常微分方程初值问题
常微分方程的初值问题及其解法
常微分方程的初值问题及其解法常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。
初值问题是其中最基本的问题之一。
本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。
1. 初值问题的意义首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。
上面这条式子就是一个二阶常微分方程。
我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。
这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。
这就是初值问题的意义。
通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。
对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。
但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。
然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。
2. 数值解法下面将介绍几种常见的数值解法。
2.1. 欧拉法欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。
具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。
于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：$$y_2=y_1+f(y_1,t_1)\Delta t$$依此类推，直到我们得到一个目标时间$t_m$的值$y_m$。
常微分方程初值问题的解法及应用
常微分方程初值问题的解法及应用常微分方程是数学中非常重要的一部分，它涉及了许多领域的模型建立和问题求解。
本文将介绍常微分方程初值问题的解法及其应用。
一、常微分方程初值问题的定义常微分方程初值问题是指给定一个常微分方程，以及它在某一点上的初始条件，求解该方程的解曲线。
通常，一个常微分方程初值问题可以表示为:y'(x) = f(x,y), y(x0) = y0,其中，y(x)是未知函数，f(x,y)是已知函数，y(x0) = y0是初始条件。
二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法有多种，下面我们将介绍几种常用的方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的方法。
该方法基于初始条件，通过不断迭代计算得到近似解曲线。
具体步骤如下：步骤1：设定步长h，确定求解区间[x0, xn]，计算步数n。
步骤2：初始化，即确定初始点(x0, y0)。
步骤3：根据方程dy/dx = f(x,y)和初始点(x0, y0)，计算斜率k = f(x0, y0)。
步骤4：根据已知的斜率和步长h，计算下一个点的坐标(xi+1,yi+1)。
步骤5：重复步骤3和步骤4，直到达到步数n。
步骤6：得到近似解曲线。
2.改进的欧拉法（改进欧拉法）改进的欧拉法是对欧拉法的改进，其求解精度比欧拉法更高。
具体步骤如下：步骤1：设定步长h，确定求解区间[x0, xn]，计算步数n。
步骤2：初始化，即确定初始点(x0, y0)。
步骤3：根据方程dy/dx = f(x,y)和初始点(x0, y0)，计算斜率k1 =f(x0, y0)。
步骤4：根据已知的斜率k1和步长h/2，计算中间点的坐标(x0+h/2, y0+k1*h/2)。
步骤5：根据方程dy/dx = f(x,y)和中间点的坐标(x0+h/2, y0+k1*h/2)，计算斜率k2= f(x0+h/2, y0+k1*h/2)。
步骤6：根据已知的斜率k2和步长h，计算下一个点的坐标(xi+1,yi+1)。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是研究自变量（通常是时间）及其导数之间关系的数学分支。
它在物理、化学、生物学等学科中都有广泛应用，因此被视为数学的基础学科之一。
其中的求解方法之一便是初值问题。
初值问题是指对于一个已知的微分方程，给定初始条件的问题。
初始条件通常包括一个或多个自变量和导数值，根据这些条件可以求解出微分方程的解析解或近似解。
