解的存在唯一性
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是数学领域中的重要研究对象，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
在求解偏微分方程时，我们需要考虑定解条件，以确保解的存在和唯一性。
本文将探讨偏微分方程的定解条件，并讨论解的存在唯一性。
一、偏微分方程的定解条件在求解偏微分方程之前，我们需要明确的是问题的定解条件。
定解条件是指在区域Ω上关于未知函数u及其偏导数的附加条件。
常见的定解条件包括初始条件和边界条件。
1. 初始条件（Initial Condition）初始条件是在区域Ω的某个子集Ω₀上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t₀) = g(x, t₀)，其中g(x, t₀)为已知函数，t₀为给定的初始时间。
2. 边界条件（Boundary Condition）边界条件是在区域Ω的边界上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t) = f(x, t)，其中f(x, t)为已知函数。
在一些情况下，还需要考虑特殊的边界条件，如周期性边界（Periodic Boundary Conditions）和运动边界（Moving Boundary Conditions）等。
二、解的存在唯一性偏微分方程的解的存在唯一性是指在给定的定解条件下，方程是否有解以及解是否唯一。
1. 解的存在性对于某些偏微分方程，我们可以通过适当的数学工具（如变分法、分离变量法、线性化等）证明其存在解。
然而，并非所有的偏微分方程都具备解的存在性，存在着某些无解的情况。
因此，对于求解偏微分方程问题，我们需要首先考虑其解的存在性。
2. 解的唯一性在一些情况下，即使偏微分方程存在解，其解也不一定是唯一的。
对于线性偏微分方程，我们可以通过使用变分法或利用极大模原理来证明解的唯一性。
而非线性偏微分方程的唯一性则比较复杂，通常需要借助于更加深入的分析和数学工具。
微分方程的定解问题与解的存在唯一性
微分方程的定解问题与解的存在唯一性微分方程是数学中一个重要的分支，它研究的是描述变化的规律。
在微分方程中，我们常常遇到的一个问题是定解问题，即给定一个微分方程和一些初始条件，我们需要找到满足这些条件的解，并且确定这个解的存在性和唯一性。
本文将围绕这个问题展开讨论。
一、微分方程的基本概念在开始讨论定解问题之前，我们先来回顾一下微分方程的基本概念。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常表示为$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 的一阶、二阶、$\ldots$、$n$ 阶导数。
微分方程的解是满足方程的函数。
二、定解问题的形式化描述定解问题是指给定一个微分方程和一些边界条件或者初始条件，要求找到满足这些条件的解。
一般来说，定解问题可以分为两类：初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指给定微分方程在某一点的函数值和导数值，要求找到满足这些条件的解。
数学上，初值问题可以表示为：$$\begin{cases} F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_0' \\ \ldots \\ y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)} \end{cases}$$其中，$x_0$ 是给定的初始点，$y_0, y_0', \ldots, y_0^{(n-1)}$ 是给定的初始条件。
初值问题的解是满足方程和初始条件的函数。
2. 边值问题边值问题是指给定微分方程在一段区间的函数值，要求找到满足这些条件的解。
数学上，边值问题可以表示为：$$\begin{cases} F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 \\ y(a) = y_a \\ y(b) = y_b\end{cases}$$其中，$a$ 和 $b$ 是给定的区间端点，$y_a$ 和 $y_b$ 是给定的边界条件。
解的存在唯一性定理证明
存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法 微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证 因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。
线性微分方程解的性质
线性微分方程解的性质第一部分：解的存在唯一性$$\frac{{d^n y}}{{dx^n}}+p_{n-1}(x)\frac{{d^{n-1} y}}{{dx^{n-1}}}+...+p_1(x)\frac{{dy}}{{dx}}+p_0(x)y=q(x)$$其中，$p_0(x),p_1(x),...,p_{n-1}(x),q(x)$是给定的函数。
我们将讨论常系数线性微分方程的性质，即$p_0(x),p_1(x),...,p_{n-1}(x),q(x)$都是常数。
对于这种方程，我们可以使用特殊的方法来求解。
1.齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指 $q(x)=0$ 的线性微分方程。
我们可以证明，如果 $y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)$ 是齐次线性微分方程的解，那么它们的任意线性组合 $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)$ 也是方程的解，其中 $c_1, c_2, ..., c_n$ 是任意常数。
这个性质称为齐次线性微分方程的叠加原理。
它说明了如果已知一些解，我们就可以通过它们的线性组合构造出更多的解。
2.非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程是指 $q(x)\neq0$ 的线性微分方程。
