有限元方法讲义
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有限元总结讲义
5 网格分界面和分界点 结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界
或节点，以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移 约束条件。
常见的特殊界面和特殊点有材料分界面、 几何尺寸突变面、分布载荷分界线(点)、集中 载荷作用点和位移约束作用点等。
6 位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传
递相邻单元。 为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是
划分网格原则
划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求 考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格 形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立 正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考
虑的一些基本原则（影响因素）。
1 网格数量 5 网格分界面和分界点 2 网格疏密 6 位移协调性 3 单元阶次 7 网格布局 4 网格质量 8 节点和单元编号
体内部趋近于边界的应力分量的关系。
Fsj ijni
位移边界条件 就是弹性体表面的变形协调，弹性体临近表
面的位移与已知边界位移相等
面（应）边界条件
给定面力分量 X ,Y ,Z 边界 —— 应力边界
cos( N ,x ) l cos( N , y ) m cos( N ,z ) n
N
Z
Y X
2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不
同的网格，以适应计算数据的分布特征。 在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集 中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采 用比较密集的网格。 在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模 型规模，则应划分相对稀疏的网格。
这样，整个结构便表现出疏密不同的网格 划分形式。
1、结构的离散化 2、单元特性分析 3、计算单元刚度矩阵 4、单元集成 5、施加边界条件 6、求解位移 7、求解应力应变等场量
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
有限元讲义3-2
y y
A-17
第九节 有限元法分析的步骤
一、单元刚阵的推导 1 写出位移函数； 2 计算单元应变； 3 计算单元应力； 4 根据虚功方程，得出单元刚阵。 二、整体结构的分析 1 建立整体结构的静力平衡方程式； 2 进行边界条件处理； 3 解方程组，求节点位移； 4 根据节点位移求应变、应力。
u ( x, y) Niu i N j u j N k uk Nl ul
令ui 1, u j uk ul 0, 代如上ux, y 式
v( x, y) Ni vi N j v j N k vk Nl vl
u( x, y) Ni
综上对三种单元的分析，可以看出，形状函数是单元一些 可能位移的方程式。 • 二、形状函数的性质
性质1：任一形状函数在各节点处的值或为1或为0
1 Ni 0
在节点i处 在其它节点处
A-5
性质2：单元的各个形状函数之和总是等于1
Ni 1
这两个性质的意义是：第一，形状函数反应了相邻单元在共同节点 处位移的连续性；它反映了单元的刚体位移。 • 三、形状函数的设定的说明 形状函数既然是单元的一些可能产生的位移，因此它们与位移函数 具有相同的特性，可以用插值多项式来设定。设定时要满足上诉形 状函数性质以及连续性和常应变条件。即 1、形状函数应满足
A-15
u x x x v y 0 y xy u v y x y N i x 0 Ni y N j x 0 N j y
A-16
0 Ni y Ni x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 N j y N j x
有限元讲义3-1
[
]
试中，[B]称为三角板单元的应变矩阵或几何矩阵。
四、根据物理方 由物理方程 程求应变
{σ} = [D]{ε} = [D][B]{q}
（4.3-8）
弹性矩阵[D]是常数矩阵，[B]也是常数矩阵,因此，当节点位移 求出后，就可以算出三角板单元的应力（常数值）。 在单元内，应变和应力均为常数值，一般是与实际情况不相符 合的，当单元划分相当小时，也只能说是近似的。 五、单元力的平衡方程 在弹性力学中，应力与体积力之间的平衡关系是由平衡微分方程来 体现；应力与表面力之间的平衡关系由静力边界条件来体现，以上可 统称为应力与外力之间的平衡方程。这种平衡关系在整个弹性体内是 逐点满足的。 在有限元法中，应力与外力之间的平衡关系不是逐点满足的，而是 在单元整体意义上满足平衡。通常用虚功方程代替平衡方程。
