有限元讲义
有限元介绍第一部分优秀课件
更精确，因而应用的范围更广泛。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对 象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解 算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计 算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材 料性质的假定：
2 有限元的应用范围 2-1 固体力学，包括强度、稳定性、震 动和瞬态问题的分析，线性和非线性 分析
2-2 传热学 2-3 电磁场 2-4 流体力学 2-5 金属成形过程的分析 2-6 焊接残余应力分析 2-7 热处理过程的分析
3 有限元的基本求解原理
3-1 材料力学与弹性力学 3-2 应力的概念 3-3 位移及应变，几何方程，刚体位移 3-4 应力应变关系，物理方程 3-5 虚功原理及虚功方程 3-6 单元刚度矩阵 3-7 整体分析 3-8 整体刚度矩阵的形式 3-9 支承条件的处理 3-10 求解方程
有限元介绍第一部 分
1 有限元的概念
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）是将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，对每一单元 假定一个合适的近似解，然后推导求解这 个域总的满足条件，从而得到问题的解。 这个解不是准确解，而是近似解，因为实 际问题被较简单的问题所代替。由于大多 数实际问题难以得到准确解，而有限元不 仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状， 因而成为行之有效的工程分析手段。
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角 都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以 用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差； 并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都 可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方 程。
有限元总结讲义
5 网格分界面和分界点 结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界
或节点，以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移 约束条件。
常见的特殊界面和特殊点有材料分界面、 几何尺寸突变面、分布载荷分界线(点)、集中 载荷作用点和位移约束作用点等。
6 位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传
递相邻单元。 为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是
划分网格原则
划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求 考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格 形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立 正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考
虑的一些基本原则（影响因素）。
1 网格数量 5 网格分界面和分界点 2 网格疏密 6 位移协调性 3 单元阶次 7 网格布局 4 网格质量 8 节点和单元编号
体内部趋近于边界的应力分量的关系。
Fsj ijni
位移边界条件 就是弹性体表面的变形协调，弹性体临近表
面的位移与已知边界位移相等
面（应）边界条件
给定面力分量 X ,Y ,Z 边界 —— 应力边界
cos( N ,x ) l cos( N , y ) m cos( N ,z ) n
N
Z
Y X
2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不
同的网格，以适应计算数据的分布特征。 在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集 中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采 用比较密集的网格。 在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模 型规模，则应划分相对稀疏的网格。
