线性方程组解的存在唯一性
考研数学线性代数常用公式
考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。
希望对考生在暑期的复习中有所帮助 本文内容为线性代数的常考公式汇总。
1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即C 的3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E .设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如2100(5)050001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E .第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如3,2100(2)012001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E .注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A .1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ；2）()1r ≠⇔≥A O A ；3）()1r =⇔≠A A O 且A 各行元素成比例；4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =⇔≠A A .6、线性表出设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合.设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合，则称向量β可以由向量组12,,...,m ααα线性表出.线性相关设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，如果存在不全为零的实数12,,...,m k k k ，使得1122...0m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,...,m ααα线性相关.如果向量组12,,...,m ααα不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组12,,...m ααα线性相关当且仅当12,,...m ααα中至少有一个是其余1m -个向量的线性组合.定理2：若向量组12,,...m ααα线性相关，则向量组121,,...,,m m αααα+也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.定理3：若向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...m ααα的延伸组1212,,...,m m αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关.定理4：已知向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...,m αααβ线性相关当且仅当β可以由向量组12,,...m ααα线性表出.定理5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且12,,...,s ααα线性无关，则有s t ≤.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且s t >，则12,,...,s ααα线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7：1n +个n 维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设()12,,...,n A ααα=，其中12,,...,n ααα为A 的列向量，则线性方程组Ax b =有解⇔向量b 能由向量组12,,...,n ααα线性表出；⇔()()1212,,...,,,...,,n n r r b αααααα=；⇔()(),r A r A b =线性方程组解的唯一性当线性方程组Ax b =有解时，Ax b =的解不唯一（有无穷多解）⇔线性方程组的导出组0Ax =有非零解；⇔向量组12,,...,n ααα线性相关；⇔()12,,...,n r n ααα<；⇔()r A n <.注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知()r A n <是不能得到Ax b =有无穷多解的，也有可能无解.2）定理2是按照Ax b =有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出Ax b =有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n 维的非零列向量α使得关系式A αλα=成立.则称λ是矩阵A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.设E 为n 阶单位矩阵，则行列式E A λ-称为矩阵A 的特征多项式.注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式A αλα=也可以写成()0A E λα-=，因此α是齐次线性方程组()0A E x λ-=的解，由于0α≠，可知()0A E x λ-=是有非零解的，故0A E λ-=；反之，若0A E λ-=，那么齐次线性方程组()0A E x λ-=有非零解，可知存在0α≠使得()0A E λα-=，也即A αλα=.由上述讨论过程可知：λ是矩阵A 的特征值的充要条件是0A E λ-=（或0E A λ-=），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组()0A E x λ-=的非零解.，n 定理3：A 一定有n 个线性无关的特征向量，即A 可以对角化.且存在正交矩阵Q ，使得112(,,...,)T n Q AQ Q AQ diag λλλ-==，其中12,,...,n λλλ为矩阵A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.11、如果二次型11n nij i j i j a x x ==∑∑中，只含有平方项，所有混合项()i j x x i j ≠的系数全为零，也即形如2221122...n nd x d x d x +++，则称该二次型为标准形。
1996年线代数三
1996年线代数三引言概述：1996年线性代数三是一个重要的数学考试，旨在测试学生对线性代数的理解和应用能力。
本文将从五个大点出发，详细阐述1996年线性代数三的相关内容。
正文内容：1. 矩阵与向量空间1.1 矩阵的定义和性质：介绍矩阵的基本概念，包括矩阵的行数和列数，矩阵的加法和乘法运算等。
1.2 向量空间的定义和性质：解释向量空间的概念，包括零向量、向量的加法和数乘运算，以及向量空间的子空间等。
2. 线性方程组2.1 线性方程组的基本概念：介绍线性方程组的定义，包括未知数和系数矩阵等。
2.2 线性方程组的解法：详细阐述高斯消元法、矩阵的初等行变换和矩阵的逆等方法来解线性方程组。
2.3 线性方程组的解的存在性和唯一性：讨论线性方程组解的存在性和唯一性的条件，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别。
3. 矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义：解释特征值和特征向量的概念，以及它们之间的关系。
3.2 特征值和特征向量的性质：介绍特征值和特征向量的基本性质，包括特征值的代数重数和几何重数等。
3.3 矩阵的对角化：讨论可对角化矩阵的条件，以及如何通过特征值和特征向量来对角化矩阵。
4. 向量空间的基和维数4.1 向量空间的基的定义：解释向量空间的基的概念，以及基的线性无关性和生成性等。
4.2 维数的定义和性质：介绍向量空间的维数的概念，以及维数与基的关系。
4.3 基变换和坐标表示：讨论基变换的概念和基变换矩阵的求解方法，以及向量在不同基下的坐标表示。
5. 线性映射和矩阵的相似性5.1 线性映射的定义和性质：解释线性映射的概念，包括线性映射的线性性质和零空间等。
5.2 矩阵的相似性：详细阐述矩阵相似的定义和性质，以及相似矩阵的判断方法和相似矩阵的性质。
总结：综上所述，1996年线性代数三考试涵盖了矩阵与向量空间、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、向量空间的基和维数，以及线性映射和矩阵的相似性等内容。
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
北京大学2020年高等代数与解析几何试题及解答
5. 当 rank(A) < n − 1 时, A∗ = 0, 于是 A∗ 的特征值为 0, 特征向量为 Cn 中任意非零向量.
