等边三角形1
1等边三角形课件
NE M
B
C
D
我们这节课学习了哪些知识? 谈谈你的体会.
闯关我最行
1. 如图，在等边△ABC中，D是AC的中 点，E是BC延长线上一点，且CE=CD， 请说明DB=DE的理由。
A
D
B
E
C
闯关我最行
如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、 AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。 （1）求证：AD=CE （2）求∠DFC的度数。
（特殊的等腰三角形
等边三角形
）
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正
三角形)。
等边三角形性质
• 等边三角形的三条边都相等.
• 等边三角形的每个内角等于60°. • 等边三角形每个角的角平分线，对边上的
中线，对边上的高互相重合. • 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
等边三角形判定
• 三条边都相等的三角形是等边两种三情角况形： .
•闯关我最行
1、若△ABC和△CDE是两个不全等的等边三角
形.B、C、D在同一条直线上，直线l分别交AB、
AC、EC、ED于F、G、M、N点，小胖认为：
∠AFG与∠ENM的度数之和也是一个定值，你
能说说理由吗？
A
E
F
G
M N
B
C
D
•闯关我最行
2、已知ΔABD和ΔACE是ΔABC外侧的两个等 边三角形，M、N分别是DC、EB的中点，联结 MN、AM、AN，求证：ΔAMN为等边三角形.
B
C
3．等腰三角形的一个外角是120°，那么这个等腰三 角形是 等边 三角形。
•典型例题与能力拓展
例1－几何画版
变式2：如图，例1中其他条件不变，将等边三
《等边三角形》课件PPT1
将两个含30°角的同样的三角尺如图摆放在一起. 4m, ∠A=30°.
例 2.已 知 ： 如 图 ， △ ABC 中 ， AB ＝ AC， ∠ A ＝ 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你会用学过的方法证明吗?
120°，DE垂直平分AB于D，交BC于E点． 如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm， 求证：CE＝2BE. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D、E 分别是
Ｂ Ｃ 30° Ａ
2.如图:△ABC是等边三角形，
A
AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，
BD=＿＿＿，BE=_______.
E
B DC
【典例分析】
例1.已知,如图是屋架设计图的一部分，点D是斜 梁 AB 的 中 点 ， 立 柱 BC,DE 垂 直 于 横 梁 AC ， AB=7.4m, ∠A=30°.立柱BC，DE要多长.
AB
你会用学过的方法证明吗?
【归纳】
定理:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
B
在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°.
∴BC=
1 2
AB.
A 300
C
这是一个判定两条线段成倍半关系的根据之一.
【比一比】看 谁 算 得 快
1.如图：在Rt△ABC中 ∠A=30°,AB+BC=12cm， 则AB=_____cm.
2.等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形. （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形.
【探究】
将两个含30°角的同样的三角尺如图摆放在 一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边 BC与斜边AB之间的数量关系吗?
