2022-2022高三文科数学一轮单元卷：第十九单元平面解析几何综合 A卷

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2022高考文科数学一轮复习检测卷7

2022高考文科数学一轮复习检测卷7(立体几何)时刻：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1．下列命题正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．通过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面2．如图7－1，某几何体的正视图与侧视图差不多上边长为1的正方形，且体积为12.则该几何体的俯视图能够是( )图7－13．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB 的中点为M ，DD ′的中点为N ，异面直线B ′M 与CN 所成的角是( )A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°4．如图7－2，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )图7－2A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 5．下列命题中，错误的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交6．a，b是异面直线，下面四个命题：①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面分别与a，b都平行．其中正确的命题个数为()A．1 B．2 C．3 D．47．正四棱锥的侧棱长为2 3，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为() A．3 B．6 C．9 D．188．直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有许多条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有许多条，一定在α内9．如图7－3，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()图7－3A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10．如图7－4.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图差不多上矩形，则该几何体的体积为()图7－4A．6 3 B．9 3 C．12 3D．18 3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分．11．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________________________．12．若一个圆锥的主视图(如图7－5)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是__________ .图7－513．设x，y，z是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x//y”为真命题的是____________(把你认为正确的结论的代号都填上)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．14.如图7－6，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．图7－6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(12分)如图7－7，已知P A⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.图7－716．(13分)如图7－8，已知P A⊥平面ABCD，ABCD为矩形，P A＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：(1)MN∥平面P AD；(2)平面PMC⊥平面PDC.图7－817．(13分)如图7－9，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求证：点M为边BC的中点；(2)求点C到平面AMC1的距离．图7－918．(14分)如图7－10，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB 上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面P AC所成角的正弦值．图7－1019．(14分)如图7－11，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD 沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E－ABD的侧面积．图7－1120．(14分)如图7－12，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E在CD上移动．(1)求三棱锥E－P AB的体积；(2)当点E为CD的中点时，试判定EF与平面P AC的关系，并说明理由；(3)求证：PE⊥AF.图7－12题号12345678910答案15.17.19.复习检测卷(七)1．D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.B 11．14π 12.3π 13.