第三章 一微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。

教学重点几个主要定理的条件及其证明 教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。

解决了几个特殊的方程。

但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。

教学要求熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解， 教学重点Picard 存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想.教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一． 存在唯一性定理1．定理1，考虑初值问题),(y x f dxdy= （3.1）00)(y x y =其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2）上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有R y x y x ∈),(),,(21常存成立，|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程⎰+=x x dy y x f y y 0),(0（3.5）的连续解。

2.构造（3.5）所得解函数序列{)(x n ϕ}任取一连续函数)(0x ϕ，b y x ≤-|)(|00ϕ代入（3.5）左端的y ，得⎰+=xx dx x x f y x 0))(,()(01ϕϕ)(x n ϕ)(x n ϕΛ2,1,))(,()(001=+=⎰+n dx x x f y x xx n n ϕϕ3.函数序列{)(x n ϕ}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ϕ。

这里为3⎰∞→∞→+xx n n n dx x x f y x 0))(,(lim )(lim 0ϕ=dx x x f y n xx n ))(,(lim 00ϕ⎰∞→+即))(,(lim )(00x x f y x n xx n n ϕϕ⎰∞→+=则需))(,())(,(x x f x x f n ϕϕ⇔由|)(||))(,())(,(|x x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-则需)()(0x x b ϕϕ⇔由于)())()(()(110x x x x n nk k k ϕϕϕϕ=-+∑=-从而{)(x k ϕ}在],[00h x h x +-上的一收敛性等价于函数项级数∑∞=--+110))()(()(n n n x x x ϕϕϕ在],[00h x h x +-一收敛性。

4．)(x ϕ为（3.5）的连续解且唯一。

首先在区间],[00h x x +是讨论，在00,[x h x -上类似。

命题3.1 初值问题（3.1）等价于积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 （3，5）Proof:若)(x y ϕ=为（3.1）的解，则：⎪⎩⎪⎨⎧==00)())(,()(y x x x f dx x d ϕϕϕ 对第一式从0x 到x 取定积分可得⎰≡-xx dx x x f x x 0))(,()()(0ϕϕϕ即dx x x f y x xx ⎰+=0))(,()(0ϕϕ反之，若)(x y ϕ=为（3.5）的连续解。

，则有dx x x f y x xx ⎰+=0))(,()(0ϕϕ由于对f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ϕ连续故对上两式两边求导得))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 且000))(,()(0y dx x x f y x xx =+=⎰ϕϕ即y x =)(ϕ为（3.1）的连续解。

下面取00)(y x =ϕ，构造picard 逐步逼近函数如下：Λ2,1,,))(,()()(0010000=+≤≤+==⎰-n h x x x d f y x y x xx n n ξξϕξϕϕ （3.7）命题2，对于所有)(,,00x h x x x n ϕη+∈和；连续且满足 b y x n ≤-)(|0ϕ Proof(用数学归纳法证明)N=1时，⎰+=xx d y f y x 0,),()(001ξξϕ虽然在)](,[0x h x n ϕ+上连续且b Mh x x M d y f d y f y x zz z z ≤≤-≤≤=-⎰⎰)(),(|),(||)(|000010ξξξξϕ设命题2为k n =时成立即)(x k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续，且b y x h ≤-|)(|0ϕ 当1+=k n 时⎰+=+xx k d y f y x 0,),()(001ξξϕ由),(y x f 在R 上连续可知，))(,(x x f k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续从而)(1x k +ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续且b Mh x x M d y f d x f y x zz z z k k ≤≤-≤≤=-⎰⎰+)(),(|))(,(||)(|00010ξξξϕξϕ而命题2，在1==k n 时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有n 成立命题3。

