2012年新人教版数学八年级(上)1332_等边三角形2
人教版八年级数学上册13.3.2等边三角形2
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13.3等边三角形
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灿若寒星
知识回顾:
(1).等边三角形的性质
1.等边三角形的内角都相等,且都等于 60°
2.等边三角形是轴对称图形，有三条 对称轴
3.等边三角形各边上中线,高和所对角 的平分线都三线合一.
(2)等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
ＢＣ
灿若寒星
举例如下：
1、在Rt△ABC中，如果 ∠BＣＡ＝９0°，∠A＝30°
AB=4，求BC之长。
Ａ
解：由定理知识得
BC=1/2AB
而AB=4 ∴BC=2
Ｂ
Ｃ
灿若寒星
2、在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°，∠A＝30°，CD是 高，
（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；
（2）求证：BD=1/2BC=1/4AB
灿若寒星
含30°直角三角形性质探索：
在△ABＤ中，ＡＢ＝ＢＤ＝ＤＡ，ＡＣ是底 边ＢＤ上的高，探究ＢＣ与ＡＢ之间的数量 有什么关系？
分析：∵ＡＣ是等边△ABＤ的高
A
∴△ABＤ关于直线ＡＣ对称
∴ＢＣ＝ＣＤ
∵ＡＢ＝ＢＤ
B
ＣＤ
∴ＢＣ＝ＣＤ＝１／２ＡＢ
灿若寒星
在一个直角三角形中，如果一个角是30°，那么 30°的角所对的直角边与斜边又有什么关系呢？
灿若寒星
2如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其 中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角
∠BAＣ＝100°∠Ｃ、∠BAD、∠ＣAD各是 多少度？
A
B
D
人教版数学八年级上册12.3.2《等边三角形》教学设计
人教版数学八年级上册12.3.2《等边三角形》教学设计一. 教材分析等边三角形是初中数学的重要内容，它既有三角形的普遍性质，又有自己独特的性质。
人教版数学八年级上册12.3.2《等边三角形》一节，主要让学生掌握等边三角形的定义、性质和判定方法，以及了解等边三角形在实际生活中的应用。
通过学习，学生能进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习等边三角形之前，已经学习了三角形的分类、三角形的性质等知识，具备了一定的图形观念和空间想象力。
但部分学生对三角形的性质理解不深，对等边三角形的认识可能仅停留在表面。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生深入理解等边三角形的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握等边三角形的定义、性质和判定方法，能运用等边三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和推理能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生对几何图形的审美观念。
四. 教学重难点1.重点：等边三角形的定义、性质和判定方法。
2.难点：等边三角形性质的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入等边三角形，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、猜想、验证等边三角形的性质，培养学生的思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、分享学习心得，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示等边三角形的图片、性质和判定方法。
2.教学素材：准备一些等边三角形的实物模型，如三角形纸片、塑料三角形等。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的等边三角形图片，如金字塔、自行车的三角形架等，引导学生关注等边三角形。
提问：你们知道这些图形有什么共同的特点吗？让学生思考并回答，从而引出等边三角形的定义。
2.呈现（10分钟）展示等边三角形的性质和判定方法。
八年级数学上册13.3.2等边三角形教案(新人教版)
13.3.2 等边三角形
1：满足什么条件的三角形是等边三
三条边都相等的三角形是等边三角形．
教学内容
问题：等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
：一个三角形的三个内角满足什么
追问：本题还有其他证法吗？
教学内容
：若点D、E 在边AB
DE∥BC，结论依然成立吗？
页练习第1、2题
本节课主要研究等边三角形的性质及判定，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，学生对等边三角形的性质及判定的探究可类比等腰三角形来完成，学生参与的好，讨论热烈，在对其性质及判定的应用上，文字语言符号转化为符号语言时，有部分学生应用的不好，今后要注意性质的应用. 课题：§13.3.5 等
边三角形（二）
思考1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图
你能借助第一个图形，找到含猜想：在直角三角形中，
教学内容
练习1：如图，在△ABC
练习2：如图，在△
是高，∠A =30°，
例5：如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁AB的中点，立柱
练习3：Rt△ABC 中，∠C
，∠B 和∠A 各是多少度？边
间有什么关系？（课本P81页练习题）
教学反思：
在本课的教学中，学生通过等边三角形的性质，对：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这一性质的得出及推理证明能狠好的完成，但在课堂练习这一环节中，有部分同学不会用，没有体会到含有30°角的直角三角形与等边三角形的内在联系，在今后教学中应让学生注重两种图形的内在联系（可重复演示思考1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？的操作.）。
