一类非线性高阶波动方程的初值问题局部解的存在性
一类广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题
一类广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题张能伟;陈翔英【摘要】The existence and uniqueness of the global generalized solution ν∈C([0,∞ ) ; Hs ( R) ) ∩C1 ( [0,∞ ) ;Hs-2(R) ) (s≥4) and the global classical solution of a generalized BBM-Burgers equationrnvt -avxxt -βvxx + γvxxxx +f(v)x =G(v) +h(vx)x +g(v)xx ,x ∈ R,t >0,rnv(x,0) =vo(x) , x ∈ Rrnwere proved. Moreover, the decay estimate of the solution was given.%证明了广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题vt-αvxxt-βvxx+γvxxx+f(v)x=G(v)+h(vx)x+g(v)xx,x∈R,t＞0,v(x,0)=v0(戈),x∈R存在唯一整体强解v∈C([0,∞)；Hs(R))∩C′([0,∞)；Hs-2(R))(s≥4)和唯一的整体古典解,并给出解的衰减估计.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(044)002【总页数】7页(P24-30)【关键词】广义BBM-Burgers方程;Cauchy问题;整体解;解的衰减估计【作者】张能伟;陈翔英【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院河南安阳455002;郑州电力高等专科学校经济贸易系河南郑州450004【正文语种】中文【中图分类】O175.29;O175.260 引言文[1]研究了具有耗散项的多维广义BBM-Burgers方程组Cauchy问题(1)u(x,0)=u0(x), x∈RN(2)解的最优瞬间衰减估计，其中，u(x,t)=(u1(x,t),…,un(x,t))T是未知向量值函数，fj(u)=(fj1(u),…,fjn(u))T(j=1,2,…,N)是定义在是以某一固定点为球心，l为半径的闭球，而l>0为任意固定常数)上的任意n×1光滑向量值流量函数.文[2]证明了具有耗散项的一维广义BBM-Burgers方程组Cauchy问题ut+f(u)x-αuxxt-βuxx+γuxxxx=0, x∈R, t>0,(3)u(x,0)=u0(x), x∈R(4)整体光滑解的存在性和收敛性，其中，α,β,γ>0为常数，u(x,t)=(u1(x,t),…,un(x,t))T和f(u)=(f1(u),…,fn(u))T为光滑向量值函数.文[3]研究了多维的Cauchy问题(3)，(4)整体光滑解的存在性和收敛性，所得结果推广了Cauchy问题(3)，(4)的结果.作者研究下列广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题vt-αvxxt-βvxx+γvxxxx+f(v)x=G(v)+h(vx)x+g(v)xx,x∈R, t>0,(5)v(x,0)=v0(x), x∈R,(6)其中，v(x,t)表示未知函数，等,α,β,γ>0为常数，f(s),h(s),G(s)和g(s)为给定的非线性函数，v0(x)是定义在R上的已知初值函数.作者采用以下记号：Lp(1≤p≤∞)表示所有定义在R上Lp可积函数的空间，并赋予范数‖·‖Lp=‖·‖p,‖·‖L2=‖·‖;Hs(R)表示R上的Sobolev空间，赋予范数其中，是单位算子,表示u(x,t)对x的Fourier变换.1 Cauchy问题(5),(6)局部解的存在性和唯一性为了讨论方便起见，对方程(5)和初值条件作尺度变换(7)于是方程变为(8)而初值变为若令则Cauchy问题(5)，(6)变为ut-uxxt-uxx+uxxxx+f(u)x=G(u)+h(ux)x+g(u)xx,x∈R, t>0,(9)u(x,0)=u0(x), x∈R.(10)所以作者只需研究Cauchy问题(9)，(10)整体强解和整体古典解的存在性、唯一性和解的衰减性质，因为通过变换(7)可得Cauchy问题(5)，(6)的结果.为了将Cauchy问题(9)，(10)转化为积分方程，引入常微分方程的基本解和几个引理.令F(x)是常微分方程w(x)-wxx(x)=δ(x)(11)的基本解，其中,δ(x)为Dirac函数，即易证基本解满足下面的引理.