第5章两点边值问题求解方法介绍
合集下载
求解常微分方程边值问题的差分方法
一 ｋ Ｙ ｋ：ｒ （ （ ：１ ， ２ ｚ ， …， ｎ一１ ｎ一 ）
上 述方 程 的截 断误 差为 ｏ （ ｈ ）
３ 关 于 边界 条 件 的处 理
３ ． １ 一般 方法
对于边 界条 件 Ｙ ’ （ ｏ ） ＝０ ｃ ， ｙ （ ６ ） ＝口的处 理 ， 一般 处 理方式 采用 以下简单 差商 公式
（ ２ ）
（ ３ ）
（ ４ ）
第 三种 边界 条件 为 Ｙ ’ （ 口 ）一Ｏ ｔ 。 （ ）＝
Ｙ（ ｂ ）＋卢 。 Ｙ （ ｂ ） ＝／ ３
其中Ｏ ｇ ， ， Ｏ ｌ 。 ， Ｏ ｔ ， 。 ， 。 为常数 ， （ １ ） 与（ ２ ） 构成第一边值问题 ， （ １ ） 与（ ３ ） 构成第二边值问题 ， （ １ ） 与（ ４ ） 构 成第 三边值 问题 。
点２ ７ （ ＝１ ， ２ ， …， 凡一１ ）处 的取值 ， 利用 数值微 分公 式 ［ ２ ］ ＋Ｄ （
＋０ （
㈩
（ ８ ）
记Ｐ ＝ ｐ （ ） ， ｑ ＝ ｑ （ ｘ ） ， ＝ｒ （ ） 将（ ７ ） ， （ ８ ） 代入（ ５ ） 得
二 ——— —一
长
春
大
学
学
报
第 ２ ５卷
冥中 Ｏ ｔ ， ／ ３ 为常数 ， Ｐ （ ） ， ｑ （ ） ， ｒ （ ）为 连续 函数 。 由解 的存在 唯一性 定理 知 ， 问题 （ ５ ） 有 唯一 解 。
将区间 ［ 。 ， ６ ］ 分为 ｎ 等份 ， 步长 ＝ ＿ Ｄ
，
节点 ＝ 。 ＋ ， （ ＝ｏ ， １ ， … ， ｎ ）， 用 表 示 函数 ｙ 在 内节
｛＋ ｐ （ ） ｄ ｙ 一 ＋ ｇ （ ） ｙ ＝ ｒ （ ） ， 。 ≤ ≤６
拉普拉斯(Laplace)方程
1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情况下，就得到Laplace方程。
实例四：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
程(1.1)(或(1.2))， 在Ω上 连 续 ， 并 且 在Γ上 的 任 一 点 沿 着Γ的 单 位 外 法 向 量n的 方 向 导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
Γ
=
g.
(1.17)
边界条件(1.17)通常称为第:::二::类:::边:::界::条:::件::，也称为:N::e:u:m:::a:n:n::边::界:::条:::件::。
可得三维空间中的:L:a:p::l:a:c:e:方:::程::
u = 0.
(1.7)
实例二：静态引力场的引力势
导 出Laplace方 程 的 另 一 个 著 名 实 例 来 自 牛 顿 的 万 有 引 力 理 论 。 由 牛 顿 的 万 有 引
第五章 光的衍射
2 2
( p) 0光波通行无阻时自由光场E 0 =1 + 2
巴比涅原理中的一对互补屏
在衍射积分式中，积分区间(光孔)
( p)=E ( p)+E ( p) E 1 2
( p) ,则其互补屏之衍射场就容易地获 得， 意义:一旦求得E 1
( p)=E ( p)-E ( p) E 2 1
2
夫琅和费衍射实验装置
2
( x, y) 1 exp[ik ( z x y )] E ( x , y ) exp[ ik ( xx yy )]dx dy E 1 1 1 1 1 1 1 i z1 2 z1 z 1
2828
衍开孔平面上光的分 布均匀则透镜紧贴矩孔
11
5.1 光的衍射引言
1、光的衍射概论 光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向
弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现
光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。 衍射使屏障以后的空间光强分布，既区别于几何光学给出 的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射 光强有了一种重新分布！
6
2、基尔霍夫标量衍射理论
光是一种电磁波，光通过小孔的衍射问题可以作为
电磁场的边值问题来求解。这种方法的缺点是比较复杂。 实际所用的衍射理论都是一些近似的解法。本章主 要介绍的是基尔霍夫标量衍射理论（也是一种近似理论）。 可以解决多数的光学仪器中的衍射问题。 其适用条件是： 傍轴、自然光！ 这在实验上是不难被满足的。
exp(ikr ) E ( P) c k ( )E(Q) r d
14 14
菲涅尔假设
0, K ( ) 1 , K ( ) 0
( p) 0光波通行无阻时自由光场E 0 =1 + 2
巴比涅原理中的一对互补屏
在衍射积分式中，积分区间(光孔)
( p)=E ( p)+E ( p) E 1 2
( p) ,则其互补屏之衍射场就容易地获 得， 意义:一旦求得E 1
( p)=E ( p)-E ( p) E 2 1
2
夫琅和费衍射实验装置
2
( x, y) 1 exp[ik ( z x y )] E ( x , y ) exp[ ik ( xx yy )]dx dy E 1 1 1 1 1 1 1 i z1 2 z1 z 1