四、根据物理方程求应力
{σ} = [D][B]{q}
五、矩形板单元刚度矩阵的导出
− − [K] = ∫∫∫V [B]T [D][B]dV = t ⋅ ∫∫S [B]T [D][B]dxdy= t ⋅ ∫a a ∫b b[B]T [D][B]dxdy
（4.4-11）
vi = a5 − aa6 − ba7 + aba 8 v j = a5 + aa6 − ba7 − aba 8 vk = a5 + aa6 + ba7 + aba 8 vl = a5 − aa6 + ba7 − aba 8
（4.4-2）
写成矩阵形式并求出多项式系数，有
1 1 1 1 1 1 u 1 1 a1 − i − a a a a u a2 1 1 1 1 j = 1 − u a3 4 − b b b b k a4 1 1 1 1 ul − − ab ab ab ab
有限元分析基础讲义
3
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
4
第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
图3-4 平面刚架分析示意图
30
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi i T
单元e结点位移列向量为
j u j vj j T
e
i j
ui
i
i
uj
j
j T
结点力向量为
Fi e Ui V i Mi eT Fj e U j V j M j eT
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
4
第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
图3-4 平面刚架分析示意图
30
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi i T
单元e结点位移列向量为
j u j vj j T
e
i j
ui
i
i
uj
j
j T
结点力向量为
Fi e Ui V i Mi eT Fj e U j V j M j eT
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
有限元法ppt课件
3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建 立起对该法的理解；
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题。
双金属片 受热变形
38
第二节 有限元法的分类
39
一、结构有限元法的分类
结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非 线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研 究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者 的某些结果。
40
1.线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，
12
有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化 将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模 型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应 变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通 过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的 结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐 标系和整体坐标系的确定。
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总
体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
15
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物
理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题。
双金属片 受热变形
38
第二节 有限元法的分类
39
一、结构有限元法的分类
结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非 线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研 究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者 的某些结果。
40
1.线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，
12