我们可以证明，如果 $y_p(x)$ 是非齐次线性微分方程的一个特解，而$y_h(x)$ 是对应的齐次方程的解，那么 $y_p(x)+y_h(x)$ 就是原方程的解。
这个性质称为非齐次线性微分方程的叠加原理。
它说明了我们可以通过将一个特解与齐次解相加来得到原方程的解。
第二部分：相关定理在求解线性微分方程的过程中，我们还会遇到一些相关定理，其中两个比较重要的定理是：1.变量可分离定理对于形如 $y'=f(x)g(y)$ 的方程，如果 $g(y)\neq0$，则可以将方程变形为 $\frac{{dy}}{{g(y)}}=f(x)dx$，两边同积分得到方程的解。
一元二次方程解的存在性与唯一性
一元二次方程解的存在性与唯一性一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，它的解的存在性与唯一性是我们在求解方程时需要关注的重要问题。
本文将从解的存在性和唯一性两个方面进行讨论，并通过数学推导和实例分析来说明。
一、解的存在性对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（其中a≠0），解的存在性可以通过判别式D=b^2-4ac来判断。
1.若D>0，则方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的图像与x轴交于两个不同的点，方程有两个实数解。
例如方程x^2-4x+3=0，它的判别式为D=16-4*1*3=4，大于0，因此方程有两个解x=1和x=3。
2.若D=0，则方程有两个相等的实数根。
此时，方程的图像与x轴相切于一个点，方程有一个实数解。
例如方程x^2-4x+4=0，它的判别式为D=16-4*1*4=0，等于0，因此方程有一个解x=2。
3.若D<0，则方程没有实数根。
此时，方程的图像与x轴没有交点，方程没有解。
例如方程x^2-4x+5=0，它的判别式为D=16-4*1*5=-4，小于0，因此方程没有实数解。
二、解的唯一性对于已经确定存在的实数解，解的唯一性可以通过求解公式来判断。
一元二次方程的求解公式为x = (-b ± √D) / (2a)。
例如对于方程x^2-4x+3=0，它的判别式D=4，大于0，存在两个不相等的实数根。
代入求解公式可得：x = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2。
计算得到x=1和x=3，与之前求解结果一致。
因此，对于存在的实数解，一元二次方程的解是唯一的。
总结：一元二次方程解的存在性与唯一性是我们求解方程时需要注意的问题。
通过判别式和求解公式，我们可以判断方程是否有解、有多少解以及解的唯一性。
这对于解决实际问题、理解方程的图像以及数学推导都具有重要意义。
通过本文的讨论，我们希望读者能够更好地理解一元二次方程解的存在性与唯一性，并能在解题时灵活运用相关知识。
解的存在唯一性定理证明
存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法 微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证 因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。
微分方程的解与解的存在唯一性
微分方程的解与解的存在唯一性微分方程是数学中重要的研究对象，解微分方程是数学分析的核心内容之一。
微分方程的解与解的存在唯一性是微分方程理论中的一个重要问题，本文将对这个问题进行讨论和说明。
一、微分方程的定义和基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：$F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0$，其中 $y^{(n)}$ 表示 $y$ 的 $n$ 阶导数。
解微分方程就是要找到满足该方程的未知函数 $y(x)$。
二、解的存在性对于给定的微分方程，我们首先需要确定解的存在性。
常见的方法有积分因子法、试探解法、变量分离法、线性微分方程的常数变易法等。
1. 积分因子法若微分方程的形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，则可以通过确定一个积分因子 $\mu(x)$，使得方程两边同时乘以 $\mu(x)$，得到$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$，从而可以将其化为恰当微分方程。
2. 试探解法对于一些特定的微分方程，可以根据问题的特点猜测一个解的形式，再代入微分方程进行验证。
不断尝试合适的解形式，最终得到满足方程的解。
3. 变量分离法对于可分离变量的微分方程，可以将方程两边关于变量进行分离，然后分别积分得到解。
4. 线性微分方程的常数变易法对于形如 $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_n(x)y = f(x)$ 的线性微分方程，可以通过常数变易法将其化为 $y^{(n)} + b_1(x)y^{(n-1)} +\dots + b_n(x)y = 0$ 的齐次线性微分方程，从而得到通解。
再结合特解可以得到原方程的通解。
通过以上方法，可以求得微分方程的解。
三、解的唯一性解的唯一性是指对于特定的初始条件，微分方程的解是否唯一确定。
矩阵与方程组的解的判断
矩阵与方程组的解的判断矩阵与方程组的解是线性代数中的重要概念，在实际问题的求解中具有广泛的应用。
解决线性方程组的问题可以转化为对应的矩阵进行运算与判断的过程。
本文将从解的存在性和唯一性的角度，介绍矩阵与方程组解的判断方法。
一、解的存在性判断在线性方程组Ax=b中，A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知数向量。
解的存在性判断主要有以下几种方法：1. 行阶梯形式对于增广矩阵[A|b]，化为行阶梯形式，即将矩阵化为上三角矩阵的形式。
若出现以下情况，则方程组无解：- 出现形如[0 0 ... 0 | c] (c≠0)的行，表示存在矛盾方程；- 出现形如[0 0 ... 0 0 | b] (b≠0)的行，表示存在自由变量，方程组有无穷多解；- 出现形如[0 0 ... 0 0 | 0]的行，且该行中的任意一变量为自由变量，则方程组有无穷多解。
2. 行列式判断方程组无解的一个必要条件是系数矩阵A的行列式det(A)=0。