此外，初始条件还可以帮助我们理解微分方程的性质和行为。
举个例子，我们考虑一个简单的问题：假设一个物体在空气中运动，其速度随时间的变化可以用常微分方程来描述。
则其方程可以写作：m * dv/dt = mg - kv^2其中m为物体质量，g为重力加速度，k是空气阻力系数，v表示速度。
将初始条件加入其中，例如初始速度v0为0，则此时可以解出运动中物体的速度v(t)对时间的表达式。
对于初值问题的求解方法，数值和解析方法皆有。
解析方法主要是利用微积分和代数技巧，将微分方程推导为一般的解析表达式。
然而，这种方法需要一定的条件和技巧，因而在实际问题中应用范围较为有限。
数值方法则是更为通用和普遍的求解方法。
在此方法中，将微分方程转化为差分方程，即将导数近似为差分式，再结合初始条件用数值计算方法进行求解，得到问题的数值解。
这种方法的优点在于求解过程简单明了，且由于近似误差可以任意小，因此可得出足够精确的解。
常用的数值方法有欧拉法、龙格-库塔法等。
其中欧拉法是最简单的一种数值方法，其核心思想是用线性近似代替导数，即将微分方程中的导数写成差商形式，于是可以得到如下迭代公式：y(i+1)=y(i)+hf(y(i), t(i))其中y(i)表示函数解在i时刻的估计值，t(i)表示时间，h为时间步长，f(y,t)为微分方程右端函数。
通过这种迭代方法即可用简单的计算机程序得到一个数值解。
在使用数值方法求解初值问题时，需注意初始条件的选取。
例如，在上述物体的运动例子中，我们可以选取物体在某一位置的速度为初始速度，而这个位置则可以是重心位置、发射点等。
常微分方程中的初值问题及解析解的求解
常微分方程中的初值问题及解析解的求解常微分方程是数学中重要的一个分支，它研究的是一类关于未知函数及其派生函数的方程。
其中，初值问题是求解常微分方程的一种基本方法，通过给定初始条件，计算出函数在这个初始点上的值，并逐步推算出函数在逐渐逼近所求解点上的值。
解析解是指能够通过代数或函数的方式得到的函数表达式或公式，它在常微分方程中起着重要的作用。
本文将通过详细的论述，探讨常微分方程中的初值问题及解析解的求解方法。
一、初值问题1.什么是初值问题初值问题是指，给定一个常微分方程及其初始条件，求该方程在初始点上的解，即求解函数在一个点的值。
通常，初值问题可以表示为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，y'表示关于x的导数，f(x,y)表示一般的函数表达式，y(x0)表示在x0这一点上，函数y的值为y0。
2.求解初值问题的方法为了求解常微分方程的初值问题，我们需要利用数值方法和解析方法两种基本的求解方法。
数值方法是通过数值计算得出函数的数值近似解，它可以在一定程度上解决一些复杂的常微分方程。
具体来看，数值方法通常采用数值迭代等一系列计算方法，将x值串联起来，以近似解代替函数的实际值。
解析方法是指利用已知的数学方法求解常微分方程的解析解。
解析方法适合于求解简单的常微分方程。
解析解的求解通常渐近地得到表达式，这些表达式能够明确地刻画出注重解析的科学问题。
二、解析解的求解1. 一阶微分方程的求解对于一阶线性微分方程，可以采用分离变量的方法求解。
常见的分离变量方法表示为：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)，g(y)都是与x 和y有关的函数，两边同时积分，就得到：∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx有时，可以将一阶微分方程变形为某种特定的方程，从而得到解析解。
2. 二阶微分方程的求解二阶微分方程最常见的形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0。
常微分方程初值问题数值解法
数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题，解析解难以求得或不存在，因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法，以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术，提高计算效率，处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法，根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法（如欧拉方法）得到一个 初步解，然后使用校正方法（如龙格-库塔方法） 