引理1 ① F(x)在R上有意义、连续且F(x)>0;② F(x)∈Lq,其中，1≤q≤∞且‖F‖1=1；③其中，是F(x)的Fourier变换；④‖F*f‖Hs(R)=‖f‖Hs-2(R),∀s∈R,其中，F*f(x)表示函数F和f的卷积.引理2[4] 假设f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈L∞∩Hs(R)且k=[s]+1,s≥0.如果‖u‖L∞(R)≤M,则‖f(u)‖Hs(R)≤C1(M)‖u‖Hs(R),其中，C1(M)是依赖于M的常数.引理3[5] 假设s≥0,f(u)∈Ck(R)(k=[s]+1),u,v∈L∞∩Hs(R),如果‖u‖L∞(R)+‖u‖Hs(R)≤M,‖v‖L∞(R)+‖v‖Hs(R)≤M,则‖f(u)-f(v)‖Hs(R)≤C2(M)‖u-v‖Hs(R),其中，C2(M)是依赖于M的常数.设u(x,t)∈C1([0,T];Hs(R))(s≥4)是问题(9)，(10)的强解，则方程(9)可写为ut-uxx-[ut-uxx]xx+f(u)x=G(u)+h(ux)x+g(u)xx.(12)令f(0)=h(0)=g(0)=G(0)=0,由方程(12)和基本解F(x)可知=F*[G(u)+h(ux)x-f(u)x+g(u)xx].(13)定义1 对于任意T>0，如果s≥2,函数u(x,t)∈C([0,T);Hs(R))∩C1([0,T);Hs-2(R))是问题(13)，(10)的解，则称u(x,t)是问题(9)，(10)的强解.如果T<∞，则称u(x,t)为问题(9)，(10)的局部强解;如果T=∞,则称u(x,t)为问题(9),(10)的整体强解.为了应用压缩映射原理证明问题(13),(10)存在唯一的整体解,首先考虑下列线性方程的Cauchy问题ut-uxx=φ(x,t), (x,t)∈R×[0,T],(14)u(x,0)=u0(x), x∈R.(15)引理4 令s∈R.设对任意的T>0，u0∈Hs(R),φ∈L1([0,T];Hs(R)),则问题(14)，(15)存在唯一强解u(x,t)∈C([0,T];Hs(R))且有估计(16)证明类似于文献[6],证明波动方程的Cauchy问题utt-uxx=φ(x,t), (x,t)∈R×[0,T],u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x), x∈R解的存在唯一性，可以证明问题(14)，(15)存在唯一的强解u(x,t)∈C([0,T];Hs(R)).下面证明估计式(16)成立.方程(14)两边作Fourier变换，有(17)(17)式两端同时乘以eξ2t,得从0到t积分可知(18)其中，是u0(x)的Fourier变换.因为e-ξ2t≤1,由(18)式得(19)引理证毕.对于s≥2,u0∈Hs(R),定义函数空间X(T)={w|w∈C([0,T];Hs(R))},其范数定义为显然X(T)是一个Banach空间.对于任意M，T>0,定义集合P(M,T)={w|w∈X(T),‖w‖X(T)≤M},显然P(M，T)是X(T)中一不空有界闭凸集，对于w∈X(T)，u0∈Hs(R),g,f,h,G∈Ck(R)且k=[s]+1，考虑下列线性方程的Cauchy问题ut-uxx=F*[G(w)+h(wx)x-f(w)x+g(w)xx], x∈R, t>0,(20)u(x,0)=u0(x), x∈R.(21)令S表示由w到问题(20)，(21)的唯一解的映射，由引理4知，S映X(T)到X(T). 定理1 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1.如果T相对于M充分小，则S：P(M，T)→P(M，T)是严格压缩的.证明当s≥2时，由Sobolev嵌入定理推得其中，是由定义在R上的连续函数和一阶有界连续导数全体组成的空间且C3是一嵌入常数.令由引理1和引理2得(22)其中，故所以由引理4知(23)如果M和T满足(24)则由(23)式推出‖u(·,t)‖Hs(R)≤M.因此，如果(24)式成立，则S映P(M，T)到P(M，T).下证S:P(M,T)→P(M,T)是严格压缩的.给定w1,w2∈P(M,T).令u1=Sw1,u2=Sw2,u=u1-u2,w=w1-w2,则u(x,t)满足下列Cauchy问题ut-uxx= F*[G(w1)-G(w2)+h(w1x)x-h(w2x)x-(f(w1)x-f(w2)x)+g(w1)xx-g(w2)xx],x∈R, t>0,(25)u(x,0)=0, x∈R.(26)由引理1和引理3推出‖F*[f(w1)x-f(w2)x]‖Hs(R) ≤‖f(w1)-f(w2)]‖Hs-1(R)(27)类似可知(28)(29)(30)所以由引理4和(27)～(30)式有(31)如果T满足(24)式和(32)则由(31)式得定理证毕.