常微分方程初值问题答案
初值问题——精选推荐
初值问题《计算机数学基础(2)》辅导六第14章常微分⽅程的数值解法⼀、重点内容1.欧拉公式：(k＝0，1，2，…，n－1)局部截断误差是O(h2)。
2. 改进欧拉公式：或表⽰成：平均形式：局部截断误差是O(h3)。
3. 四阶龙格――库塔法公式：其中κ1＝f(x k，y k)；κ2＝f(x k+0.5h，y k+0.5hκ1)；κ3＝f(x k+0.5h，y k+0.5hκ2)；κ4＝f(x k+h，y k+hκ3)局部截断误差是O(h5)。
⼆、实例例1⽤欧拉法解初值问题取步长h＝0.2。
计算过程保留4位⼩数。
解h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。
⾸先建⽴欧拉迭代格式＝0.2y k(4－x k y k) (k＝0，1，2)当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有y(0.6)≈y3＝0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.4613 例2 ⽤欧拉预报－校正公式求解初值问题取步长h＝0.2，计算y(1.2)，y(1.4)的近似值，⼩数点后⾄少保留5位。
解步长h＝0.2，此时f(x，y)＝－y－y2sin x欧拉预报－校正公式为：有迭代格式：当k＝0，x0＝1，y0＝1时，x1＝1.2，有＝y0(0.8－0.2y0sin x0)＝1×(0.8－0.2×1sin1)＝0.63171y(1.2)≈y1＝1×(0.9－0.1×1×sin1)－0.1(0.63171＋0.631712sin1.2)＝0.71549 当k＝1，x1＝1.2，y1＝0.71549时，x2＝1.4，有＝y1(0.8－0.2y1sin x1)＝0.71549×(0.8－0.2×0.71549sin1.2)＝0.47697y(1.4)≈y2＝0.71549×(0.9－0.1×0.71549×sin1.2)－0.1(0.47697＋0.476972sin1.4)＝0.52611例3写出⽤四阶龙格――库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h＝0.2计算y(0.4)的近似值。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程的初值问题及其解法
常微分方程的初值问题及其解法常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。
初值问题是其中最基本的问题之一。
本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。
1. 初值问题的意义首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。
上面这条式子就是一个二阶常微分方程。
我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。
这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。
这就是初值问题的意义。
通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。
对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。
但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。
然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。
2. 数值解法下面将介绍几种常见的数值解法。
2.1. 欧拉法欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。
具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。
于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：$$y_2=y_1+f(y_1,t_1)\Delta t$$依此类推，直到我们得到一个目标时间$t_m$的值$y_m$。
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题的一般步骤如下：
1.确定微分方程的阶数和自由度数，以及初始条件和边界条件。
2.根据微分方程的形式和初始条件，选择适当的求解方法，如分
离变量法、特征线法、拉格朗日插值法等。
3.运用所选方法求解微分方程，得出通解或特解。
4.根据初始条件确定特解，得出最终解。
下面以一阶常微分方程为例，详细说明解题过程：
例：求解初值问题
dy/dx = x^2, y(0) = 1
解：
1.这是一个一阶常微分方程初值问题，自由度数为1，初始条件
为y(0) = 1。
2.采用分离变量法，将微分方程转化为积分形式：
∫dy/y = ∫ x^2 dx
两边同时积分，得到：
ln |y| = x^3/3 + C1
3.为了确定特解，需要将初始条件带入微分方程中，得到：
ln |y(0)| = 0^3/3 + C1 = C1
因此，特解为：
y(x) = e^(x^3/3 + C1) = e^(x^3/3 + ln |y(0)|) = e^(x^3/3 + ln |1|) = e^(x^3/3)
4.最终解为：y(x) = e^(x^3/3)。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答
(３)． dy = 1 − y 2 ； dx
解：①当 y ≠ ±1时，
原方程即为： dy = dx 积分得： ln 1 + y = 2x + c ，
(1 − y 2 )
1− y
即
y
=
ce 2 x
−1
．
ce2x + 1
② y = ±1也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
(４)． dy = y n ， (n = 1 , 1, 2) ；
内连续，而且 f ( y) = 0 ⇔ y = a ，则在直线 y = a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，
∫a±ε dy
当且仅当瑕积分
= ∞ (发散)．
a f (y)
证明：( ⇒ )
首 先 经 过 域 R1 ： − ∞ < x < +∞,
a − ε ≤ y < a 和 域 R2 ： − ∞ < x < +∞,
∂y
∂x
∂y ∂x
∫ 两边积分得： f (x2 + y2 )dx = C ,
即原方程的解为 F (x 2 + y 2 ) = C (其中 F 为 f 的原积分)．
-3-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：
(６) x dy = 1 − y 2 dx
解：①当 y ≠ ±1时 原方程即为： dy = dx
1− y2 x 两边积分得： arcsin y − ln x = c ． ② y = ±1也是方程的解.来自(７)．dy dx
=
x − e−x y +ey
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
高等工程数学第六章习题及答案