对初步解进行修正，以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高，且计算量相 对较小，适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中，步长是一个重要的参数，它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节，它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值，方便快捷，适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪，科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展，数值 解法在20世纪取得了重要进展， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前，常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战，如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
常微分方程初值问题的解法
常微分方程初值问题的解法随着科技的不断进步和人类社会的不断发展，工程技术和科学技术的发展已经成为推动社会进步的重要力量，而数学则是工程技术和科学技术的基础和支撑，常微分方程作为数学分支的重要组成部分，对于理论研究和实际应用都有着深远的影响。
在实际工程中，解决常微分方程初值问题是数学理论在抽象式运算与工程实践之间的重要桥梁。
本文将介绍常微分方程初值问题的概念、求解方法以及实际应用。
一、常微分方程初值问题的概念常微分方程是指未知函数一阶或高阶微商与自变量和常数的关系式，常微分方程初值问题是指在初值u(x0)=u0已知的情况下，确定函数u(x)的解的问题。
在初值问题中，自变量是独立变量，取值范围可以是任意实数，因变量是函数值，是依赖自变量而实现的数值，常数是影响函数变化的一些固定参数。
常微分方程模型经常出现在工程技术模型中，一些实际应用场景可以通过建立数学模型来进行求解。
二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法大致可以分为两种，一种是解析解法，即直接利用微积分学知识对方程进行求解；另一种是数值解法，即采用数值方法对方程进行数值计算求解。
下面将分别介绍这两种方法的解法原理。
1. 解析解法解析解法是指通过数学工具对函数解析表达式进行研究，以求出常微分方程的解。
该方法的先决条件是对方程具有严格的内部结构和特殊的形式，只有在特殊情况下才能找到一些特解。
这种方法的难点在于方程方程形式和初始条件可能存在巨大的数学难度，解析解的求解需要求解一些解析式的积分、微分和级数。
往往只有在一些特殊情况下，解析解法才能一般性的解决问题，因此该方法的适用场景相对较少。
2. 数值解法数值解法是指通过数值计算的方法，通过有限个代数运算和计算机模拟的方法得出方程的解。
数值解法的优点是具有广泛的适用性，可以有效地求解各种类型的常微分方程初值问题，使得无法通过解析方法求解的问题也可以得到解答。
数值解法可分为无条件稳定和条件稳定两种情况，前者是指方法不会出现不稳定结果的情况，而后者则保证了方法收敛性的同时，存在一定的条件限制。
数值计算中的常微分方程初值问题
数值计算中的常微分方程初值问题常微分方程是描述许多自然规律和现象的数学方法之一，常常在科学研究和工程应用中被广泛应用。
求解常微分方程的数值算法称为数值方法，这些方法用于求解微分方程的初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）。
本文将讨论常微分方程初值问题以及数值方法的应用。
1. 常微分方程初值问题常微分方程初值问题是一类形如$y^{\prime}=f(t,y),y(t_0)=y_0$的微分方程。
其中，$f(t,y)$是已知的函数，$y^{\prime}$表示$y$对$t$的导数，$y_0$和$t_0$是已知的初始条件。
将微分方程的解表示为$y=y(t)$，则其在$t=t_0$处的值为$y(t_0)=y_0$。
对于一个给定的常微分方程初值问题，我们需要求出其解$y=y(t)$。
常微分方程的解是一类内禀函数，通常没有解析表达式。
因此，求解微分方程的目标是得到一个数值近似解，以使得这个近似解能够满足应用上的需要。
但是，求解微分方程时需要注意最小化误差，以充分利用计算机资源和减小不确定性。