定理2 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1，则Cauchy问题(9)，(10)存在唯一的局部强解u(x,t)∈C([0,T0);Hs(R))∩C1([0,T0);Hs-2(R)),其中，[0，T0)是解存在的最大时间区间，同时如果(33)则T0=∞.证明由定理1和压缩映射原理知，对于适当选择的T>0,S有唯一不动点u(x,t)∈P(M,T),显然它是问题(9)，(10)的局部广义解，易证对于每一T′>0,问题(9)，(10)至多有一解u∈X(T′).下面证明u∈C1([0,T0);Hs-2(R)).由方程(13)和引理1，2推出所以Cauchy问题(9)，(10)存在唯一强解u∈C([0,T0);Hs(R))∩C1([0,T0);Hs-2(R)). 令[0，T0)是解u∈X(T0)存在的最大时间区间，利用文献[7]中的标准方法可证如果(33)式成立，则T0=∞.定理证毕.下面将解的延拓条件(33)转化为以下定理3中的(34)式.定理3 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1，又设[0，T0)是问题(9)，(10)解u(x,t)存在的最大时间区间，如果(34)则T0=∞.证明由(34)式可知‖u(·,t)‖L∞(R)<λ,t∈[0,T0).令由引理1和引理2得≤C1(λ)‖u‖Hs-2(R)+C1(λ)‖ux‖Hs-1(R)+C1(λ)‖u‖Hs-1(R)+C1(λ)‖u‖Hs(R)≤4C1(λ)‖u‖Hs(R) =C5(λ)‖u‖Hs(R).由引理4推出利用Gronwall不等式给出由定理2知T0=∞.定理证毕.2 Cauchy问题(9) ，(10)的整体解为了证明问题(9)，(10)存在唯一的整体强解和整体古典解，先引入下面一个有用的引理.引理5[8] 设是一个非负整数集合)，则Hs(R)嵌入Cm,λ(R)和对于任意w∈Hs(R)有|Dkw(x)|→0(|x|→∞), ∀k∈N, 0≤k≤m,其中，Cm,λ(R)表示Hölder空间和定理4 设u0∈Hs(R)(s≥4),g,f,h,G∈Ck(R)且k=[s]+1,h(0)=0且h′(z)≥0,∀∀z∈R,g′(z)≥0;G(0)=0且存在常数γ0>0,使得∀z∈R成立G′(z)≤-γ0.则Cauchy问题(9)，(10)有唯一的整体强解u(x,t)∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R)).证明根据定理3，只需证明(34)式成立即可.方程(9)两端同乘以2u，并在R上积分可得(35)其中，(·，·)表示L2(R)中的内积.利用引理5和中值定理有(36)(h(ux)x,u)=-(h′(θ1ux)ux,ux)≤0,(37)(g(u)xx,u)=-(g′(u)ux,ux)≤0,(G(u),u)=(G′(θ2u)u,u)≤γ0‖u‖2,(39)其中，0<θ1,θ2<1.将(36)～(39)式代入(35)式后，对t积分可得利用Gronwall不等式有由嵌入定理可得定理证毕.注1 如果则Cauchy问题(9)，(10)存在唯一整体古典解3 Cauchy问题(9)，(10)解的衰减性质定理5 设以下条件成立：①② G∈C1(R),G(0)=0且存在常数γ0>0，使得∀z∈R成立G′(z)≤-γ0;③1 h∈C1(R),∀z∈R,h(z)z≥0;③2 h∈C1(R)，h(0)=0,存在常数α0>0,使得∀z∈R成立h′(z)≥α0;④ g∈C2(R),存在常数β0>0,使得∀z∈R成立g′(z)≥β0.如果条件①，②，③1和④成立，min(γ0,1+β0)=σ0，则Cauchy 问题(9)，(10)的整体强解u∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R))(s≥4)和整体古典解u(x,t)有衰减性质‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-2σ0t,t≥0.(40)如果条件①，②，③2和④成立，min(γ0,1+α0+β0)=σ，则Cauchy问题(9)，(10)的整体强解u∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R))(s≥4)和整体古典解u(x,t)有衰减性质‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-2σt,t≥0.证明利用引理5和对x进行分部积分，如果对于任意的z∈R,h(z)z≥0,得(h(ux)x,u)=-(h(ux),ux)≤0;(42)如果h′(z)≥α0,利用中值定理有(h(ux)x,u)=-(h(ux)-h(0),ux)=-(h′(θ3ux)ux,ux)≤-α0‖ux‖2,(43)其中，0<θ3<1;又有(g(u)xx,u)=-(g′(ux)ux,ux)≤-β0‖ux‖2.(44)和(G(u),u)=(G′(θ4u)u,u)≤-γ0‖u‖2,(45)其中，0<θ4<1.