有限元与有限差分法基础
有限元法与有限差分法的主要区别
有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限元素法有限体积法有限差分法有限容积法的区别
1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分法和有限元法的区别
有限差分法和有限元法的区别
有限差分法是一类数值分析方法，它是基于差分方程来解决一定类别
的偏微分方程或积分方程，以求得近似解。
它将偏微分方程抽象成一系列
分布在有限区域内的相连点上的离散数学模型，从而使得本来不可解的微
分方程可以近似地变成可解的差分公式，而实际上只是用有限个离散量来
代替连续量，实现状态的模拟和描述。
有限元法也称为有限元分析，是解决偏微分方程的数值计算方法之一。
有限元法将一个定义在有界区域上的连续域分解为有限个单元，并建立一
种合理的元素模型，用此模型描述物体的本构特性和它们在边界处的分布，并以此为基础通过拉格朗日乘子法解决局部有限元素方程，组合解得整体
有限元素解，从而解决问题。
两者的主要区别在于：1、求解的机制不同，有限差分法是将偏微分
方程转化为离散数学模型，而有限元法是将定义在有界区域上的连续域分
解为有限个单元，然后通过拉格朗日乘子法解决局部有限元素方程；2、
精度不同，有限差分法的精度取决于离散化的程度，而有限元法依赖于所
建立模型的准确性，有限元法的精度普遍比有限差分法要高；3、应用范
围不同，有限差分法能处理一些更加复杂的问题，而有限元法只能处理。
有限元、有限差分法
有限元法原理将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。
从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
运用步骤步骤1：剖分:将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．步骤2：单元分析:进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数步骤3：求解近似变分方程用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。
有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。
每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。
有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。
结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。
有限差分法the Finite Difference Method微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
有限元与有限差分法基础
1.连续体离散化
•
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。
•
离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划
分为有限
• 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元， 相邻两个
• 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
•
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单
元之间传
• 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫 （Clough，R.W.）在一篇题为 “平面应力分析的有限元 法” 论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃 发展。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元 通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。 由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果 已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。
第二讲 有限元与有限差分法基础
• CAE的工具： • 有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、边界元法
（BEM）、有限体积法（FVM）、无网格法等等 • 在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法
1
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就 有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
7
节点(node)和 单元(element) 网格（grid）
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度
和存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、 矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线 、面或实体以及二维或三维的单元等种类。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。
求解偏微分方程三种数值方法
数值模拟偏微分方程的三种方法介绍（有限差分方法、有限元方法、有限体积方法）I．三者简介有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。
首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。
有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。
有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。
有限差分法和有限元法
有限差分法和有限元法
有限差分法（Finite Difference Method）和有限元法（Finite Element Method）是两种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
有限差分法是通过将求解区域离散化为网格，然后在各个网格节点处用差分逼近偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到离散节点上的数值解。
有限差分法适用于一维、二维或三维的问题，可用来处理线性或非线性、稳定或非稳定的偏微分方程。
有限差分法的优点是简单易实现，容易理解和计算，但是对于复杂的几何形状和边界条件，离散网格的选择可能会对精度和计算结果产生较大的影响。
有限元法则是通过将求解区域划分为互不重叠的有限元，每个有限元内部采用局部函数近似原方程，然后将所有有限元的近似解拼接在一起，形成整个求解区域上的近似解。
有限元法通常在每个有限元上构造基函数，通过求解代数方程组确定基函数的系数，从而得到整个求解区域上的数值解。
有限元法适用于一维、二维或三维的问题，能够处理各种几何形状和边界条件，适用范围更广。
有限元法的优点是对复杂几何形状的适应性好，精度高，但是相对于有限差分法而言，复杂度较高，需要更多的计算量和计算时间。
总体来说，有限差分法更适用于简单的几何形状和边界条件，而有限元法更适用于复杂的几何形状和边界条件。
两种方法在
实际的工程和科学计算中都有广泛的应用，选择哪种方法取决于具体问题的性质和求解的要求。
有限元法,有限差分法,有限体积法
有限元法,有限差分法,有限体积法
有限元法、有限差分法和有限体积法都是数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个简单子问题的方法，将连续的物理问题转化为离散的数学问题，通过求解离散问题得到连续问题的近似解。
它将求解区域分割成有限个小区域，每个小区域内的解用一组基函数表示，通过求解基函数系数得到整个求解区域的解。
有限差分法是一种将偏微分方程中的导数用差分近似表示的方法，将求解区域离散化为有限个网格点，通过差分方程求解得到每个网格点的解，从而得到整个求解区域的解。
有限体积法是一种将偏微分方程中的积分用体积平均值表示的方法，将求解区域离散化为有限个体积元，通过求解体积元上的平衡方程得到每个体积元的解，从而得到整个求解区域的解。
这三种方法各有优缺点，适用于不同类型的问题。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值计算方法。
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精品课件
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有限元法的基本思想
