两点边值问题的差分求解

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向后差分法求解二位抛物方程的初边值问题

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两点边值问题方程

两点边值问题方程两点边值问题是一种求解微分方程的方法，它涉及到两个边界条件。

假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x,y)，我们需要找到满足两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = beta 的解。

两点边值问题的解法通常包括以下步骤：1. 定义一个初始猜测值y0(x)。

2. 使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程，得到新的解y1(x)。

3. 检查新的解是否满足边界条件。

如果满足，则找到了解；否则，返回步骤2，使用新的解作为初始猜测值继续求解。

下面是一个使用Python实现两点边值问题的示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeint# 定义微分方程dy/dx = f(x,y)def f(x, y):return x * y - 1# 定义两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = betaa, b, alpha, beta = 0, 1, 1, 0# 定义初始猜测值y0(x)y0 = np.array([0.5, 0.5])# 使用数值方法求解微分方程def solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0, tol=1e-6, max_iter=100): for i in range(max_iter):y = odeint(f, y0, [a, b])if np.allclose(y[:1], alpha) and np.allclose(y[-1], beta):return y[1:-1]y0 = y[1:-1]raise ValueError("Solution not found within the specified tolerance and maximum iterations.")# 求解两点边值问题solution = solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0)print("Solution:", solution)```在这个示例中，我们使用`odeint`函数求解微分方程，并使用`np.allclose`检查新的解是否满足边界条件。

一类p—Laplacian差分方程两点边值问题正解的存在性

划项目（０ＬＩ２Ｊ８５）
作者简介：明明（９９）男，东莒南人，读硕士，事微分方程与差分方程边值问题研究．王１７一，山在从
８把上式从１ｓ到进行和运算，得
滨州学院学报
事实上，（）由１得．
（３）
△ （ｕ￡１）［ｚ（一）］一一ｆｔ“ ￡）Ｓ（，（）．
收稿日期：０８ｇ～８２０一Ｏ２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１８，东省自然科学基金资助项目（２０Ａ０）山东省教育厅科技计１７１１）山Ｙ０７８，
ｆ。， ∈ｌＴ＿］
Ｉ（）ｌ令Ｅ一｛：ｏＴ＋２一Ｒｌ “ ０ “ ， “［，］ △ （）一 “ Ｔ＋２（）一０，｝
Ｐ一｛ “∈ Ｅ：（）０ｔ［，２，（）≥ （）【ｌ， “ ￡ ≥ ，Ｅ０Ｔ４］ “ ￡－￡ｌ｝ “ｌ
把上式从ｔＴ＋１行和运算，由（）即可得到到进再２
１＋１＿
（一∑ （ｆｉ（）￡） ∑ （“ ）．，）
在本文中，义范数Ｉｌ— 定ｌ “ｌ则（Ｉ１Ｅ，ｌＩ．）为Ｂｎｃａａｈ空间．
定义锥Ｐ：
ｍａｘ
王明明
（．１曲阜师范大学数学系，山东曲阜２３６；７１５
２滨州学院数学与信息科学系，．山东滨州２６０）５６３