将(36)，(42)，(44)和(45)式代入(35)式，得(46)解不等式(46)，推知(40)式成立.将(36)，(43)～(45)式代入(35)式,有(47)解不等式(47)，推知(41)式成立.定理5得证.致谢此文在郑州大学数学系陈国旺教授的指导下完成，特此感谢！参考文献：[1] Zhao Huijiang.Optimal temporal decay estimates for the solution to the multidimensional generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Applicable Analysis,2000,75(1/2):85-105.[2] Zhao Huijiang,Xuan Benjin.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,1997,28(11):1835-1849.[3] Zhao Huijiang.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term Ⅱ:the multidimensional case[J].Applicable Analysis,2000,75(1/2):107-135.[4] Wang Shubin,Chen Guowang.Small amplitude solutions of the generalized IMBq equation[J].J Math Anal Appl,2002,274(2):846-866. [5] Wang Shubin,Chen Guowang.Cauchy problem of the generalized double dispersion equation[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2006,64(1):159-173.[6] Sogge C D.Lectures on Nonlinear WaveEquations[M].Boston:International Press of Boston,1995:6-9.[7] 陈国旺，吕胜关.人口问题中广义三维Ginzburg-Landau模型方程的初边值问题[J].应用数学学报，2000，23(4)：507-517.[8] 王耀东.偏微分方程的L2理论[M].北京：北京大学出版社，1989:42-44.。
一类高阶波动方程的整体解及指数衰减估计
Ｉ ｆ上托４－△ “４ －ｑ（ｘ）ｕ ４ －ｇ（ｕ￡）＝ ０． ∈Ｑ，ｔ＞Байду номын сангаас
（１．４）
满 足条 件 （１．２）和 （１．３）的初 边值 问题 ，其 中 ９（·）是 一个连 续增 函数 ，且 ９（０）＝０，ｑ：ｆ２一 ［０，＋∞）足一个有界函数，并证明了此问题整体解的存在性和正则性结果．在 （·）的适 当增 长条件下，进而建立 了弱解和强解的衰减性．准确地说，在文献 ［５］中， Ｇｕｅｓｍｉａ给出了如
Ｎｏ．１
叶耀军 等：一类 高 阶波 动方 程的整 体解 及指 数衰 减估计
ｉｉｉ
下结果 ：如果 ９（．）是 线性 函数 ，则 解 呈指数 衰减 ；否则 ，解 呈 多项式 衰减 ．当方程 （１．４）和 半 线性 波动 方 程耦合 时 ， Ｇｕｅｓｍｉａ［。】得 到 了与文 献 ［５］类似 的结果 ．
当 △ “ｔ＋ｚｘｇ（ｚｘ￣）代 替 （１．４）式 中的 ｑ（ ）ｕ＋９（¨ｔ）时 ， Ａａｓｓｉｌａ和 Ｇｕｅｓｍｉａ［ 】应用文 献 ［８］中的引 理建 立 了解 的指数 衰 减性 ．此 外 ， Ｍｅｓｓａｏｕｄｉ［。】研 究 了下面 的初边 值 问题
Ｊｆ ｕ札＋△ 。 ＋ａｌｕ ｆｐ一。乱ｔ： ６ＩｕＩｒ－２ｕ， （Ｘ，ｔ）∈Ｑ×Ⅱ ＋
收稿 日期 ：２０１６—０３—０８；修 订 日期 ：２０１７—０４—１７ Ｅ—ｍ ａｉｌ：ＹＪｙｅ２０１３＠１６３．ｃｏｎｌ 基金项 目：浙江省 自然科学基金 （ＬＹ１７Ａ０１０００９）和 国家 自然科学基金 （６１２７３０１６）
Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ（ＬＹ１７Ａ０１０００９）ａｎｄ ｔｈｅ ＮＳＦＣ （６１２７３０１６）
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ Ｅ Ｅ ＯＵＲ ＡＴ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｓ Ｊ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ ￣ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ００ ｏ． ， ｏ２２ １ ２
