初值问题解的存在唯一性.pdf
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常微分方程12解的存在唯一性
1 x2
),
y(x) 0 ,
c2
exp(
1 x2
)
,
x 0. x 0. x 0.
3
1.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
的解存在且惟一。
y(0) 1
(1 .2 .1)
证：若 y y(x) 是初始值问题的解, (1 .2 .1) 两端积分
y ( x ) 满足 y(x)=1+ xy(s)ds 0
y 1 , 1 x
x( ,1).
初值问题 yy2,y(0)2的解:
y
2 1 2x
.
它的存在区间为
(
1 2
,
)
例2: 初值问题 yx,y(0)a(a0)的解为: y
y a2 x2存在区间为 (a,a)
2
例3:初始值问题:
2y yx3
x0 ,
0 x0
y(0)0
有无穷多解,存在区间为: (,).
c1
exp(
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s 13
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s
x
L 2
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
（ 1 x） =y0＋xx0 f(s,0(s))ds （ 2 x） M =y0＋xx0 f(s,1(s))ds （ n x） =y0＋xx0 f(s,n1(s))ds
这样就得到一个连续函数列 n ( x)
它称为 Picard迭代序列。
11
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n 和 x [x0,x0h],n(x)
存在唯一性定理
注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性 微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例 将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,
2.2解的存在唯一性定理
8
常微分方程
绵阳师范学院
下面分五个命题来证明定理,为此先给出 下面分五个命题来证明定理 为此先给出 积分方程 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 号下含有未知函数 则称这样的关系式为积分方程
如 : y = e + ∫ y( t )dt , 就是一个简单的积分方程 .
0
x
≤ L ∫ n (ξ ) n 1 (ξ ) dξ
x0
x
MLn ≤ n!
MLn n (ξ x0 ) dξ = ( x x0 ) n +1 , ∫x0 (n + 1)!
x
17
常微分方程
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于是由数学归纳法得知,对所有正整数 有 于是由数学归纳法得知 对所有正整数n,有 对所有正整数
则 (x, y)在 上 于 满 Lipschitz条 . f R 关 y 足 件 f (x, y1) f (x, y2 ) = f y (x, y2 +θ ( y1 y2 )) y1 y2 ≤ L y1 y2
2
常微分方程
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b (2) 定理中h = min{a , }的几何意义 M 在矩形R中有 f ( x , y ) ≤ M ,
故初值问题(2.1)的解曲线的斜率必介于 M 与M 之间,
过点( x0 , y0 )分别作斜率为 M 和M的直线,
b 当M ≤ 时(如图(a ) a 所示 ), 解y = ( x )在 x0 a ≤ x ≤ x0 + a 中有定义;
3
常微分方程
绵阳师范学院
b 而当M > 时(如图(b)所示), 不能保证解y = ( x )在 a x0 a ≤ x ≤ x0 + a中有定义;它有可能在区间内跑到矩形 b b R外去, 使得无意义, 只有当x0 ≤ x ≤ x0 + 时, 才能保 M M 证解y = ( x )在R内.
常微分方程
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下面分五个命题来证明定理,为此先给出 下面分五个命题来证明定理 为此先给出 积分方程 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 号下含有未知函数 则称这样的关系式为积分方程
如 : y = e + ∫ y( t )dt , 就是一个简单的积分方程 .
0
x
≤ L ∫ n (ξ ) n 1 (ξ ) dξ
x0
x
MLn ≤ n!