2. 数值方法数值方法是一种使用数值计算技术快速求解微分方程的方法。
常见的数值方法包括显式欧拉法，向后欧拉法，中点法，龙格–库塔法等。
2.1 显式欧拉法显式欧拉法是最简单的求解微分方程的数值方法之一，它通过计算初始值函数的斜率来求解下一个点的值，使得下一个点的值可读性更高。
具体来说，显式欧拉法使用前项差分公式：$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$其中$t_n=n \cdot h$是离散时间步（$h$是时间步长）。
显式欧拉法的误差随时间步长变小。
但显式欧拉法的缺点是它难以处理比较复杂的微分方程，因为这可能需要使用较小的时间步长。
此外，显式欧拉法可能产生的数值不稳定性也是一个挑战。
2.2 龙格-库塔法龙格-库塔方法是一种经典的提高微分方程数值解精度的数值方法。
龙格-库塔法是一类迭代方法，它使用多次计算初始值函数的斜率，以生成更准确的导数值。
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题常微分方程初值问题是求解一个确定初始值条件下的常微分方程的解。
解常微分方程的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法和相关参考内容。
1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离，然后进行分离变量的积分。
这是解常微分方程最常用的方法之一。
相关参考内容：《普通微分方程教程》（陈英席著）、《普通微分方程》（王永乐著）2. 齐次方程法：对于齐次方程 dy/dx = f(x,y)（其中 f(x,y) 是关于 x 和 y 的函数），通过引入新的变量 u = y/x，将其转化为一个关于 u 的单变量方程。
然后再解这个方程。
相关参考内容：《普通微分方程与应用》（杨万明、杨卓玲著）、《数学物理方程》（尤伯杯著）3. 线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的线性方程，可以使用积分因子法将其转化为一个可解的方程。
相关参考内容：《普通微分方程讲义》（陈方正、李学勤著）、《分析数学基础讲义》（包维楷等著）4. 变换法：通过进行适当的变量变换，将原方程转化为易于求解的形式。
相关参考内容：《常微分方程讲义》（李鼎立著）、《常微分方程教程》（张世忠、赵寿明著）5. 解特殊的微分方程：一些特殊的微分方程有相应的解法，例如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等。
相关参考内容：《常微分方程教程》（孙士焜著）、《微分方程教程》（刘川著）此外，常微分方程的初值问题可以利用数值方法进行求解，例如 Euler 方法、Runge-Kutta 方法等。
相关参考内容：《数值分析》（李庆扬、褚国新著）、《常微分方程数值解法》（赵义、余长星著）解常微分方程初值问题需要动用到微积分、线性代数等数学知识，因此具备扎实的数学基础是解题的前提。
上述参考内容对于理解和掌握常微分方程的解法都具有很好的帮助，读者可以根据自己的实际情况选择适合的参考教材进行学习。
此外，还可以通过参考数学相关的学术论文和网络资源来进一步深入了解常微分方程的解法。
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常微分方程初值问题12.1引言在数学模型中经常出现的常微分方程在科学的许多分支中同样出现，例如工程和经济学。
不幸的是却很少出现这些方程可得到表示在封闭的形式的解的情况，所以通常采用数值方法来寻找近似解。
如今，这通常可以非常方便的达到高精度和在解析解和数值逼近之间可靠的误差界。
在本节我们将关注一阶微分方程（12.1）形式关于实值函数y的实变量x的结构和数值分析方法，其中和f是一个给定的实值函数的两个变量。
为了从解曲线的无限族选择一个特定的积分构成（12.1）的通解，微分方程将与初始条件一起考虑：给定两个实数和，我们寻求一个（12.1）的解决方案，对于有（12.2）微分方程（12.1）与初始条件（12.2）被称为一个初值问题。
如果你认为任何（12.1），（12.2）形式的初始值问题具有一个唯一解，看看以下例子。
例12.1考虑微分方程，初始条件，其中α是一个固定的实数，α∈（0，1）。
这是一个关于上述想法的简单验证，对于任何非负实数C，是初值问题在区间[ 0，∞）上的一个解。
因此解的存在性是肯定的，但解不一定唯一；事实上，初始值问题的解有一个无限族，当参数。
我们注意到，在与α∈（0，1）相反的情况下，当α≥1，初值问题，具有唯一解y（x）≡0。
