有限元与有限差分法基础
有限元法与有限差分法的主要区别
有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限元素法有限体积法有限差分法有限容积法的区别
1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限元与有限差分法基础
离散化过程
P vε T σ d a v u T P d v a u T G d 0 v
( u e ) T B T D e B u e d v ( u e ) T N T P d a ( u e ) T N T G d 0 v
v
a
v
B T D e B u e d v N T P d a N T G d v 0
线弹性问题几何方程—三维问题
三 维 问 题
2020/8/2
u
ε Lu ε
xx yy zz xy yz zx
x v
y w
z u v y x vw z y w u x z
x
0
0
y
0
z
0
y
0
x z
0
0
0
u
离散化过程
单元插值关系 uNue N为单元形函数矩阵 u e 单元节点自由度向量
单元几何关系 εLu
L为单元几何微分算子
单元本构关系 σDeε
D e为单元弹性矩阵
v ( 2u 02e 0) /T 8P /2B v B T T D D v e B e ε u B T e u d σ e d d a v v ( a u a v N e ) u T T P T N d P T d P d a v N v v a T G a ( u u d e T ) G T N d v 0 T G d 0 v 0 16/162
yz
zx
xx
yy
zz
xy
24/162
线弹性问题本构方程—平面应力
平面应力状态
xx
xx
Dxxyeyxy11E00Exyyzyyzz2 21010D
求解偏微分方程三种数值方法
数值模拟偏微分方程的三种方法介绍（有限差分方法、有限元方法、有限体积方法）I．三者简介有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。
首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。
有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。
有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。
有限元法,有限差分法和有限体积法的区别
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分法和有限元法
有限差分法和有限元法
有限差分法（Finite Difference Method）和有限元法（Finite Element Method）是两种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
有限差分法是通过将求解区域离散化为网格，然后在各个网格节点处用差分逼近偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到离散节点上的数值解。
有限差分法适用于一维、二维或三维的问题，可用来处理线性或非线性、稳定或非稳定的偏微分方程。
有限差分法的优点是简单易实现，容易理解和计算，但是对于复杂的几何形状和边界条件，离散网格的选择可能会对精度和计算结果产生较大的影响。
有限元法则是通过将求解区域划分为互不重叠的有限元，每个有限元内部采用局部函数近似原方程，然后将所有有限元的近似解拼接在一起，形成整个求解区域上的近似解。
有限元法通常在每个有限元上构造基函数，通过求解代数方程组确定基函数的系数，从而得到整个求解区域上的数值解。
有限元法适用于一维、二维或三维的问题，能够处理各种几何形状和边界条件，适用范围更广。
有限元法的优点是对复杂几何形状的适应性好，精度高，但是相对于有限差分法而言，复杂度较高，需要更多的计算量和计算时间。
总体来说，有限差分法更适用于简单的几何形状和边界条件，而有限元法更适用于复杂的几何形状和边界条件。
两种方法在
实际的工程和科学计算中都有广泛的应用，选择哪种方法取决于具体问题的性质和求解的要求。
有限元法,有限差分法,有限体积法
有限元法,有限差分法,有限体积法
有限元法、有限差分法和有限体积法都是数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个简单子问题的方法，将连续的物理问题转化为离散的数学问题，通过求解离散问题得到连续问题的近似解。
它将求解区域分割成有限个小区域，每个小区域内的解用一组基函数表示，通过求解基函数系数得到整个求解区域的解。
有限差分法是一种将偏微分方程中的导数用差分近似表示的方法，将求解区域离散化为有限个网格点，通过差分方程求解得到每个网格点的解，从而得到整个求解区域的解。
有限体积法是一种将偏微分方程中的积分用体积平均值表示的方法，将求解区域离散化为有限个体积元，通过求解体积元上的平衡方程得到每个体积元的解，从而得到整个求解区域的解。
这三种方法各有优缺点，适用于不同类型的问题。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值计算方法。
有限差分 有限元 有限体积
有限差分有限元有限体积有限差分、有限元和有限体积是数值计算方法中常用的三种离散化方法。
它们的核心思想是将微分方程式转化为一系列有限的点上的代数方程式，将连续问题转化为离散问题。
一、有限差分法有限差分法是将微分方程的导数用差商来逼近的方法，用差商来代替微分运算。
用区间的两个端点上的函数值之差来代替区间内函数导数的平均值。
在连续的区间上进行近似，大大减小了计算量。
有限差分法是一种较为简单的数值解法，适用于规则网格的微分方程求解，被广泛应用在流体力学、结构力学、电场问题等领域中。
二、有限元法有限元法是将求解域分成若干个划分元，然后在每个单元内用多项式函数逼近问题的解，最终利用点、线、面元件的连接关系来求解整体问题的一种方法。
该方法可以处理复杂的几何形状和物理变化，适用于非常规的边界条件和材料特性，解决超过几百万自由度的三维大规模问题。
三、有限体积法有限体积法是将求解域分成若干个控制体，对质量、能量、动量等守恒量在各个控制体上进行积分，从而推导出控制体内分布的方程。
该方法以区域的体积分为基础，在各个控制体内求解守恒方程。
该方法适用于复杂的多组分、多相流动的领域以及非稳态或非线性问题。
无论是有限差分、有限元还是有限体积法，其核心思想都是通过把连续的微分方程式离散求解，从而转化为一系列有限的点上的代数方程式，解决了连续问题转化为离散问题的过程，从而通过离散求解代数方程式来得到问题的解。
这三种数值计算方法的应用使科学计算得以更加高效、精确地进行，对现代计算、科学技术的推进起到了巨大的贡献。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法电磁场理论是电磁学的重要组成部分，研究电磁场的分布和变化规律对于解决实际问题具有重要意义。
在计算电磁场中，有限差分法和有限元法是两种常用的数值计算方法。
本文将从理论原理、应用范围和优缺点等方面对这两种方法进行探讨。
有限差分法是一种将连续问题离散化的方法，通过将连续的电磁场分割成网格，然后在每个网格上进行离散计算。
这种方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用差分方程进行求解。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，适用于各种电磁场问题的求解。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，所以在计算精度上存在一定的限制。
与有限差分法相比，有限元法是一种更加精确的数值计算方法。
有限元法将电磁场问题的求解区域划分为有限个小单元，然后在每个小单元上建立适当的插值函数，通过求解代数方程组得到电磁场的近似解。
有限元法的优点是可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题。
然而，有限元法的计算过程相对较为复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题，计算量也较大。
在实际应用中，根据具体问题的特点和求解要求，选择合适的数值计算方法是十分重要的。
对于简单的电磁场问题，如一维导线的电流分布，可以选择有限差分法进行求解。
而对于复杂的电磁场问题，如三维空间中的电磁波传播，有限元法更适合。
此外，有限差分法和有限元法还可以结合使用，通过将两种方法的优点相结合，提高计算精度和效率。
除了理论原理和应用范围，有限差分法和有限元法的优缺点也值得关注。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，而且对于一些简单问题可以得到较为准确的结果。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，对于复杂问题的求解精度有限。
相比之下，有限元法可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题，计算精度较高。
然而，有限元法的计算过程相对复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题计算量较大。