MLn n (ξ x0 ) dξ = ( x x0 ) n +1 , ∫x0 (n + 1)!
x
17
常微分方程
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于是由数学归纳法得知,对所有正整数 有 于是由数学归纳法得知 对所有正整数n,有 对所有正整数
则 (x, y)在 上 于 满 Lipschitz条 . f R 关 y 足 件 f (x, y1) f (x, y2 ) = f y (x, y2 +θ ( y1 y2 )) y1 y2 ≤ L y1 y2
2
常微分方程
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b (2) 定理中h = min{a , }的几何意义 M 在矩形R中有 f ( x , y ) ≤ M ,
故初值问题(2.1)的解曲线的斜率必介于 M 与M 之间,
过点( x0 , y0 )分别作斜率为 M 和M的直线,
b 当M ≤ 时(如图(a ) a 所示 ), 解y = ( x )在 x0 a ≤ x ≤ x0 + a 中有定义;
3
常微分方程
绵阳师范学院
b 而当M > 时(如图(b)所示), 不能保证解y = ( x )在 a x0 a ≤ x ≤ x0 + a中有定义;它有可能在区间内跑到矩形 b b R外去, 使得无意义, 只有当x0 ≤ x ≤ x0 + 时, 才能保 M M 证解y = ( x )在R内.
第3章_第1节_解的局部存在唯一性定理(续)
o x
(1)
–1
当 y0 0, 1时， 所给方程过点( x0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 y0 y ln y dy x0dx
由被积函数，知
积分
y0 y( x ) 0
y( x ) x 1 dy dx , 得 x0 y ln y
y0
ln ln y( x ) ln ln y0 x x0
证 f y ( x , y )在D上连续, 必有界
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
常数 L 0, 使
f y ( x , y) L (( x , y) D )
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使
f ( x , y )在D上关于y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y) y，
( x , y) D {( x , y) x x0 a, y 0 b}
( x , y1 )，( x , y2 ) D
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) y2 y1 y2 y1
L1
即 f ( x, y) y 在D上关于y 满足 Lipschitz条件
但点( x ,0)( D )处，f y ( x , y) 不存在
f y ( x , y )在D上不连续.
的条件(2).
上述关系表明：推论1中的条件(2)强于定理1
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
若 f ( x , y) 在闭带形区域： 推论2 D {( x , y) x , y }
(1)
–1
当 y0 0, 1时， 所给方程过点( x0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 y0 y ln y dy x0dx
由被积函数，知
积分
y0 y( x ) 0
y( x ) x 1 dy dx , 得 x0 y ln y
y0
ln ln y( x ) ln ln y0 x x0
证 f y ( x , y )在D上连续, 必有界
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
常数 L 0, 使
f y ( x , y) L (( x , y) D )
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使
f ( x , y )在D上关于y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y) y，
( x , y) D {( x , y) x x0 a, y 0 b}
( x , y1 )，( x , y2 ) D
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) y2 y1 y2 y1
L1
即 f ( x, y) y 在D上关于y 满足 Lipschitz条件
但点( x ,0)( D )处，f y ( x , y) 不存在
f y ( x , y )在D上不连续.
的条件(2).
上述关系表明：推论1中的条件(2)强于定理1