一类两点边值问题的四次样条解法

其中，ｉ， … ，，ａ，ｃ，ｉｉ：Ｏｌ一ｌｉ，ｄ，均为常数。，，ｅ
假设
，
（，：ｙｘ）（１＝ｙｘ．（，：ｍ，）（，）（）），，
，＝，（，）），ｘ＋＝Ｍ，。＋。
（３）
Ａｐｅｔｅａｉｎｏｕａｏ，２０，１８１：５ — ３ｐｌｄｉＭａｈｍｔｓｄＣｍｐｔｉｎ０７８（ｃａｔ１８６．
Ｑｕｒｃｓｌｅｏｕｉｎｒｗｏｐｉｔｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｓａｔｐｉｓｓｌｔｓｆ－ｏｎｕｄｒａｕｒｂｅｉｎｏｏｔｂ
ｓｌｎｅｆｎｔｏＴｈｏｕｔｏｆｔｅｂｕｄａｙｖｌｅｐｏｌｍａｅｇｉｅｒｍｈｏｕｔｏｆｔｉｄｉｇｎｌｌｎａｐｉｕｃｉｎ．ｅｓｌｉｎｏｏｎｒａｕｒｂｅｃｎｂａｎｄｆｏｔｅｓｌｉｎｏ — ａｏａｉｅｒｈｒ— ｅｑｔｏ．ｕａｉｎｓＡｎｄｔｉｔｏｓｅａｉｒｔａｃａｅＮｕｍｅｉａｌｕｓｒｔｏｓｓｗｈａｈｔｄｉｈｉｐｅｓａｈｓｍｅｈｄｉｓｅｏｃｌｕｌｔ．ｒｃｌｉｌｔａｉｎｈｏｔｔｅｍｅｈｏｎｔｓｐａｒｈａｔｂｔｅｒｃｓｏｈａｔｏｘｉｔｎｎｓｅｔｒｐｅｉｉｎｔｎｔｆｅｓｉｇｏｅ．ｈａ
袭ｌ上例在号取值时方已方法的火不同本文法与有最误差比较
参考文献

二阶Hammerstein型积分微分差分方程的两点边值问题

２００８年２月
文章编号：６３９９（０８０ —０１０１７ —５０２０）１００ —５
二阶Ｈａｍｍｅｓｉ积分微分ｒｔｎ型ｅ差分方程的两点边值问题
金丽，国灿王
（大连交通大学理学院，宁大连１６２）辽１０８摘要：利用微分不等式技巧研究了某一类二阶Ｈｍｒｅａｍｅｔｎ型积分微分差分方程的两点边值问题，ｓｉ在
Ｋｔ）０１（，于［，］×［，］ｓ０１上连续非正，（）ｏ１上连续．ｔ于Ｅ，］
收稿日期：０７０ —２２０ —３０
作者简介：丽（９８一）女，金１５，副教授，学士
Ｅ— ａｉ：ｎｇ＠ｄｎ．ｍｌｗａｇｃｋｃ
上下解存在的条件下，得到了解的存在性和唯一性定理．果表明：种技巧为其它边值问题的研究提结这
出了崭新的思路．
关键词：分微分差分方程；点边值问题；积两微分不等式
中图分类号：１５８Ｏ７．文献标识码：Ａ
ＴｗｏＰｉｔＢｏｎａｙＶａｕｒｂｅｓｏｅｏｄＯｒｅｍｍｅｓｅｎ — ｏｎｕｄｒｌｅＰｏｌｍｆＳｃｎｄｒＨａｒｔｉ
维普资讯
第２９卷
第１期
大连交通大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＩＪＡＯＴＡＬＡＮＩＯＮＧＵＮＶＥＩＹＩＲＳＴ
Ｖ１２Ｎｏ１ｏ．９．Ｆｂ２ｏｅ．０８

偏微分方程的有限差分方法

二阶线性偏微分方程的一般形式为：
A 2 u B 2 u C 2 u D u E u F G u 0 x 1 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2
对于变量 x1 和 x 2 给定的值 xˆ1 和 xˆ 2 若 4 A (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) C (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) B 2 (x ˆ 1 ,x ˆ 2 )
这里，[ u ] ij 表示 u(xi, yj )。上两式分别简记为
x p u x ijh 1 1 2x(pijx[u]i)jO (h1 2)
yp u yijh 12 2y(pij y[u]ij)O (h2 2)
则 L u x p u x y p u y q u f (x ,y ) 在 (i, j) 点被表示为
余弦是 (co,scos)。
由
u nij
u xijc
os u yijc
os
用单侧差商逼近 x方向和 y方向的导数，然后列
出边界网点上的差分方程。
（2）邻近边界的网格点 (xi , yj ) 不在上可以采用直接转移法近似处理，即将边界
条件用于邻近边界的网格点，然后再在该点列出差分方程。
2 用积分插值法构造差分格式 3 差分格式的稳定性和收敛性 4 差分方程求解的一些方法
— 数值积分有限元法
— 函数插值
不同的数值微分和数值积分方法、不同的函数插值方法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础：
数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
偏微分方程的有限差分方法
基本思想：使用离散的、只含有限个未知数的差分方程去近似代替连续变量的微分方程及边值条件，并将相应的差分方程解作为(初)边值问题的近似解。

