两点边值问题的有限差分法
有限差分法
有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。
按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。
有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。
将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。
（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。
采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。
(1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。
2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即(4)(2)求用前向差分近似：(5)(3)求(6)(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：+ b j f i,j−c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)aj f i,j− 1其中：i=0,1,…，N-1。
j=0,1…，M-1针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权：(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：+ b j f N− 1,j + c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1aj f N− 1,j− 1求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。
两点边值差分算法
while(scanf("%lf",&B)&&B&&n)
{
h=(B-A)/(n+1);
b[1]=(exp(A+1.5*h)+exp(A+0.5*h))/(h*h)+(A+h)*(A+h);
c[1]=2.0*(A+h)/h-exp(A+1.5*h)/(h*h);
n为10时最大误差：0.000937
误差2-范数e[0]：0.000696
输入划分区间的点数n(输入0结束程序）：
20
输入区间左端点的值A：
0
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.047619 1.048771 1.048961 0.000190
0.095238 1.099921 1.100161 0.000240
}
a[n]=-exp(A-0.5*h+n*h)/(h*h)-2*(A+n*h)/h;
b[n]=(exp(A+0.5*h+n*h)+exp(A-0.5*h+n*h))/(h*h)+(A+n*h)*(A+n*h);
f[1]=(h*h+(2.0*A+4.0)*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+h))*exp(A+h)+
void catchup() //用追赶法解对角占优的三对角线方程组
有限差分法基本原理
流体力学
模拟流体在各种情况下的运动和传输现象， 如空气动力学、水力学等。
热传导
用于研究材料中的热传导现象，如传热设 备的设计和材料的热特性分析。
结构力学
分析结构中的应力、应变等力学性质，用 于优化结构设计和评估结构的稳定性。
电磁场
分析电磁场的分布和变化规律，用于电磁 波传播、电路设计等领域。
有限差分法的优缺点
有限差分法在实际工程中的应用
流体动力学
模拟流体在航空、航天等领 域的流动性能，评估气动设 计和分 析材料的热传导特性、预测 温度场的分布。
结构分析
评估结构的稳定性和强度， 优化结构设计，分析材料的 力学性能。
3 差分法程式
利用节点上的差分近 似替代连续的偏微分 方程，从而得到离散 的差分方程。
有限差分法的基本步骤
网格划分
将求解域划分为离散的节 点，构建求解网格。
边界条件
明确边界上的条件，用于 确定差分方程的边界值。
离散方程
利用节点上的差分近似， 将偏微分方程转化为离散 的差分方程。
有限差分法的应用领域
有限差分法基本原理
有限差分法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值逼近解。它通 过将连续的偏微分方程转化为差分方程，从而实现数值求解。
有限差分法的概述
1 定义
有限差分法是一种将 连续的偏微分方程离 散化为差分方程的数 值方法。
2 离散化
通过在网格上对偏微 分方程进行离散化， 将求解域划分为有限 个离散的节点。
隐式-显式格式
结合了显式和隐式格式的 优点，兼顾计算速度和稳 定性。
有限差分法的误差分析
1
稳定误差
2
主要由数值格式和边界条件的选择 引起，不会随网格精度改变而改变。
两点边值问题的有限差分法
学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学院数统年级2021专业班信计2班学生姓名学号开课时间2021 至2021学年第2学期数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2021年月日1,...,1i N =-，网点处准确解记为[]i u ，1,...,1i N =-。
然后计算相应的误差[]0max Ni i ci Ne u u <<=-，[]121N Ni i i e h u u -==-∑及收敛阶()2ln ln 2NNe e ，将计算结果填入第五局部的表格，并对表格中的结果进展解释？4. 将数值解和准确解画图显示，每种网格上的解画在一图。
三．实验原理、方法〔算法〕、步骤1. 差分格式：=-1/h^2(-()+)+()/2h+=A,2. 局部阶段误差： (u)=O(h^2)3.程序clear allN=10; a=0;b=1;p=(x) 1; r=(x) 2; q=(x) 3; alpha=0;beta=1;五．实验结果及实例分析NN ce收敛阶N e收敛阶10 0.00104256 …… 0.00073524 …… 20 0.00026168 1.9341 0.00018348 1.4530 40 0.00006541 2.0001 0.00004585 2.0000 80 0.00001636 1.9993 0.00001146 2.0000 1600.000004092.00000.000002872.0000N 越大 只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。
图示为：(绿线为解析解，蓝线为计算解)N=10N=20N=40N=80N=160。
边值问题的有限差分法
1.1 1.2
用有限差分法求解微分方程必须把连续 问题进行离散化，为此首先要对求解区域作 网格剖分。
1、剖分区域－－建立差分网格
将区间 a, b 分成 N 等分，分点为
h b a / N xi a ih, i 0,1, ,N
2.3
uij 表示 u x, y 在 xi , yi 的近似值，f ij f xi , yi , h 其中，
称为Laplace差分算子。差分方程（2.3）称为五点 差分格式，它的截断误差为 O h12 h22 。
若考虑的微分方程是Laplace方程，则相应的差分 方程为
Lh vi fi , v0 vN 0.
1.8
如果存在与网格剖分及右端 f h f h xi fi 无关的 正常数 M 和 h ，使
vh M f h
R
,
0hh
1.9
R
则称差分方程（1.8）关于右端稳定。其中， fh
vh xi vi , i =1,2, ,N-1.