这样，整个结构便表现出疏密不同的网格 划分形式。
1、结构的离散化 2、单元特性分析 3、计算单元刚度矩阵 4、单元集成 5、施加边界条件 6、求解位移 7、求解应力应变等场量
第一讲有限元绪论
考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx
EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才 能进行，成本高、周期长，并且只适合 批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计 提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测 准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的 方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用 不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。 如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、 光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲 刚度实验则需要专门的实验台等等。
有限元讲义3-2
y y
A-17
第九节 有限元法分析的步骤
一、单元刚阵的推导 1 写出位移函数； 2 计算单元应变； 3 计算单元应力； 4 根据虚功方程，得出单元刚阵。 二、整体结构的分析 1 建立整体结构的静力平衡方程式； 2 进行边界条件处理； 3 解方程组，求节点位移； 4 根据节点位移求应变、应力。
u ( x, y) Niu i N j u j N k uk Nl ul
令ui 1, u j uk ul 0, 代如上ux, y 式
v( x, y) Ni vi N j v j N k vk Nl vl
u( x, y) Ni
综上对三种单元的分析，可以看出，形状函数是单元一些 可能位移的方程式。 • 二、形状函数的性质
性质1：任一形状函数在各节点处的值或为1或为0
1 Ni 0
在节点i处 在其它节点处
A-5
性质2：单元的各个形状函数之和总是等于1
Ni 1
这两个性质的意义是：第一，形状函数反应了相邻单元在共同节点 处位移的连续性；它反映了单元的刚体位移。 • 三、形状函数的设定的说明 形状函数既然是单元的一些可能产生的位移，因此它们与位移函数 具有相同的特性，可以用插值多项式来设定。设定时要满足上诉形 状函数性质以及连续性和常应变条件。即 1、形状函数应满足
A-15
u x x x v y 0 y xy u v y x y N i x 0 Ni y N j x 0 N j y
A-16
0 Ni y Ni x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 N j y N j x
有限元讲义3-1
[
]
试中，[B]称为三角板单元的应变矩阵或几何矩阵。
四、根据物理方 由物理方程 程求应变
{σ} = [D]{ε} = [D][B]{q}
（4.3-8）
弹性矩阵[D]是常数矩阵，[B]也是常数矩阵,因此，当节点位移 求出后，就可以算出三角板单元的应力（常数值）。 在单元内，应变和应力均为常数值，一般是与实际情况不相符 合的，当单元划分相当小时，也只能说是近似的。 五、单元力的平衡方程 在弹性力学中，应力与体积力之间的平衡关系是由平衡微分方程来 体现；应力与表面力之间的平衡关系由静力边界条件来体现，以上可 统称为应力与外力之间的平衡方程。这种平衡关系在整个弹性体内是 逐点满足的。 在有限元法中，应力与外力之间的平衡关系不是逐点满足的，而是 在单元整体意义上满足平衡。通常用虚功方程代替平衡方程。
四、根据物理方程求应力
{σ} = [D][B]{q}
五、矩形板单元刚度矩阵的导出
− − [K] = ∫∫∫V [B]T [D][B]dV = t ⋅ ∫∫S [B]T [D][B]dxdy= t ⋅ ∫a a ∫b b[B]T [D][B]dxdy
（4.4-11）
vi = a5 − aa6 − ba7 + aba 8 v j = a5 + aa6 − ba7 − aba 8 vk = a5 + aa6 + ba7 + aba 8 vl = a5 − aa6 + ba7 − aba 8
（4.4-2）
写成矩阵形式并求出多项式系数，有
1 1 1 1 1 1 u 1 1 a1 − i − a a a a u a2 1 1 1 1 j = 1 − u a3 4 − b b b b k a4 1 1 1 1 ul − − ab ab ab ab