①③④ 14.32π15．证明：∵P A ⊥⊙O 所在平面，BC ⊂⊙O 所在平面， ∴P A ⊥BC .AB 为⊙O 直径，∴AC ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC . 又AE ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AE . ∴AE ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ， ∴AE ⊥平面PBC .16．证明：(1)取PD 的中点为Q ，连接AQ ，QN ，∵PN ＝NC ，∴QN 綊12DC .∵四边形ABCD 为矩形，∴QN 綊AM . ∴四边形AQNM 为平行四边形． ∴MN ∥AQ .又∵AQ ⊂平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠P AD ＝90°. ∵P A ＝AD ，∴△P AD 为等腰直角三角形． ∵Q 为PD 中点，∴AQ ⊥PD .∵CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，∴CD ⊥平面P AD ， ∴CD ⊥AQ ，∴AQ ⊥平面PDC . 由(1)MN ∥AQ ，∴MN ⊥平面PDC . 又∵MN ⊂平面PMC ， ∴平面PMC ⊥平面PDC .17．(1)证明：∵CC 1⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AM .又∵C 1M ⊥AM ，CC 1∩C 1M ＝C 1， ∴AM ⊥平面BB 1C 1C .∴AM ⊥BC .∵△ABC 为正三角形，∴M 为BC 的中点．(2)解：⎩⎪⎨⎪⎧AM ⊥平面BB 1C 1C ，AM ⊂平面AMC 1⇒平面AMC 1⊥平面BB 1C 1C .作CD ⊥C 1M ，垂足为D ，明显CD ⊥平面AMC 1. 则CD 为点C 到平面AMC 1的距离．在Rt △CMC 1中，CM ＝a 2，C 1M ＝AM ＝32a ，∴CC 1＝22a .∴CD ＝C 1C ·CM C 1M ＝66.18．(1)证明：因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，因此AC ⊥OD . 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，因此AC ⊥PO . 因为PO ⊂OD ＝0，因此AC ⊥平面POD .(2)解：由(1)知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面P AC ，因此平面POD ⊥平面P AC .在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面P AC .连接CH ，则CH 是OC 在平面P AC 上的射影．因此∠OCH 是直线OC 和平面P AC 所成的角．在Rt △POD 中，OH ＝PO ·ODPO 2＋OD 2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23.19．(1)证明：在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°，∴BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·2AD cos ∠DAB ＝2 3. ∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥DE . 又∵平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .又DE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥DE .(2)解：由(1)知AB ⊥BD ，CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥DB . 在Rt △DBE 中，∵DB ＝2 3，DE ＝DC ＝AB ＝2，∴S △DBE ＝12DB ·DE ＝2 3. ∵AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥BE .∵BE ＝BC ＝AD ＝4，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4. ∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ，∴ED ⊥AD .∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝4. 综上，三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝8＋2 3.20．解：(1)∵P A ⊥平面ABCD ，∴V E －P AB ＝V P －ABE ＝13S △ABE ·P A ＝13×12×1×3×1＝36. (2)解：当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面P AC .理由如下：∵点E ，F 分别为CD ，PD 的中点，∴EF ∥PC . ∵PC ⊂平面P AC ，EF ⊄平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(3)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥P A . ∵ABCD 是矩矩形，∴CD ⊥AD . ∵P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD . ∵AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥DC .∵P A ＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD . 又CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PDC ∵PE ⊂平面PDC ∴PE ⊥AF .。