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
若 f ( x , y) 在闭带形区域： 推论2 D {( x , y) x , y }
一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性
Ｃ Ｉ （・ ｔ ， “ ， 其中 Ｃ ＞ 是常数和以后 的 Ｃ（ ） ｉ ２ ３ …） ） ，０ Ｔ （ ＝ ， ， 为仅依赖于 的常数． 由引理 １和引理 ２ ｓ ， 对任何初始值 Ｈ ∈ （ ， Ｍ＝Ｉ。 ， 。 Ｒ）令 ｛ 定义集合 Ｐ Ｍ，） ¨ ∈ ） “ （ ＝｛ Ｉ （ ，
收 稿 日期 ：０ ０—１ ２１ １—２ ５ 基 金项 目 ： 南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 （ ０ ９Ｂ １ ０ ７）； 南 工 业 大学 校 基 金 （ ０ Ｔ ０ 河 ２ ０ １０ ０ 河 １ ＸＰ ０ ２）
作 者 简 介 ： 长 顺 （ ９ Ｏ ） 男 ， 南 平 顶 山人 ， 南 工 业 大学 理 学 院 讲 师 ． 侯 １８一 ， 河 河
（） １
（ ２）
其中 ＞ ０为 常数 ， ， ， ， ｆ ｈ ｇ为 给 定 的 非 线 性 函数 ， ） 给 定 的初 值 函数 ． 程 （ ） 如 下 的 非 线 性 抛 ｕ（ 为 方 １和
有 紧 密 联 系 ， 中 Ｏ， ， ＞ 为 常 数 ． 显 然 方 程 （ ） 方 程 （ ） 特 殊 情 况 ， 含 Ｇ Ｂ 方 程 和 Ｓ ｂ ｌ 其 ／ ０ 卢 １ 是 ３ 的 包 Ｂ Ｍ ｏ ｏｅ ｖ—
引理 ２ 假设／ Ｒ） ０ ＝ ， ∈Ｈ ｎＬ 且 ＝［ ］ ， 中 ＞ ． Ｊ ≤Ｍ， ∈Ｃ （ ， ） ０ Ｍ ｓ ＋１其 ０ 若 ｌ “ 则有 Ｉ（ ） ≤ ｌ ｕ Ｉ 厂
（ ） ， 中 （ ） 其 为依 赖 于 的常数 ．
引理 ３
（ ）ｌ 一 ｌ， Ｉ Ｉ
Ｉｌ ） １１ Ⅱ
。 ， ）
Ｖ“ （ ・ ∈ ）
易见 （ 是 一 Ｂ ｎ ｃ ） ａ ａｈ空 间． 定义算 子 Ｊ （ 一 （ 为 再 ｓ ） ： ）
第1节 解的局部存在唯一性定理
1 ( x ) y0 y0
x
x0 x
f [ x , 0 ( x )]dx f ( x , y0 )dx
x0
在I上连续，且 当 x I时，有
1 ( x ) y0
x0 f ( x, y0 ) dx x0
x
x
f ( x , y0 ) dx
x0 M dx
即
y0 M x x0 ( x ) y0 M x x0
这意味着： x I时， y ( x )必介于两直线： 当 L1 : y y0 M ( x x0 )
与
L2 :
y y0 M ( x x0 )
所夹的两个阴影区域中.
b b (1) 当 a 时，即 M 时 a M
b 当M 时 a y = (x)不可能从D的
上下边界越出D, 故
y0 b
y
(k
b ) a
当 x [ x0 a, x0 a]时， 曲线 y = (x)完全落
在 f (x, y ) 的定义域
y0
( x0 , y0 )
L2
y = (x)
y0 b
L1
x0 a
x0
D中. 故此时可取
考虑级数：
0 ( x ) [ k ( x ) k 1 ( x )]
k 1
( x I ) (5)
其部分和： n1 ( x ) 0 ( x ) [ 1 ( x ) 0 ( x )] S
[ n ( x ) n1 ( x )] n ( x) (x I)
b h min( a, ) M
4. 定理1的证明思路 (1) 解的存在性 (2) 解的唯一性 (分四步进行证明)
常微分方程图文 (5)
第5章 存在和唯一性定理
定理5.1 设初值问题:
d y f (x, y), dx
y(x0 ) y0,
其中f(x,y)在矩形区域
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R : x x0 a, y y0 b
内连续，而且对y满足李氏条件.则初值问题式(5.1)在区间I= ［x0-h,x0+h］上有且只有一个解，其中常数
h min{a, b }, M max f (x, y).
x sup x : y1(x) y2 (x)
x[ x0 ,x1 ]
显然有 x0 x x1 ，而且
r(x) def y1(x) y2(x) 0 (x x x1)
第5章 存在和唯一性定理
和 r (x) 0 .因此，我们有
r(x) y1(x) y2 (x) f (x, y1(x)) f (x, y2 (x))
u(x) v(x) (x J ).
也就是说，积分方程(5.2)的解是唯一的.
第5章 存在和唯一性定理 定理5.1的证明到此结束. 有了皮卡定理，对于一般微分方程
d y f (x, y), dx
(5.10)
只要能判别函数f(x,y)在某个区域D内连续并且对y有连续的
偏微商（或满足李氏条件），我们就可断言在区域D内经过
注意，李氏条件是Osgood条件的特例，这是因为
F(r)=Lr满足上述要求.