第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题(,),,()dyf x y a x bdx y a η⎧=≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6.1.1)的数值解法.数值解法可区分为两大类：(1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如Euler 法，Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表.(2) 多步法：此类方法在计算1yn +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表.离散化方法1. Taylor(台劳)展开方法2. 化导数为差商的方法3. 数值积分方法一、线性多步法基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式101',,1,,ppn in ii n i i i y a yh b y n p p +--==-=+=+∑∑其中i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数.说明：(1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它需要1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法.(2) 若10b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠，则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法.2．逼近准则 准确成立：101()()'(),,1,.ppn in ii n i i i y x a y xh b y x n p p +--==-=+=+∑∑【定义 6.1】 如果对任意()r y x M =，某一线性多步法准确成立，而当()y x 为某一个1r +次多项式时，线性多步法不准确成立，则称此线性多步法是r 阶的. 注：（1）方法的阶越高，逼近效果越好. （2）1p +步法的最高阶可达 22r p =+. 3．线性多步法阶与系数的关系 局部截断误差101()()'(),,1,.ppn n in ii n i i i T y x a y xh b y x n p p +--==-=--=+∑∑()01()'()(),qq n n n q n T c y x c hy x c h y x =++++其中001011011,1[()],1{1[()()2,3,.!pi i p pi i i i p pq q q i i i i c a c i a b c i a i b q q ===--==-⎧=-⎪⎪⎪=--+⎪⎨⎪⎪⎪=--+-=⎪⎩∑∑∑∑∑【定理6.1】 线性多步法是r 阶的充分必要条件是0110,0r r C C C C +====≠称1r C +为误差常数.线性多步法是相容的：满足条件010C C ==,即0011,()1pi i ppiii i a i a b===-⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∑∑∑4．线性多步法的构造方法 待定系数法：r 阶方法的系数,iia b 确定，可令010,r CC C ==== 即解下面方程得到1,0()1011()(),2,3,,01p a ii p pi a b i i i i p pq q i a q i q r i i i ⎧=∑⎪⎪=⎪⎪-+=∑∑⎪⎨==-⎪⎪⎪-⎪-+-=∑∑⎪==-⎩二、线性多步法的收敛性 记1(),pp p iii r ra rρ+-==-∑1().pi p ii r b rσ-=-=∑分别称为线性多步法的第一、第二特征多项式.()r ρ以及相应的线性多步法满足根条件：若()r ρ的所有根的模均不大于1，且模为1的根是单根。
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
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1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n n y = …2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.90483756(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.9048375n n y = ……（4分）2. 对常微分方程初值问题12(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n n y =……………….(2分)（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.9512196/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.95145314n n y =……(4分)《数值分析》复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。
3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
2.利用平方差的方法4. 在数值计算中，当a _____________5. 在数值计算中，计算356-应变成 来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为 来计算。
3.f 的位数与f （x ）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为07. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =______________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，4(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x9. 当()f x x =时，(,)n B f x = 。
10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ ______________,323222122()23x x R x x x ++=++ __________________.11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：12.化为线性方程2.调整排序收敛的G-S 迭代格式： 。
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式0()nn kk k I Af x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是________它是插值型____________;当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nn n kk k I b a Cf x ==-∑至少有___n+1__P103_____次代数精度；高斯求积公式()()()nbk k ak f x x dx A f x ρ=≈∑⎰至少有_____2n+1_P116____次代数精度。