2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合，，则 A.B.C.D.2. 设（为虚数单位），则等于( )A.B.C.D.3. 已知：，则的取值范围是（）A.B.C.D.4. 甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为，若甲先投，则等于（）M ={x|0<x <3}N ={x|1<x <4}M ∪N =(){x|0<x <4}{x|1<x <3}{x|3<x <4}{1,2,3}z =+2−3i 1−2i 2+i i z −i−4i 1452−3i2−4isin α+cos β=32cos 2α+cos 2β[−2,2][−,2]32[−2,]32[−,]32320.40.6ξP(ξ=k)×0.4k−1A.B.C.D.5. 已知点是椭圆上的动点，，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是 A.B.C.D.6. 已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为( )A.B.C.D.7.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有．记，，，则（）A.B.C.D.×0.40.6k−1×0.760.24k−1×0.60.4k−1×0.240.6k−1P +=1(xy ≠0)x 216y 212F 1F 2O M ∠P F 1F 2⋅=0M F 1−→−−MP −→−||OM −→−()(0,2)(0,)3–√(0,4)(2,2)3–√f (x)=2sin(ωx +φ)+hπ|f (x)|[0,]π4M M 22–√2–√12−2–√2f(x)R x 1x 2<0f ()−f ()x 2x 1x 1x 2−x 1x 2a =f ()40.240.2b =f ()0.420.42c =f ( 4)log 0.2 4log 0.2c <b <aa <b <ca <c <bc <b <a(,)28. 已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，若以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线的方程为( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 关于二项式的展开式，下列结论错误的是 A.展开式所有项的系数和为B.展开式二项式的系数和为C.展开式中不含项D.常数项为10. 某校学习兴趣小组通过研究发现形如，，不同时为)的函数图象可以通过反比例函数的图象通过平移变换而得到，则对于函数的图象及性质的下列表述正确的是( )A.图象上点的纵坐标不可能为B.图象关于点成中心对称C.图象与轴无交点D.函数在区间上是减函数11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）A.B.C :=2py (p >0)x 2F M (,)x 023M C A ∠AMF =120∘=4yx 2=8yx 2=12yx 2=8yx 23–√(−)x 22x 6()132x 3120y =(ac ≠0ax +b cx +d b d 0y =x +2x −11(1,1)x (1,+∞)ABCD −A 1B 1C 1D 1A 660∘A =6C 16–√A ⊥DB C 1−→−−→−C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为12. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知对满足的任意正实数，，都有，则实数的取值范围为________．14. 若，则________．15. 如图，在三棱锥中，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为________.16. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数的取值范围为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分） 17. 已知等差数列和等比数列满足，，，．求和的通项公式；数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和． 18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，点是的中点．C B 1−→−AA 1−→−60∘BD 1AC 6–√3l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C x +4y =xy x y +2xy +−ax −ay +1≥0x 2y 2a x 2=1log 3−=4x 2−x P −ABC AB =AC =PB =PC =5,PA =4BC =6M PBC AM =15−−√AM BC αcos αf (x)=(x +1)sin x +cos x ，∈[0,](≠)x 1x 2π2x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2a {}a n {}b n =5a 1=2b 1=2+1a 2b 2=+5a 3b 3(1){}a n {}b n (2){}a n {}b n A B A ∪B {}c n {}c n 50S 50S −ABC △ABC SA =SB =AC =2E SC AB ⊥SC（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值． 