2024年度-等边三角形课件(PPT1)
•等边三角形基本概念与性质•等边三角形判定方法•等边三角形面积与周长计算•等边三角形在生活中的应用目•等边三角形相关数学问题探讨•总结回顾与拓展延伸录01等边三角形基本概念与性质特点任意一边都小于另外两边之和。
定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
任意两边之和大于第三边。
010203040506定义及特点与其他三角形关系与等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，其中两条等腰边长度相等且等于第三边。
与直角三角形的关系等边三角形不是直角三角形，因为其三个内角均为60°，不满足直角三角形的定义（有一个90°的内角）。
与其他三角形的比较相比于其他三角形，等边三角形的三边长度相等，具有独特的对称性和稳定性。
性质总结等边三角形具有轴对称性，有三条对称轴分别通过每个顶点和其对应边的中点。
由于三边长度相等，等边三角形在几何形状中具有稳定性，不易变形。
等边三角形的每个内角都是60°，每个外角都是120°。
等边三角形的任意一边都等于另外两边之和的一半，即a=b=c=(a+b+c)/3。
对称性稳定性角度性质边长关系02等边三角形判定方法判定定理定义若三角形三边长度分别为且满足a=b=c三角形。
判定方法定义判定定理判定方法030201建筑学工程学数学建模物理学实际应用举例03等边三角形面积与周长计算面积计算公式推导1/2 * 底三角形的面积为a*sqrt(3)/2 = a^2 * sqrt(3) / 8周长计算方法01020304典型例题解析例题1解析例题2解析04等边三角形在生活中的应用建筑领域应用建筑结构建筑设计工程测量应用测绘工程导航定位等边三角形在导航定位系统中也有应用，如全球定位系统（GPS）就采用了等边三角形的原理来确定接收器的位置。
物理学研究在物理学研究中，等边三角形可用于描述某些物理现象的几何特征，如晶体结构中的原子排列。
数学教育等边三角形在数学教育中是基础几何图形之一，帮助学生理解角度、边长、面积等基本概念。
等边三角形(1)
13.3 等腰三角形 （第3课时）
创设情境，导入新知
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此 图形的名称吗？
创设情境，导入新知
问题 满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三条边都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
等边三角形
创设情境，导入新知
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区别和联系？
ED
A
B
C
例2、如图，△ABC是等边三角形，P、Q分 别是AC、BC上的点，且AP=CQ，AQ与BP 交于点M。求∠BMQ的度数。
A
P M
B
C
Q
例3、如图，等边三角形ABC中，AD是BC 上的高，∠BDE =∠CDF = 60 °，图中有哪 些与BD相等的线段？
BD = DC = DE = DF = AE = BE = AF = CF
例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分 别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
A式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
B
C
D
E
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
细心观察，探索性质
已知：在△ABC 中，AC =BC且∠A =60°．求证： △ABC是等边三角形．
等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
C
符号语言：
在△ABC 中，
∵ BC =AC，∠A =60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
A
B
1.三边都相等的三角形是等边三角形.
八年级数学等边三角形1
BC= AB 你会用学过的方法证明吗?
证法一 ∵AB＝AD,∠B=60°
∴AB=AD=BD(有一个角是60°等腰三角形是等边三角形)
又∵BC=CD=
1 2
BD
∴BC=
1 2
AB
A
你能用一句话来
描述你的结论吗？
B
C
D
定理
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
数学式:
A
）
30°
∵ ∠ AC1 B=Rt ∠ ,∠A＝30° ∴BC＝2 AB
C ┓ B 你还能用其它方法证明吗?
巍巍，森幽幽的冰魂……冰魂后面隐约生长排列着五彩斑斓、闪亮华丽的极似彗星般的低矮植物和隐约约，银晃晃，乱蓬蓬的怪异瓜果……两列高高的板尺模样的闪 着幽光的花柱在怪物丛中突兀而立，只见从闪着幽光的花柱顶部垂下缕缕簇簇雨丝般的光影，看上去酷似珊瑚红色的兰花伴随着亮红色的流苏飘飘而下……大道左侧 不远处是一片绿宝石色的茄子地，茄子地旁边紫、黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片深绿色的冰泉，那里似乎还飘 浮着一片中灰色的光梅树林和一片墨蓝色的春榕树林……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁纯蓝色的怪影金基座上，正在喧闹的病鸭精和暗鹤仙立刻变
“在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半。”
在直角三角形中，如果一直角边是斜边的一 半，那么它所对的锐角等于30°
A
1
∵ ∠ ACB=Rt ∠ , BC＝ 2AB
∴ ∠A＝30°
等边三角形(1)