14. 设7227227227n n A R ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征值的界为 （2.2）与7的和、差为界 ，矩阵1A -的特征值的界为 界的倒数 。
A ∞=max （1<=i<=n ）∑(j(1,n))|aij|等价于每一列中最大值的和 1A = max （1<=j<=n ）∑(i(1,n))|aij|等价于每一行中最大值的和 2A =作业第五章12 P11615. 已知1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，314x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么A ∞1A = ________,2A ∞12x = ________,其中相等的范数有_______A ∞=____________1x =__________. 二、判断题1. 如果插值节点01,,...,n x x x 互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式是存在且唯一。
（ x ）2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。
（ x ）3. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x 在[,]a b 上具有直到三阶的连续函数。
（ ）4. 已知1 2.53 3.5A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，51x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么1A =1x 。
（ 1 ）5. 法来完成。
（ 1 ）6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。
（ 1 ）7.。
（ ）8. 在使用松弛法（SOR ）解线性代数方程组AX b =时，若松弛因子ω满足11ω-≥，则迭代法一定不收敛。
（ 1 ） 9. 求解单变量非线性方程()0f x =，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。
（ 1） 10. 常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。
（ 1 ） 11. 解单变量非线性方程()0f x =，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen 迭代法，则为3阶收敛。
（ 1 ） 三、计算解答题和证明题构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12.0e和72.0e的近似值。
1.列出牛顿的插值表2.Px=f（x0）+……P323、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75（2）4、二分法求根 作业第七章1(1) 方程034=-+x x 在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：11*2++-≤-n n ab x x ）; (2) 方程32()33f x x x x =+--在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;(3) 方程4210x x +-=,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。
第六章5、用适当的方法解方程组：(1)123123123424421051145219x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩;(2)123310413150134x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (3)123210315210231x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分dx x⎰311，误差限不超过310-。
7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分cos x e xdx π⎰，已知134.778519T =-，217.389259T =-，413.336023T =-，812.382162T =-8、设方程组12341234123412347239210683032910x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪++-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-=⎩，写出Jacobi 迭代法和G S -迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。
9、对常微分方程初值问题 （1）(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩（2）2(0)1(01)dy y dx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩（3）12(0)1(01)dyy dx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比较。
1011、设A 是正交矩阵，证明2()1Cond A =。
12、（1）当()f x x =时，(,)n B f x x =； （2）1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆； （3）如果A 是正交阵，则2()1cond A =。
13、证明：适当选取待定参数a , 求积公式)]()0([)]()0([2)(''20h f f ah h f f hdx x f h-++≈⎰的代数精度可达到3=m 。
14、试证明：适当选取待定参数0A , 1A ，2A ，求积公式)2()()0()(21300h f A h f A f A dx x f h++≈⎰的代数精度可达到2=m 。
15、证明Chebyshev 多项式()n T x 满足微分方程2'''2(1)()()()0n n n x T x xT x n T x --+=。
16、已知方阵221111321A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1） 证明：A 不能分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；（2） 试通过交换A 的行，进行LU 分解。
二、课本习题1．每章的“复习与思考题” 2. P48, 2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19; P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20; P209,1,2;P238,1,3,7,12; P275,1,2; P315,1,4,10.1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。