第十三章 133 1332 第1课时 等边三角形的性质与判定
13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不 是
是
是
（1）
（2）
（3）
不
一 定
是
是
是
（4）
（5）
（6）
典例精析
例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
D
E
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. B
证明：(1)∵△ACM、△CBN都是等边三角形 ∴CA＝CM，CN＝CB，∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2 即∠ACN＝∠MCB 在△ACN和△MCB中,
CA＝CM
∠ACN＝∠MCB
CN＝CB
∴△ACN≌△MCB(SAS) ∴AN＝BM
拓展提升：
已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN 都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F. (2)求证：△CEF为等边三角形．
C
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形 A
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°
∵DE∥BC
∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED
B
C
∴∠A =∠ADE =∠AED
课堂小结
特殊性
定义
底=腰
等边 三角形
特殊性 性质
特殊性 判定
边 角 轴对称性
三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 ° 轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一” 性质
人教版八年级数学上册第十三章 等边三角形的性质与判定
3.如何证明“等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线 都相互重合”.
（借助等腰三角形“三线合一”的性质推理可证）
1.请同学们思考： （1）一个三角形满足什么条件是等边三角形？ （①从边看：三条边都相等；②从角看：三个角都相等） （2）一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
3.请同学们完成课本80页例4.
知识点1．等边三角形的定义及性质（重难点）
1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 2.性质：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都
等于60°. （2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分 线都相互重合. （3）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别 为三边的垂直平分线.
1.本节课我们从哪些方面对等边三角形进行了研究? （从等边三角形的性质和判定角度进行研究）
13.3等腰三角形
13.3.2等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.通过学生自主探究，掌握等边三角形的性质与判定，感受数学的严谨性，发展 学生推理能力.
2.经历“猜想—验证—总结归纳—应用拓展”的探究过程，采用自主探索与合作 交流相结合的方式，亲历“做数学”的过程，培养探究数学问题的能力.
【题型一】等边三角形的性质
例1：如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点O，
13.3.2.1等边三角形的性质与判定(教案)
（1）等边三角形性质的推导：引导学生从具体实例中抽象出等边三角形的性质，理解性质背后的几何原理。
-难点解析：学生需要通过观察、分析等边三角形的图形，推导出性质，如利用全等三角形的性质证明三角相等。
（2）等边三角形判定方法的应用：学会灵活运用判定方法判断一个三角形是否为等边三角形。
-难点解析：学生在应用判定方法时，容易忽视一些细节，如夹角为60度的条件，需要教师在教学中进行强调。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等边三角形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等边三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示等边三角形性质的基本原理。
2.等边三角形的判定：教授学生如何根据给定条件判断一个三角形是否为等边三角形，包括通过三边相等、三角相等和一边及其对角的判定方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.空间观念：通过等边三角形的性质与判定学习，提高学生对几何图形ห้องสมุดไป่ตู้认识，发展空间想象力和直观感知能力。
2.逻辑推理：培养学生运用逻辑思维进行等边三角形判定，提升分析问题和解决问题的能力。
新人教八年级上册第十三章第1课时 等边三角形的性质与判定教案
新人教八年级上册第十三章13.3.2 等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定【知识与技能】1.掌握等边三角形的定义.2.理解等边三角形的性质与判定定理.【过程与方法】经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美,增强应用数学知识解决实际问题的信心.【教学重点】等边三角形的性质和判定方法.【教学难点】等边三角形性质的应用.一、情境导入，初步认识在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,它叫等边三角形.请大家画图并结合等腰三角形的知识探讨等边三角形具有哪些特征,同学间互相交流.教师归纳总结如下:1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.3.三角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.其中,前两个是等边三角形性质,后两个是等边三角形的判定.【教学说明】学生的发言会是多方位多角度的,教师应从边、角、对称性等类型归纳.同时强调,作为特殊的等腰三角形,等边三角形首先具备等腰三角形的所有性质.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.二、思考探究，获取新知例1 如图,已知P,Q是△ABC的边BC上两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.【分析】由已知显然可知△APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°.解:∵AP=AQ=PQ,∴△APQ是等边三角形.∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.又∵AP=PB,∴∠PAB=∠PBA.又∵∠APQ=∠PBA+∠PAB,∴∠PAB=30°.同理∠QAC=30°.∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=120°.【教学说明】本例综合应用等边三角形与等腰三角形在角方面的性质,要求解题要规范,表述要有条理,言必有据,可让学生说出过程中每一步的依据.例2 在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.求证：△OEF是等边三角形.【分析】由角平分线得∠OBC=∠OCB=30°,再根据线段垂直平分线的性质可得OE=BE,OF=CF.据此可计算出∠OEF及∠OFE的度数，进而可证得△OEF是等边三角形.【证明】∵E,F分别是BO,CO的垂直平分线上的点，∴OE=BE,OF=CF.∵△ABC是等边三角形，且OB,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.∴∠OEF=∠OFE=60°.∴∠EOF=60°.∴△OEF是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.【教学说明】证明一个三角形是等边三角形，要灵活运用判定方法，根据已知提供的条件灵活选择，本题可用多种方法证明.三、运用新知，深化理解1.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,则∠A= .2.下列说法不正确的是( ).A.有两个角为60°的三角形是等边三角形B.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形C.有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形D.三个外角都相等的三角形是等边三角形3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA 对称,则△P1OP2是( )三角形.A.直角B.钝角C.等腰D.等边4.如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,BD=2CD,DE⊥AB于E,CE交AD于P.求∠APE的度数.【教学说明】用多媒体(或小黑板)出示以上问题,学生可在老师指导下完成,巩固所学知识.【答案】1.60° 2.C 3.D4.解：∵△ABC为等边三角形.∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，又∵DE⊥AB，∠B=60°，∴∠BDE=30°.∴BE=21BD ，而BD=2CD ∴BE=CD.在△BCE 和△CAD 中BE CD B ACB BC AC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△CAD ，∴∠BCE=∠DAC而∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°.∴∠APC=120°，∴∠APE=60°.四、师生互动，课堂小结教师指导学生回忆本节所学知识点,学生间交流,互相查漏补缺.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.。
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4. 如图，已知等边 △ABC，现将点 A 沿 DE 折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，且已知折痕 DE∥BC， 若△ABC 的面积为 12 平方单位，则△DEF 的面积为 3 平 方单位．
5. 已知 D，E 分别是等边△ABC 中 AB，AC 上的点， 且 AE＝BD，BE 与 CD 的夹角是 60°或120° ．
A．4 C．6
B．5 D．8
【解析】 ∵∠A＋∠APO＝∠POD＋∠COD，∠A＝ ∠POD ＝ 60° ， ∴∠APO ＝ ∠COD ， 易 证 △AOP≌△CDO(AAS)，∴AP＝CO＝AC－AO＝6.