例12.1表明函数f必须遵循相对于它的第二个参数的一定的增长性条件，以保证（12.1），（12.2）有唯一解。
精确的保证初始值问题（12.1），（12.2）假设f解的存在惟一基于下面的定理。
定理12.1（Picard theorem）假定实值函数是连续的矩形区域D定义；当时；且f 满足Lipschitz条件：存在L＞0则。
进一步假设。
（12.3）然后，存在一个唯一函数，使得和其中；此外，。
证明我们定义一个函数序列为（12.4）。
因为f在D上连续，所以显然每个函数在上是连续的。
此外，由于因此，通过减法我们得到（12.5）。
我们现在进行推导，并且假设对于一些n的正值成立，（12.6）。
而且（12.7）。
那么，该定理的假设和（12.4）意味着（12.6）和（12.7）在n = 1时成立。
现在，（12.7）和（12.3）得出。
因此，和对于所有。
所以，使用（12.5），Lipschitz条件和（12.6）得到，（12.8）。
对于所有的。
进一步，使用（12.8）和（12.7）得到，（12.9）。
对于所有的。
因此，（12.6）和（12.7）仍然成立当用n+1取代n时，并且，通过归纳，他们对于所有的正整数n都成立。
由于无穷级数收敛于对于的任何值，而且特别的，对于，它服从（12.6）那么无穷级数绝对一致收敛对于。
然而，显示连续函数列一致的收敛于一个极限，在上，而且因此极限本身是一个连续的函数。
调用此极限y，我们从（12.4)看到，（12.10）。
在这里我们使用一致收敛的函数列从二线到三线过渡来交换极限过程和积分法的顺序，和函数f从三线到四线过渡的秩序性。
因为是一个关于s的连续函数在区间，它在区间[ x0，x ]上的积分是关于x的连续可微函数。
因此，通过（12.10），y是连续可微函数其中x在[ x0，XM ]；即，。
在求（12.10）的微分我们演绎得到根据要求；同时。
我们已经看到，当时；因为D是中的闭集，令后，它同样遵循当。
为了表明，初值问题的解是唯一的，假设，如果可能的话，有两种不同的解y和z，然后，通过减法，从中可得（12.11）对于所有的。
假设M关于表达式的最大值，其中，且m>0。
于是，将此不等式代入（12.11）的右边我们发现。
以类似的方式进行，我们很容易通过归纳得出对于所有的。
然而，在最后一个不等式的右边以为上界，对于所有的，可通过选择k足够的大达到任意小。
因此，必须为零对于所有。
因此，解y和z是相同的。
在应用这个定理时，选择一个满足Picard定理的常数值C使各种假设均符合条件是十分重要的，特别是（12.3）；不难看出如果在（x0，y0）的一个邻域内连续，条件将得到满足如果足够小。
作为一个很简单的例子，考虑线性方程（12.12）其中p和q是常数。
然后，，C是独立的，且。
因此，对于任意区间，通过选择C足够大来满足条件；因此，初值问题有一个唯一的连续可微解，定义对于所有的。
现在，考虑另一个例子。
在这里，对于任意区间，我们有K = 1 。
选择任意关于C的正值我们发现，当L = 2（1 + C）。
因此我们现在需要的条件。
这是符合条件的如果其中ln表示。
函数F关于C的草图表明，F的最大值C = 1.714附近，且给了条件（见图12.1）。
因此，我们无法证明解的存在性在无穷区间[ 0，∞）。
这当然是正确的，当初始值问题的唯一解为这是不连续的，更别说是连续可微的，在任意区间当。
Picard定理的条件，对于解的唯一存在性是充分的但不是必要的，在解存在时给出了一个更严格的对于区间大小的约束。
Picard定理的证明方法也给出了一个构造近似解的可能方法，通过从（12.4）中确定函数。
在实践中，它是不可能的，或者说很难，评估在封闭形式的必要积分。
我们画图12.1。
函数 在区间[ 0，4 ]的图；F实现其最大值C = 1.714且F（C）≤0.43对于所有C≥0。
把它作为一个练习（见练习3）表明，对于简单的线性方程（12.12），初始条件y（0）= 1，函数与从精确解中获取近似解一样通过扩大指数函数为幂级数和保留条件直到一个包含。
在本章的剩余部分我们将会考虑一步一步求解初始值问题（12.1），（12.2）的近似解的数值方法。
我们假设函数f满足Picard定理的所有条件。
假设初值问题（12.1），（12.2）在区间上有解。
我们把这个区间通过网格点，n = 0，1，。
..，N，其中，且N是正整数。
正实数h称为步长或网格尺寸。
对每一个n我们寻找一个数值逼近，解析解的数值在网格点上；这些数值能逐次计算，对于n =1，2，。
..，N。
12.2一步法一个一步法为依照前边数值来表示，随后我们考虑K步法，其中依照k的前值，其中K≥2。