人教版数学八年级上册1332等边三角形教学设计
（4）应用拓展：设计具有实际背景的问题，让学生运用所学知识解决，培养学生的实践能力；
（5）总结反思：通过课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，巩固知识体系。
3.教学评价：
（1）关注学生在课堂上的参与程度，评价学生的合作交流能力；
（3）利用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、合作交流，突破教学难点；
（4）实施分层教学，针对不同学生的学习需求，设计梯度性问题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过展示生活中的等边三角形实例，引导学生发现等边三角形的特征，为新课学习奠定基础；
（2）探究性质：组织学生进行画图、测量、折叠等操作，探究等边三角形的性质，培养学生的几何思维；
（二）讲授新知，500字
1.教师给出等边三角形的定义，强调等边三角形的三条边相等、三个角相等的特点。
2.引导学生通过画图、测量、折叠等操作，探究等边三角形的性质，如：内角都是60度，中线、高线、角平分线重合等。
3.讲解等边三角形的判定定理，如：三边相等的三角形是等边三角形、有两边相等且夹角是60度的三角形是等边三角形等。
5.预习下一节课内容，了解等边三角形在几何证明中的应用，为课堂学习做好准备。
作业布置要求：
1.作业量适中，难度分层，使不同层次的学生都能得到有效训练。
2.鼓励学生自主完成作业，培养独立思考和解决问题的能力。
3.作业批改要及时，针对学生的错误，给出具体指导和反馈。
4.激励学生在完成作业过程中，积极与同学交流讨论，提高合作学习能力。
1.学生对等边三角形的概念已有初步了解，但对其判定和应用方面的知识掌握不足。
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》说课稿
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》说课稿一. 教材分析等边三角形是初中数学中的重要内容，它既有三角形的普遍性质，又有自身独特的性质。
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》这一节，主要让学生进一步理解等边三角形的性质，并学会运用等边三角形的性质解决一些实际问题。
教材通过一些典型的例题和练习，让学生在实践中掌握等边三角形的性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学过三角形的性质，对三角形有一定的了解。
但是，对于等边三角形的性质，他们可能还不是很清楚，需要通过实例来进一步理解和掌握。
同时，学生在学习过程中可能存在对等边三角形性质的认识误区，需要教师进行引导和纠正。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握等边三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实践、探究等方法，让学生学会发现和总结等边三角形的性质。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：等边三角形的性质及其运用。
2.教学难点：等边三角形性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的相关知识，引入等边三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解等边三角形的性质，引导学生通过观察、实践、探究等方法，发现和总结等边三角形的性质。
3.练习：给出一些练习题，让学生运用所学的等边三角形的性质进行解答，巩固所学知识。
4.拓展：给出一些综合性的问题，让学生进行思考和讨论，培养学生的解决问题能力和团队合作意识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调等边三角形的性质及其应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出等边三角形的性质。
人教版数学初二上册(八年级)《13.3.2 等边三角形(2)》 课件
巩固练习
1. △ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，
则AD= 4.8cm .
A
B
DC
2.如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，
1
且AD=AB，则BC= 2 AD.
B
C
A
D
探究新知
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，
PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( C )
A．3
B．2
C.1.5
D．1
E
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO， ∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°. 又∵PC＝3， ∴PE＝1.5. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA， ∴PD＝PE＝1.5.
花这一醉样人美芬丽芳，的感季谢节你，的愿阅你读生。活像春天一样阳光，心情像桃 87、天勇放下气眼兴通前亡往方，天匹堂只夫，要有怯我责懦们。通继往续20地，:28狱收2。获0:2的80季:3208节72.就01:42在.82前:0320方07T.。1u42e.0s2.d07a2.1y0,4TJ2uu0el.ys7d.11a44y,2,20J0u.72ly.01144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 花一样美丽，感谢你的阅读。 四日 花一样美丽，感谢你的阅读。 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:2820:28:307.14.2020Tuesday, July 14, 2020
直角边等于斜边的一半.