19. 已知平面四边形中，，求的长；求的面积．20. 已知函数.若，证明：；若只有一个极值点，求的取值范围，并证明：. 21. 已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，过左焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于，两点，为双曲线的右焦点，且轴，如图．求双曲线的离心率；若，求双曲线的标准方程．22. 某电视娱乐节目的游戏活动中，每个人需要完成，，三个项目，已知选手甲完成，，三个项目的概率分别为、、．每个项目之间相互独立．（1）选手甲对，，三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率；（2）该活动要求项目，各做两次，项目做三次，如果两次项目都完成，则进行项目，并获得积分，两次项目都完成，则进行项目并获得积分，三次项目只要二次成功，则该选手闯关成功并获得积分（积分不累记），且每个项目之间相互独立，用表示选手所获得积分的数值，写出的分布列并求数学期望．AB ⊥SC SC =6–√A −SB −C ABCD AB//DC,∠BAC =π4∠ABC =,AB =+1,BD =.π33–√7–√(1)BC (2)△BCD f (x)=x ln x −a (a ≠0)x 2(1)a =1f (x)+x ≤0(2)f (x)x 0a f ()>−x 01e x F 130∘l A B F 2A ⊥x F 2(1)(2)|AB |=16A B C A B C A B C A B C A B a B C 3a C 6a X X参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，所以.故选.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：本题考查负数的运算，.故选.3.【答案】M ={x|0<x <3}N ={x|1<x <4}M ∪N ={0<x <4}A z =+2−3i =−i +2−3i =2−4i1−2i2+i DD【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】根据二倍角公式化简，消去其中一个角，转化思想，利用三角函数的有界限求解范围即可．【解答】∵，可得：，∵．可得：．那么：，∵，则：，∴．4.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次甲投中篮球，而乙前次没有投中，甲也没有投中或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球，根据公式写出结果．【解答】解：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次投中篮球，而甲与乙前次没有投中，或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球．根据相互独立事件同时发生的概率得到；次甲不中的情况应是，故总的情况是．sin α+cos β=32cos β=−sin α32−1≤−sin α≤132≤sin α≤112cos 2α+cos 2β=1−2α+2β−1=2(β−α)sin 2cos 2cos 2sin 2=2(cos β+sin α)(cos β−sin α)=2××(−2sin α)=−6sin α323292sin α∈[,1]12−6sin α∈[−6,−3]cos 2α+cos 2β=−6sin α∈[−,]923232ξξ=k k k −1k −1k k 0.40.6ξξ=k k k −1k k ××0.4=×0.40.4k−10.6k−10.24k−1k ××0.60.4k−10.6k ×0.4+×0.6×0.6=×0.760.24k−10.24k−10.24k−1故选．5.【答案】A【考点】椭圆的应用【解析】作出椭圆的图象，通过观察图象可以发现，当点在椭圆与轴交点处时，点与原点重合，此时取最小值．当点在椭圆与轴交点处时，点与焦点重合，此时取最大值．由此能够得到的取值范围．【解答】解：如图，当点在椭圆与轴交点处时，点与原点重合，此时取最小值为．当点在椭圆与轴交点处时，点与焦点重合，此时取最大值为．∵，∴的取值范围是．故选．6.【答案】D【考点】三角函数的最值正弦函数的图象【解析】B +=1x 216y 28P y M O ||OM −→−0P x M F 1||OM −→−22–√||OM −→−P y M O ||OM −→−0P x M F 1||OM −→−||==2OM −→−16−12−−−−−−√xy ≠0||OM −→−(0,2)A此题暂无解析【解答】解：的最小正周期为,，即.则在上的最大值有种可能：当时，，当时，，当时，，，解得,且，，此时,解得，的最小值.故选.7.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意知，，得，∴．同理当时，．令函数，则在区间上单调递减，且函数为偶函数．∴，∵f(x)π∴ω==22ππf(x)=2sin(2x +φ)+h |f (x)|[0,]π43sin(2x +φ)=1=|2+h|M 1x =0=|2sin φ+h|M 2x =π4=|2cos φ+h|M 3∴=M 2M 3φ=π42sin φ+h <02cos φ+h <0==−−h =2+h M 2M 32–√h =−2−2–√2∴M =2+=−2−2–√22−2–√2D 0<<x 2x 1f ()−f ()<0x 2x 1x 1x 2f ()<f ()x 2x 1x 1x 2<f ()x 1x 1f ()x 2x 20<<x 1x 2>f ()x 1x 1f ()x 2x 2g(x)=f(x)x g(x)(0,+∞)g(x)a ==g()f ()40.240.240.2==g()f ()2，，∵，∴,即.