抽象常微分方程初值问题解的存在性
微分方程中的初值问题理论
微分方程中的初值问题理论微分方程是数学领域中的重要分支，它描述了一种变量与其变化率之间的关系。
在实际问题中，经常会遇到需要确定微分方程的解的具体形式，并以给定的初值条件作为起点进行求解的情况，这就是初值问题。
初值问题理论是微分方程研究的基础之一，本文将介绍微分方程中初值问题的理论基础和解法。
一、初值问题的定义初值问题是指给定一个微分方程及其解空间上一点的值，通过求解微分方程，确定解空间上满足给定初值条件的特定解。
初值问题的一般形式可以表示为：̇= (, )= ₀= ₀其中，表示未知函数，是自变量，是因变量，表示关于和的函数关系。
是关于和的函数，是任意给定实数。
初值问题的目标是找到满足上述方程和初值条件的特定解。
二、初值问题的解法解决初值问题的方法有很多种，常见的有解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是通过一系列数学手段，直接求得微分方程的解的公式，从而得到满足初值条件的特定解。
这种方法适用于某些特定形式的微分方程，例如线性微分方程、可分离变量的微分方程等。
解析解法的优势在于可以得到精确的解析表达式，从而能够准确描述问题的性质和变化规律。
但是，对于一些复杂的非线性微分方程，往往无法找到解析解，这时需要采用数值解法。
2. 数值解法数值解法是通过近似计算，利用离散的数值方法求解微分方程并得到数值近似解。
这种方法的思路是将微分方程转化为差分方程，并利用离散的计算方法逼近微分方程的解。
数值解法的优势在于适用性广，能够处理各种类型的微分方程，并能够得到任意精度的解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、改进欧拉法等。
三、初值问题的存在唯一性定理对于一阶常微分方程，初值问题存在唯一性定理是指在一定条件下，初值问题的解是存在且唯一的。
存在性定理：设 (, ) 是微分方程 , µ区间上的解且在 µ上连续，则初值问题在 [a,b] 上存在解。
唯一性定理：设 (, ) 和 (, ) 是微分方程在一定区域上的两个解，如果对于 µ [a,b] 上的某个点 x₀， ̇ (x₀) = ̇ (x₀)，那么在整个区域上µ， (x) = (x)，这就是说，在初值问题存在的条件下，初值问题的解是唯一的。
常微分方程解的存在唯一性定理的教学探索
舅（，）≥ｌ： （ ， （ ））ｄ ０≤ｔ Ｔ），Ｙｃ＇（ｔ）≤ｈ（ｔ， ））（或Ｙｃ（ｔ） ｆ￣ｈ（ｓ，．效 ））（ ０ ｔ Ｔ），贝０称Ｅ（Ｏ，２（ｔ）为
方程 （１）的一对有序上 、下解． 定理 １ 如果 ｆ（ｔ， ）：【０，Ｔ】×［０，＋Ｏ０） 【０，＋ｏｏ）是连续 函数 ，且方程 （１）存在一对有序上 、下解
？’：ｓ ｓ．艰据引理２可知，算子 至少存在一个不动点 （ｆ）∈Ｓ，０≤ｔ≤Ｔ．所以初值问题 （１）至少存在
一 个解 （ｆ）∈Ｃ［Ｏ，丁】，且 Ｙｃ（ｔ）≥ （ｆ） （ｆ）， ０ ｔ Ｔ．
证毕 ．
推论 １ 如果 ｆ（ｔ， ）：［０，Ｔ］×［０，ｂ】 ［０，＋∞）是连续函数 ，那么初值问题 （１）至少存在一个解 ｘ（ｔ）∈ ｃ［ｏ，Ｔ】， 并满足 ｋｉｔ （ｆ）≤ｋ２ｔ，其 中：ｋ１， ２为常数．
本文始终假设 ｆ：【０，Ｔ】×【０，＋∞） 【０，＋Ｏ０）是一给定连续函数．
（１）
设ｘ＝ ０， 】是带有最大值范数的Ｂａｎａｃｈ空间．显然，方程（１）等价于积分方程ｘ（ｔ）＝Ｃ，（ ，ｘ（ｓ））ｄｓ
（０≤ｔ Ｔ ），又等价于不动点方程 Ｔｘ（ｔ）＝ （ ），ｘ（ｔ）∈ｃ［ｏ，Ｔ】，其 中：算子 丁定义为
Ｈ（ｔ， ）＝ ｓｕｐ ｆ（ｔ，ｒ１），下 控 制 函数 ｈｑ， ＝ｉｎｆ，Ｏ，ｒｔ）， Ｈ（ｔ， ）， ｈ（ｔ， ）对 Ｈ是 单 调 不 减 的 ，且
＜』
（ｆ， ≤， ， Ｈ（ｔ， ．
定 义 如 果存 在 一 对 函数 （ｆ）， （ｆ）∈ｘ ，满足 ｂ （ｆ）≥ （ｆ）≥０，且 （ｆ）≥Ｈ（ｔ， （ｆ）） （或
１ 引言及预备知识
常微分方程基本理论是常微分方程学科的精华所在 ，基本理论的教学 目的是让学生去体会常微分方 程的思想方法 ，领略数学思想的魅力．然而 ，一些学生对常微分方程课程 的学习偏重方程解法 ，忽略基 本理论．造成这种状况的原因是多方面的，除了基本理论 自身 内容比较抽象，课时不足等客观因素外 ，与 教师课堂的教材处理与授课方法也有一定关系．作为教师 ，在课 堂教学中应注意启发学生 的思维 ，培养 学生的创新能力 ，不能照本宣科．尤其是 随着一些新的数学理论的诞生 ，现有教材 中的一些方法未必是最 佳方法 ，教师也应该更新观念 ，在充分理解教材 的基础上 ，不断创新教学方法 ，使难懂枯燥 的数学定理证 明变得简单有趣．基于这种思想 ，根据多年从事微分方程教学和科研工作的经验 ，给出了证明常微分方程 解 的存在唯一性定理的一种新方法——上、下解方法 ，文献［１］中介绍了上、下解方法 ，并用上 、下解方法