2828
衍开孔平面上光的分 布均匀则透镜紧贴矩孔
11
5.1 光的衍射引言
1、光的衍射概论 光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向
弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现
光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。 衍射使屏障以后的空间光强分布，既区别于几何光学给出 的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射 光强有了一种重新分布！
6
2、基尔霍夫标量衍射理论
光是一种电磁波，光通过小孔的衍射问题可以作为
电磁场的边值问题来求解。这种方法的缺点是比较复杂。 实际所用的衍射理论都是一些近似的解法。本章主 要介绍的是基尔霍夫标量衍射理论（也是一种近似理论）。 可以解决多数的光学仪器中的衍射问题。 其适用条件是： 傍轴、自然光！ 这在实验上是不难被满足的。
exp(ikr ) E ( P) c k ( )E(Q) r d
14 14
菲涅尔假设
0, K ( ) 1 , K ( ) 0
《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理_OK
2021/8/29
21
§5-3 应力法
基本未 知 物理方程
函数ij
应变kl用 ij 表示
几何方程积分 uk 用 ij 表
示
平衡微分方程 (3 个)
变形协调方程用ij表示
（6个）
几何方程可积条件
力的边界条件
（在S上）
2021/8/29
22
§5-3 应力法
求解ij 的基本方程（9个）
用指标符号表示的基本方程
2021/8/29
14
§5-2 位移法
位移法求解思想：
选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij均 看成是由ui导出的未知函数，这样15个 方程中某些方程成为的ui ij ij 关
系式。
2021/8/29
15
§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知
函数ui
应 变 kl 用 ui 物理方程
y)
Hale Waihona Puke p(1 2 )Ez
c2 x c1 y 3
2021/8/29
39
§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题2 等截面柱体在自重作用下
z
y
l
f z g
x
x
等截面柱体受体力fz= -g（在图示坐标系）， 为柱的密度，g为重力加速度。 而 fx=fy=0
或 ui 0
ui ui' ui''
在Su无位移（齐次边界条件）
在弹性体无外力作用、表面无位移（无支
座移动）情况属于自然状态——弹性体无（初）
应力、无变形。，则 ij=0，ui=0, ij=0
所以第一组解和第二组解相等。
2021/8/29
边值问题
第二节 镜像法
1、导体与介质间边界的镜象法 、
1、导体与介质间边界的镜像法 、
是求解静态场的一种有效且直观的方法。 镜像法 是求解静态场的一种有效且直观的方法。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 在两种不同媒质的边界外， 基本思想 在两种不同媒质的边界外，用虚设的场源 (电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、大小和位置由边界条件 确定。这样，可以撤去边界面，并将场源所在区域的媒质扩展 确定。这样，可以撤去边界面， 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 实质 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 将实际 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。
注意： ，这是因为Q所发出的电力线并不全部 终止与导体球上，有一部分将终止于无穷远处之故。 Q受到导体球的作用力
如果导体不接地，原来又不带电，则其表面电势不 为零，而球面上的净感应电荷为零。
不接地金属球的镜像
设想导体球接地,且在中心放置点电荷
不破坏导体球面为等势面的条件
不接地金属球的镜像
任一点场强
边 值 问 题 基 本 解 法
实验法
实测法 模拟法 解析法 直接积分法 分离变量法 镜像法 格林函数法 复变变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
计算法
数值法
3、唯一性定理
解决边值问题的理论基础 内容：对于任一静态场(也包括准静态场)，满足一定边 内容 界条件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，即在 区域V内给定自由电荷(或电流)分布，在V的边界S上给 定电势 或其法向导数 或者矢势A或 )的 值，则V内的场便被唯一地确定。 表明泊松方程(拉普拉斯方程)的解在什么条件 具有 唯一性.