有限元分析基础讲义
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
4
第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
图3-4 平面刚架分析示意图
30
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi i T
单元e结点位移列向量为
j u j vj j T
e
i j
ui
i
i
uj
j
j T
结点力向量为
Fi e Ui V i Mi eT Fj e U j V j M j eT
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
有限元讲义2-2
l 6 EI z l2
为了求出另外两个刚度系数，可以通过静力平衡方程
由
Fy 0 Mi 0
得
' ' k31 Fyj Fyi
12EI z l3 l
6 EI z ' ' ' k41 M zj Fyi M zi 2
1 推导单元刚阵中第一行元素 由
ki 2
称为二维坐标系的方向余弦矩阵
称为二维局部坐标系下节点位移行矩阵
称为二维统一坐标系下节点位移行矩阵 （3.3-4a）
qi qi
因为
qi T qi
（3.3-4b）
在式（3.3-4b）两端同乘以[]-1，有
1 I 1 T
1 vi qi 2 zi q q v j 3 j 4 zj
1 Fyi Fi 2 M zi F F F j 3 yj 4 M zj
A-22
将力的公式代入，得
' Fyi l 3
' Fyi l 2
经过推导得出
" k12 Fyi
6 EI z l2 4 EI z l 同理 6 EI z 可推
2
出
k13 k 23 k 33
12EI z l 6 EI z
3
k14
6 EI z
k22 M " zi
l2 12EI z l3 6 EI z l2
" k32 Fyj
k42 M " zj
l 2 EI z l
k 43
l2 2 EI z k 24 l 6 EI z k34 l2 4 EI z k 44 l
有限元分析及应用讲义
识别无效的结果
分析的对象的一些行为 计算出的几何项 求解的自由度及应力 反作用力或节点力
有限元分析及应用讲义
1.分析的对象的一些基本的行为:
• • • • • 重力方向总是竖直向下的 离心力总是沿径向向外的 没有一种材料能抵抗 1,000,000 psi 的应力 轴对称的物体几乎没有为零的 环向应力 弯曲载荷造成的应力使一侧受压，另一侧受拉
13
有限元分析及应用讲义
局部的细化
采用plane42单元网格局部细化与未细化
能量百分比误差 局部细化
Displacement DMX=0.88E-03 SEPC=14.442
未细化
DMX=0.803E-03
应力偏差
Element Solution(SDSG) SDSG SMN=63.453 SMN=64.528 SMX=426.86 SMX=689.589
s = 1200 Elem 2 s = 1300
节点的 ss 是积分点 的外插）
(
savg = 1200
7
有限元分析及应用讲义
ANSYS网格误差估计
误差估计作用条件：
• 线性静力结构分析及线性稳态热分析 • 大多数 2-D 或 3-D 实体或壳单元 • PowerGraphics off
误差信息:
s
mnb j
min( s
a jm
s n )
X stress SMAX ~ 32,750 psi SMXB ~ 33,200 psi (difference ~ 450 psi ~ 1.5 %)
s mxb max( s a s n ) j jm 例如:SMX=32750是节点解的实际值 SMXB=33200是估计的上限
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《刚塑性有限元法及其在轧制中的应用》1998年12月刚塑性有限元法及其在轧制中的应用1 本课程学习目的和要求1．了解现代轧钢生产和轧制技术的发展概况2．掌握现代轧制理论研究的基本任务；3．掌握刚塑性有限元的基本概念、基本理论和基本方法；2 本课程学习的主要内容1．刚塑性有限元的基本理论；2．刚塑性有限元有关技术问题的处理方法；3．求解轧制过程的刚塑性有限元程序。
3 本课程的基础和相关知识1.现代塑性加工力学：基本方程、变分原理、有限元基础知识；2.工程数学：矩阵分析、优化方法、数值分析；3.计算机基础知识：操作系统、FORTRAN语言和FORTRAN4.0编程软件。
4 讲课和学习方法1.课堂讲授：基本概念、基本理论、基本方法及程序剖析；2.课外自学：消化理解、阅读程序；3.上机实践：调试程序。
1 绪论1.1 现代轧制理论研究的发展概况轧制过程的理论研究与轧钢生产发展的实际需要密切相关。
