分数阶微分方程的初值问题解的存在性

-1
式 ( 5 ) 及函数 g 的单调性有: | (Tx ) ( t) - (T y ) ( t) | =
-2
| t2 - t1 | +
| t2 - t1 |.
第 32卷第 2 期 取 = ( - 1) + ( )
-1
王新年 , 等 : 分数阶微分方程的初值问题解的存在性 f
-1 -1 2
137
时, 当 | t2 - t1 | <
1 t ( )
-1
f ( ( t2 ( )0
t2 -1
)
-1
- ( t1 -
)
-1
)d +
1 (t( )0 f ( + 1) +
)
-1
| f( , x( )) | d +
-1
1 ( )
f ( t2 ( ) t1 t2
-1
)
-1
d =
1 ( ) U.
M
- t1 ( )
-1
-1
+
f ( + 1)
( t2 - t1 )
Existence of Solution for Fractional D ifferential Equation of In itia l Value P roblem
王新年, 米 芳, 王小春
( 太原师范学院数学系 , 太原 030012)
摘 要 : 利用 Schauder不动点定理 , 探讨了非线性分 数阶微 分方程 D 0, t x ( t) = f ( t , x ( t) ) 的初 值问
题 , 其中微分方程的阶 数 为区间 ( 2, 3 ] 的任意实数 , 导数形式为 R ie m ann L iouv ille型导数 。 给出了该方 程的右端函数 f ( t, x ( t) ) 满足 P erron 条件 , 证明了其解的存在性 。 关键词 : R ie m ann L iouv ille型导数 ; perron 条件 ; 存在 性 中图分类号 : O 175. 6 文献 标志码 : A
[0 , T ] , 使得 :
1 ( t( )0 因此,
)
-1
g( , <
x- y
)d <
( + 1)
f ( + 1)
M-
( )
, 用 I 表示区间 [ 0 , ] . 令: C ( I ), x ( 0 ) = 0 , M, t I } ( 6)
Tx - Ty
(
+ 1)
所以算子 T 为连
U = { x( t) | x( t) | x ( t) | x( t)
[ 5]
+
( 3) , N, N 的最小整数。 U是全连续算子, ( Schauder 不动点定理 )设 U 是 B a
1 预备知识
所用到的定义及引理 : 设 I = [ 0, T ] , D = I 的范数定义为 示伽玛函数。 定义 1
[ 6]
nach 空间 X 的有界闭凸集 , T: U 则 T 在 U 中有不动点。 C ( I), C ( I) 是定义在区 ( )表 R
- t1
= ( - 1)
-2 1
| t2 - t1 |, t2 - t1 = 3 ,故 ,
-1 2 -1
| t2 - t1 |, 因为 2 < . 所以 : t2 - 1 ( )
-1
) - g ( t, 0 ) = g ( t,
- t1 T( )
-1
+
f ( t2 - t1 ) ( + 1) f ( + 1)
2
R
t |x- y | 2
2
3 应用举例
考虑方程: D 0, t x ( t) = f ( t, x ( t ) ) D
-1 0, t -3
5 2
t | x- y | a = g ( t, | x - y | ) 2 则根据定理 1 , 可以断定该方程存在定义于 [ 0 , 的解 x ( t ),
-2 0, t
t
R 上连续且满
0
(tt
)
f ( , y( ) ) d
-1
1 (t - ) ( )0
t
| f( , x( ) ) - f( , y( ) ) | d
[0 , T ]. 对固定的 M > 0, 记: m ax | f ( t , x ) | 选取 I, | x | M
-1
1 ( t( )0
t
)
-1
g( , | x ( ) - y( ) | ) d
t2
1 (t - ) ( )0
f ( , x( )) d +
1 -1 t ( )
1 ( ) ( t 20
( t1 0
)
-1
f( , x( ) ) d -
由引理 3 可知, 算子 T 在 U 中的不动点就是积 分方程式 ( 4 ) 的解。 下面用 Schaude r不动点定理证 明算子 T 在 U 中有不动点。 STEP 1 证明 T 为 U 中的算子。 x( t) U, 因为 f ( t, x ( t ) ) 有界 , 所以 由式 ( 7) 定 义 的 算 子 有 定 义 , (T x ( t) ) 连 续 且 满 足 (Tx ) ( 0) = x ( 0 ) = 0 ,对 | (T x ) ( t ) | =
0 , t [ 7] n