12.3.2 等边三角形【教学目标】1.知识与能力：理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．2.过程与方法：在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．3.情感、态度与价值观：培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．【教学重点】理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．【教学难点】等边三角形性质和判定的应用．【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．【教学过程】一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．活动1 请你探索等边三角形的性质和判定方法．学生活动设计：学生独立思考，然后进行交流，在交流中完成：（1）所有性质的探索；（2）性质的证明．教师活动设计：让学生归纳所有性质，并证明所有的性质（可以口述）．归纳：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．二、问题探究、巩固练习活动2问题如图（1）,兴趣小组在一次测量活动中测得/ APB= 60°, AP=BP=200 m, 他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m.他们的结论对吗？图（1）学生活动设计：学生在独立思考的基础上进行讨论，经过讨论可以发现，只需要证明△ ABP 是等边三角形即可.根据条件 AP=BP 知，此三角形是等腰三角形，又/ APB = 60°，可以得到三角形是等边三角形， 进而可以得到AB = 200 m ，所以兴趣小组 的结论是正确的.教师活动设计：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推的方式进行证明，证明过 程中注意学生表述的准确性和严谨性.另外本问题的解决方法不止一种，注意学 生的不同解法（比如可以利用三个角相等的三角形是等边三角形）〔解答〕略.活动3如图（2），在等边△ ABC 的边AB 、AC 上分别截取 AD=AE ，那么△ ADE 是 等边三角形吗？为什么？学生活动设计：学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，要证明^ ADE 是等边三角形可以有两种方法：方法1证明有两边相等，且有一个角是 60°;方法2证明三个角都相等（是60°）.对于方法1,根据条件容易得到，AD=AE 且/A = 60°于是结论成立；对于 方法2由于不容易实现，学生可以课下思考.教师活动设计：鼓励学生大胆猜测结论，然后进行证明.〔解答〕因为△ ABC 是等边三角形，所以 AB=AC ，/ A = 60°.又因为AD=AE ，所以△ ADE 是等边三角形.活动4如图（3），将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形， 你能借助这个图形，找到RtAABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗? 你能证明你的结论吗？C学生活动设计：学生观察图形，分析数量关系，发现/ BAD= 60°,而/ B=/D = 60°,所以^ ABD是等边三角形，所以AB=BD = 2BC，进而得到：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.然后进行证明.教师活动设计：鼓励学生寻找不同的解决问题的方法，上述可以是方法1,可能有如下方法，如图（4）.图（4）作/DCB = 60°，由于/ B = 60°，所以/ BDC = 60°，于是△ BDC是等边三角形，即BC=BD=DC ;另一方面，由于/ A = 30°，/ BDC= 60°,根据三角形的外角得到/ ACD = 30°，再根据等角对等边得到AD=DC，因此得到AB=AD+DB=2BC，结论成立.〔解答〕略.三、应用提高、拓展创新，培养学生解决问题的能力和创新意识活动5如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC, AB=7.4 m,Z A=30°,立柱BC、DE需要多长?师生活动设计：学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.〔解答〕略.活动6如图（6）,以^ ABC的边AB、AC向外作等边△ ABE和^ ACD，连接BD、CE, （1）线段CE和BD有什么数量关系？证明你的结论.（2）能否求出/ DFC 的度数？学生活动设计：学生先独立思考再小组讨论，然后交流.（1）经过分析可以发现，只需要证明线段CE和BD所在的△ AEC和^ ABD 全等即可，根据等边三角形的性质可以得到=60°,进而得到/立；（2）根据（1）得到/ DFC = 60°, 教师活动设计：教师在学生交流的基础上，引导学生寻找解决这类问题时需要注意的地方，让学生写出规范的解题过程.〔解答〕因为△ ABE和^ ACD是等边三角形，所以/ DAC= / EAB = 60°, AE=AB , AD=AC , 所以/ EAC=/ DAB.在^ AEC和^ ABD中，AE ABEAC BADAC ADAC=AD , AE=AB , / DAC= / EAB EAC=/ BAD,根据SAS得到△ AEC^AABD，于是结论成可以得到/ BDA=/ACE，又/ CGF=/DGA（对顶角），可以问题解决.D所以△ AEC^A ABD .所以BD=EC , / BDA= / ACE, 又/ CGF=/DGA , 所以/ DFC = / DAC = 60°.四、归纳小结、布置作业小结：等边三角形的性质和判定以及应用.作业：习题12.3第8〜14题.。
等边三角形(1)
【学习目标】1、了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形。
2、会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法。
3、经历应用等边三角形性质和判定的过程培养学生分析问题解决问题的能力