20世纪60年代以前，为了适应手工操作和单体设备为主的轧钢生产过程，轧制理论主要解决轧制力、力矩、功率、宽展和前滑等参数的近似计算问题。
轧制理论的主要进展是提出了卡尔曼和奥罗万方程，采用一些假设条件推导出轧制力和宽展等公式，逐步形成了以工程法为核心的传统轧制理论体系。
20世纪60年代以后，随着轧钢生产和轧制技术的飞跃发展和用户对产品质量要求的日益提高，以计算机为工具，以现代数值分析方法的为特征的现代轧制理论得到了迅速发展。
1.1.1 现代轧钢生产和轧制技术的发展现代轧钢生产大体可分为两个阶段：20世纪50~70年代—发展趋势是大型化、高速化和连续化；1960年以前建立了较多热带钢轧机，特点辊身范围1120~2490mm，年生产能力100~200万吨，带钢卷重6~14吨，最大精轧速度为10~12m/s，技术进步是将AGC应用于精轧机；20世纪60~70年代，轧机向现代化技术方面发展，同时连铸技术发展成熟。
大型连铸坯、步进式加热炉、大型化的粗轧机、7机架精轧机组、AGC、升速轧制、层流冷却技术以及轧制过程计算机控制的全面应用。
60年代美国建设了11套热带钢轧机，其中10套不同程度地采用计算机控制，日本到1971年共建19套热带轧机，14套采用计算机控制。
20世纪80年代以后—轧钢生产主要向提高产品质量、降低消耗、优化轧制过程、开发新钢材和新品种方向发展。
(板形、厚度及超级钢)我国1957年鞍钢建设了第一套2800/1700mm半连续式板带钢轧机，此外，我国还有辊身长度在1422mm以上的热轧宽带钢轧机8套、薄板坯连铸连轧带钢轧机3套。
武钢、本钢1700mm3/4连续式热带钢轧机各一套，宝钢2050mm3/4连续式热带钢轧机，攀钢1450mm半连续式热带钢轧机，太钢1549 mm半连续式热带钢轧机，梅钢1422mm全连续式热带钢轧机，宝钢1580、鞍钢1780mm半连续式热带钢轧机各一套，珠钢1500、邯钢1900和包钢1750薄板坯连铸连轧带钢轧机各一套。
轧钢生产的发展促进了轧制技术进步。
例如，连铸技术、连铸直接轧制技术(CC-DR)、连铸热装直接轧制技术(CC-HCR)，AGC、AFC、ATC和SFR及无头轧制技术等。
1.1.2 现代轧制理论研究的基本任务金属成型是一个十分复杂的变形过程，材料的特性、变形速度、变形程度、变形温度、摩擦条件、工具及工件的形状和尺寸等因素，对成型过程均有一定的影响。
传统的轧制理论一直把板带轧制过程简化为平面变形，求得总的轧制力和平均变形；现代板形控制技术则需要掌握板带轧制过程轧制力横移分布及金属流动规律；过去变形温度一般取道次轧件的平均温度，现代热连轧技术不仅了解轧件的横向温差，还要掌握炉底水印造成的纵向温差，同时考虑轧辊的温度变化和变形；过去型钢孔型设计主要依靠经验进行，现代轧制过程优化设计则需要对孔型轧制时的金属流动进行精确计算。
随着现代轧钢生产和轧钢技术飞跃发展，现代轧制理论研究的基本任务概括如下：(1)求解轧制变形区中各种分布量，如应力场、应变场、速度场和温度场等，为板形板厚控制和型钢孔型设计提供理论基础。
(2)对轧制过程中工具及工件的温度与变形进行综合研究，为钢的高精度轧制及轧机的高精度控制服务。
(3)对轧件不均匀变形及轧件头尾不稳定变形过程的理论研究，为提高产品质量和成材率、进一步优化轧制规程服务。
(4)提高轧制过程参数的理论解析精度，建立和完善控制轧制过程的数学模型。
(5)开展轧制过程热力学及冶金学参数的综合研究，对轧制过程的变形温度、变形程度、金属的微观组织及产品的最终性能进行综合模拟，实现根据产品使用进行钢材成份及轧制过程的预设计。
温度模型、再结晶模型、奥氏体演变模型、组织与性能对应模型以工程法为核心的传统轧制理论对上述问题的解析是极为困难的甚至是不可能的。
随着计算机技术的迅猛发展和有限元理论的丰富与完善，有限元法已经成为现代塑性加工过程分析的卓有成效的数值解析方法。
1.2 轧制理论数值方法1.2.1 初等理论中的数值方法采用有限差分方法求解卡尔曼或奥罗万方程。
基本思想：在变形区内取微元体，建立力平衡微分方程，然后在变形区内进行差分网格划分，在已知边界条件下，采用差分方法求解微元体上的力平衡方程。
特点：能够定性地得出变形区中的轧制力和金属流动规律，但计算精度有待于进一步提高。
1.2.2 滑移线理论及其数值解法滑移线法：把轧制过程变形区划分为一系列由滑移线族组成的滑移线网络，每条滑移线均为达到屈服切应力k，根据Henky应力方程可以确定变形区的应力场。
近年来，利用计算机可以形成金属变形区的滑移线网络，并计算相应的滑移线场。
特点：滑移线法只能处理理想刚塑性体平面变形或轴对称变形问题，对三维变形问题、温度和材料性质参数分布不均问题是无能为力的。
1.2.3 能量法及其数值解法能量法的基础是刚塑性材料的变分原理。
基本思想：给定边界条件→设定含有待定参数的运动许可速度场或静力许可应力场→建立相应能量泛函并使其最小化→确定待定参数→得到真实的速度场→由塑性力学基本关系求出变形及力能参数→得到变形区内的应变场。