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精品课件
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有限元法的基本思想
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精品课件
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有限元法的基本思想
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精品课件
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有限元法的基本思想
2021/3/22
精品课件
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有限元法的基本思想
离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一 个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不 能重叠，所有单元通过单元节点相互关联 着
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精品课件
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有限元法的基本思想
位移法基本过程
1）离散化过程
2）单元平衡方程组装过程 3）约束处理过程
4）方程组求解过程
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5）应变、应力回代过程
精品课件
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离散化过程
P
最小势能原理
弹性体的势能 p
A V
G
p Wi We
弹性体
W
i
为1弹性εT体σ d变V形后所具有的内能 2V
20W21e/3为/22A 弹u性TP体d所A 受Vu的TG 外d力V功
精品课件
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离散化过程
为弹性体的应变 为弹性体的应力 u为弹性体的可容位移
弹性体处于平衡状态时，其势能应为最小
P
0 ε T σ d Vu T P d A u T G d V 0
V
A
V
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v w
Lu
y
x
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线弹性问题几何方程—二维问题
2二维问题021/3/22εε平面xxyzyzyxyxzzxxy应yxy力 和wvuzxyux平wuvxzyuvxy面wuyvxzvy应精品变课000件xzy状0xy态000xzy
0
0
0xy0yzuvwuv
Lu
Lu
x
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线弹性问题几何方程—三维问题
三 维 问 题
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u
ε Lu ε
xx yy zz xy yz zx
x v
x
0
y
w
0
z u y v z w x
wuyvxz精品课件 0zy
0
y
0
x z
0
0
0
u
z 0
一
维 问 题
ε εxxyyxyxx uxuvxyuxvy0xyxu0xy uvLuLu
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精品课件
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线弹性问题本构方程—三维问题
三维问题
1 0
1
0
σD ε
De
E
0
(1)(12)
0
1e
0
0
12
2
0 0 0 0
0
0
0
0
E20为21/弹3/22性模量；为泊松比 精品课件
精品课件
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离散化过程
单元插值关系 uNue N为单元形函数矩阵 u e 单元节点自由度向量
单元几何关系 εLu
L为单元几何微分算子
单元本构关系 σDeε
D e为单元弹性矩阵
v ( 2u 02e 1) /T 3P /B 2v 2B T T D D v e B e ε u B T e u d σ e d d a v v ( a u a v N e ) u T T P T N d P T d P d a v N v v a T G a ( u d e T ) G T N d v 0 T G d 0 v 0
有限元法基础及有限差分法基础
有限元法 有限差分法
2021/3/22
精品课件
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有限元法基础
有限元发展过程
有限元应用
有限元发展方向
2021/3/22
精品课件
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有限元法的基本思想
基本思想
1）将连续的求解系统离散为一组 由节点相互联在一起的单元组合体
2）在每个单元内假设近似函数来 分片表示系统的求解场函数
v
a
v
kue f 单元平衡方程或单元刚度方程
B 称为应变矩阵 BLN
k 称为单元刚度矩 k BTDeBdv
f阵 2021/3/22 称为单元载荷向
v
f NTPd
精品课件 a
a vNTG 1d7/16v2
离散化过程
单元刚度矩阵的特性
对称性 奇异性 主元恒正且对角占优
2021/3/22
精品课件
板料无论产生多大的塑性变形，单元与单 元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠， 关联单元的节点也不能脱开
2021/3/22
精品课件
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有限元法的基本思想
不合格单元
2021/3/22 单元裂缝
单元重叠
精品课件
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有限元法的基本思想
变形前后单元之间都是连续的
变形前的网格
2021/3/22
0 0 0 0
12
2 0
0
0
0
0
0
12
2
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线弹性问题本构方程—平面应力
二维问题
平面应力状态
zz0 xz 0 yz 0 xz0 yz0
x
y
z xy
yz
2021zx /3 /22
xx
yy
0
xy
0
0
xx yy
xy
精品课件
x
精品课件
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离散化过程
P vε T σ d a v u T P d v a u T G d 0 v
( u e ) T B T D e B u e d v ( u e ) T N T P d a ( u e ) T N T G d 0 v
v
a
v
B T D e B u e d v N T P d a N T G d v 0
y
z xy
yz
zx
xx
yy
zz
xy
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线弹性问题本构方程—平面应力
平面应力状态
xx
xx
Dxxyeyxy11E00Exyyzyyzz2 21010D
线弹性问题几何方程—二维问题
二
维
问 题
ε
ε
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轴 对xxyzyzyxyxzzrrzzrz称状 态wvuzxyuzwuvxzyurwuwrzuyvxzwr精品 课000件xzy
0
y
r
10 r 0 x
z z0
0
00
u
00rzxyzwuwv
Lu
Lu
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线弹性问题几何方程—一维问题
变形后的网格
精品课件
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有限元法的基本思想
基本思想
通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同 的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力 模式
F
F
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X
精品课件
X
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基于最小势能原理或虚功原理 2）力法： 基于最小余能原理 3）杂交法：基于修正余能原理 4）混合法：基于Reissner变分原理