当 rank(A) = n − 1 时, rank (A∗) = 1, 于是 A∗ 的特征值为 0 (n − 1 重), tr (A∗) (1 重), 设 A∗ = αβT, 则 tr (A∗) 对应的特征向量为 kα, k ̸= 0; 0 对应的特征向量为由 A 的列向量线性生成的非零向量.
8. (20 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 设该平面里的一条二次曲线 γ 的方程为 x2 + 2y2 + 6xy + 8x + 10y + 6 = 0.
(1) 证明: γ 是双曲线. (2) 写出 γ 的长短轴方程和长短轴长, 并指出长短轴中哪一个与 γ 有交点.
9. (15 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 已知该平面里的一个椭圆 γ 的方程为 x2+8y2+4xy+6x+20y+4 = 0. 求 γ 的内接三角形 (即三个顶点都在 γ 上的三角形) 的面积的最大值.
− sin φj cos φj
=
− sin φj cos φj
][ ]
cos φj
01 ,
sin φj 1 0
(φj ̸= kπ, j = 1, 2, . . . , l) .
注意到若 σ 是正交变换, 则 σ 是镜面反射当且仅当 σ 在 V 中的标准正交基下的矩阵的特征值为 1 (n − 1 重), −1 (1 重), 而把 J 分解成有限个那样的正交矩阵的乘积的分解是存在的, 这里的有限个更 精确一点可改为不超过 n 个, 于是 σ 可以表示为一系列镜面反射的乘积.
2017考研数学：线性代数必考公式与定理
2017考研数学：线性代数必考公式与定理()12121211121,,...,2122212,,...,12 (1)..................n nnn i i i ni i ni i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑基本性质性质一：如果一个行列式的某一行全为0，则行列式的值等于0.性质二：如果一个行列式的某两行元素对应成比例，则行列式的值等于0.性质三：将行列式的任意两行互换位置后，行列式改变符号。
性质四：将行列式的某一行乘以一个常数k 后，行列式的值变为原来的k 倍。
性质五：将行列式的一行的k 倍加到另一行上，行列式的值不变。
性质六：如果行列式某一行的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别为对应两个加数，其余行与原行列式相等。
即111211112111121212222122221222112212121212..........................................................................................n n nn n n i i i i in ini i in i i n n nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a b b a a a a a a =++++12..................in n n nnb a a a性质七：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即111211121121222122221212..........................................n n nn n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =。
线性方程组的解的存在唯一性
线性方程组的解的存在唯一性线性方程组是数学中的重要概念，它与方程的解的存在唯一性密切相关。
在本文中，我们将讨论线性方程组解的存在唯一性，并介绍相应的定理和证明。
一、引言线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
它的一般形式可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\\cdots\cdots \\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \\\end{cases}\]其中，\(a_{ij}\) 为系数矩阵中的元素，\(x_{i}\) 为未知数，\(b_{i}\) 为常数项。
二、解的存在性线性方程组的解存在的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
具体来说，线性方程组存在解的条件可以通过行列式的性质来判断。
定理1：若线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数，则方程组存在解。
证明：根据线性方程组的性质，通过高斯消元法将系数矩阵化为行最简形式，设最简形式的系数矩阵为\(D\)，增广矩阵形式为\([D|C]\)。
由于\(D\) 是行最简形式，所以\(D\) 中的主变量对应的列是主列，而非主变量对应的列是自由列。
对于线性方程组存在解的条件，我们需要判断未知数的个数和主列的个数是否相等。
如果相等，即主变量的个数等于未知数的个数，则存在唯一解。
如果主变量的个数小于未知数的个数，则存在无穷多解。
如果主变量的个数大于未知数的个数，则无解。
因此，当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数时，线性方程组存在解。
三、解的唯一性线性方程组解的唯一性可以通过系数矩阵的行和行列式来判断。
定理2：若线性方程组的系数矩阵的行和行列式不为零，则方程组的解是唯一的。
宋浩线代辅导讲义
宋浩线代辅导讲义一、引言宋浩线代辅导讲义是为了帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法而编写的。
线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本讲义将从基础概念开始介绍，并逐步深入，帮助学生建立起对线性代数的系统性理解。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组2.1.1 定义与表示定义：线性方程组是由一系列线性等式组成的方程组。
例如，下面是一个包含三个未知数x、y、z的线性方程组：2x + y - z = 4x - y + 3z = -13x + 2y + z = 72.1.2 解的存在唯一性对于一个线性方程组，它可能有三种解的情况：•无解：当方程组中存在矛盾等式时，即出现了0=1这样不可能成立的等式。
•有唯一解：当方程组中的方程数量等于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。