Lui ui 1 2ui ui 1 qi ui fi 2 h
1.4
为例。记方程
u xi 1 2u xi u xi 1 h
2
q xi u xi Ri u f xi
Lh 称为差分算子。 为 Lhu xi fi Ri u ，其中，
光滑曲线。 首先对求解区域G作网格剖分：
取沿x轴和y轴方向的步长为 h1 和 h2 ，作两族分别与 x轴和y轴平行的直线
x xi x0 ih1 , i 0, 1, 2, y yi y0 jh2 , i 0, 1, 2, , ,
有限差分法基本原理PPT课件
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t x
(uin1
uin )
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)
lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n
t x 2
(Ti
n 1
2Ti n
Ti
n 1
),
S
t x 2
Ti n1
STi n1
(1
2S )Tin
STi
n 1
上式T中i n 近似数值
有限差分法
有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
关于差分格式的构造一般有以下3种方法。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
有限差分法 快速傅里叶变换
有限差分法快速傅里叶变换有限差分法和快速傅里叶变换是两种在科学计算中常用的数值计算方法。
它们在不同领域有着广泛的应用，可以提高计算效率，减少计算成本，是求解偏微分方程和信号处理的重要工具。
首先，让我们来了解有限差分法。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，用于解决偏微分方程。
它的核心思想是将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程。
通过将偏微分方程在空间和时间上进行离散化，可以将其转化为一个线性代数方程组，然后使用数值计算方法求解。
有限差分法在植物生长模拟、地球物理学、金融工程等领域得到广泛应用。
以偏微分方程的边值问题为例，有限差分法首先将问题的定义域进行网格化，然后使用差分近似替代连续的导数，得到一个离散的差分方程。
通过对差分方程进行迭代求解，可以得到偏微分方程的数值解。
有限差分法的优点是简单易实现，计算较为直观，但相对精度较低。
接下来，我们来介绍快速傅里叶变换。
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法。
傅里叶变换是将信号在时域和频域之间进行转换的方法，它在信号处理、图像处理和数据压缩等领域有着重要应用。
FFT通过将离散时间傅里叶变换（DFT）分解成多个较小的DFT，从而大大提高了计算效率。
它的基本原理是将长度为N的序列分为两个长度为N/2的子序列，然后对子序列进行递归运算，最终将结果合并得到最终的频谱。
FFT的时间复杂度为O(NlogN)，相较于直接计算DFT的O(N^2)，计算速度大大提高。
需要注意的是，FFT要求输入序列的长度是2的整数次幂，不满足条件时需要进行数据填充或截断。
此外，FFT还有许多变种和优化算法，如快速Hadamard变换和快速余弦变换等。
有限差分法和快速傅里叶变换是数值计算中两个重要的方法。
它们分别在不同领域展现出强大的计算能力。
有限差分法在模拟偏微分方程和求解边值问题中有着广泛应用，而快速傅里叶变换在信号处理和频谱分析等方面发挥着重要作用。
熟练掌握这两种方法，可以提高计算效率，解决实际问题，并在科学研究中发挥更大的作用。
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盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人
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及时宜自勉，岁月不待人
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学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解 _________________
开课实验室___________ 数统学院 ____________________
学院数统年级2013专业班信计2班
学生姓名_________ 学号________
开课时间2015至2016学年第2 学期
数学与统计学院制
.实验内容
考虑如下的初值问题:
定常数。
部分。
0, b 1 , p 3,r 1,q 2 ,
0 ,
1,问题(1)的精确解 ux
x 2e x 1 ,
及p 1,r 2,q 3带入方程（1）可得f x 。
分别取
并能通过计算机语言编程实现。
.实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法, 开课学院、实验室： 数统学院
实验时间：2016年 月 日
Lu
d du x —p x ------------ dx dx
du x
dx q
f x , x a, b (1)
其中 p x C 1 a,b ,
x ,q a,b
P min 0 , q x 0 ,,是给
将区间N 等分, 网点x
1.在第三部分写出问题（
1)和 （2）的差分格式，并给出该格式的局部截断
2.根据你写出的差分格式, 编写一个有限差分法程序。
将所写程序放到第四
3.给定参数a 其中将u x
N 10,20,40,80,160 ,用所编写的程序计算问题 (1)和⑵。
将数值解记为
5 ,
i 1,...,N 1，网点处精确解记为i
1,…,N 1。
然后计算相应的误差
1 l
N
/I 2 Nil
h u i U i 2及收敛阶
n e
： e 11，将计算结果填入 I i
In 2
第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？
4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。
三•实验原理、方法(算法)、步骤
1. 差分格式：
L L .i=-1/h A 2O
|]
(% 曲汀—):i.「)/2h+w =
応=A,匕
2. 局部阶段误差：
n (u)=O(hA2)
3. 程序
clear all N=10; a=0;b=1;
P=@(x) 1; r=@(x) 2; q=@(x) 3; aIpha=0;beta=1;
f=@(x) (4*xA2-2)*exp(x-1);
h=(b-a)/N;
H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1);
%
for i=1
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
max u i c 0 i N
i
i U i
N
e
H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));
g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;
end
for i=2:N-2
H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));
g(i)=2*h*f(a+i*h);
end
for i=N-1
H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1 /2)*h)/h-r(a+i*h))*beta; end
u=H\g;
u=[alpha;u;beta];
x=a:h:b;
y=(x.A2).*exp(x-1);
plot(x,u);
hold on
plot(x,y);
y=y'
z=y-u
四•实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
五•实验结果及实例分析
N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。
图示为：（绿线为解析解，蓝线为计算解）N=10
N=20
■
1
N=40
1
os
0 8
0 7
0.6
05
04
□ 3
a?
a 1
Q
03 04 05 06 07 03 03 N=80
N=160
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