根的存在性证明(零点定理)
函数零点存在性定理
个零点.
函数零点存在性定理
【变式训练】 △ ＝(m ＋1)2 －16 ＞0
f(0) ＝4≥0 f(3) ＝9－3(m＋1) ＋4≥0
判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点函数零点存在性定理二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的当它通过零点时变号零点变号零点函数值变号
知识点——
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【二次函数零点的判定】 二次函数y ＝ax2 ＋bx＋c 的零点个数，方
程ax2 ＋bx＋c＝0 的实根个数见下表。
判别式 △＞0零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根
无零点
函数零点存在性定理
【二次函数零点的性质】
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(变 号零点)，函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
函数零点存在性定理
【函数零点存在性的判定方法】
对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于 函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处 理？
如果函数y＝f（x）在区间[a，b] 上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b) ＜0 ，那 么，函数 y＝f（x）在区间(a，b) 内有零点.即存 在c ∈ (a，b)，使得f(c) ＝0 ，这个 c也就是方程 的根.
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断 的，上述性质同样成立.
函数零点存在性定理
【二次函数的零点的应用】
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函 数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的 符号，观察函数的一些性质.
方程的根与零点定理
解决不等式问题
利用零点定理，我们可以找到满足不等式条件的$x$ 的取值范围。
求解函数的极值
通过寻找函数零点，我们可以确定函数的极值点。
零点定理与方程根的关系
零点定理是求解方程根的一种重要工具，通过寻找函数零点，我们可以找到方程的近似解。
对未来学习的思考与展望
深入学习数学分析
我希望能够深入学习数学分析， 掌握更多的定理和证明方法，提
高自己的数学素养。
拓展应用领域
我希望能够将所学的数学知识应用 到更多的领域中，如物理学、工程 学等，为实际问题提供解决方案。
持续思考与创新
在学习过程中，我会不断思考和创 新，探索更多的数学奥秘和应用前 景。
个，因此需要全面考虑各种情况。
05 总结与思考
本章重点回顾
方程的根的概念
01
方程的根是指使方程成立的未知数的值。
零点定理的应用
02
零点定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果连续函数
在区间两端取值异号，则在该区间内至少存在一个零点。
方程的根与零点定理的关系
03
通过零点定理，我们可以找到方程的根所在的区间，从而逼近
03 零点定理
定义与性质
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) cdot f(b) < 0$，则称$f(x)$ 在区间$(a, b)$内至少有一个零点。
性质
零点定理表明，如果函数在区间的两 端取值异号，则函数在该区间内至少 存在一个零点。
零点定理的应用
确定方程的根
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第5讲 零点存在的判定与证明(原卷版)
第5讲零点存在的判定与证明零点问题是导函数的一个重要研究方向，也是一个重点和难点，属于一元等式问题，其求解需要综合前面的极值、单调性和最值来考虑.而极值点本身又是导函数的零点,所以这里会层层环绕,分析起来比较麻烦,这是零点问题的一个难点.第二个难点是结合函数单调性和零点存在定理来赋值找零点，这里会涉及不等式放缩法,如果不太理解赋值问题,等学习了不等式放缩法后，专门讲解赋值问题,那时再回过头来理解.下面我们先来学习与零点相关的定义和定理.1.函数的零点：一般的,对于函数y=，我们把方程/(χ)=O的实数根χ0叫作函数y=∕(χ)的零点.2.零点存在性定理:如果函数y=/(x)在区间［〃,可上的图像是连续不断的一条曲线，并有/(β)∕(⅛)<0,那么函数y=∕(χ)在区间(〃乃)内必有零点，即3x0∈(α,b),使得/(x o)=O.注意:零点存在性定理使用的前提是/(x)在区间可连续,如果/(#是分段的,那么零点不一定存在.3.零点存在定理的推论:若/(力在［a,b］上是严格单调函数且连续，则/(。
)/(，)<。
=>/(X)在(G的零点唯一.4.函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系.设函数为y="χ),则“X)的零点即为满足方程J(X)=O的根，若J(X)=g(χ)—MX),则方程可转变为g(χ)=M”,即方程的根在坐标系中为g(x)M(x)交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到.由此看来，函数的零点，方程的根,两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化：函数f(%)的零点O方程/(x)=0的根方程变形方程g(X)=⅛(x)的根O函数g3与h(x)的交点.在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化.【例】对于方程InX+x=0,无法直接求出根,可以拆分构造函数InX=-X图像的交点，画出图像可判定其零点必在中.求无参函数零点求解无参函数零点的一般解题步骤:第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点，画出函数大概的趋势图(能够描述函数性质的图像).第二步:在严格的单调区间［〃,可上找点,使得/(α)"b)<0n∕(x)在(GM上存在唯一零点.注意:若在区间可，，存在唯一极大值,且极大值小于零或者存在唯一极小值,且极小值大于零,则这个区间［〃,可上不存在零点.【例1】已知函数/(x)=X -------- 41nx.⑴求/(x)的单调区间.⑵判断了(X)的零点的个数,并说明理由.【例2】已知函数"力=；/—/—3%—2(X∈R).⑴求函数/(x)的单调区间.⑵判断函数/(“零点的个数,并说明理由.讨论含参函数零点个数一一分类讨论讨论含参函数y=/(Kx)在区间［〃,可上零点个数的一般解题步骤：第一步：利用导函数求出原函数的单调性和极值点，通常极值点/用参数表示：∙⅞=g(")∙第二步:讨论出函数在区间［〃,可上的单调性,通常分为极值点/=g(左)在区间可的左、中、右三种情况讨论.第三步：结合函数单调性和极值/(%)和零点存在定理的推论来确定零点个数,我们通常分为情况讨论：⑴函数在区间［〃,可上严格单调,若满足〃α)∕(b)<On在(〃/)上存在唯一零点.若不满足/(Q)/伍)<On/(x)在(G,Z?)上不存在零点.⑵若在区间［〃,b］上,存在唯一极大值/(x0),则分为下面三种情况：①极大值/(X。