•有无穷多解：当方程组中的方程数量小于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵不满秩时，方程组有无穷多解。
2.2 矩阵与向量2.2.1 矩阵的定义与运算定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。
一个m×n的矩阵有m行n列。
例如，下面是一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。
其中，加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，乘法则需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
2.2.2 向量与线性组合定义：向量是一种特殊类型的矩阵，它只有一列。
向量可以表示为：v = [v1, v2, ..., vn]其中vi表示向量v中第i个元素。
线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行加权求和的操作。
例如，对于向量v1和v2，它们的线性组合可以表示为：c1 * v1 + c2 * v2其中c1和c2为常数。
2.3 矩阵的转置与逆2.3.1 矩阵的转置定义：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如，对于一个3×2的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，可以表示为：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32]2.3.2 矩阵的逆定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
线性方程组的解的存在唯一性
线性方程组的解的存在唯一性线性方程组是一类具有线性关系的方程组，其中每个方程都是线性方程。
解线性方程组的一个重要问题是确定解的存在性和唯一性。
在本文中，我们将探讨线性方程组解的存在性和唯一性的相关问题。
一、线性方程组的定义我们首先回顾线性方程组的定义。
一个包含n个线性方程和n个未知数的线性方程组可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中aᵢₙ(1≤i≤n, 1≤j≤n)是系数矩阵的元素，x₁, x₂, ..., xₙ是未知数，b₁, b₂, ..., bₙ是常数项。
二、线性方程组的解的存在性对于一个线性方程组，解的存在性意味着是否存在一组解使得所有方程都成立。
定理1：线性方程组存在解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于常数项矩阵的秩。
该定理告诉我们，当系数矩阵的秩等于常数项矩阵的秩时，线性方程组存在解。
如果系数矩阵的秩小于常数项矩阵的秩，则线性方程组不存在解。
三、线性方程组的解的唯一性当线性方程组存在解时，解的唯一性描述了解的数量。
定理2：对于一个系数矩阵的秩等于常数项矩阵的秩的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，那么线性方程组的解是唯一的。
该定理告诉我们，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，线性方程组的解是唯一的。
如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则线性方程组存在无穷多个解。
四、线性方程组解的求解方法确定了线性方程组解的存在性和唯一性后，我们可以考虑解的求解方法。
1. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法。
它通过将方程组化为阶梯型或行简化阶梯型，从而求解方程组的解。
2. 矩阵求逆法若系数矩阵可逆，我们可以通过求解矩阵的逆来得到线性方程组的解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数对应的余子式来求解线性方程组的方法。
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在某区间α ≤ t ≤ β ([α, β ] ⊂ [a, b]) 的解就是向量
u (t ) 在区间 α ≤ t ≤
β 上连续且满足
u′(t ) = A(t ) u(t ) + f (t )
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
定义2 初值问题(Cauchy Problem) 定义 初值问题
上的解。 在区间− ∞ < t < +∞ 上的解。 解
e 0 1 u ( 0) = 0 = − e − 1
是给定初值问题的解。 因此 u(t ) 是给定初值问题的解。
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
1) ( A(t ) + B (t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v ′(t )
2) ( A(t ) ⋅ B (t ))′ = A′(t ) B (t ) + A(t ) B′(t ) 3) ( A(t ) ⋅ u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A(t )u′(t )
x1 (t0 ) = η1 , x2 (t0 ) = η 2
1 0 0 x′ = x + f (t ) − q(t ) − p(t )
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
x
(n)
+ a1 (t ) x
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/ 一阶微分方程组
′ x1 = f 1 ( t , x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ) x ′ = f ( t , x , x ,⋅ ⋅ ⋅, x ) 2 2 1 2 n L L L L x n = f n ( t , x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ) ′
′ x1 x′ dx = x ′ = 2 ……(5.3) M dt n x′
………….(5.4)
dx = x ′ = A (t ) x + f (t ) dt
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
( n −1)