热传导两点边值问题的通用数值解法

热传导两点边值问题的通用数值解法热传导两点边值问题的通用数值解法：
1、首先，把待求解的区域分割成若干小区域，即对求解区域进行细分，这一过程叫做网格划分；
2、然后，将每一小区域进行离散，得到一系列离散点，这些离散点间
用一条线段连接，这条线段叫做节点，构成一种网格；
3、接着，对每个小区域采用有限元法，利用积分得到热流密度方程的
解析解，得到每个网格的节点的热功率；
4、之后，用Hotz定理，把大的热功率方程转化为一个矩阵形式的方程，并利用适当的迭代技术得到整个网格中每个节点附近的温度；
5、最后，计算从已知的两点的温度和到从每个节点的热功率，利用积
分方法求得求解区域的温度，从而得到最终的结果。

两点边值微分方程的有限元分析

三、实验原理、方法（算法）、步骤
实验一：
将方程化为标准形式：
d dx
u(a)
( p(x)
,
du ) dx
q( x)u
du dx
f ( x),
a x b,
(2) (3)
p(b)u
'(b)
u(b)
,
(4)
其中
p(x) 1,q(x) 1,f(x) sin(2 x),g(x) 1
a 0,b 1, 1, 0, 2 1 4 2
用心整理的精品 word 文档，下载即可编辑！！
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
实验时间： 2014 年 6 月 30 日
实验项目
名称指导教
师
偏微分方程期末课程设计成绩
实验项目类型
验证演示综合设计其他
一．实验目的
自学，掌握有限元分析的基本理论，并运用有限元分析的方法求解第二章的两点边值问题，做出数值解，体会有限元和差分方法的不同之处。
(2) x = 1:
, for j = 1,..., M,
(3) y = 0:
, for i = 1,..., N,
(4) y = 1:
xi 1 )
sin(
xi1)cos(
xi1)
si
F (n ) -
xn sin(2
xn1
x)(x h
xn1
)dx
1
2 4
2
=
-2xn1cos(2
xn
)
+2cos(2
xn
) xn 4
+2sin( h2
xn1)cos(
xn1)-sin(2

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微分方程数值解实验报告
姓名丁建伟学号 200708020211 日期 2010.11.25
实验项目两点边值问题的差分求解指导教师徐强
一、上机实验的问题和要求（需求分析）：
实验内容：
(I) 分别在步长h=1/20,1/40,1/80,1/160情形下用中心差分格式计算齐次两点
边值问题-u＂=f,u(0)=u(1)=0。其中f(x) = 100*exp(-10*x)，精确解为u(x) =
1 - (1-exp(-10))*x - exp(-10*x)
(II) 给出差分解近似精确解在无穷范数和L2范数下的误差阶。
目的与要求：
掌握中心差分格式的程序实现
掌握分析算法误差的方法
二、程序设计的基本思想，原理和算法描述：

基本思想及原理：
做均匀网格剖分：

1010Nxxx
,分点ihxi步长nh1

在节点ix处，对微分方程离散化)(22xfdxud
)(12 )()(2)(344222211hOdxudhdxudhxuxuxuiiiii



有)()( )()(2)(211uRxfhxuxuxuiiiii
其中 2434()()12iihduRuOhdx
记u在节点Nkxk~0,数值解为 Nkuk~0,，
则有,2:211iiiiihfhuuuuL
比较知)()(:)(uRxfxuLiiih
所以()()ihiiRuLuxLu
表示用差分算子hL代替微分算子L产生的误差
称之为（局部）截断误差。这里关于h的阶为 )(2hO。