故选．8.【答案】B【考点】抛物线的性质抛物线的定义【解析】过点作轴于.由题可知，，因为，所以，所以，，解得，抛物线方程为.选．【解答】解：过点作轴于.由题可知，，因为，所以，所以，即，解得，抛物线方程为.故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数b ==g()f ()0.420.420.42c ==g(4)=g(−4)=g(4)f (4)log 0.24log 0.2log 0.2log 5log 50<=0.16<0.5<4<1<0.42log 540.2g()<g(4)<g()40.2log 50.42a <c <b C M MB ⊥y B |MA|=+23P 2|BF|=−P 223∠AMF =120°∠BMF =30°2|BF|=|MF|+=2(−)23P 2P 223p =4=8y x 2B M MB ⊥y B |MA|=+23p 2|BF|=−p 223∠AMF =120°∠BMF =30°2|BF|=|MF|+=2(−)23p 2p 223p =4=8y x 2B【解析】本题主要考查二项式定理和二项式的展开式．【解答】解：因为二项式，令可得所有项系数和为，展开式中二项式的系数和为，展开式的通项为，当时，得常数项为；当时，可得项，所以错误的应选．故选．10.【答案】A,B,D【考点】函数的图象变换函数的图象【解析】可以看做将反比例函数图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，作出函数的图象，利用函数的图象求解即可.【解答】解：可以看做将反比例函数图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，作出函数图象如图所示.由图可知，图象上点的纵坐标不可能为，故正确；图象关于点成中心对称，故正确；图象与轴有交点，故错误；(−)x 22x6x =11=6426==T r+1C r 6x 2(6−r)(−)2xr C r 6(−2)r x12−3r r =4240r=3x 3BCD BCD y ===1+x +2x −1x −1+3x −13x −1y =3x y ===1+x +2x −1x −1+3x −13x −1y =3x1A (1,1)B x C (1,+∞)函数在区间上是减函数，故正确.故选.11.【答案】A,B【考点】异面直线及其所成的角数量积表示两个向量的夹角【解析】应用空间向量的基本定理，选取向量为基底，对每一选项进行逐一判断即可得到答案．【解答】解：因为以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，所以，，则，所以正确；，所以正确；显然为等边三角形，则，因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角是，所以不正确；因为，，所以，，，所以，所以不正确．故选．12.【答案】(1,+∞)D ABD ,,AA 1−→−AB −→−AD −→−A 660∘⋅AA 1−→−AB −→−=⋅AA 1−→−AD −→−=⋅AD −→−AB −→−=6×6×cos 6=180∘(++)AA 1−→−AB −→−AD −→−2=+++2⋅+2⋅+2AA 1−→−2AB −→−2AD −→−2AA 1−→−AB −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−AD −→−=36+36+36+3×2×18=216||=|++|=6AC 1−→−AA 1−→−AB −→−AD −→−6–√A ⋅=(++)⋅(−)AC 1−→−DB −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−AB −→−AD −→−=⋅−⋅+AA −→−1AB −→−AA 1−→−AD −→−AB −→−2−⋅+⋅−=0AB −→−AD −→−AD −→−AB −→−AD −→−2B △A D A 1∠A D =A 160∘=C B 1−→−D A 1−→−D A 1−→−AA 1−→−120∘C B 1−→−AA 1−→−120∘C =+−BD 1−→−−AD −→−AA 1−→−AB −→−=+AC −→−AB −→−AD −→−||==6BD 1−→−−(+−)AD −→−AA 1−→−AB −→−2−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√||==6AC −→−(+)AB −→−AD −→−2−−−−−−−−−−−√3–√⋅=(+−)⋅(+)=36BD 1−→−−AC −→−AD −→−AA 1−→−AB −→−AB −→−AD −→−cos , ===BD 1−→−−AC −→−⋅BD 1−→−−AC −→−||⋅||BD 1−→−−AC −→−366×62–√3–√6–√6D ABA,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.【解答】解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：依题意，则，，当且仅当，时等号成立．由，，为正实数得AB C l C CP D l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD a ≤829x +4y =xy +=11y 4x x +y =(x +y)(+)1y 4x =5++≥5+2=9x y 4y x ⋅x 2y 4y x−−−−−−−√=x y 4y xx =2y =6+2xy +−ax −ay +1≥0x 2y 2x y −a (x +y)+1≥02，整理得.令，则在上单调递增，所以时有最小值，所以．故答案为：．14.