一
类 具 有 非 线 性 异 号 源 项 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值 问题
３ ３
（ ），（ ｔ ） ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ （ ） ， （ ， ； ） 对所 有 ｆ ∈
［ ，） ０Ｔ 成立 （ ）＋ｆ Ａ ，ｖｄ （ ｕ， （ ｕＡ ）Ｔ＋ ， ）＋
Ｉ ０ “ Ｐｕ— ｕ 一 ， ｄ Ｉ ｂ ｒ＝（１ ） （ｌ 一 Ｉ Ｉ Ｍ） ， ＋ 口
ｌ Ｉ－ １ 体解 的存在 性 、 ｐ “整 唯一性 及 光滑性 ， 造 构 不 稳定集 证 明 了解 在 有 限 时刻 发 生爆 破 ， 参 考 在
文献［ ］中利用整体迭代法证明了 ４ ＋ △ ¨＋／ ／ ， Ｆ “ 整体经典解的存在唯一性． （） 在此基础上 ，
＝
笔者研究如下具有两个异号非线性源项的梁振动 方程 的初 边值 问题 ：
ｕ ５ ＝一 一 ， 一１ ｕ Ｉｕｌ
一
ｕ ＋△ 盯
＋ Ｏｔ ｔ ｊ＋ ａ ｌ ｔ
Ｉ 一 — ｂ ｌ／ Ｉ 一 ｐ ２ ，Ｐ
＝
０ （） １
＞０
（） ３
（ ０ ， ）＝“ （ ， （） ， ）＝ （ ， ∈ ０ ） “ ｔ （ ０ ） （） ４
。
＾
∞ ； ≥ ５时 ， １＜ｑ＜Ｐ ＜
， 一
，ｏ ）∈ （ ，ｌ ）∈ （ ， 问题存 在一 个 “（ ） （ 力） 则
一类非线性高阶波动方程的初边值问题
摘要：该文研究一类非线性高阶波动方程
Ｕｔ ｌｚ ＋ａｕ４ ３ｚｔ＝ ｕ ） ＋，ｕ ｕ ，黝ｕ ： ｕ４ ｔ～ａｕｚ ２ｚ ＋ａｕ４ （ｚｚ （，ｚｕ ：黝ｚ ｚ） ｔ ，
的初边值问题．证 明整体古典解的存在唯一性并给出古典解爆破的充分条件． 关键词：非线性高阶波动方程；初边值 问题；整体古典解 ；解 的爆破； Ｇｒｅ ｅｎ函数 ．
Ｉ ＋ ３４＝ ， ａ（ ０ Ｙ ）
【（＝ （ （ （＝ ０ １ ０ １ ０ ） ） ） ）
的 Ｇ ｅｎ函数 ，其 中 ａ ｒｅ ３＞０为 （． 式 中的 ａ， １１ ） ３ 即
：
其 中
｛２ ｃ ，。ｃ Ｉ ｓ（ Ｉ ＋２ ｈ — 一２ — Ｔ＋ 。 ￣ ｓ ＋ｓ ｖ ｃ ［ ＋２ｓｃ，－－２ 一 ２ｚ］ —ｃ ￣－ ｓ（－＋ ［ ｘ］ ￣ ，ｈ 。 ， ｎ ｓ ＝ ＿ Ｉ －８ ｓｃ， ￣ ２ ｔ ｓ ｓ － ，ｉ ｎ 一ｔ ｔ ｘ＋ Ｉ ｎ － ＿ － ｓ ｎ ｎ ＋ ＋２ｓ ２ｐ ） ｘ ｌ ）ｏ 一 －ｃ －ｓ ］ ） ＋ ｃ ｏ ￣ ［ ｃ，ｈ 一ｃ ｃ， ｓ ］ —２ｓ ］ ＋＋ ｃ ， — ｎ ｓ ［ 。 ｌ —｝ — ｃ， ｓ ｌ ， ｎ
问题以及方程 （ ） 多维情况的 Ｃ ｕｈ ａ ｃｙ问题的结果，见文献 ［ ７ ８． ６ ，】 ，
２ 初边值问题 （．）（．） １１－１３ 的局部古典解
为了将初边值问题 （ １，１ ）（． 转换为等价的积分方程，我们首先给出相应常微分 １ ）（． ，１ ） ． ２ ３ 方 程边值 问题 的 Ｇ ｅｎ函数．设 （，） ｒｅ 为常微分 方程 的边值 问题
的初 边值 问题 （． １） １
ｕｏｔ＝ｕ１ｔ ＝Ｕ （， ＝Ｕ （，） ， ｔ ０ （，） （，） 。０ｔ ） 。１ｔ ＝０ ， ｕｘ０ ＝ｕ （）ｕ（，） ｌｚ， ０ ｚ １ （，） ｏｘ，ｔ ０ ＝Ｕ （） ｘ
查新报告样本
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一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性
一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。
Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。
方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。
带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。
非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。
关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。
首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。
其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。
根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。
此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。