常微分方程12解的存在唯一性
1 x2
),
y(x) 0 ,
c2
exp(
1 x2
)
,
x 0. x 0. x 0.
3
1.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
的解存在且惟一。
y(0) 1
(1 .2 .1)
证：若 y y(x) 是初始值问题的解, (1 .2 .1) 两端积分
y ( x ) 满足 y(x)=1+ xy(s)ds 0
y 1 , 1 x
x( ,1).
初值问题 yy2,y(0)2的解:
y
2 1 2x
.
它的存在区间为
(
1 2
,
)
例2: 初值问题 yx,y(0)a(a0)的解为: y
y a2 x2存在区间为 (a,a)
2
例3:初始值问题:
2y yx3
x0 ,
0 x0
y(0)0
有无穷多解,存在区间为: (,).
c1
exp(
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s 13
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s
x
L 2
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
（ 1 x） =y0＋xx0 f(s,0(s))ds （ 2 x） M =y0＋xx0 f(s,1(s))ds （ n x） =y0＋xx0 f(s,n1(s))ds
这样就得到一个连续函数列 n ( x)
它称为 Picard迭代序列。
11
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n 和 x [x0,x0h],n(x)
一阶常微分方程初值问题的上_下解与拟上下解的存在定理
0 ,
1 1
t ∃ } 导出, C (J, R ) = { u ( t) u ( t )
1 1
J R 连续可微 }. x0 ( 2)
1
定义 1
若 v ∃ C ( J, R ) 满足 v ( t)
1 1
f(t , v( t ) ),
t ∃ J;
v( 0 )
则称 v ( t) 是初值问题 ( 1 ) 的一个下解; 若 w ( t) ∃ C ( J, R ) 满足 w ( t) 则称 w ( t) 是初值问题 ( 1 ) 的一个上解 . 定理 1 ( 上、 下解存在定理 1 ) 设 f ( t, x ): J ! R 证明: 令 则 v0 ( t) 于是
v0 ( 0 ) x 0, w 0 ( 0) 则称 ( v0 ( t ), w 0 ( t) ) 为初值问题 ( 1 ) 的一对拟上下解. 若 v0 ( t), w 0 ( t ) ∃ C ( J, R ) 满足
1 1
v0 ( t) = f 0 ( t, v0 ( t) ) + f1 ( t, v0 ( t ) ) + f 2 ( t, w 0 ( t ) ) w 0 ( t) = f 0 ( t, w 0 ( t) ) + f 1 ( t, w 0 ( t) ) + f 2 ( t, v0 ( t) ) v0 ( 0 ) = x 0, 则称 ( v0 ( t ), w 0 ( t) ) 为初值问题 ( 1 ) 的一对拟解. 注 : 下文中的 f 0 ( t, u ), f1 ( t , u ), f 2 ( t, u), 均指 f ( t, u ) 可以表示为 f ( t, u ) = f 0 ( t, u ) + f1 ( t, u) + f2 ( t , u ). 定理 3 ( 拟上下解存在定理 1 ) 1 1 设 f 0, f1, f2: J ! R R 一致有界, 则初值问题 ( 1 ) 存在拟上下解. 证明: 令 h1 ( t) = x 0 + t( h2 ( t) = x 0 + t(
常微分方程解的存在唯一性定理证明
常微 分方 程是 一 门应用 性较 强 的课 程 ，它在 数学 、物 理 、天 文 和工程 技术 等领 域有 着 广 泛应 用 ．一 阶微 分 方程 初值 问题 解 的存 在 唯 一 性 定 理 既是 微 分 方 程 的理 论 基 础 ，又 是 常 微 分 方 程 的精 华 所 在 ，在 很 多教 材 中¨ 都 是作 为重 点章 节来 讲述 ，而且 一 阶微 分 方 程 解 的存 在 唯 一性 的应 用 也很 广泛 ．此处 从 几 个 不 同
