第3章_第1节_解的局部存在唯一性定理(续)

o x
(1)
–1
当 y0 0, 1时， 所给方程过点( x0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 y0 y ln y dy x0dx
由被积函数，知
积分
y0 y( x ) 0
y( x ) x 1 dy dx , 得 x0 y ln y
y0
ln ln y( x ) ln ln y0 x x0
证 f y ( x , y )在D上连续, 必有界
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
常数 L 0, 使
f y ( x , y) L (( x , y) D )
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使
f ( x , y )在D上关于y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y) y，
( x , y) D {( x , y) x x0 a, y 0 b}
( x , y1 )，( x , y2 ) D
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) y2 y1 y2 y1
L1
即 f ( x, y) y 在D上关于y 满足 Lipschitz条件
但点( x ,0)( D )处，f y ( x , y) 不存在
f y ( x , y )在D上不连续.
的条件(2).
上述关系表明：推论1中的条件(2)强于定理1
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
若 f ( x , y) 在闭带形区域： 推论2 D {( x , y) x , y }
推论4
设 f ( x , y ) 在区域G内有定义，若 f ( x , y ) 在G内满足下列两个条件： (1) 连续； ( 2) 关于y满足 局部 的Lipschitz条件，即
P ( x0 , y0 ) G ,
DP {( x , y) x x0 a, y y0 b} G ,
ln y( x ) ln x x0 , 即 ln y( x ) e x x0 ln y0 ln y0 由关系(1)，知 ln y( x ) 0 y ln y0 1 ( x0 , y0 ) ln y( x ) e x x0 ln y0 o 又 y0 y( x ) 0 –1
M 0 max f ( x , y0 )
x[ , ]
代替定理1证明中的M. 2º 在唯一性证明中，取
M1 max f ( x , ( x ))
x[ , ]
代替定理1证明中的M.
dy P ( x ) y Q( x ) 推论3 对于 dx ( 2), 线性方程 y( x0 ) y0 设P ( x ), Q ( x )均在区间[ , ] 上连续, 则
一、问题的提出 二、皮卡存在唯一性定理与逐步逼近法 三、几点说明
三、几点说明
1. 可用“f y ( x , y ) 在D上连续” 代替定理1
中的Lipschitz 条件，此条件更加便于检验；
推论1 (柯西存在唯一性定理)
设 f ( x , y ) 在有界闭矩形区域： D {( x , y ) x x0 a, y y0 b}
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D， (介于y1与y2之间), 使
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) f y ( x , ) y2 y1 L y2 y1
即 f ( x, y)在D上关于y满足Lipschitz条件
由推论2知，推论3成立.
的解是否一定不唯一？
答：不一定. 事实上， 由观察知，y 0是该方程的解, y 1也是该方程的解.
dy y ln y , y 0 dx 0, y0
由1º 知，当 y0 0 时，所给方程过点 (x0, y0)
的解 y(x) 与 y0 有如下关系：
当 y0 1 时， y 1; 当 y0 1 时， y 1. y 1
在G内，初值问题(1)的解唯一.
例1
试证方程 dy y ln y , y 0 dx 0, y0
经过xOy 面上任一点的解都存在且唯一. 解 (1) 存在性
y ln y , y 0 f ( x, y) , ( x, y) R 2 y0 0,
由初等函数的连续性，知
P ( x0 ,0)
DP
x
L 0, y 0, ( x , y ) DP
L 矛盾！ 使 y 3 不存在常数 L > 0,
3
1
使
f ( x , y ) f ( x ,0 ) L y
即 f ( x , y )在以P ( x0 ,0)为中心的任一有界闭 矩形区域DP 上关于y均不满足Lip条件
2 当 y0 0 时，
y
x

f ( x , y ) f ( x ,0 )
o
( x, y)
P ( x0 ,0)Fra bibliotekDPx
y ln y 0 ln y y
而 lim ln y
y0
L 0, y 0, ( x , y ) DP
使 ln y L. 即不存在常数 L > 0,
( x0 , y0 ) R 2，该方程满足初始条件： y( x0 ) y0 的解存在且唯一.
2 dy 3 3 y 讨论初值问题： dx 例2 y( x0 ) y0
的解的存在唯一性. 解 (1) 存在性
f ( x, y)
2 3 y 3 在R 2内连续
( x0 , y0 ) R 2，所给初值问题的解必存在.
f ( x , y ) f ( x ,0 ) 3 o L y 0 L 1 3 则当 y 0 时，有 y 3 1 但另一方面， lim y 3
y0
假定： 常数 L 0, 使 ( x , y ), ( x ,0) DP
2 y3
y
x
( x, y)
(2) 唯一性 1 当 y 0 时，f y ( x , y) 2 y 3 连续
当 y 0 时，f ( x , y)关于y满足局部Lip条件
故 1 当 y0 0 时， 所给初值问题的解 ( ) 在 y 0 内存在且唯一. ( ) 2 当 y0 0 时，
记 DP {( x , y) x x0 a, y 0 b}
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) f y ( x , )( y2 y1 ) f y ( x , ) y2 y1
L y2 y1
即 f ( x , y)在D上关于y满足Lipschitz条件
由定理1知，推论1的结论成立.
注
f y ( x , y )在D上连续
综上所述：
1 当 y0 0 时， 所给初值问题的解 ( ) 在 y 0 内存在且唯一 ; 但在R 2 ( )
内该初值问题的解存在却不唯一.
2 当 y0 0 时，
该初值问题的解存在但 不唯一.
y
o

( x 0 ,0 ) x
dy ( 3.1) 例3 考虑 dx p( x ) y q( x ) 其中p( x )和q( x )都是在( , )上以 0 为周期的连续函数. 试证：
亦即 f ( x , y)在y 0上关于y不满足局部Lip条件.
当 y 0 时，将原方程变量分离得 1 dy dx 2 3 y3
通解：
即
1 y3
xc
( c为任意常数)
y ( x c )3
有两个解：y ( x x0 ) 3 及 y 0.
可以验证：当 y0 0时，所给初值问题至少
使 f ( x , y)在DP 上关于y满足Lipschitz条件,
即 常数 LP 0, 使 ( x , y1 )，( x , y2 ) DP， 有
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) LP y2 y1
dy 则方程 f ( x , y )在G内经过每一点 dx P ( x0 , y0 )有且只有一条积分曲线，即
上满足如下两个条件： (1) 连续；
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
( 2) 关于y满足Lipschitz条件,
则 ( x0 , y0 ) D , 初值问题(1)存在唯一的
定义在整个区间 [ , ]上的解.
证明提示： 1º 在存在性证明中，取
当 y 0 时，f ( x , y)连续;
当 y 0 时， ln y lim f ( x , y ) lim y ln y lim y 0 1 x x y0 y0 1 y y lim ( y ) 0 f ( x,0) lim 1 y0 y0 2 y f ( x , y)在R 2内连续
x
当 y0 0 时， y( x ) e
e x x0 (ln y0 )
当 y 0 0时， y ( x) e
e x x0 ln( y0.)
这些解不可能与y = 0相交. 因此, 对于x
轴上的点 (x0 , 0), 所给方程只有唯一的 解 y = 0 通过. 综上所述：
上满足如下两个条件： (1) 连续； ( 2) f y ( x , y )连续,
则初值问题(1)存在唯一的解 : y ( x ) x I [ x0 h, x0 h] b 其中 h min( a, ), M max f ( x , y ) . ( x , y )D M