其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。
一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。
变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。
而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。
在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。
一类非线性波动方程的初边值问题
一类非线性波动方程的初边值问题作者：周晓宇任煜东来源：《商情》2008年第13期【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。
【关键词】非线性波动方程初边值问题整体解衰减估计一、引言及主要结论本文讨论如下初边值问题：的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。
我们用Galerkin方法证明问题(1)—(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：定理假定是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。
在上满足相容性条件.其中则对任意的T>0，问题(1)—(4)存在至少一个整体广义解若令中的p=1且和中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得此外，若连续，则解是唯一的。
二、定理的证明设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)—(4)的近似解据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题据常微分方程的一般理论，问题(5)—(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明能被整体延拓到[0，+∞)上.第一个估计将方程(5)中的换成，并在(0，t)上积分，得到由假设，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计其中是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
第二个估计首先估计的范数，易得其中是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的换为得到对上式左边第一项进行估计，可得在(0，t)上积分(9)式，，得到类似(8)的做法，，可以得到合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计其中，是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
非线性项的分析利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.由第一个估计和假设可知，存在函数，使得利用广义格林公式，由(5)得到由于Δu∈，从而有再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到由于接下来，把(5)中的换为并在(0，T)上积分，得到对上式两边取极限得到合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到由假设得到利用Lions引理即得(12).惟一性设和是问题(1)-(4)的两个解，则-满足在(17)中令，由假设、可以得到其中，λ来自于不等式另一方面，由连续和假设可知，存在常数C使得在(0，t)上积分(18)得到利用Gronwall引理，由上式即得.惟一性得证.能量的一致衰减由(1)得到(19)若令中的P=1，则存在正常数和，使得(20)考虑到假设，由(19)，(20)得到(21)注意到h(0)=0简单的计算易知(22)其中定义修正能量(23)假定(24)其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得(25)因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设得到定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数，使得(26)和(27)综合(26)，(27)可得其中，C，λ为正常数.证毕.