3. 如图，已知 △ABC 是等边三角形，点 B，C，D， E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 45 度．
于 60°的等腰三角形； ③三个外角 (每个顶点处各取一个
外角 )都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的
高的等腰三角形．其中是等边三角形的有 ( D )
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
5. 如由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不 太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收 拢，然后套进衣服后松开即可．如图 ①，衣架杆 OA＝ OB ＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则 此时 A，B 两点之间的距离形， AD⊥BC，点 E 在 AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10° C．20°
B．15° D．25°
3. (2017·黄冈)已知：如图，在正方形 ABCD 的外侧， 作等边三角形 ADE，则∠BED＝ 45 度．
知识点 等边三角形的判定
4. 下列三角形：①有两个角等于 60°；②有一个角等
7. 如 图 所 示 ， △ABC 为 等 边 三 角 形 ， ∠ABD ＝ ∠ACE，BD＝CE，求证： △ADE 是等边三角形．
证明：在证明△ABD≌△ACE 后应得出 AD＝AE 和 ∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
1. 如图，△ABC 为等边三角形， FD⊥AB 于点 D，
知识点 等边三角形的性质
1. 如图，l∥m，等边△ABC 的顶点 B 在直线 m 上，
∠1＝20°，则∠2 的度数为( C )
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
【解析】过点 C 作直线 n∥m，∵△ABC 为等边三角 形， ∴∠ ACB ＝60°，又 ∠1＝20°，∴∠ 1＋∠2＝ ∠ACB ＝60°，∴∠2＝40°.
解：∵AB＝AC，BP＝PC， ∴PA 垂直平分 BC， ∴∠BAP＝∠CAP＝30°. 在△PBD 中， BD＝BP，且 BE⊥PD，∴∠DBE＝ ∠PBE， 又∠PBE＝90°－∠ABC＝30°， ∴∠PBD＝60°，
第十三章 等腰三角形 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1. 三条边都相等 的三角形叫等边三角形，等边三角
形是特殊的等腰三角形． 2. 性质：等边三角形的三个角都 相等
，且每个
角都是 60° ；
判定： (1)三个角都 (2)一个角为
相等 的三角形是等边三角形； 60° 的等腰三角形是等边三角形．
【解析】 先根据“有一角为 60°的等腰三角形是等边 三角形”，判断△ABO 为等边三角形，则可求出 A，B 两 点之间的距离是 18 cm.
6. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，CD 平分∠ACB， AE∥DC，交 BC 的延长线于点 E，求证：△ACE 是等边 三角形．
证明：∵CD 平分∠ACB，∠ACB＝120°， ∴∠ ACD＝∠BCD ＝60°. ∵CD∥AE， ∴∠BCD＝∠E＝60°， ∠ACD＝∠CAE＝60°. ∴△ACE 是等边三角形．
6. 如图，△ABC 为等边三角形，请你用三种方法把 它分别分成四个小的等腰三角形 (要求写出相应角的度 数)．
解：如图：
7. 如图所示，在等边△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的
平分线相交于点 O，BO，OC 的垂直平分线分别交 BC
于点 E，F，求证： △OEF 是等边三角形． 解：∵E，F 分别是 BO，OC 垂直平分线上的点， ∴OE＝BE，OF＝CF. ∵△ABC 是等边三角形，且 OB，OC 分别平分 ∠ABC，
DE⊥BC 于点 E，EF⊥AC 于点 F，则△DEF 是( C )
A．不等边三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．以上都有可能
2. 如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上， 且 AO＝3，点 P 是 AB 上的一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD，要使点 D 恰好 落在 BC 上，则 AP 的长是( C )
∠ACB， ∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°. ∴∠OEF＝∠OFE＝60°. ∴∠EOF＝60°. ∴△OEF 是等边三角形．
8. 如图，△ABC 为等边三角形，P 为△ABC 外一点， 且 PB＝PC，PB⊥AB，D 在线段 AP 上，若 BD＝BP，请 你确定 AD 与 DP 的数量关系．