A
应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
∴
BC
人教版数学八年级上册 13 3 2等边三角形 教案
第十三章轴对称13.3.2等边三角形（第一课时）教学目标知识与技能1.探索等边三角形的性质和判定;2.能运用等边三角形的性质和判定解决实际问题．过程与方法1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感,发展抽象思维；2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.情感与态度学生积极参与数学学习活动,增强对数学的好奇心和求知欲;并通过在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.重点等边三角形性质定理与判定定理的发现与证明．难点 1.等边三角形判定定理的发现与证明；2.引导学生全面、周到地思考问题．教法操作、演示、讲解学法观察、操作、合作学习教学设计教学环节教学内容师生活动设计意图一、情境引入对于同一类型的几何图像的研究,我们常常按照从一般到特殊的思路进行,比如我们在第十一章研究了一般三角形后,在上节课就研究了把一般三角形边特殊化后的等腰三角形,那如果我们再把等腰三角形的边特殊化,大家想想会得到什么样三角形呢？追问1：满足什么条件的三角形是等边三角形？三条边都相等的三角形是等边三角形．教师提问并引导学生思考回答问题.通过情境引入课题，体会等腰三角形与等边三角形的联系与区别，类比等腰三角形的性质和判定为本节课所学知识做好铺垫.二、观察探究提问：等腰三角形与等边三角形有什么区别和联系？联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.追问1：等腰三角形有哪些特殊的性质呢？等边对等角.三线合一思考：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形的性质与判定吗？学生填表，并小组讨论，班内交流.引导学生探究等边三角形的性质.追问：对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明.归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.符号语言：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°．等腰三角形等边三角形图形定义性质判定学生证明，师板演.师生共同归纳.学生操作后，小组进行探究，班内汇报，师生共同总结.学生证明，师板演.对所得命题进行证明，来说明猜想的正确性.明确等边三角形的性质，并规范符号语言的表达形式.引导学生探究等边三角形的判定方法.明确等边三角形的判定定理，并规范符号语言的表达形式.思考：将等腰三角形的判定用于等边三角形，你能得到什么结论？结合等腰三角形的判定，你能填出等边三角形的判定吗？思考1：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？结论：三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．请你将得到的这两个命题进行证明.归纳：等边三角形的判定定理：定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．符号语言：在△ABC 中，∵∠A=∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形．定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．符号语言：在△ABC 中，∵BC =AC，∠A =60°，∴△ABC 是等边三角形．三、例题讲解例：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.追问：本题还有其他证法吗？学生尝试练习.小组讨论，班内交流对等边三角形的性质与判定进行简单的综合运用.开拓学生的思维.四、巩固练习例1：已知:△ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD = BE = CF.求证:△DEF是等边三角形.例2：如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC 边上,且AE＝CD,AD 与BE 相交于点F.(1)求证:△ABE ≌△CAD;(2)求∠BFD 的度数.学生练习后全班交流，师讲评.对学习本节课所学知识进行巩固应用.五、课堂测试1.下面给出的几种三角形：①有两个角是60°的三角形;②一边上的高也是这边上的中线的三角形; ③有一个外角120°的等腰三角形.其中一定是等边三角形的是 _____.2.如图，△ABC 的边BC上有D、E 两点，且学生思考并回答，师讲评.对学习本节课所学知识进行巩固应用.BD =DE =EC = AD= AE，则∠BAC =_____.3.如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD=3，CE=5，则AC 的长为_____.六、课堂小结谈谈你的收获和体会（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．师引导学生归纳总结.旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.七、实践延伸课本：P80页练习题1，2 检测学生对本节知识的掌握情况.教学反思：本节课主要研究等边三角形的性质及判定，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，学生对等边三角形的性质及判定的探究可类比等腰三角形来完成，学生参与的好，讨论热烈，在对其性质及判定的应用上，文字语言符号转化为符号语言时，有部分学生应用的不好，今后要注意性质的应用.。
人教版八年级上册数学 13.3.2 等边三角形《等边三角形》参考教案
等边三角形（一）教学目标（一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．（二）能力训练要求1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点等边三角形判定定理的发现与证明．教学难点1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备多媒体课件，投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．（演示课件）1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．（教师应给学生自主探索、思考的时间）[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°． [生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发表自己的看法）[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小组内交流自己的看法．Ⅱ．导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件．[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形． [师]你能给大家陈述一下理由吗？[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这A个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．B[师]下面就请同学们来证明这个结论．（投影仪演示学生证明过程）已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC（等角对等边）．又∵∠A=∠C，∴BC=AC（等角对等边）．∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．（演示课件）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．（演示课件）[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，•他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，•由本节课探究结论知△APB为等边三角形．解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，所以∠PAB=∠PBA=12（180°-∠APB）=12（180°-60°）=60°．于是∠PAB=∠PBA=∠APB．从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．Ⅲ．随堂练习（一）课本P54练习 1、2．1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．2．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？ED C AB F答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF ．（二）补充练习如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF ．21E DC AB F证明：连结DE 、DF ，则BE=DE ，DF=CF ．由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°，故△DEF 是等边三角形．DE=DF ，因而BE=CF ．Ⅳ．课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用． Ⅴ．课后作业（一）课本P56─5、6、7、10题．（二）预习P55～P56．Ⅵ．活动与探究探究：如图，在等边三角形ABC 的边AB 、AC 上分别截取AD=AE ．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由．过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．结果：已知：三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△A DE•是否是等边三角形，并说明理由．解：△ADE 是等边三角形，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE ，∴△ADE 是等腰三角形．∴△ADE 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．板书设计 E D C AB§12．3．