参考文献：[1]Yang Zhijian.Global existence， asymptotic behavior and blow up of solutions for a class of nonlinear wave equations with dissipative term. J. Differential Equation，2003，187：520-540.[2]Tokio Matsuyama.On global solutions and energy decay for the wave equations of kirchhofftype with nonlinear damping term.J.Math.Anal.Appl.1996，204：729-753.[3]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti，J.S.Prates Filho and J.A.Soriano.Existence and uniform decay of solutions of a degenerate equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Nonlinear Analysis T.M.A.，1999，38：281-294.[4]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti.Existence and uniform decay of the wave equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Calculus of Variations，2002，15：155-180.[5]M.Nakao.Asymptotic Stability of the Bounded or Almost Periodic Solutions of the Wave Equation with Nonlinear Dissipative Term，J.Math.Anal.Appl.1997，58，336-343.基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号021*******.(作者单位：河南财经学院信息学院)注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
初值问题的解是不存在的例子
初值问题的解是不存在的例子
摘要：
一、初值问题的概念
二、初值问题解不存在的例子
1.非线性微分方程
2.波动方程
3.扩散方程
三、结论
正文：
初值问题是指在微分方程中，需要求解初始时刻的函数值和导数值的问题。
在一些情况下，初值问题的解是不存在的。
本文将介绍三个初值问题解不存在的例子。
首先，考虑非线性微分方程。
非线性微分方程的特点是方程中的项不是线性的，而是非线性的。
这种方程的解往往很复杂，有时甚至不存在。
例如，著名的Riccati 方程就是一个非线性微分方程，它的解在某些情况下是不存在的。
其次，波动方程。
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，它的解有时也是不存在的。
特别是在一些特殊情况下，如波长无限小或时间无限长，波动方程的解可能不存在。
最后，扩散方程。
扩散方程是描述物质扩散现象的偏微分方程，它的解在某些情况下也是不存在的。
例如，当扩散系数为零时，扩散方程的解就不存
在。
综上所述，初值问题的解不存在的情况在实际应用中是存在的。
对于非线性微分方程、波动方程和扩散方程等，我们需要根据具体问题具体分析，判断其解是否存在。
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第２ ５卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎ ｔａＳｉ ｃ｝ ＯＺ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
作者简 介： 侯长顺（ ９０ ） 男， １８ 一 ， 河南省平顶山市人 ， 南工业 大学讲 师 ， 河 主要研 究方向为非线性发展方程．
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１２・ ２
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２１ ０ ０证
问题 “ ａ Ｕ ａ ｕ ＋ ３４＝ 一 ｌ黜＋ ２ 口 ｕ ４ ） ∈Ｒ， ＞ ， ｔ０
Ｔｈ ｘｓｅ ｃ ｆｔ ｅ ｌ ｃ ｌ ｏｕ ｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｅ ｃ ｕ ｈ ｒ ｂ ｅ ｏ ｌｓ ｆ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｈ ｏ ａ ｌ ｔ ｏ ｈ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌｍ ｆａ ｃａ ｓｏ ｓ ｏ