有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化 将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模 型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应 变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通 过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的 结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐 标系和整体坐标系的确定。
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总
体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
15
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物
理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有
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对（7）关于求导得到 （8）
则利用椭圆问题有限体积元的结论可得（注意） （9）
（10） 分解误差： 的估计已知，只须估计。由方程（5）－（7）可知， 满足 取，利用引理1－2得到 由（4）式和引理2知 ，则从上式得到 或 则利用三角不等式和（10）式得到
第3讲、一阶线性双曲方程的差分方法
1、 一阶双曲问题
（9） 如果对三个参数都是单调递增的，则称差分格式（9）是单调差分 格式。 单调差分格式是L1－TVD的，且满足极值原理： 将一般的差分格式改写为
（10） 定理1 如果差分格式（10）的系数满足
（11） 则差分格式为单调的；如果满足
（12） 则差分格式是TVD的。
证明：第一个结论是显然的，将（10）写为 则可有（注意） 利用（12）式得到
（4） 其中称为数值通量，要求满足
（5） 称（5）为相容性条件。
3、 相容性与守恒性
当差分方程（4）满足相容性条件（5）时，它与微分方程是相容。 事实上，对任何光滑函数和，利用泰勒展开得到（记） 则（4）式为 或者写为 令，即知差分方程逼近于微分方程。
称差分方程为守恒型，如果
（6） 对相容的差分格式（4），如果，当时，则它为守恒型的。事实上，利 用相容性条件知 对（4）式求和，即知（6）式成立。
（18）
3、抛物问题全离散有限元近似
剖分时间区间：。 引进差分算子： 规定，当为连续函数时，，则有 由此得到 （19） （20） 定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足 （21） 将 代入（21）可导出全离散方程组 （22）
其中。 系数矩阵是对称正定的。可逐层求解。 误差分析。令。为的有限元椭圆投影，只须估计。由方程（11）知
（14） 证明：在（12）中取得到 整理为（注意是正定的） 对此式积分，证毕。 误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足
（15） 根据椭圆问题的有限元结果可知
（16） 分解误差： 的估计由（16）式给出，只须估计。 由（11），（12）和（15）知，满足 取，类似稳定性论证可得
（17） 可取为的投影，插值逼近等。 由（17）式，三角不等式和（16），得到
满足 （23）
。则利用，从（23）和（21）得到满足 取得到 或写为 写 对上式求和且利用（19）式得 利用椭圆投影的逼近性质得到 再利用三角不等式即得全离散误差估计 （24）
全离散向后Euler格式关于时间方向只有一阶精度。 二阶精度的Crank-Nicolson格式：求使满足 （25） 其中 。 方程（25）的矩阵方程形式为 处，从方程（11）知，精确解满足 。则椭圆投影满足 分解误差：。从（25）式得到 （26） 在（26）中取，注意
抛物问题（5）的有限体积元近似为：求 使满足 （6）
其中双线性形式如椭圆问题。 引理2 下述结论成立 i)
ii) 是上与等价的范数。 由引理2可知，导出的质量矩阵是对称正定的，则常微分方程组 （6） 唯一可解。由引理1也知道由导出的刚度矩阵也是对称正定的，这可保 证全离散格式的唯一可解。
误差分析 设为问题（6）的解，引进的有限体积元投影：满足 （7）
（14） 现考虑半离散方程（13）的求解。利用基函数可将（13）写成常微
分方程组形式：
（15） 初值由确定，一般由的投影确定。对常微分方程组（15）可采用k阶显 式Roung-Kutta方法离散，由时间方向逐层求解。
例如，可采用如下R-K算法： 1． 2．对计算
3． 为了保持非线性稳定性，避免非物理振荡，通常还要采用坡度限制 器（slope limiting）算子进行处理，即在上述步2中，令
4 双线性形式
由，则定义与相应双线性形式：
5 问题的有限体积元近似
求使 （1）
由于，则（1）等价于
则有误差方程 (2)
6 插值算子的性质
i) ii) (3) iii) (4) 守恒性质: 在(1)中取,得到
7 解的存在唯一性
引理1 设，则 证明：利用Green公式和（3）式，注意为常数，得到
定理1 有限体积元解唯一存在，且满足 证明：由引理1，方程（1）和（4）式知 满足