【答案】【考点】对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】略16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题−a (x +y)+1≥0(x +y)2a ≤x +y +1x +yt =x +y ≥9t +1t [9,+∞)t =9t +1t 9+=19829a ≤829a ≤8295–√5a ≥1利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，，则，故在上单调递增，不妨设，则，，∴由，可得成立，即.令，则，令，分离参数得，∴，∴在上单调递减，故，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，可得，，∴，．易知的前项中含有的前项且含有的前项，∴．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】无f(x)=(x +1)sin x +cos x =x sin x +sin x +cos x (x)=sin x +x cos x −sin x +cos x =(x +1)cos x >0f ′f(x)[0,]π2>x 1x 2>e x 1e x 2f()>f()x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2f()−f()<a −a x 1x 2e x 1e x 2f()−a <f()−a x 1e x 1x 2e x 2g(x)=x sin x +sin x +cos x −ae x (x)=cos x +x cos x −a ≤0g ′e x h(x)=cos x +x cos x a ≥h(x)=F(x)e −x (x)=(−sin x −x sin x −x cos x)≤0F ′e −x F(x)[0,]π2a ≥F(x =F(0)=1)max a a ≥1a ≥1(1){}a n d {}b n q {5+d =4q +1,5+2d =2+5,q 2d =4q =2=4n +1a n =b n 2n (2){}c n 60{}b n 7{}a n 43=+=3827+254=4081S 5043(5+173)22(1−)271−2无【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，可得，，∴，．易知的前项中含有的前项且含有的前项，∴．18.【答案】（Ⅰ）证明：连结，因为，底面是等边三角形，点是的中点，所以，，又因为，所以平面，又因为平面，所以．（Ⅱ）解：解法一：因为，取的中点，连结，由（Ⅰ）可知，，而，所以，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，取平面的一个法向量，设平面的法向量为，因为，所以即令，则，所以．由题易知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）以及题意，可得平面，即点在平面内的投影为点，记二面角为，所以．(1){}a n d {}b n q {5+d =4q +1,5+2d =2+5,q 2d =4q =2=4n +1a n =b n 2n (2){}c n 60{}b n 7{}a n 43=+=3827+254=4081S 5043(5+173)22(1−)271−2EA ，EB SA =SB =AC △ABC E SC EA ⊥SC EB ⊥SC EA ∩EB =E SC ⊥ABE AB ⊂ABE SC ⊥AB SA =SB =AC =2AB F FS ，FC FS =FC =3–√SC =6–√FS ⊥FC F FB ，FC ，FS x ，y ，z A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,,0)，S(0,0,)3–√3–√ABS =(0,1,0)m →CBS =(x,y,z)n →=(1,−,0)，=(0,−,)CB −→−3–√CS −→3–√3–√ ⋅=0，CB −→−n →⋅=0，CS −→n →{x −y =0，3–√−y +z =0，3–√3–√y =1=(,1,1)n →3–√cos ， ===m →n →⋅m →n →||||m →n →15–√5–√5A −SB −C A −SB −C 5–√5CF ⊥SAB C SAB F A −SB −C θcos θ===S △FSB S △SBC 3–√215−−√25–√5【考点】空间点、线、面的位置【解析】本题考查空间中线线的位置关系的证明、空间角的求法、空间向量．【解答】（Ⅰ）证明：连结，因为，底面是等边三角形，点是的中点，所以，，又因为，所以平面，又因为平面，所以．（Ⅱ）解：解法一：因为，取的中点，连结，由（Ⅰ）可知，，而，所以，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，取平面的一个法向量，设平面的法向量为，因为，所以即令，则，所以．由题易知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）以及题意，可得平面，即点在平面内的投影为点，记二面角为，EA ，EB SA =SB =AC △ABC E SC EA ⊥SC EB ⊥SC EA ∩EB =E SC ⊥ABE AB ⊂ABE SC ⊥AB SA =SB =AC =2AB F FS ，FC FS =FC =3–√SC =6–√FS ⊥FC F FB ，FC ，FS x ，y ，z A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,,0)，S(0,0,)3–√3–√ABS =(0,1,0)m →CBS =(x,y,z)n →=(1,−,0)，=(0,−,)CB −→−3–√CS −→3–√3–√ ⋅=0，CB −→−n →⋅=0，CS −→n →{x −y =0，3–√−y +z =0，3–√3–√y =1=(,1,1)n →3–√cos ， ===m →n →⋅m →n →||||m →n →15–√5–√5A −SB −C A −SB −C 5–√5CF ⊥SAB C SAB F A −SB −C θ–√所以．