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延拓定理证明了该方程的初边值问题 的整体古典解的存在唯一性 ， 并给出了古典解爆破 的充分条件． 现有
的文献 中 ， 还没 见到有 学 者研究 该方 程 的初 值 问题 ． 文 将 利用 变 换 和 压缩 映射 原 理来 研 究 该 方程 的初 值 本
收稿 日期 ：０９— ５—３ ２０ ０ １ 基金项 目： 南省教育厅 自然科学研究基￣ （ ０９ １００ ） 河南工业大学校基金 （ ７（ｃ ４ ） 河 ２ ０ Ｂ １０ ７ ； ｏ） ０５ Ｊ
①
②
ｕ ｘ ０ （ ， ０ ） ∈Ｒ （ ， ）＝ ） ｕ（ ）＝ｊ（ ， ，
其中， ， 戈 是已知的初始函数 ， （ ） （ ） 下标 和 ｔ 分别表示对 和 ｔ 的导数． 本文采用 以下记号和概念 ， 记
为通常的尺上所有Ｐ 次可积函数组成的 空间， 并赋予范数 ｌ ｌ１（ ≤ ≤∞）特别地， ｌ ｌ； １ １ ｐ ＝／ ， ＝ 记 是通常的 Ｒ上的 Ｓｂｌ 空间， ｏｏｖ ｅ 具有范数 Ｉ ｌ ＝Ｉ１ Ｉｌ ＇ａ ，（， 是 ｕｘｔ关于 的 Ｆｕｅ变换． ｌ ｌ ｌ ｈ ｌ ｔ ｕ旷 （ ） Ｉ ｎ ） （， ） ｏｒｒ ｉ
Ｖｏ ＿ ５ Ｎ ． Ｉ２ ｏ ２
Ａｐ ．２ １ ｒ ００
２１ ００年 ４月
文章编号 ：０ ４—１７ （０ ０ ０ ０ ２ — ４ １０ ４ ８ ２ １ ）２— １ １ ０
一
类非线性高阶波动方程的 初值 问题 局部解 的存在性
侯 长顺 黄 士 国 ，
（ ． 南工 业 大学 理 学 院 ，河 南 郑 州 ４ ０ ５ ； １河 ５０ ２
ｅ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ ｕｎｑｕ ｎ ｓ ｆｔ ｅ ｌｃ ｌｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌ ｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｌ ｃ ｌｓ ｉａ ｌ ｔ ｎ ａ ｅ ｐ ｏ ｅ ｙ ｘｓｅ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ｓ ｏ ｈ ｏ ａ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏｕｔ ｎ ｈ ｏ ａ ｃａ ｓｃ ｓ ｕ ｉ ｒ ｒ ｖ ｄ ｂ ｏ ｌ ｌ ｏ ｏ ｔ ｅ Ｆｏ ｒｅ ｒ ｎ ｆｒ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｒｃ ｉｅ ｐ ｎ ｉｌ ． ｈ ｕ ｒｔａ ｓｏ ｍ ｎ ｏ ｔａ ｔｖ ｒ ｃｐ ｅ ｉ ｈ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ Ｃ ｕ ｈ ｒｂ ｅ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎ ｉｅ ｒｗ ｖ ｑ ａ ｉｎ ｆｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ａ ｉｃ ｓｅ ． ｈ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ ｌ ａ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒｗ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ Ｔ ｅ ａ ｎ ｏ
Ｏ 引 言
在文献［ ］ １ 研究稠密晶格动力学时 ， 研究了一维均匀格 的波的传播 ， 借助于连续性方法得到了描述均匀
格 的波的传播 的较 精确 的方程
Ｕ 一 ｌ ＋ ２ ＋口 ｕ 站 ａ ｕ 口 ｕ４ ３ ４＝ ）， ∈Ｒ， ＞ ｔ０
其 中 ｕ ｘｔ未 知 函数 ，。口 ，， （ ，） ａ ， ａ ＞０都是 常数 ｓ为 已知 的非线 性 函数 ． ） 文献 ［ ］ 用压 缩 映射 原理 和 解 的 ２利
２ 郑州轻 工 业学院 数 学与信 息科 学系 ，河 南 郑州 ４０ ０ ） ． ５０ ２
摘要 ： 讨论 了一类非 线性 高阶 波动 方程 初 值 问题 ， 用 Ｆ ｕ ｅ 变换 和 压 缩 映射原 理 证 明 了局 部 广 利 ｏｒ ｒ ｉ 义解和局 部 古典解 的存在 唯一 性． 关键 词 ： 非线性 高阶 波动 方程 ； 值 问题 ； 部 广义解 ； 初 局 局部 古典 解 中图分类号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文献标 志码 ： Ａ