（2） （3） （4） 稳定性分析 采用Fourier方法，令，为参数。记网比。将表示代入 （2）－（4），可分别导出增长因子： 则 则在条件下，当时，采用格式（2），当时，采用格式（3）。格式 （4）是不稳定的。（2）和（3）称为迎风差分格式，可统一写为： 其中。迎风差分格式（2）-(3)是依据特征线走向取值的，网比条件或 （特征线的斜率）是为了保证差分解的依赖域包含精确解的依赖域，见 下图。
CFL条件的一个离散形式为 定义 ， 变差 若差分解满足
（8） 则称差分解是TVD的（总变差衰减）。
TVD格式通常保持差分解的单调性，且为高分辨格式。 上述例中的三个格式在CFL条件下都是守恒型TVD格式。但都为一 阶精度，如何构造高精度的TVD 是一个难点。高精度是指在解的光滑 区域上。 将守恒型差分格式写为
2、 间断性质（激波）
当有间断时，随着的发展，保持间断，若函数值间断，称为强间 断，若连续，但导数间断，称为弱间断。
例1 强间断，给定初值 解见图1。
图1 强间断解 例2 弱间断，给定初值 解见图2。
图2 弱间断解
3、 差分格式
在方向和时间方向进行剖分，剖分节点： 为剖分步长。 可对方程（1）构造如下三种差分格式
（9） 这是全离散间断有限元格式，可从左至右逐单元求解（对固定），时间 方向逐层求解。
2、 非线性守恒律问题
（10）
对方程（10）积分得到 （11）
类似线性情形，在间断点处，需特殊定义的值，记作，称为数值通量函 数，要求是相容的，即
（12） 在（11）式中用代替，代替，则得到间断有限元格式：求使满足
， 为坡度限制器算子 对多维问题或方程组情形，间断有限元方法更复杂，最优收敛阶，超 收敛，后处理等研究都还不完善。
第六讲 对流占优问题的特征差分和有限元
（4） 引进单元上的基函数空间：
（5） 则为的直交和。可在（4）中令。在单元上，令，将代入（4）并依次 取，可得到 可将离散方程（6）整理为矩阵方程形式：
（7） 其中为阶矩阵，元素分别为
例 设为分片常数空间，每个单元只有一个基函数，则方程（7） 为
（8） 对t离散后，这是迎风差分格式，由边值确定。
对方程（7）可进一步进行时间离散，例如，采用一阶向后差商，得 到
（27） 则在（26）中取 得到 求和，且利用（20），（27）和椭圆投影的逼近性质，得到 再利用三角不等式，得Crank-Nicolson格式的误差估计：
（28）
第2讲 有限体积元方法
1、 椭圆问题
考虑椭圆边值问题：
设为凸多边形区域。当时，唯一存在，且满足 。
1 剖分与对偶剖分
设是的一个正则三角剖分，是所有剖分节点集合，是内节 点集合，对每一个做包含的有限体积（见图1）
2、抛物问题半离散有限元方法
考虑抛物型方程初边值问题：
（10） （10）的变分形式：求 使满足
（11） （11）的半离散有限元近似：求 使满足
（12） 令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：
（13） 其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。 求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。 定理1. 问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：
求和得到 上述三种差分格式在CFL条件下都是单调的TVD格式。
第5讲 一阶双曲方程间断有限元方法
1、 一维线性问题
（1） 特征方向：，特征方程，特征曲线。对问题（1）可以考虑纯初值问 题，也可以考虑初边值问题，但边值条件要根据特征走向给定。
这里考虑初边值问题：。假设，在左边界给定边值条件：。 空间剖分：取定剖分步长，剖分节点，半节点 ，单元。
4、 几个典型的差分格式
例1 Lax－Friedrichs格式 可改写为守恒型：
例2 迎风格式（注意） 可改写为守恒型格式
例3 Engquist-Osher格式
5、 稳定性
方程（1）可写为： 那么线性方程稳定性准则：，可转化为
CFL条件 （7） 但对非线性方程，CFL条件只是稳定性的必要条件，并不充分。一般还 得对差分格式附加其它要求才能保证非线性稳定性。
定义分段次多项式构成的间断有限元空间： （2）
中函数可以是不连续的。用与（1）做上的内积，得到： （3）
对于间断点上的取值，恒取为在单元内侧的极限值，即（左极限）（右 极限）。对于方程解，由连续性知，则一般根据特征走向取值。因，则 取迎风值。离散方程（3）现在变为 这是精确解满足的变分方程，在其中用代替，则得到方程（1）的间断 有限元近似：求使满足
格式（4）是不稳定的，可以改造为：
（5）
称为Lax-Friedrichs格式，稳定性条件为。
上述格式都是一阶的，一个二阶格式是Lax-Wendroff格式：
（6）
可以看作是对原方程的粘性近似方程：
的逼近，称为粘性差分格式，右端项称为人工粘性项。稳定性条件是。
事实上，迎风格式和LF格式都可以看作为粘性差分格式，它们可分
问题（2）的有限元近似：求使满足
（3） （3）的解唯一存在，且满足。 （3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：
（4） 刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。 模误差分析：由（2）－（3）可得