19.【答案】解：在中，，，，则，由正弦定理得，所以．因为，所以，在中，由余弦定理得，即，即，则，所以．【考点】正弦定理解三角形余弦定理【解析】cos θ===S △FSBS △SBC 3–√215−−√25–√5(1)△ABC ∠BAC =π4∠ABC =π3AB =+13–√∠ACB =5π12=AB sin ∠ACB BC sin ∠BAC BC ==AB ⋅sin ∠BAC sin ∠ACB (+1)sin 3–√π4sin 5π12==2(+1)sin 3–√π4+6–√2–√4(2)AB//DC ∠BCD =2π3△BCD B =B +C −2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCDD 2C 2D 2=C +2CD +4D 2C +2CD +4=7D 2C +2CD −3=0D 2CD =1=BC ⋅CD ⋅sin ∠BCD =S △BCD 123–√2无无【解答】解：在中，，，，则，由正弦定理得，所以．因为，所以，在中，由余弦定理得，即，即，则，所以．20.【答案】证明：，要证，即证，设，，令得，且，，单调递增；，，单调递减，，即成立，即．解：根据题意可得，则，当时，在上恒成立，则在上单调递增，又，，令，显然在上单调递减，则，∴，(1)△ABC ∠BAC =π4∠ABC =π3AB =+13–√∠ACB =5π12=AB sin ∠ACB BC sin ∠BAC BC ==AB ⋅sin ∠BAC sin ∠ACB (+1)sin 3–√π4sin 5π12==2(+1)sin 3–√π4+6–√2–√4(2)AB//DC ∠BCD =2π3△BCD B =B +C −2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCDD 2C 2D 2=C +2CD +4D 2C +2CD +4=7D 2C +2CD −3=0D 2CD =1=BC ⋅CD ⋅sin ∠BCD =S △BCD 123–√2(1)∵x >0∴f(x)+x =x ln x −+x ≤0x 2ln x −x +1≤0φ(x)=ln x −x +1(x)=−1φ′1x (x)=0φ′x =1x ∈(0,1)(x)>0φ′φ(x)x ∈(1,+∞)(x)<0φ′φ(x)∴φ(x)≤φ=φ(1)=0(x)max ln x −x +1≤0f (x)+x ≤0(2)g(x)=(x)=1+ln x −2axf ′(x)=−2ag ′1x (i)a <0(x)>0g ′(0,+∞)g(x)(0,+∞)g()=−>01e 2a eg()=a(1−2)e a−1e a−1h(a)=1−2e a−1h(a)(−∞,0)h(a)>h(0)=1−>02e a(1−2)<0e a−1(,)−11∴必存在唯一使得，∴符合题意；当时，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴.①当，即时，在上恒成立，则在上单调递减，又，故无极值点，舍去；②当，即时，，又，且，∴存在，使得,又当时，，则存在使得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，有两个极值点，不合题意，综上，实数的取值范围为.证明：∵，∴，，又，令，，则，∴在上单调递减，∴当时，，即，得证．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】构造函数利用导数易得，即证得结论．（2）求得，分及讨论，求得函数的单调性与最值，结合函数的性质，即可得出结论．∈(,)x 0e a−11e g()=0x 0a <0(ii)a >0(x)=−2a =0g ′1x x =12a x ∈(0,)12a (x)>0g ′g(x)x ∈(,+∞)12a (x)<0g ′g(x)g =g()=−ln 2a (x)max 12a 2a ≥1a ≥12g(x)≤0(0,+∞)f (x)(0,+∞)f(0)=0f(x)0<2a <10<a <12g()=−ln 2a >012a g()=−<01e 2a e <1e 12a ∈(,)x 11e 12ag()=0x 1x →+∞g(x)<0lim x→+∞∈(,+∞)x 212a g()=0x 2x ∈(0,)x 1f (x)<0f (x)x ∈(,)x 1x 2f (x)>0f (x)x ∈(,+∞)x 2f (x)<0f (x)f (x)a (−∞,0)()=1+ln −2a =0f ′x 0x 0x 0a =1+ln x 02x 0∈(,)x 0e a−11e f ()=ln −a =(ln −1)x 0x 0x 0x 2012x 0x 0m(x)=x (ln x −1)12x ∈(,)e a−11e (x)=ln x <0m ′12m(x)(,)e a−11e x ∈(,)e a−11e m(x)>m()=−1e 1e f ()=m()>−x 0x 01e(1)φ(x)=ln x +1φ(x)≤φ(1)=0f (x)=1+ln x −2ax,(x)=−2a f ′1x a <0a >0【解答】证明：，要证，即证，设，，令得，且，，单调递增；，，单调递减，，即成立，即．解：根据题意可得，则，当时，在上恒成立，则在上单调递增，又，，令，显然在上单调递减，则，∴，∴必存在唯一使得，∴符合题意；当时，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴.①当，即时，在上恒成立，则在上单调递减，又，故无极值点，舍去；②当，即时，，又，且，∴存在，使得,又当时，，则存在使得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，有两个极值点，不合题意，综上，实数的取值范围为.