关于初值问题的数值解最简单的一步法的例子是欧拉法。
欧拉法。
给定，让我们假设我们有已经计算了，直到出现一些n, 0≤n≤N−1,N≥1；我们定义因此，对于连续的n = 0，1，......，N-1，一步一步的迭代，在网格点的近似值可以十分容易地获得。
这个数值方法称为欧拉法。
为了改进欧拉方法的定义，让我们观察这对扩大为关于的泰勒级数，只保留前两项，记，我们有在用和的数值逼近更换后，分别通过和表示，然后舍弃的项，我们到达欧拉法。
更一般地，一步法，可以被写成（12.13）其中Φ（·，·；·）是其变量的连续函数。
例如，在欧拉法的情况下，。
更复杂的一步法的例子将在下面讨论。
为了评估数值方法（12.13）的准确性，我们定义全局误差，，其中我们还需要截断误差的概念，，定义（12.14）接下来的定理提供了一个关于截断误差的整体误差的大小范围。
定理12.2考虑（12.13）一般一步法，在除了其参数的连续函数，假定Φ关于于它的第二个参数满足Lipschitz条件，即存在一个为正的常数这样，对于和所有的（x,u)与(x,v)在矩形区域我们有（12.15）然后，假设，n = 1，2，。
..，N，则可得，，n = 0，1，....，N，（12.16）其中。
证明重写（12.14）为从中减去（12.13）由此，我们得到然后，因为和属于D，（12.15）Lipschitz条件意味着n = 0，1，....，N -1。
（12.17）即为，n = 0，1，....，N -1。
由前文这很容易得出由于。
观察得出（12.16）。
让我们应用这个总结论来获得一个在欧拉法的整体误差范围。
欧拉法的截断误差由下式给出（12.18）假设，即，y是关于x在上二次连续可微函数，将展开成关于泰勒级数余项（见定理A.4），我们有将此扩展到成（12.18）给出让。
然后，，N = 0，1，....，N- 1，其中。
将其插入到（12.16）且注意到欧拉法，因此，其中L是关于f 的Lipschitz常数，我们有，N = 0，1，...，N。
（12.19）让我们高度重视通过聚焦误差分析的实际意义在一个具体的例子。
例12.2让我们考虑初始值问题，，其中是一个给定的实数。
为了找到一个整体误差的上界，其中是的欧拉近似，我们需要在不等式（12.19）确定的常数L和。
这里；因此，利用平均值定理（定理A.3），其中η介于u和v之间，在我们的例子中因此，L = 1。
为了找出我们需要获得一个在上的界绑定（其实不用解决初值问题！）。
这是很容易实现的，通过对微分方程两边关于变量x微分：因此，。
插入L和的值到（12.19）注意到x0＝0，我们有，n= 0，1，...，N。
因此，给定一个公差TOL，预先指定的，我们可以保证（未知）的解析解和数值解近似之间的误差不超过该容忍度通过选择一个正步长h如下，这样我们就有n = 0，1，...，N，如果需要。
因此，至少在原则上，我们可以计算出的数值解通过选择足够小的步长h来达到任意高的精度。
数值实验表明该误差估计是相当悲观。
例如，和，我们的界意味着，容忍度TOL= 0.01将在h≤0.0074时达到；因此，看来，我们需要N≥135。
事实上，使用N = 27用欧拉法给出的结果就在容忍度内，所以误差估计预测的使用的步长比实际需要的五倍还小。
例12.3作为典型实例，考虑问题（12.20）其中假设解已知为在区间x∈[ 0，1.6 ]上的一些数值计算结果如图12.2所示。
他们使用的步长大小为0.2，0.1和0.05，显示步长的减少如何减少误差也通过一个大约为2的因素，与（12.19）的误差界一致。
图12.2.关于（12.20）的欧拉法解。
精确解（实曲线）和三组所展示的结果（大，中，小圆点），分别采用步长为0.2的8个点，步长为0.1的16个点，步长为0.05的32个点在区间[ 0，1.6 ]。
12.3一致性和收敛性回到（12.13）一般的一步法，我们考虑函数的选择。
定理12.2表明如果截断误差“接近零”当，那么整体误差也“收敛到零”。
这个观察促使以下定义。
定义12.1（12.13）数值方法与是微分方程（12.1）是一致的，如果通过（12.14）定义的截断误差为任意ε> 0存在一个正的h（ε），其中，当且任何对点在任何解曲线D上。
对于（12.13）一般的一步法我们假设函数是连续的；因为也是一个在上的连续函数，由（12.14）它服从如下极限和，且，我们有在这个极限在在区间趋于一个极限点x的方式下，h趋于零，n趋于无穷。
这意味着（12.13）一步法是一致的如果，且只有如果，（12.21）这种情况有时作为一致性的定义。
我们今后总是假设（12.21）成立。