１，由敛．故由Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ ０法得级 ㈤＋蠢 ） ㈤］一致收敛．
命题 ３ ｌｉｍ （ｔ）＝ （ ）是 积分 方程 的解 ． 证 明 由于｛ （ｔ））在 【ｔ０，ｔｏ＋ 】上 一致 收敛 ，令ｌｉｍ （ｔ）＝ （ｔ），由 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件知道
＝ ｏ 十Ｉ，（ｓ， （ ））ｄｓ，￡０≤ｔ≤ｔ０＋ｈ
ｔｏ
构 造 ｐｉｃａｒｄ序 列 ｛ （ｔ）｝，即令
（２）
收 稿 日期 ：２０１４－０８—１９：修 回 日期 ：２０１４－０９—２５． 基金项 目：安徽省高等学校省级 自然科学基金项 目（ＫＪ２０１３Ｂ１０５）；安徽新华 学院质量 工程 （２０１２ｊｇｋｃｘ０３）；安徽新 华学 院
（２）函数 ｔ，Ｘ）在 Ｒ上关于 满足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件 ，即存在常数 Ｌ＞０，使得对所有（ｔ， ），（ｔ， ）∈Ｒ都有
ｌ ￡ ） ， ）ｌ≤Ｌ ｌ Ｘ１－Ｘ２ ｌ成立，则初值问题（１）在区间［ｔ－ｔｏ Ｉ≤ 上存在唯一解，其中 ：ｍｉｎ｛ｎ， ），
常微分方程解的存在唯一性定理
常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。
定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、•称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。
定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，•心「。
Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。
否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对©Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即•血，这就是说机x）是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。
命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。
反之亦然。
现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1©）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
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第 24 期
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王仲平等： 抽象常微分方程初值问题解的存在性
81
t （ Au） （ t） = x0 + ∫ 0 f （ s， u （ s ） ） ds， t ∈ J 则 u 是初 值问题（ 1 ） 的解当且仅当 u 是算子 A 的不动点。令 t （ Tu） （ t） = ∫ 0 M（ s） u（ s） ds， t u（ s） ds， （ Gu） （ t） = x0 + ∫ 0
{
T） w0 ≤w0 。 若存在一个半序 Banach 空间 Y， 增算子 B ： D → X 及算子 G： ［ Bu0 ， B B v0］→ X ， 使得 λA + T = GB ， 且 有 （ i） （ λI + T） － 1 G 是增算子， （ ii） 对任何单调列 ｛ x n ｝ D， ｛ Bx n ｝ 是相对弱紧 的， 则 A 在 D 中必有最大不动点和最小不动点 。
t x （ t） = x0 + ∫ 0 f（ t， x） ds， t ∈J
（ 2）
x ） 不连续时， 故当 f（ t， 就把积分方程 （ 2 ） 的解 定义为初值问题（ 1 ） 的解。
* h 定义 1 设 x（ t） ： J → E ， 如果对任意的 h ∈ E ， ［ x（ t） ］ 都是 J 上的可测函数， 则 x （ t ） 是 J 上的弱可
p L p［ J， E］= ｛ x： J → E x （ t ） 强可测， 且， ∫ x （ t ） dt J i ＜ +∞｝ ， J， E］ 可知 L p［ 在范 数 x （ t ） p = 下为一 Banach 空间。 ［6 ］ J， E］也是自反 引理 1 若 E 是自反的， 则 L p［