注意()iiLufx
所以()()()ihiiRuLuxfx
由此知：（局部）截断误差可视为差分格式，将数值解换成相应真解值后，左端
减右端，再做Taylor展式获得的（可作为计算公式）。
方程的联立形式（中心差分格式）









0,01~1,20211Niiiiuu
nif

uuu

矩阵形式 bAU(其中 A 是三对角矩阵)
又因为A是三对称矩阵，而且符合追赶法的使用条件，故可用追赶法求解U的解。

三、主要程序代码或命令：
#include
#include
#define MAX 200 /*预定义数组大小*/
void main()
{ int n,i; /*初始化阶数n*/
float u[MAX],y[MAX];
float F[MAX],f[MAX],m[MAX];
float h,x; /*步长和剖分点*/
printf("请输入等分数n值：");
scanf("%d",&n); /*读入阶数*/
h=1/float(n);
m[1]=-0.5; /*使用追赶法求解系数矩阵三对称的线性方程组*/
for(i=2;i<=n-2;i++)
m[i]=-1/(2+m[i-1]);
for(i=1,x=h;x<1.0;x+=h,i++)
{F[i]=100*exp(-10*x);
f[i]=1-(1-exp(-10))*x-exp(-10*x); }
y[1]=F[1]/(2/(h*h));
for(i=2;i<=n-1;i++)
y[i]=(F[i]+(1/(h*h)*y[i-1]))/(2/(h*h)+(1/(h*h)*m[i-1]));
u[n-1]=y[n-1];
for(i=n-2;i>=1;i--)
u[i]=y[i]-m[i]*u[i+1];
for(i=1;i{ printf("请输出u[%d]的值：%f;",i,u[i]);
printf("——精确解为%f",f[i]);
printf("误差为%f",fabs(u[i]-f[i]));
printf("\n");}
}
四、调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施：
1.编译时出错，若想在主函数和被调用函数都使用一些变量，必须把这些变量设为全局变量。
2.编译时，没有注意数据类型转换，如float h;h=1/n;是错误的，因为n是整形的，当n
值大于1时，h老为零。应进行模式转换，h=1/float（n）；这样才是正确的。
3.对浮点数求绝对值时，应使用fabs（）函数，而不是abs（）。
4.注意乘除的计算，不能直接写成2x等，必须加上符号，2*x。
五、运行输出结果及分析：
上述程序在Visual C++ 6.0环境下加以实现。经过多次测试，程序运行正确。例如：
分别输入n值：20 ，40，运行结果如图所示，图中显示了每一步的值及端点误差。

请输入等分数n值：20

输入n值：40
由图可知：
a.四种步长下无穷范数分别为：h=1/20时为e1=0.013742，h=1/40时为e2=0.003477，
h=1/80时为e3=0.000872，h=1/160时为e4=0.000218。计算可得差分解近似精确解在无穷
范数下误差阶数为二阶。(e=max{u[i]})
b.四种步长下L2范数分别为：h=1/20时为e1'=0.009277，h=1/40时为e2'=0.002342，
h=1/80时为e3'=0.000586，h=1/160时为e4'=0.000145。计算可得差分解近似精确解在L2

范数下误差阶数为二阶。(2/111)('2niiue)
通过这次课程设计:
1. 我又进一步巩固了C语言的基础。
2. 做课程设计达到了理论与实践结合的目的，提高了自己的编程能力。
3. 对数值分析里求解线性方程组的追赶法复习了一下，加深了理解。
4. 掌握中心差分格式的程序实现和分析算法误差的方法。