（5） 由（5）可首先得到 则得到
（6）
－模误差分析
设 满足 用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 再利用模误差估计结果，得到 （7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） 利用（7），类似分析可得 （9）
（2） 满足（2）式的弱解存在也不一定唯一。如果在间断线上，弱解还满足 熵条件：
（3） 则称其为可容许解或物理解，物理解是唯一的。（1）的解通常存在间 断（激波），可以是强间断或弱间断。
则利用椭圆问题有限体积元的结论可得（注意） （9）
（10） 分解误差： 的估计已知，只须估计。由方程（5）－（7）可知， 满足 取，利用引理1－2得到 由（4）式和引理2知 ，则从上式得到 或 则利用三角不等式和（10）式得到
第3讲、一阶线性双曲方程的差分方法
1、 一阶双曲问题
（9） 如果对三个参数都是单调递增的，则称差分格式（9）是单调差分 格式。 单调差分格式是L1－TVD的，且满足极值原理： 将一般的差分格式改写为
（10） 定理1 如果差分格式（10）的系数满足
（11） 则差分格式为单调的；如果满足
（12） 则差分格式是TVD的。
证明：第一个结论是显然的，将（10）写为 则可有（注意） 利用（12）式得到
（4） 其中称为数值通量，要求满足
（5） 称（5）为相容性条件。
3、 相容性与守恒性
当差分方程（4）满足相容性条件（5）时，它与微分方程是相容。 事实上，对任何光滑函数和，利用泰勒展开得到（记） 则（4）式为 或者写为 令，即知差分方程逼近于微分方程。
称差分方程为守恒型，如果
（6） 对相容的差分格式（4），如果，当时，则它为守恒型的。事实上，利 用相容性条件知 对（4）式求和，即知（6）式成立。
（18）
3、抛物问题全离散有限元近似
剖分时间区间：。 引进差分算子： 规定，当为连续函数时，，则有 由此得到 （19） （20） 定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足 （21） 将 代入（21）可导出全离散方程组 （22）
其中。 系数矩阵是对称正定的。可逐层求解。 误差分析。令。为的有限元椭圆投影，只须估计。由方程（11）知
（14） 证明：在（12）中取得到 整理为（注意是正定的） 对此式积分，证毕。 误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足
（15） 根据椭圆问题的有限元结果可知
（16） 分解误差： 的估计由（16）式给出，只须估计。 由（11），（12）和（15）知，满足 取，类似稳定性论证可得
（17） 可取为的投影，插值逼近等。 由（17）式，三角不等式和（16），得到
满足 （23）
。则利用，从（23）和（21）得到满足 取得到 或写为 写 对上式求和且利用（19）式得 利用椭圆投影的逼近性质得到 再利用三角不等式即得全离散误差估计 （24）
全离散向后Euler格式关于时间方向只有一阶精度。 二阶精度的Crank-Nicolson格式：求使满足 （25） 其中 。 方程（25）的矩阵方程形式为 处，从方程（11）知，精确解满足 。则椭圆投影满足 分解误差：。从（25）式得到 （26） 在（26）中取，注意
抛物问题（5）的有限体积元近似为：求 使满足 （6）
其中双线性形式如椭圆问题。 引理2 下述结论成立 i)
ii) 是上与等价的范数。 由引理2可知，导出的质量矩阵是对称正定的，则常微分方程组 （6） 唯一可解。由引理1也知道由导出的刚度矩阵也是对称正定的，这可保 证全离散格式的唯一可解。
误差分析 设为问题（6）的解，引进的有限体积元投影：满足 （7）
（14） 现考虑半离散方程（13）的求解。利用基函数可将（13）写成常微
分方程组形式：
（15） 初值由确定，一般由的投影确定。对常微分方程组（15）可采用k阶显 式Roung-Kutta方法离散，由时间方向逐层求解。
例如，可采用如下R-K算法： 1． 2．对计算
3． 为了保持非线性稳定性，避免非物理振荡，通常还要采用坡度限制 器（slope limiting）算子进行处理，即在上述步2中，令
4 双线性形式
由，则定义与相应双线性形式：
5 问题的有限体积元近似
求使 （1）
由于，则（1）等价于
则有误差方程 (2)
6 插值算子的性质
i) ii) (3) iii) (4) 守恒性质: 在(1)中取,得到
7 解的存在唯一性
引理1 设，则 证明：利用Green公式和（3）式，注意为常数，得到
定理1 有限体积元解唯一存在，且满足 证明：由引理1，方程（1）和（4）式知 满足
（2） （3） （4） 稳定性分析 采用Fourier方法，令，为参数。记网比。将表示代入 （2）－（4），可分别导出增长因子： 则 则在条件下，当时，采用格式（2），当时，采用格式（3）。格式 （4）是不稳定的。（2）和（3）称为迎风差分格式，可统一写为： 其中。迎风差分格式（2）-(3)是依据特征线走向取值的，网比条件或 （特征线的斜率）是为了保证差分解的依赖域包含精确解的依赖域，见 下图。
CFL条件的一个离散形式为 定义 ， 变差 若差分解满足
（8） 则称差分解是TVD的（总变差衰减）。