因此，通过计算A的行列式可以间接判断解的存在性。
3. 排满秩条件设方程组的系数矩阵A为m×n阶，若A的秩rank(A)=n，则方程组有唯一解。
若rank(A)<n，则方程组有无穷多解。
若rank(A)<m，则方程组无解。
二、解的唯一性判断若线性方程组的解存在，则可以通过以下方法判断解的唯一性：1. 唯一解的判断若方程组只有一个解，则该解是唯一解。
可以通过矩阵的行阶梯形式来判断唯一解的存在性。
当所有的主元列（主元所在的列）都存在且为非零元素时，方程组有唯一解。
2. 无穷解的判断当线性方程组有无穷多解时，解的个数由方程组的自由变量的个数决定。
若方程组存在自由变量，则方程组有无穷多解。
三、解的计算若方程组存在解，可以通过高斯消元法、克拉默法则等方法进行计算。
1. 高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的经典方法之一。
通过初等行变换（行交换、行倍乘、行加减）将矩阵化为简化行阶梯形式，进而求解出方程组的解。
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解的存在唯一性定理证明及其研究专业名称：数学与数学应用组长：赵亚平组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲指导老师：岳宗敏解的存在唯一性定理证明及其研究摘要线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。
对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。
关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组（一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法存在唯一性定理 考虑初值问题),(y x f dxdy= 00)(y x y = （1）其中f(x,y)在矩形区域R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2）上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普希茨常数），使不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程⎰+=xx dy y x f y y 0),(0 （3）的连续解。
2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ϕ}，任取一连续函数)(0x ϕ，b y x ≤-|)(|00ϕ代入（3）右端的y ，得……2,1,))(,()(001=+=⎰+n dx x x f y x xx n n ϕϕ3.函数序列{)(x n ϕ}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ϕ。
这里为)(x n ϕ=dx x x f y n xxn ))(,(lim 1-00ϕ⎰∞→+dxx x f y x x f y xxxx n ⎰⎰+=+=∞→0))(,())(,(lim 01-n 0ϕϕ4．)(x ϕ为（3）的连续解且唯一。
首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。
上类似。
证明过程：命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 （3）证明：若)(x y ϕ=为（1）的解，则：⎪⎩⎪⎨⎧==00)())(,()(y x x x f dxx d ϕϕϕ 对第一式从0x 到x 取定积分可得⎰≡-xx dx x x f x x 0))(,()()(0ϕϕϕ即dx x x f y x xx ⎰+=0))(,()(0ϕϕ反之，若)(x y ϕ=为（3）的连续解。
，则有dx x x f y x xx ⎰+=0))(,()(0ϕϕ由于f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ϕ连续。
故对上两式两边求导得))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 且000))(,()(0y dx x x f y x xx =+=⎰ϕϕ即y x =)(ϕ为（1）的连续解。
下面取00)(y x =ϕ，构造picard 逐步逼近函数如下：）2,1（,))(,()()(0010000=+≤≤+==⎰-n h x x x d f y x y x xxn n ξξϕξϕϕ （4）命题2：对于所有)(,）,（和00x h x x x n n ϕ+∈连续且满足 b y x n ≤0-）(ϕ证明：(用数学归纳法证明)当n=1时，⎰+=xx d y f y x 0,),()(001ξξϕ虽然在)](,[0x h x n ϕ+上连续且b Mh x x M d y f d y f y x xxx≤≤-≤≤=-⎰⎰)(),(|),(||)(|00x0010ξξξξϕ设命题2当k n =时成立。
即)(x k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续，且b y x h ≤-|)(|0ϕ当1+=k n 时，⎰+=+xxk d f y x 0,)）（,()(k 01ξξϕξϕ由),(y x f 在R 上连续可知，))(,(x x f k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续从而)(1x k +ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续且b Mh x x M d y f d x f y x zz z z k k ≤≤-≤≤=-⎰⎰+)(),(|))(,(||)(|00010ξξξϕξϕ故命题2在1==k n 时成立，故由数学归纳法得知，命题2对所有n 成立。
命题3：函数序列)(x k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上一致收敛。