2 等边三角形（一）一、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形二、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．等腰三角参考例题1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）．∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）．又∵AD⊥BC（已知），D CAB∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：DB=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，且BD是中线，∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=12∠ACB=30°．∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．3．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形（已知），∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．EDABD AEB§12．3．2 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．（二）能力训练要求1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备两个全等的含30°角的三角尺；多媒体课件；投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？Ⅱ．导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)DC AB (2)DC AB其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．•而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=12BC．所以BD=12AB，•即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB．CAB DCAB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC=12BD=12AB．[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．（演示课件）[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ．解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知BC=12AB ，DE=12AD ，所以BD=12×7.4=3.7（m ）．又AD=12AB ，所以DE=12AD=12×3.7=1.85（m ）．答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ． [师]再看下面的例题．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ． 解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．D C AEBDC A∴CD=12AC=a （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）． [师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习 （一）课本P56练习Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC•之间有什么关系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC ． （二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=14AB ． 证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴BC=12AB ．在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠B CD=30°．∴BD=12BC ．∴BD=14AB ．2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，D CAB∴∠ABC=60°，∠C=30°．又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=30°．∴AD=12BD，BD=CD．∴CD=2AD．Ⅳ．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P58─11、12、13、14题．（二）预习P60～P61，并准备活动课．1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．2．思考镜子对实物的改变．Ⅵ．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12 AB．求证：∠B AC=30°．证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，DCAB(1)CA∴△ACB ≌△ACD （SAS ）． ∴AB=AD ． ∵CD=BC ，∴BC=12BD ．又∵BC=12AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°． 板书设计§12．3．2 等边三角形（二） 一、定理的探究定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 参考例题1．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形．(2)DC ABCBMN∴∠ACM=∠BCN ．∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM ， 即∠ACN=∠MCB ． 在△ACN 和△MCB 中，,,,AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACN ≌△MCB （SAS ）． ∴AN=BM ．2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ，•CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？ 解：在Rt △ABC 中，∠CAB=30°，AB=10cm ．∴BC=12AB=5cm ．∵CB 1⊥AB ， ∴∠B+∠BCB 1=90°． 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠BCB 1=∠A=30°． 在Rt △ACB 1中，BB 1=12BC=2.5cm ． ∴AB 1=AB-BB 1=10-2.5=7.5（cm ）． ∴在Rt △AB 1C 1中，∠A=30°．∴B 1C 1=12AB 1=12×7.5=3.75（cm ）．C 1B 1CBA。
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又∵BC＝4
∴AC＝1/2×4＝2
A
B
练习1：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∠B＝30°，且斜边BC＝4.
（2）求AB的取值范围.
解：∵BC－AC＜AB＜BC＋AC
C
又∵BC＝4，AC＝2
∴4－2＜AB＜4＋2
即 2＜AB＜6
A
B
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜 梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC， AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC、DE要 多长？
人教版八年级（上）·数学
如图，已知△ABC是等边三角形，AD是 它的高，请完成下面的推理.
证明：∵△ABC是等边三角形（已知）
∴AB＝AC＝BC（等边三角形定义）
又∵AD是△ABC的高（已知） ∴∠BAD＝ 30°（ 三线合一 ）， A
BD＝ 1/2 BC（ 三线合一 ）
∴BD＝ 1/2 AB（ 等量代换 ）
∴DE＝1/4AB
又∵AB＝7.4 m
∴BC＝1/2×7.4＝3.7（m），
DE＝1/4×7.4＝1.85（m）
练习3：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A ＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F. 求证：BF＝2CF.
提示：连接AF
B
D
C
A
如图，将两个含
30°角的三角尺摆放在
一起. 你能借助这个图
30°
形，找到ห้องสมุดไป่ตู้t△ABC的直
角边BC与斜边AB之间
的数量关系吗？
B
C
D
BC＝1/2AB
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，已知△ABD是等边三角形， AC是它的高. 求证：BC＝1/2AB.
C
练习1：如图，在Rt△ABC中，∠A＝ 90°，∠B＝30°，且斜边BC＝4. （1）求AC的长度； （2）求AB的取值范围.
C
A
B
练习1：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∠B＝30°，且斜边BC＝4.
（1）求AC的长度；
解：在Rt△ABC中
C
∵∠A＝90°，∠B＝30°
∴AC＝1/2BC
证明：∵△ABD是等边三角形 ∴AB＝AD＝BD 又∵AC是△ABD的高 ∴BC＝1/2BD，∠BAC＝30° ∴BD＝1/2AB
B
A
C
D
含30°的直角三角形的猜性想质：在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等
于斜边的一半.
A
30°
在Rt△ABC中
∵∠A＝30°，∠B＝90°
∴BC＝1/2AC（或AC＝2BC） B
B
D
A
E
C
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4
m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？
解：∵BC⊥AC，DE⊥AC
B
∴∠ACB＝∠AED＝90°
D
又∵∠A＝30°
∴BC＝1/2AB，DE＝1/2AD
A EC
∵D是AB的中点 ∴AD＝1/2AB