现在，我们把最先由美国数学家Osgood证明的有关解
的一个唯一性定理叙述如下.
第5章 存在和唯一性定理
定理5.2 设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件，则微 分方程(5.10)在G内经过每一点的解都是唯一的.
证明 假设在G内可以找到一点(x0,y0)使得方程(5.10)有 两个解y=y1(x)和y=y2(x)都经过(x0,y0) 值x1≠x0，使得y1(x1)≠y2(x1).不妨设x1>x0，且y1(x1)>y2(x1). 令
抽象常微分方程初值问题解的存在性
第 24 期
△
王仲平等： 抽象常微分方程初值问题解的存在性
81
t （ Au） （ t） = x0 + ∫ 0 f （ s， u （ s ） ） ds， t ∈ J 则 u 是初 值问题（ 1 ） 的解当且仅当 u 是算子 A 的不动点。令 t （ Tu） （ t） = ∫ 0 M（ s） u（ s） ds， t u（ s） ds， （ Gu） （ t） = x0 + ∫ 0
{
T） w0 ≤w0 。 若存在一个半序 Banach 空间 Y， 增算子 B ： D → X 及算子 G： ［ Bu0 ， B B v0］→ X ， 使得 λA + T = GB ， 且 有 （ i） （ λI + T） － 1 G 是增算子， （ ii） 对任何单调列 ｛ x n ｝ D， ｛ Bx n ｝ 是相对弱紧 的， 则 A 在 D 中必有最大不动点和最小不动点 。
t x （ t） = x0 + ∫ 0 f（ t， x） ds， t ∈J
（ 2）
x ） 不连续时， 故当 f（ t， 就把积分方程 （ 2 ） 的解 定义为初值问题（ 1 ） 的解。
* h 定义 1 设 x（ t） ： J → E ， 如果对任意的 h ∈ E ， ［ x（ t） ］ 都是 J 上的可测函数， 则 x （ t ） 是 J 上的弱可
p L p［ J， E］= ｛ x： J → E x （ t ） 强可测， 且， ∫ x （ t ） dt J i ＜ +∞｝ ， J， E］ 可知 L p［ 在范 数 x （ t ） p = 下为一 Banach 空间。 ［6 ］ J， E］也是自反 引理 1 若 E 是自反的， 则 L p［
得到如下结果： P 是 E 中的 定理 设 E 是自反的 Banach 空间， 锥， 如果下列条件成立： u （ t） ） ） 把 C （ C1 ） 算子 F （ 其中 （ Fu ） （ t ） = f （ t， ［ J， E］ 映成强可测函数集； （ C2 ） 存在 v0 ， w0 ∈C［ J， E］ ， v0 ≤ w0 对几乎所有 的 t∈J 成立。v' 0 （ t） 与 w' 0 （ t） 存在且满足 v0 （ 0 ） ≤ x 0 ， v' 0 （ t） ≤f（ t， v0 （ t） ） a. e. t∈J， w0 （ 0 ） ≥ x0 ， w' 0 （ t ） ≥ f （ t， w0 （ t ） ） a. e. t ∈ J； v0 （ t ） ≤ （ C3 ） 存在非负连续函数 M（ t） ， 使得当 t∈J， x ≤y ≤w0 （ t ） 时， 有 f（ t， y） － f（ t， x） ≥ － M（ t） （ y － x） ； （ C4 ） 存在 1 ＜ p ＜ + ∞ ， 使 ｛ ‖ Fu （ t ） + M （ t ） u （ t） ‖∶ u∈D｝ 是 L p［ 0， a］ 中的有界集， 那么初值问 题（ 1 ） 在 D 中存在最大连续解和最小连续解 。 J， E］ J， E］ 证明 易知 C［ 和 L p［ 在 E 中在以锥 p 导出的自然半序“≤ ” 下成为半序 Banach 空间。 我 们定义算子如下