函数序列)(x k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上一致收敛Proof:考虑函数级数：],[),())()(()(00110h x x x x x x x n n k k +∈=-+∑∞=-ϕϕϕϕ （3.9）它前几项和为)())()(()()(110x x x x x s n mk k k n ϕϕϕϕ=-+=∑=-于是{)(x n ϕ}一致收敛性等于（级数3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9）的通项进行诂计2012010112001)(2|)()(||)()(|))(,())(,(|)()(|)())(,(|)()(|0000x x MLd x x L d x x L d f f x x x d f x x xx x x xx n xx -=-≤-≤-≤-=≤-⎰⎰⎰⎰ξϕϕξϕϕξξϕξξϕξϕϕϕξξϕξϕϕ其中第二个方程不等式是由Lipsthits 条件得到的，高对正整数n 有不等式n n n n x x MML x x )(|)()(|011-≤---ϕϕ则当h x x x +≤≤00时，由Lipsthits 条件有10010111)()!1()(!|)()(|)(,())(,(|)()(|0+-++-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n n nxx n xx n xx n n n x x n ML d x n ML d x x LL d f f x x ξξξϕϕξξϕξξϕξϕϕ于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有1011)()!1(|)()(|+---+≤-n n n n x x n ML x x ϕϕ h x x x +≤≤00 （3.11）从而当h x x x +≤≤00时nn n n h n ML x x )!1(|)()(|11+≤---ϕϕ由于正级数∑∞=-+11)!1(n nn h n ML 收敛，由weierstrass 判别法知，级数（3.9）在],,[00h x x +一致收敛，因而{)(x n ϕ}在],,[00h x x +上一致收敛。

现设)()(lim x x n n ϕϕ=∞→，h x x x +≤≤00则由)(x n ϕ连续性和一致收敛性得)(x ϕ在],,[00h x x +上连续且b y x ≤-|)(|0ϕ命题4.)(x n ϕ是积分方程(3.5)的定义于],,[00h x x +上的连续解. Proof:由Lipschits 条件|)()(||))(,()(,(|x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及{)(x n ϕ}在],,[00h x x +上的一致收敛,解出函数列{)(x f n },))(,()((x x f x f n n ϕ=在],,[00h x x +上的一致收敛于函数)(,(x x f n ϕ.因而对(3.7)两边取极限.得到⎰⎰-∞→-∞→∞→+=+=xx n n xx n n n n d f y d f y x 00))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξξϕξξξϕξϕ即⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这表明.)(x ϕ是积分方程(3.5)在],,[00h x x +的连续解.命题目四得证.命题 5. 设, )(x ϕ是积分方程(3.5)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解.则)()(x x ϕϕ≡,],[0h x x +∈Prof: 令|)()(|)(x x x g ϕϕ-=则)(x g 是定义在],,[00h x x +的的非负连续函数.由)(x ϕ和)(x ϕ所满足的积分方程式和).(0y x f 的Lipschits 条件得ξξξξϕξϕξξϕξξϕξd g L d L d f f x g xx x x xx ⎰⎰⎰=-≤-≤0)(|)()(||))(,())(,(|)(令ξξd g L x u x x ⎰=0)()(则)(x u 是定义在],,[00h x x +上的连续中微函且)()('),()(,0)(x Lg x u x u x g o x u =≤≤=于是0)')()()('(),()('≤=-≤-Lx e x u x u x u x Lu x u 对最后一个不等式从0x 到x 积分得0)()(00=≤--Lx Lx e x u e x u故0)()(≤≤x u x g ,即,0)(≡x g ],,[00h x x x +∈综合命题1-5得到存在任一性定理的证明, 2存在任一性定理的证明(1)定理中的Lipschits 条件比较困难,我们经常用R 上连续偏导数这一较但容易验证的条件来代替,如果),(),,(y x f y x f y 在R 上连续,则),(y x f y 在R 上有界,令|L y x f y ≤),(|在R 上成立,则由微分中值定理可以得出 |||||)(),(||),(),(|212121221y y L y y y y y x f y x f y x f y -≤--+=-θ 但反过来,满足Lipschits 条件的函数f （x,y ）不一定有偏导数存在,例如函数||),(y y x f =在任何区域满足Lipschits 条件,但它在y=0处偏导数不存在. (2)定理中},min{Mbx h =的几何意义，在矩形R 中有,|),(|M y x f ≤故初值问题（3.1）的解曲线的斜率λ定于-M 与M 之间，过点),(00y x 分别作斜率为—M 到M 的直线，当abM ≤时如图（a ）所示，解)(x y ϕ=在a x x a x +≤≤-00中有定义，而当abM φ时劝图（b ）所示。