有限差分法

利用有限差分法分析电磁场边界问题

在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。

为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。

对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。

有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

差分运算的基本概念：

有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。

对单元函数()x f

而言，取变量x的一个增量x∆=h，则函数

()x f

的增量可以表

示为

()x f∆

=

()h

x

f+-()x f

称为函数()x f

的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为

()x f∆

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

2

h

x

f

-

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

2

h

x

f

称为函数()x f 的中心差分或一阶中心差分。

函数一阶差分()x f ∆与自变量增量h 的比值()x f ∆/h 称为一阶差商。在一阶差分运算中，它常用来近似函数()x f ∆的一阶导数()dx x df /。 函数()x f 的二阶差商定义为

()22x x f ∆∆()[]()[]h h x f h h x f ∆-+∆= ()()

2h x f h x f ∆-+∆=

它常被用来近似函数()x f 的二阶导数()2

2/dx x f d 。

我们还可以采用类似方法给出二阶以上差分的定义，并用它们来近似函数二阶以

上的导数。但由于二阶以上的倒数在本次研究中没有用到，因此就不在赘述了。

3.1 个相同形式的差分方程。有限差分法应用 有限差分法基本思想是将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题[6][7]。 现在，以静电场边值问题

为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于下图中。

y

x

024

1

3

D L

h

h

有限差分的网格分割

通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h ,节点4,3,2,1,0上的电位分别用3210,,,ϕϕϕϕ和4ϕ表示。

设函数ϕ在

x 处可微，则沿x 方向在

x 处的泰勒公式展开为

()()

(

)

∑

=-+-=n

K n

K

K K 0

00)

(!

χχοχχϕϕχ

将1χχ=和3χ分别代入上式,得

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂+∂∂+∂∂+=03330222001)(!31)(!21)(x h x h x h ϕ

ϕϕϕϕ ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂-∂∂+∂∂-=03330222003)(!31)(!21)(x h x h x h ϕ

ϕϕϕϕ

由上式得

h x x x 2)(

310ϕϕϕ

-≈∂∂=

2301x x 22h 2x 0ϕϕϕϕ

+-≈∂∂=)(

同理

h y y y 2)(

310ϕϕϕ

-≈∂∂=

2

301222)(0h y y y ϕϕϕϕ

+-≈∂∂= 得到泊松方程的五点差分格式

)(4

1

4243210204321Fh Fh -+++=⇒=-+++ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

当场域中,0=ρ得到拉普拉斯方程的五点差分格式：

)

(41044321004321ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=⇒=-+++

从这个公式我们可以看出，当我们将一个二维无源区场域剖分为一系列正方形网格时，场域内任何一个节点的电位都等于它周围四个节点电位的算术平均值。这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程[8]

。对于场域内的每一个结点，关系式都成立，都可以列出。