【学习重点】等边三角形的性质和判定方法
练习1：△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到△ADE都是等边三角形吗？为什么？
（1）在边AB、AC上分别截取AD=AE
（2）作∠ADE=60°，D、E分别在边AB，AC上
（3）过边AB上D点作DE平行于BC，交边AC于E点
练习2：如图已知D、E是△ABC的边BC上的两点，并且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的大小。
B
练习3 ：已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD
B
练习4：△ABC为等边三角形，且ED⊥BC,垂足为D，FE⊥AC，垂足为E，DF⊥AB垂足为F则△DEF是等边三角形吗？为什么？
练习5：在等边△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，BF，CF的垂直平分线交BC与D，E
求证：△FDE是等边三角形。
B
练习6：所示在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同一侧，点F为线段AD的中点，点G为线段BE的中点，
求证：△CFG是等边三角形
B
【巩固训练】
备注：一般以检查学生“双基”为主。
题目个数4~6小题。
1等边三角形教学课件d
A
B
C
知识点2 等边三角形的判定
当60°角为顶角时
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.
A
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC,∴∠C=∠B.
∵∠A=60°,∴∠B+∠C=180°-∠A=120°.
60° 60° 1 60°260°
6.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，
∠EBC=45°，求∠ACE的度数.
A
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°. 又ED=ED，∴△EDB≌△EDC（SAS）. ∴∠EBD=∠ECD=45°. ∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°-45°=15°.
A
∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,
∴CE=CD= 3 .
2
B
D CE
知识点2 等边三角形的判定 性质
等边三角形
？？？判定？？？
三个内角相等
该怎么证明呢？
知识点2 等边三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
A
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.∵∠B=∠C,∴AC=AB.
得到什么结论？
A
AB=AC AC=BC
∠B=∠C ∠A=∠B
B
C
∠A=∠B=∠C
三角形内角和为180°
∠A=∠B=∠C=60°
知识点1 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
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等边三角形1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 13.3.2 等边三角形（1）
一、学习目标
1、了解等边三角形是特殊的等腰三角形；
2、理解等边三角形的性质与判定。
二、重点难点
重点是：等边三角形的性质和判定形成与应用。
难点是：等边三角形性质与判定的应用?
三、教学过程
（一）自助探究
1、在△ABC 中，AB=AC ，
（1）如果∠A ＝70°，则∠C ＝_________，∠B ＝___________；
（2）如果∠A ＝90°，则∠B ＝_________，∠C ＝___________；
（3）如果∠A ＝60°，则∠B ＝_________，∠C ＝___________。
2、在△ABC 中，如果AB=AC=BC ，则∠A ＝________，∠B ＝_________，∠C ＝________。
3、_____________ _________ _____________的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的______________三角形。
（二）自助提升
【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论
2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形
3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗如果是请说明理由。
【新知应用】
例4：如图（1），△ABC 是等边三角形,DE ∥ BC,分别交AB 、AC 于点D,E ．求证:△ADE 是等边三角形。
E D C A B 图
（1）
3
（三）自助检测
1、如图(4)，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段
2、已知：如图（5），△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ．
求证：DB=DE ．
3、如图，△ABC 为正三角形，D 、E 、F 分别在三边上，且AD=BE=CF 。
问：△DEF 是等边三角形吗为什么
4、如图，△ABC 与△AED 都是等边三角形，且B 、C 、D 在同一条直线上。
求证：AC+CD ＝CE
四、学习反思
图（5） E D
C
A B 图
（4） E D C
A B F
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
4。