绍。对于分数阶微分方程的初值问题 , 关注较多的 , 但对 于 R ie m ann L io uv ille 型 导数的微分方程 , 关于其初值问题的讨论就比较少 了。在文献 [ 5]中 , 探讨了 R iem ann L iouv ille 型导数 的微分方程 D 0, t x ( t) = f ( t, x ( t ) ), ( 0 < 值问题解的存在性。 本文将重点讨论上述 微分方程初值 问题解的 存在性 , 但方程的阶数 却提高到了 2 < < 3. 在 本文的主要结果中 , 假定右端函数 f ( t, x ( t) ) 满足 P erron 条件 , 这一条件改进了 L ipscht iz条件。 < 1) 初
t
)
-1
-1
f ( , x ( ) ) d + t1
t
-1
- t2
-1
t2
t2
-1
- t1 ( )
+
1 ( )
1
( t1 0
)
-1
f ( , x( ) ) d - t1 ( )
-1
t
I 我们有 :
0
( t2 t1
)
-1
f ( , x( ) ) d
t2
-1
+
1 ( t- ) ( )0
t
-1
f ( , x( ) )d +
+
引理 3 分数阶微分方程 : D 0, t x ( t) = f ( t, x ( t) ), 2 <
-1 -3 -2
间 I上的所有连续函数的集合 , 为 Banach空间, 其上 x = m ax | x ( t) |. 符号 t I
3
D 0, t x ( t) | t= 0+ = 1 , D 0, t x ( t) | t= 0+ = 0, D 0, t x ( t) | t= 0+ = 0 等价于积分方程 :
其中: f ( t , x ( t) ) =
2
t sin t x + + 1 , 令 g ( t, r) = 2 4
时, 有 | T (x ) ( t1 ) - (T x ) ( t2 ) | < . 因此, T U 等度 连续, 显然也一致有界 , 从而 TU 是相对紧的 , 即算 子 T 是全连续的。 综上所述, 由 Schauder不动点定理证明算子 T 在 U 中有不动点。 证明完毕。
分数阶微积分在科学和工程领域中 是非常有 用的工具, 分数阶微分和 积分的关系 是 Caputo 型导数
[ 3 4] [ 12]
定义 2
[ 6]
对 t > 0函数 x ( t) 的阶数为 d - ( n- ) x ( t) = nD 0, t dt
t n
[n-
都已有介
1, n ) 的 R iem ann L io uv ille 分数阶导数定义为 : D 0, t x ( t ) = 1 (n 引理 1
t r a ( a > 1 ), 则函数 g ( t , r ) 非负连续 , 相关变量 r 2 不减 , 且 g ( t , 0) = 0 , 且函数 f ( t , x ( t) ) 在区间 I 上连续 , 且满足 Perron条件, 即: | f ( t, x ) - f ( t, y ) |
t
对 t> 0 , 函数 x ( t) 的阶数为
t
的分数阶积分定义为 : x ( t) = )
-1
D 0, t x ( t) =
收稿日期 : 2010 09 07

-
1 ( t( )0
x( ) d
( 1)
1 (t - ) ( )0
-1
f ( , x( )) d +
1 t -1 ( ) ( 4)
作者简介 : 王新年 ( 1957- ), 男 , 讲师 , 主要研究方向为微分方程。
]
[0 , T ].
x ( t) | t= 0+ = 1 ,D
x ( t) | t= 0+ = 0 ,
D 0, t x ( t) | t= 0+ = 0
参考文献:
[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] 隋丽丽 , 魏毅强 . 分数阶 微分与积分互逆的一个充分条件 [ J]. 太原科技大学学报 , 2008, 29( 6): 476 478. 张慧堔 , 魏毅强 . 关于一 类分形函数的分数阶微积分函数 [ J]. 太原科技大学学报 , 2006, 27( 6): 457 459. 胡桐春 , 钱德亮 , 李常品 . 分数阶微分方程的比较定理 [ J] . 应用数学与计算数学学报 , 2009, 23( 1): 97 103. LAK SHM I KANTHAM V, VAT SALE A S. Basic theory of frac tiona l d ifferentia l equation[ J]. N on linear Ana lys is, 2008 , 69: 2677 2682. 苏新卫 , 刘兰东 , 分数阶 微分方程解的存在性 [ J]. 山西 大学学报 : 自然科学版 , 2007, 30( 4): 434 436. 胡桐春 , 钱德亮 , 李常品 . 分数阶微分方程的比较定理 [ J] . 应用数学与计算数学学报 , 2009, 23( 1): 97 103. BA I Zhanb ing, LU H aishen. Positive so lutions for boundary value proble m of nonlinear fractional d iffe rentia l equation[ J]. JM ath Ana lA pp , l 2005 , 311: 495 505.