证明：考虑函数级数：],[),())()(()(00110h x x x x x x x n n k k +∈=-+∑∞=-ϕϕϕϕ （5）它的部分和为)())()(()()(110x x x x x s n mk k k n ϕϕϕϕ=-+=∑=-于是{)(x n ϕ}一致收敛性等于级数（5）的一致收敛性等价，我们对级数（5）的通项进行诂计200010112x 001)(!2)(）（由利普希茨条件得到|)()(|)）（，（))(,(|)()(|)()(,(|)()(|000x x MLd x M L d L d f f x x x d f x x xx x x xxn x-=-≤-≤-≤-=≤-⎰⎰⎰⎰ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕϕξξϕξϕϕ设对正整数n 有不等式n n n n x x MML x x )(|)()(|011-≤---ϕϕ则当h x x x +≤≤00时，由Lipschits 条件有100111)()!1()(!|)()(|))(，()）(,(|)()(|0+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnxxnx x n n xxn n n n x x n ML d x n ML d L d f f x x ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ h x x x +≤≤00 （6）从而当h x x x +≤≤00时nn n n h n ML x x !|)()(|11--≤-ϕϕ由于正级数∑∞=-11!n nn h n ML 收敛，由魏尔斯特拉斯（weierstrass ）判别法知，级数（5）在],,[00h x x +一致收敛，因而{)(x n ϕ}在],,[00h x x +上一致收敛。
现设)()(lim x x n n ϕϕ=∞→，h x x x +≤≤00，则由)(x n ϕ连续性和一致收敛性得)(x ϕ在],,[00h x x +上连续且b y x ≤-|)(|0ϕ。
命题4.)(x n ϕ是积分方程(3)的定义于],,[00h x x +上的连续解. 证明：由Lipschits 条件|)()(||))(,()(,(|x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及{)(x n ϕ}在],,[00h x x +上的一致收敛,解出函数列{)(x f n },))(,()((x x f x f n n ϕ=在],,[00h x x +上的一致收敛于函数）)(,(x x f n ϕ.因而对(4)两边取极限.得到⎰⎰-∞→-∞→∞→+=+=xx n n xx n n n n d f y d f y x 00))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξξϕξξξϕξϕ即⎰+=xxd f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这表明)(x ϕ是积分方程(3)在],[00h x x +的连续解.命题5: 设错误！未找到引用源。
是积分方程(3)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解.则)()(x x ψϕ=,]x ,[00h x x +∈证明：令|)()(|)(x x x g ψϕ-=则)(x g 是定义在],,[00h x x +的的非负连续函数.由)(x ϕ和)(x ϕ所满足的积分方程式和).(0y x f 的Lipschits 条件得ξξξξψξϕξξψξξϕξd g L d L d f f x g xx x x xx ⎰⎰⎰=-≤-≤)(|)()(||))(,())(,(|)(令ξξd g L x u xx ⎰=0)()(则)(x u 是定义在],[00h x x +上的连续函数且)()('),()(0,0)(x Lg x u x u x g x u =≤≤=于是0)')()()('(),()('≤=-≤-Lx e x u x u x u x Lu x u 对最后一个不等式从0x 到x 积分得0)()(00=≤--Lx Lx e x u e x u故0)()(≤≤x u x g ,即,0)(=x g ],[00h x x x +∈综合命题1-5即得存在唯一性定理的证明。
（二）n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性定理证明n 阶线性微分方程，是一类具有特殊结构的微分方程，它是微分方程的重要组成部分。
在自然科学与工程技术中有着广泛的应用。
例如，弹簧震动中它的下端着物体运动方程：);(22x f cx dt dxdt dt x d m =++μ以及电荷量q 的微分方程：E cqdt dq R dt q d L =++22等都是二阶线性微分方程。
一般n 阶线性微分方程可写成如下形式：)()(...)(111x F y x a dxyd dx x a dx y d n n n n n =+++-- （1） 方程的初值条件记为：1011000)(,...,)(,)(--===n n c x y c x y c x y （2）我们有如下结论：定理：（n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性） 设)(x a i （i=1,2,...n)和)x F （均在区间I 上连续，则对任一∈0x I 和任意n 个常数,,...,110-n c c c 方程（1）恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件（2）的解。
同理用逐步逼近法证明n 阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性。
(1)、把n 阶线性微分方程初值问题（1）、（2）化成与它等价的一阶线性微分方程，再引进向量和矩阵记号得方程组：)()(x f y x A dxdy+= （NH ） 初值条件为：ξ==)(0x y （3）(2)、把初值问题（NH)化成下列等价的积分方程组：()ds s f s y s A x x y x ⎰++=0()()()(）ξ （4） 即：如果)(x y ϕ=是初值问题（NH ），（3）的解，则它是积分方程组（4）的连续解；反之，如果)(x y ϕ=是积分方程组（4）的连续解，则它必是初值问题（NH ）,（3）的连续解。