TVD格式通常保持差分解的单调性，且为高分辨格式。 上述例中的三个格式在CFL条件下都是守恒型TVD格式。但都为一 阶精度，如何构造高精度的TVD 是一个难点。高精度是指在解的光滑 区域上。 将守恒型差分格式写为
2、 间断性质（激波）
当有间断时，随着的发展，保持间断，若函数值间断，称为强间 断，若连续，但导数间断，称为弱间断。
例1 强间断，给定初值 解见图1。
图1 强间断解 例2 弱间断，给定初值 解见图2。
图2 弱间断解
3、 差分格式
在方向和时间方向进行剖分，剖分节点： 为剖分步长。 可对方程（1）构造如下三种差分格式
（9） 这是全离散间断有限元格式，可从左至右逐单元求解（对固定），时间 方向逐层求解。
2、 非线性守恒律问题
（10）
对方程（10）积分得到 （11）
类似线性情形，在间断点处，需特殊定义的值，记作，称为数值通量函 数，要求是相容的，即
（12） 在（11）式中用代替，代替，则得到间断有限元格式：求使满足
， 为坡度限制器算子 对多维问题或方程组情形，间断有限元方法更复杂，最优收敛阶，超 收敛，后处理等研究都还不完善。
第六讲 对流占优问题的特征差分和有限元
（4） 引进单元上的基函数空间：
（5） 则为的直交和。可在（4）中令。在单元上，令，将代入（4）并依次 取，可得到 可将离散方程（6）整理为矩阵方程形式：
（7） 其中为阶矩阵，元素分别为
例 设为分片常数空间，每个单元只有一个基函数，则方程（7） 为
（8） 对t离散后，这是迎风差分格式，由边值确定。
对方程（7）可进一步进行时间离散，例如，采用一阶向后差商，得 到
（27） 则在（26）中取 得到 求和，且利用（20），（27）和椭圆投影的逼近性质，得到 再利用三角不等式，得Crank-Nicolson格式的误差估计：
（28）
第2讲 有限体积元方法
1、 椭圆问题
考虑椭圆边值问题：
设为凸多边形区域。当时，唯一存在，且满足 。
1 剖分与对偶剖分
设是的一个正则三角剖分，是所有剖分节点集合，是内节 点集合，对每一个做包含的有限体积（见图1）
2、抛物问题半离散有限元方法
考虑抛物型方程初边值问题：
（10） （10）的变分形式：求 使满足
（11） （11）的半离散有限元近似：求 使满足
（12） 令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：
（13） 其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。 求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。 定理1. 问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：
求和得到 上述三种差分格式在CFL条件下都是单调的TVD格式。
第5讲 一阶双曲方程间断有限元方法
1、 一维线性问题
（1） 特征方向：，特征方程，特征曲线。对问题（1）可以考虑纯初值问 题，也可以考虑初边值问题，但边值条件要根据特征走向给定。
这里考虑初边值问题：。假设，在左边界给定边值条件：。 空间剖分：取定剖分步长，剖分节点，半节点 ，单元。
4、 几个典型的差分格式
例1 Lax－Friedrichs格式 可改写为守恒型：
例2 迎风格式（注意） 可改写为守恒型格式
例3 Engquist-Osher格式
5、 稳定性
方程（1）可写为： 那么线性方程稳定性准则：，可转化为
CFL条件 （7） 但对非线性方程，CFL条件只是稳定性的必要条件，并不充分。一般还 得对差分格式附加其它要求才能保证非线性稳定性。
定义分段次多项式构成的间断有限元空间： （2）
中函数可以是不连续的。用与（1）做上的内积，得到： （3）
对于间断点上的取值，恒取为在单元内侧的极限值，即（左极限）（右 极限）。对于方程解，由连续性知，则一般根据特征走向取值。因，则 取迎风值。离散方程（3）现在变为 这是精确解满足的变分方程，在其中用代替，则得到方程（1）的间断 有限元近似：求使满足
格式（4）是不稳定的，可以改造为：
（5）
称为Lax-Friedrichs格式，稳定性条件为。
上述格式都是一阶的，一个二阶格式是Lax-Wendroff格式：
（6）
可以看作是对原方程的粘性近似方程：
的逼近，称为粘性差分格式，右端项称为人工粘性项。稳定性条件是。
事实上，迎风格式和LF格式都可以看作为粘性差分格式，它们可分
问题（2）的有限元近似：求使满足
（3） （3）的解唯一存在，且满足。 （3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：
（4） 刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。 模误差分析：由（2）－（3）可得
（5） 由（5）可首先得到 则得到
（6）
－模误差分析
设 满足 用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 再利用模误差估计结果，得到 （7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） 利用（7），类似分析可得 （9）
（2） 满足（2）式的弱解存在也不一定唯一。如果在间断线上，弱解还满足 熵条件：
（3） 则称其为可容许解或物理解，物理解是唯一的。（1）的解通常存在间 断（激波），可以是强间断或弱间断。