特点：能量法可以求解三维变形问题，直接得出变形功率、转矩和由速度场决定的宽展、前滑，由于不能直接得出静水压力，所以不能直接得出应力分布。
此外，能量法也难以处理温度、变形抗力等不均匀分布的问题。
1.2.4 弹塑性有限元法弹塑性有限元法分析金属成型时采用弹塑性材料本构关系，考虑历史的相关性，在求解时需要采用增量加载，在每一个加载步中，只能有少数单元从弹性状态进入塑性状态，以便减小计算误差，因此，所需计算机的容量较大、计算时间长。
特点：不仅可以求解塑性区的扩展、应力、应变分布，而且可以有效地处理卸载问题，计算残余应力和残余应变分布。
其缺点是存在积累误差，所需计算机的容量较大，计算时间长。
2 刚塑性有限元法的基本理论2.1 有限元法的基本概念有限元法是把工件划分成有限结点相连接的单元，以结点上的速度(位移)作为未知量，利用最小能原理求解相应的方程组确定此未知量，按结结点速度与单元内部应变以及单元内部应力之间的关系确定各单元的应力、应变分布。
2.2 刚塑性有限元法及基本思想用有限元方法分析金属塑性成型过程时，采用刚塑性材料本构模型进行求解就是刚塑性有限元法。
由于金属塑性成型过程中，弹性变形与塑性变形相比所占比例很小，例如当压下率大于10％时，冷轧钢的弹性变形一般不大于总变形量的5％；热轧钢的弹性变形不大于总变形量的1％，因而忽略弹性变形的影响，采用刚塑性材料本构模型进行求解，能够得到令人满意的精度。
刚塑性有限元法的基本思想：从刚塑性材料的变分原理出发，按有限元模式把能耗率泛函表示为节点速度的非线性函数，利用数学上的最优化理论得出满足极值条件的最优解，即使总能耗率取最小值的运动许可速度场，根据塑性力学的基本关系和本构方程得出应变速度场、应力场以及变形和力能参数。
2.3 刚塑性材料模型金属成型过程中，材料变形的物理过程非常复杂，为了便于数学处理，必须做出一些假设，把变形中的某些过程理想化。
用刚塑性有限元法分析材料大变形问题时，材料满足下列基本假设：1.材料均质各向同性；2.忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；3.材料的变形流动服从Levy—Mises流动理论；4.材料的体积不变或微可压缩。
材料模型的选择直接关系到分析方法、求解过程的复杂程度和解的精度。
根据变形程度和变形速度对变形抗力的影响及材料体积不变或微可压缩条件，刚塑性有限元法中常用的材料模型有理想刚塑性材料、刚塑性硬化材料和体积可压缩材料三种。
2.3.1 理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型的基本假设如下：1.材料均质各向同性；2.忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；3.材料的变形流动服从Levy—Mises流动理论；4.材料的体积不变；5.不考虑加工硬化和变形抗力对变形速度的敏感性。
理想刚塑性材料的应力应变关系如图2-1所示。
从图中可见，理想刚塑性材料的应力应变关系为一条平行于应变轴的水平直线。
只要等效应力达到一恒定值，材料便发生屈服，且材料在整个变形过程中屈服应力不再发生变化。
图2-1 理想刚塑性材料的应力应变关系理想刚塑性材料模型是对真实变形材料的极为简化的处理，后面可以看到，采用这种模型进行能量积分时，可以把等效应力做为常数提到积分号之外，从而使积分过程得到简化。
实际上在轧制变形区中，由于轧件各点的温度、变形速度和变形程度的不同，屈服应力相差很大，在整个变形区内采用理想刚塑性材料模型必然会给计算结果带来误差。
因此，用有限元法求解时，把变形区划分成足够多的单元，可以认为每个单元内的温度、变形速度和变形程度相同，在每个单元内采用理想刚塑性材料模型，不同单元采用不同的屈服应力，这样处理才能得到比较接近实际的结果。
2.3.2 刚塑性硬化材料模型 一般情况下，真实金属材料的变形抗力随着变形程度的增加而增加，即产生所谓的加工硬化现象。
对于速率敏感性材料或在高温下变形的金属材料来说，变形抗力还要随变形速度的增加而增加。
在理想刚塑性材料模型的基础上，考虑加工硬化和变形速度的影响，便可得到刚塑性硬化材料模型。
刚塑性硬化材料基本假设如下：1. 材料均质各向同性；2. 忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；3. 材料的变形流动服从Levy —Mises 流动理论；4. 材料的体积不变；5. 考虑加工硬化和变形抗力对变形速度的敏感性。
刚塑性硬化材料的应力应变关系如图2-2所示。
图2-2 刚塑性硬化材料的应力应变关系对于刚塑性硬化材料来说，当材料的化学成份和物理状态一定时通常把变形抗力可以表示成变形温度、变形速度和变形程度的函数： (,,) s f T σεε= (2-1)求解轧钢过程时，由于冷轧与热轧时钢的状态相差很大，所以采用不同形式的变形抗力模型。