课件：级第四章 2 边值问题
y(a)
(a x b)
y(b)
例 3：传热问题 建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
对流传热
建立边界条件：
a1T(b) b1T(b) T1
r=b
T1
●第三类边界条件
－给定边界处函数和导数共同满足的条件
●第三类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
●● ● ●●
y(x)
x =a
x =b
打靶法的几何说明
对于初值问题
y f x, y, y a x b
y(a)
y(a) m
m
m0
m1
mn
y(b) y(b)m0 y(b)m1 y(b)mn
y(b)m F(m)
合适的 m 值应满足：
y(b)m
即： F(m)
化标准形式：f (m) F(m) 0
1T
2
解： 第一步：明确需要确定哪些函数值 u0,u1,u2,,uN,uN1
将
Ti
ui1
2ui h2
ui1
代入离散化方程
h2 ui1 2ui ui1 k g(Zi )
u0 2u1 u2
u1 2u2 u3 uN 1 2uN
h2
k
h2 k
u N 1
g (Z1 )
g(Z2 ) h2
●第一类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
y(a) y(b)
例 2：传热问题
绝热 r=b
建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
建立边界条件：
T (b) 0
●第二类边界条件 －给定边界处导函数满足的条件
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
(1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量 来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量 来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3)混合法：即以一部分位移分量和一部分应力分量作为 基本未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜 于求解混合边值问题。
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x a, b
y1 y2 z , z 2 其中： 1
解得： y1 ( x; ), y2 ( x; ), z1 ( x; ), z2 ( x; ) 得到的终端值和对α的偏导数： y1 y1 (b; ), (b; )
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 12
y1 y
( x ) y2 ( x ) y1
y2 (a) 初值问题的解为： y1 ( x; ), y2 ( x; ) y1 (b; ) B 找到α满足： y1 (a) A,
2018/10/14 航空航天中的计算方法
如何求α？
Page 6
5.2 打靶法 打靶法的几何解释：
如果边值条件形式可写为： gL ( y(a)) 0, gR ( y(a)) 0
其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 5
5.2 打靶法 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
迭代求解公式： m 1 m B y1 (b; m )
结束条件：
2018/10/14
y1 (b; m )
y1 (b; ) ?
Page 10
1 y1 (b;m1 ) B
航空航天中的计算方法
5.2 打靶法 差分法求偏导数
y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) y1 (b; 0 ) 1 0
线性近似：按割线求根
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 9
5.2 打靶法 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： y1 (b; ) B 在已知初值α0的处Taylor展开： y1 2 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) (b; 0 ) 1 0 O 1 0 B y1 B y ( b ; ) (b; 0 ) 线性近似： 1 0 1 0
（与割线法等价） 割线代替切线
或采用其它数值微分方法。 f 可微时解偏导数微分方程 y2 , y2 f ( x, y1 , y2 ), x a, b y1
y1 (a) A, y2 (a)
y1 ( x; ), y2 ( x; )
微分方程对α求偏导： y1 y2 , y1 ( a; ) 0,
航空航天中的计算方法
授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院
第二部分 边值问题求解方法Leabharlann 第5章 两点边值问题求解方法
内容提要 5.1 5.2 5.3 5.4 常微分方程边值问题的概念 打靶法 有限差分法 有限元法
[1] Part 3: Two-Point Boundary Value Problems. [2] David L. Darmofal, Computational Methods in Aerospace Engineering (Lecture Notes), MIT, 2005. Chap11,12. [3] 清华大学数学系编，现代应用数学手册•计算方法分册（ 第十一章，常微分方程边值问题的数值方法），北京出版 社，1990.
m 1
结束条件：
2018/10/14
B y1 (b; m 1 ) m 1 m m 1 y1 (b; m ) y1 (b; m 1 )
1 y1 (b;m1 ) B
航空航天中的计算方法 Page 8
5.2 打靶法 割线法的几何解释：
打靶：求解初值问题
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 7
5.2 打靶法 5.1.1 割线法 以两个不同的α值求解初值问题，得到两个解： y1 ( x;0 ), y1 ( x;1 ) 根据初值条件知： y1 (a;0 ) y1 (a;1 ) A 假设 y1 (b; ) 是α的线性函数，可取α 为： B y1 (b; 0 ) 2 0 1 0 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) 迭代求解公式：
2018/10/14
y2 f y1 f y2 y y , x a , b 1 2 y 2 ( a; ) 1 初值问题，可解！
航空航天中的计算方法 Page 11
5.2 打靶法 每一步迭代求解初值问题
y2 , y1 f ( x, y1 , y2 ), y2 z2 , z1 z2 f f z1 z2 , y1 y 2 y1 ( a ) A y2 ( a ) z1 ( a ) 0 z2 ( a ) 1
y( a ) A, y (b ) B
变换：
( x ) f ( x, y1 , y2 ), x a, b y2 y2 y y1 ( a ) A, y1 (b ) B 考虑初值问题： y2 , y2 f ( x, y1 , y2 ), x a, b y1
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 4
5.1 常微分方程边值问题的概念 5.1 常微分方程边值问题的概念 对于常微分方程： y( x) f ( x, y( x)) 其中 y dy dx ，x为标量， y和 f 为m维向量。在 x a, b 上求解之需要m个定解条件，若定解条件的形式为： g( y( a), y(b)) 0 其中 g为m维向量。则该问题称为两点边值问题（TPBVP， Two Point Boundary Value Problem）。