专题9 方程根的存在性及个数--考研数学
2021考研高等数学17堂课主讲 武忠祥 教授专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
考研数学-专题9 方程根的存在性及个数
专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根.方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
根的存在定理
根的存在定理以根的存在定理为标题，我们来探讨一下这个重要的数学定理。
根的存在定理是数学中的一个重要定理，也被称为零点定理。
它是关于函数的根（即函数取零值的点）存在与否的一个判定条件。
根的存在定理在数学分析和代数学中有着广泛的应用，对于解方程、研究函数性质等都起到了重要的作用。
我们来看一下根的定义。
对于一个函数f(x)，如果存在一个数a，使得f(a) = 0，那么我们称a为函数f(x)的一个根。
根的存在定理则是判断函数是否存在根的一个重要工具。
根的存在定理有很多不同的形式和表述方式，下面我们介绍其中一种常见的形式——零点定理。
零点定理是根的存在定理的一种特殊情况，它主要是用来判断连续函数是否存在根的。
零点定理的表述如下：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号（即f(a) * f(b) < 0），那么在(a, b)之间一定存在一个根。
这个定理的证明比较复杂，我们在这里不做展开。
但是我们可以通过一个简单的例子来理解这个定理的应用。
假设我们要证明方程x^2 - 3x + 2 = 0在区间[1, 2]上存在一个根。
首先，我们可以计算出f(1) = 0和f(2) = 0，并且f(1)和f(2)异号。
根据零点定理，我们可以得出在(1, 2)之间一定存在一个根。
实际上，我们可以通过解方程x^2 - 3x + 2 = 0来验证这个结论。
解方程得到的解为x = 1和x = 2，而这两个解正好落在了区间[1, 2]之间。
根的存在定理不仅适用于多项式函数，还适用于更一般的函数形式。
只要函数在某个区间上连续，并且函数值在区间的两个端点上异号，那么在这个区间内一定存在一个根。
除了零点定理，根的存在定理还有其他的形式和推广。
比如，拉格朗日中值定理可以看作是根的存在定理的一种推广形式。
拉格朗日中值定理是说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)之间存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间两端点的斜率，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
零点存在定理
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法 代数法： 求出对应方程的f x =0的根 几何法： 画出函数的图象
练习： （1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零 所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、 函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的 零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有 几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函 数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？ 若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间
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根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续
0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,
[b b a b a a ++，如果0)2
(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2
(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为
],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(2222
22<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①
[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②n
n n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞
→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，
],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
根据区间的性质③，0)()(<n n a f b f ，矛盾。
综上所述，只有0)(=ξf ，且],[b a ∈ξ。
定理获证。
注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而n n b a ,实际上是函数零点的近似值。