间上至少存在一个根（即函数的零点）。
这是因为根据罗尔定理，可以找到一个导数为零的点c，而由于函数在该区间的两个端点值异号，所以在这个区间上函数必定穿过x轴，即存在根。
零点存在定理的证明可以用反证法来完成。
假设在闭区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)没有任何零点。
那么我们可以得出以下两个结论：首先，函数在该区间上的值要么全部大于0，要么全部小于0；第二，由于函数没有零点，所以在该区间上函数的值要么一直大于0，要么一直小于0。
由于函数连续，根据介值定理，这与函数的值要么全部大于0，要么全部小于0的结论相悖，所以我们的假设是错误的。
因此，零点存在定理得证。
零点存在定理的应用非常广泛。
它可以用于找到函数的零点，即方程的根。
这在实际问题中经常遇到，例如求解方程、寻找曲线与坐标轴的交点等。
除此之外，零点存在定理还可以帮助我们研究函数的性质。
例如，通过研究函数的导数为零的点，我们可以找到函数的极值点，进而研究函数的增减性和凸凹性。
同时，零点存在定理还为数值计算提供了理论基础。
在计算机科学中，求解方程是一个重要的问题，通过零点存在定理，我们可以设计出一些高效的数值计算算法，用来求解方程的根。
零点存在定理的应用不仅局限于实数范围，它也可以推广到复数范围。
零点存在定理
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法 代数法： 求出对应方程的f x =0的根 几何法： 画出函数的图象
练习： （1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零 所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、 函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的 零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有 几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函 数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？ 若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间
高中数学必修一 零点存在性定理及典例
零点存在性定理如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围.解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则(0)0(3)00032f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点(0)011(3)03f a f >⎧⇒>⎨<⎩例1 已知集合A = {x ∈R |x 2– 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0}= 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则1212340,.2260.a Ux x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}. 例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x ∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0. 解得，a ＜–1.3°当B = {0}，即方程x 2+ 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时，即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
高考数学专题函数零点的个数问题
第 10 炼函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x称为函数y f x x D 的零点2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ，那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得f x0 。
（1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续）① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程1lnx x 0 ，无法直接求出根，构造函数f x lnx x ，由f 1 0, f 0 即可判定21其零点必在1,1 中22、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
零点存在定理的理解与辨析
零点存在定理的理解与辨析零点定理，也叫派索多·贾马尔定理，是指一个多项式函数等于零，零点定理可以帮助我们知道该多项式函数的零点是什么：1. 定义：零点定理指的是在一个函数多项式的图像中，当函数值为0时，多项式就一定有对应的零点，即若一个多项式P(x)，当且仅当P(x) = 0 时，存在x0使得P(x0) = 0。
2. 证明：假设P(x)有n阶，则可表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n由泰勒公式，多项式就可以展开为如下的函数：P(x) = f(x) = f0 + f1x + f2x^2 +f3x^3+ … + fnx^n又由于P(x) = 0，则f也要等于0。
所以零点定理也可以表达为：【假设一个n阶多项式P(x)的展开函数f(x)的n阶项系数不为0，则当f(x) = 0时，多项式P(x)也有相应的零点】3. 应用：零点定理经常用于求解多项式函数的零点，例如一元多项式函数P(x) = 3x^2 - 5x + 3，当P(x) = 0时，则0 = 3x^2 - 5x + 3，可得到两个实数解2/3，1。
以及一元二次方程式求解方法，二元一次方程章形式求解方法等均可使用零点定理，同理，n阶一元多项式函数也可以求出n个零点。
4. 特点：零点定理仅限于一元多项函数，不具有通用性，另外，零点定理只告诉我们多项式函数的零点是什么，但是无法给出零点的复杂度。
5. 限制：零点定理的限制在于其局限性，特别是当函数的最高项系数a_n=0时，零点定理就不能成立，另外，零点定理只可以给出实数的零点，而不能给出复数的零点。
总之，零点定理是一个有用的定理，虽然它有一定的局限性和限制，但可以帮助我们准确求出一元多项式函数的零点。
通过理解零点定理，学生可以更快速、正确的求解多项式函数的零点问题。
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所以a的取值范围是 a?a
9
4
错因分析：对函数零点存在定理理解不够
错误认为定理反向也成立。
连续函数f x 在闭区间a, b上，若满足
f a gf b < 0, 则在区间 a, b内至少有一个
零点，反之不一定成立。
正解：对至少有一个零点分类讨论，当函数在
该区间只有一个零点时，可得f 0gf 4 < 0或
不一定，如f x =x3 x在区间-2, 2上有
f 2gf 2 < 0, 但f x在-2, 2上有三个
零点-1,0,1.
若函数y f x满足在区间a,b上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有f agf b > 0 是不是说函数y f x在a,b内没有零点？
y f x在a,b内也可能有零点，如f x x2 1
七 布置作业
红对勾课时作业23
在区间-2, 2上有f 2 f 2 > 0,但在-2，2内
有两个零点-1,1.
探究二 正确使用零点存在性定理
若函数f x x2 2ax 2在区间0, 4上
至少有一个零点，求a的取值范围
错解：因函数f x x2 2ax 2在区间
0, 4上至少有一个零点，所以f 0gf 4
< 0,即2 18-8a < 0, 解得a > 9
y f x在区间a,b内有_零_点__，即存在c a,b
,使得_f__c__0_,这个c就是方程f x 0的根
四、引导探究 探究一 深刻理解存在性定理
若函数y f x满足在区间a b上到图像是
连续不断的一条曲线，并且有f agf b < 0, 那么，函数y f x在a,b内的零点唯一吗？
一、课题导入 上节课学习了函数零点的概念及其判定 ， 那么针对一般函数的零点问题又如何判
零点的断存？在性定理习题课
二、学习目标
1 能够叙述零点的存在性定理
2 能够正确运用存在性定理判断函数零点问 题
三、预习续_不__断
的一条曲线，并且有_f__a_g_f _b__< _0，那么，函数
的个数。
六 当堂清学
一 基础题
1函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是
A.2, 1 B. 1, 0
C
C.0,1
D.1, 2
二 能力提升题
1函数f x x 1 的零点个数是
x A.0 B.1 C.2 D.3
2若函数f x =ax2 x 1仅有一个零点，求实数
a的取值范围
综上所述，a的取值范围是 a½a 2 .
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间 a, b上一条连续不断的
曲线。
2由f agf b < 0,就可判断函数y f x在区间 a, b 内至少有一个零点。
©利用上述结论只能判断函数y f x在 区间 a, b 上零点的存在性，但不能确定其零点
三 选做题
1若a < b < c,则函数f x x a x b x b x c x c x a的两个零点
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因为该函数的图像不是连续不断的， 不能使用零点存在性定理，所以选A
21 若a=0，则函数f x x 1为一次函数，
易知函数只有一个零点
D =4a2 8 0
即218-8a < 0或a2 2解得a > 9 或a 2
4
当函数在该区间内有两个不同零点时，
必须满足D > 0,0 < - -2a < 4, f 0 0,
2
f 4 0.即4a2 4 2 > 0, 0 < a < 4, 2 0
18 8a 0.解得 2 < a 9 . 4
2若a 0，则函数f x 为二次函数，则该方程
有两个相等的实数根，即D =1+4a 0, 得a 1 4
综上，当a 0或- 1 时，函数仅有一个零点。 4
选做题答案
1因为f a a ba c, f b b cb a f c c ac b,又a < b < c,所以f a > 0, f b < 0, f c > 0,即函数的两个零点分别在 a, b 和b, c 内。