得到如下结果： P 是 E 中的 定理 设 E 是自反的 Banach 空间， 锥， 如果下列条件成立： u （ t） ） ） 把 C （ C1 ） 算子 F （ 其中 （ Fu ） （ t ） = f （ t， ［ J， E］ 映成强可测函数集； （ C2 ） 存在 v0 ， w0 ∈C［ J， E］ ， v0 ≤ w0 对几乎所有 的 t∈J 成立。v' 0 （ t） 与 w' 0 （ t） 存在且满足 v0 （ 0 ） ≤ x 0 ， v' 0 （ t） ≤f（ t， v0 （ t） ） a. e. t∈J， w0 （ 0 ） ≥ x0 ， w' 0 （ t ） ≥ f （ t， w0 （ t ） ） a. e. t ∈ J； v0 （ t ） ≤ （ C3 ） 存在非负连续函数 M（ t） ， 使得当 t∈J， x ≤y ≤w0 （ t ） 时， 有 f（ t， y） － f（ t， x） ≥ － M（ t） （ y － x） ； （ C4 ） 存在 1 ＜ p ＜ + ∞ ， 使 ｛ ‖ Fu （ t ） + M （ t ） u （ t） ‖∶ u∈D｝ 是 L p［ 0， a］ 中的有界集， 那么初值问 题（ 1 ） 在 D 中存在最大连续解和最小连续解 。 J， E］ J， E］ 证明 易知 C［ 和 L p［ 在 E 中在以锥 p 导出的自然半序“≤ ” 下成为半序 Banach 空间。 我 们定义算子如下
第 28 卷 第 24 期 2012 年 12 月
甘肃科技 Gansu Science and Technology
Vol. 28 No. 24 Dec. 2012
抽象常微分方程初值问题解的存在性
王仲平， 展宗瑶
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学院， 甘肃 兰州 730070 ） 摘 要： 利用 T － 单调算子不动点定理及半序方法， 得到了 Banach 空间中含有间断项常微分方程初值问题整体解的
B） ， E） ∈L（ J， 且 v' 0 （ t） 在 J 上 a. e. 存在（ 这里 L（ J， = ｛ u； J→E u 强可测， J， R+］ ｝ 。由 且‖u（ t） ‖∈ L［ （ 4） 得 m' （ t） = φ（ f（ t， v0 （ t ） ） － v0 （ t ） ） － m （ t ） M （ t ） ， 根据条件（ C2 ） 并结合（ 4 ） 式可得 m（ 0 ） ≥0 ， m' （ t） ≥ － m（ t） M（ t） ， a. e. t∈J （ 5 ）
2
主要结果及证明
测函数。 如果存在 J 上的零测度集 J0 ， 使得 x （ J \ J0 ） 是 E 中的可分集， 则称 x（ t） 是几乎可析的。 若 x （ t） 是弱可测的， 又是几乎可析的， 则称 x （ t ） 是 J 上 （ 2， 的强可 测 函 数 关 于 强 可 测 函 数 的 讨 论 可 见［ 3］ ）。 P ） 是半序 Banach 空间， D X， 定义 2 设（ X ， 算 子 A： D→X ， 若存在线性算子 T： X → X ， 使得 x ≤ y 时 有 Ay － Ax≥ － T（ y － x ） ， 则称 A 是 D 上的 T － 单调 4， 5］ ）。 算子（ 关于 T － 单调算子的讨论详见［ v0 ， w0］= ｛ u ∈ C［ J， E］v0 （ t ） ≤ u （ t ） ≤ 记 D =［ w0 （ t） ｝ ， 又记
一个存在性结果， 改进了相关文献中的相应结果 。 关键词： 含有间断项常微分方程； 初值问题； 整体解 中图分类号： O175. 15
1
引言
讨论 Banach 空间 E 中的常微分方程初值问题。 dx = f（ t， x） ， t ∈J dt （ 1） x （ 0 ） = x0
的。
［7 ］ P ） 是一半序 Banach 空间， A： D 引理 2 设 （ X ， 且存在 λ ∈δ（ T） （ λ ≠0 ） ， 满足 →X 是 T － 单调算子， －1 －1 v 0 ≤ （ λI + T ） （ λA + T ） v 0 ， （ λI + T ） （ λA +
J =［ 0， a］ （ a ＞ 0） ， f （ t， x ） ： J × E → E （ 不假定 f 其中， （ t， x） 连续） ， x0 ∈E 。 1］ ， ［ 7］ 8］ 问题（ 1 ） 在文献［ 和［ 中曾被讨论过。 8］ 在文献［ 中得到了初值问题（ 1 ） 解的存在唯一性。 众所周知， 当连续时， 初值问题 （ 1 ） 等价于下述 Voltera 积分方程：