三角1

第一章 三 角
新高考中，三角大题的考查还是以和、差角公式的运用为主，三角变换的基本解题规律是：寻找联系、取消差异。

常有角变换、函数名称变换、次数变换等。

备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力。

实际生活中的测量、运动学以及几何计算等都离不开三角形，以生活实际为背景设计应用题考查三角知识是高考命题的热点。

第一课时 条件求值 主备人：陈 铤 题型一、已知角求值问题
例1：求下列各式的值：
（1）()()︒+︒+44tan 11tan 1；
（2）
()︒+︒+︒+︒10cos 1190tan 31100sin 130sin 2.
例2：如图，在南北方向有一条公路，一半径为m 100的圆形广场（圆心为O ）与此公路一边所在直线l 相切于点A ．点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ．计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化．设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ）．
（1）设()rad BOP α=∠，将S 表示为α的函数；
（2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．
题型二 已知值求值问题
例3：已知A 为锐角，()2
1tan ,53sin -=-=B A A ，求A 2cos 及B tan 的值.
题型三 三角函数式的化简与证明
例4：已知函数()()πθθθθ<<+-=02
sin 225sin 21f . （1）将()θf 表示成关于θcos 的多项式；
（2）R a ∈，试求使曲线a a y +=θcos 与曲线()θf y =至少有一个交点时，a 的取值范围.
例5：求证：ααα
α
2sin 4
12tan 2tan 1
cos 2=-.
题型四 三角恒等变换与平面向量结合
例6：已知向量()()()ααααcos 2cos ,sin 2sin ,sin ,cos ,sin ,cos ++===x x c x x b a ，其中πα<<<x 0.
（1）若4π
α=，求函数()c b x f ⋅=的最小值及相应x 的值；
（2）若a 与b 的夹角为
3π，且c a ⊥，求α2tan 的值.
课后作业： 班级：_________ 姓名:___________ 学号:__________
1、 已知函数()()2sin 5+=x x f ω满足条件()()03=++x f x f ，则正数=ω_________.
2、 函数()ϕω+=x A y sin （ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA ）在闭区间[]0,π-上的图像如图所示，则=ω____________.
3、 已知()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==4,
0,2,cos ,1,sin παααb a . （1）若b a //，求αtan 的值；
（2）若817=
⋅b a ，求⎪⎭⎫ ⎝
⎛+42sin πα的值.
4、如图，现要在一块半径为m 1、圆心角为︒60的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点N M ,在OB 上，设θ=∠BOP ．平行四边形MNPQ 的面积为S ．
（1）求S 关于θ的函数关系式；
（2）求S 的最大值及相应θ的值．
5、已知()1413cos ,71cos =-=βαα，且2
0παβ<<< （1）求α2tan 的值；
（2）求β.
6、设函数()()0cos sin 32cos 22>+-=m n x x m x m x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,
0π，值域为[]4,1.
（1）求n m ,的值；
（2）若()2=x f ，求x 的值.
7、已知函数()x x x x x x f cos sin sin 33sin cos 22+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=π （1）求()x f 的最小周期；
（2）求()x f 的单调增区间；
（3）当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈4,
0πx 时，求()x f 的值域.
第2课时 解三角形 主备人：陈 铤 题型一 判断三角形的形状
例1、已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,sin A m 与()A A n cos 3sin ,3+=共线，其中A 是ABC ∆的内角.
（1）求角A 的大小；
（2）若2=BC ，求ABC ∆面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时ABC ∆的形状.
题型二 正余弦定理在解三角形中的运用
例2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c b A 5,54cos ==
（1）求C sin 的值；
（2）求()C A +2sin 的值；
（3）若ABC ∆的面积C B S sin sin 2
3=
，求a 的值.
题型三 向量与解三角形的混合问题
例3、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边的对边长分别为c b a ,,
（1）设向量()C B x sin ,sin =，向量()C B y cos ,cos =，向量()C B z cos ,cos -=，若()y x z +//，求C B tan tan +的值；
（2）已知b c a 822=-，且0sin cos 3cos sin =+C A C A ，求b .
题型四 三角应用题
例4、如图，某市拟在长为km 8的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()[]4,0,0,0sin ∈>>=x A x A y ωω的图像，且图像的最高点为()
32,3S ；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定
︒=∠120MNP
（1）求ω,A 的值和P M ,两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？
课后作业： 班级：_________ 姓名:___________ 学号:__________
1、在ABC ∆中，其中c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边长.
（1）求证：3π≤
B ； （2）若4π=
B ，且A 为钝角，求A .
2、设ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知
B
b A a cos 3sin = （1）求角B ；
（2）若A 是ABC ∆的最大内角，求()A C B sin 3cos ++的取值范围.
3、在锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，
（1）设向量()()c b q b a p ,,,==，且p 与q 共线，求角B 的取值范围；
（2）当角B 取最大值时记
λ=+b c a ，求λ的取值范围.
4、在ABC ∆中，角的对边分别为，且
c
C a A cos 3sin = （1）求角C 的大小；
（2）若果4,6=⋅=+CB CA b a ，求c 的值.
5、已知B A ,两地相距R 2，以AB 为直接作一个圆，在半圆上取一点C ，连接BC AC ,，在ABC ∆内种草（如图），N M ,分别为弧AC ，弧BC 的中点，在BNC AMC ∆∆,上种花，其余是空地.设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取θ=∠ABC
（1）用θ及R 表示1S 和2S ；
（2）求
2
1S S 的最小值.
高三数学讲义 第11页 6、如图，我市市区有过市中心O 南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心O 出发北偏西︒60方向的健康路至B 点，在市中心正南方向解放路上选取A 点，在B A ,间修建南徐新路.
（1）如果在A 点处看市中心O 和B 点视角的正弦为
53，求在B 点处看市中心O 和A 点视角的余弦值；
（2）如果AOB ∆区域作为保护区，已知保护区的面积为234
15km ，A 点距市中心的距离为km 3，求南徐新路的长度；
（3）如果设计要求市中心O 到南徐新路AB 段的距离为km 4，且南徐新路AB 最短，请你确定B A ,两点的位置.。