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an −1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t )
( n −1) 令 x1 = x, x2 = x′, x3 = x′′, ⋅ ⋅⋅, xn = x
′ x1 = x′ = x2
′ x2 = x′′ = x3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
′ xn −1 = x ( n −1) = xn
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
上的连续 n × n t ≤b
f (t ) 是区间 a≤t ≤b 上的连续
n
维向量， 维向量，方程组 ………….(5.4)
dx = x ′ = A (t ) x + f (t ) dt
在区间 a ≤ t ≤ b 可定义矩阵与向量函数
B (t ) = (bij (t )) n×n
u ( t ) = ( u 1 ( t ), u 2 ( t ), L , u n ( t )) T
连续: 连续 可微: 可微 可积: 可积
bij (t ) ui (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 连续。 连续。
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
∫ B(t )dt = (∫ b (t )dt )
ij
n×n
u(t )dt = ( ∫ u1 (t ) dt , ∫ u 2 (t ) dt , L , ∫ u n (t ) dt )T ∫
′(t (t 1 ϕ1 (t ) 0 ϕ1(t) 0 ϕ′ (t) = − q(t ) − p(t ) ϕ (t ) + f (t ) 2 2 (t ϕ1 (t ) x= ϕ2 (t )
解
ϕ2 (t) = − q(t)ϕ1 (t) − p(t)ϕ2 (t ) + f (t )
5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价 例1 解
x′′ + p (t ) x′ + q (t ) x = f (t )
令
x1 = x,
x2 = x′,
′ x1 = x′ = x2
′ x2 = x′′ = − p (t ) x′ − q(t ) x + f (t )
′ x1 = x2 2 x′ = − q (t ) x1 − p (t ) x2 + f (t )
初值条件 x1 (t0 ) = η1 , x2 (t0 ) = η 2 , ⋅ ⋅⋅, xn (t0 ) = η n
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
一阶线性微分方程组
′ x1 = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n (t ) xn + f1 (t ) x′ = a (t ) x + a (t ) x + ⋅ ⋅ ⋅ + a (t ) x + f (t ) 2 21 1 22 2 2n 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn = an1 (t ) x1 + an 2 (t ) x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ann (t ) xn + f n (t ) ′
dx = x ′ = A(t ) x + f (t ) dt x (t0 ) = η
………….(5.5)
的解就是方程组(5.4)在包含 t0的区间α ≤ t ≤ β 在包含 的解就是方程组
上的解u(t ), 使得 u(t0 ) = η
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
x ( n ) + a1 (t ) x ( n −1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an −1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t ) ………(5.6) ( n −1) x(t0 ) = η1 , x′(t0 ) = η 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x (t0 ) = η n ψ (t ) ψ ′(t ) ψ (t )
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
x(t0 ) = η1 , x′(t0 ) = η 2
x′′ + p (t ) x′ + q (t ) x = f (t )
满足
x = ϕ1 (t )
ϕ1′′(t ) + p (t )ϕ1′(t ) + q (t )ϕ1 (t ) = f (t )
aij (t ), f i (t ) i, j = 1 2， , n 在[a, b]上连续 ，L
…(5.1)
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
a11 (t ) a12 (t ) a (t ) a (t ) 22 A(t ) = 21 L L an1 (t ) an 2 (t )
解
x = ϕ (t )
构造 向量
ϕ ′′(t ) + p (t )ϕ ′(t ) + q (t )ϕ (t ) = f (t )
ϕ′(t) (t (t (t ϕ′(t) ϕ (t ) x= ϕ′′(t) = − p(t )ϕ′(t ) − q(t )ϕ(t ) + f (t ) ϕ′(t ) 1 ϕ (t ) 0 0 满足 = ϕ′(t ) + f (t ) − q(t ) − p(t ) 1 0 0 x1 (t0 ) = η1 , x2 (t0 ) = η 2 x′ = x + f (t ) − q(t ) − p(t )
f1 (t ) f (t ) f (t ) = 2 M f n (t )
L a1n (t ) L a2 n (t ) L L L ann (t )
……….(5.2)
x1 x x = 2 M xn
b11 (t ) b12 (t ) b (t ) b (t ) 22 21 B(t ) = L L bn1 (t ) bn 2 (t )
L b1n (t ) L b2 n (t ) L L L bnn (t )
u1 (t ) u (t ) u (t ) = 2 M u n (t )
bij (t ) ui (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 可微。 可微。
′ B′(t ) = (bij (t )) n×n
′ ′ ′ u ′ ( t ) = ( u 1 ( t ), u 2 ( t ), L , u n ( t )) T