证明：∵，(1)∵x >0∴f(x)+x =x ln x −+x ≤0x 2ln x −x +1≤0φ(x)=ln x −x +1(x)=−1φ′1x (x)=0φ′x =1x ∈(0,1)(x)>0φ′φ(x)x ∈(1,+∞)(x)<0φ′φ(x)∴φ(x)≤φ=φ(1)=0(x)max ln x −x +1≤0f (x)+x ≤0(2)g(x)=(x)=1+ln x −2axf ′(x)=−2ag ′1x (i)a <0(x)>0g ′(0,+∞)g(x)(0,+∞)g()=−>01e 2a eg()=a(1−2)e a−1e a−1h(a)=1−2e a−1h(a)(−∞,0)h(a)>h(0)=1−>02e a(1−2)<0e a−1∈(,)x 0e a−11e g()=0x 0a <0(ii)a >0(x)=−2a =0g ′1x x =12a x ∈(0,)12a (x)>0g ′g(x)x ∈(,+∞)12a (x)<0g ′g(x)g =g()=−ln 2a (x)max 12a 2a ≥1a ≥12g(x)≤0(0,+∞)f (x)(0,+∞)f(0)=0f(x)0<2a <10<a <12g()=−ln 2a >012a g()=−<01e 2a e <1e 12a ∈(,)x 11e 12ag()=0x 1x →+∞g(x)<0lim x→+∞∈(,+∞)x 212a g()=0x 2x ∈(0,)x 1f (x)<0f (x)x ∈(,)x 1x 2f (x)>0f (x)x ∈(,+∞)x 2f (x)<0f (x)f (x)a (−∞,0)()=1+ln −2a =0f ′x 0x 0x 0=1+ln (,)−11∴，，又，令，，则，∴在上单调递减，∴当时，，即，得证．21.【答案】解：将代入双曲线的方程得，，在中，，即，解得.由得，设双曲线的方程为，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去，得，，解得，，将，代入①，得，，故，，故，∴，∴双曲线的方程为．【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】（1）将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值；（2）设双曲线的方程为，直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，求出线段的长，利用，求双曲线的标准方程．a =1+ln x 02x 0∈(,)x 0e a−11e f ()=ln −a =(ln −1)x 0x 0x 0x 2012x 0x 0m(x)=x (ln x −1)12x ∈(,)e a−11e (x)=ln x <0m ′12m(x)(,)e a−11e x ∈(,)e a−11e m(x)>m()=−1e 1e f ()=m()>−x 0x 01e (1)x =c y =±b 2a A(c,)b 2aRt △AF 1F 2tan =30∘b 2a 2c =−c 2a 22ac 3–√3e ==c a 3–√(2)(1)b =a 2–√−=1x 2a 2y 22a 2AB y =(x −a)3–√33–√y 5+2ax −9=0x 23–√a 2=−a x 13–√=a x 233–√5x 1x 2=−2a y 1=−a y 225A(−a,−2a)3–√B(a,−a)33–√525|AB |=(a +(a 83–√5)285)2−−−−−−−−−−−−−−√=a =16165a =5−=1x 225y 250x =c M abc −=1x 2a 2y 22a 2AB A B AB |AB |=16【解答】解：将代入双曲线的方程得，，在中，，即，解得.由得，设双曲线的方程为，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去，得，，解得，，将，代入①，得，，故，，故，∴，∴双曲线的方程为．22.【答案】设选手甲对，，三个项目记为事件，，，至少完成一个项目为事件，则；的取值分别为，，，，，，，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差(1)x =c y =±b 2a A(c,)b 2aRt △AF 1F 2tan =30∘b 2a 2c =−c 2a 22ac 3–√3e ==c a 3–√(2)(1)b =a 2–√−=1x 2a 2y 22a 2AB y =(x −a)3–√33–√y 5+2ax −9=0x 23–√a 2=−a x 13–√=a x 233–√5x 1x 2=−2a y 1=−a y 225A(−a,−2a)3–√B(a,−a)33–√525|AB |=(a +(a 83–√5)285)2−−−−−−−−−−−−−−√=a =16165a =5−=1x 225y 250A B C A B C D X 2a 3a X X 0a2a 6aP离散型随机变量及其分布列【解析】（1）设选手甲对，，三个项目记为事件，，，且相互独立，至少完成一个项目为事件，利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式能求出结果．（2）的取值分别为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【解答】设选手甲对，，三个项目记为事件，，，至少完成一个项目为事件，则；的取值分别为，，，，，，，∴的分布列为：．A B C A B C D X 0a 3a 6a X A B C A B C D X 2a 3a X X 0a2a 6aP。

2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：124 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合，，则（）A.B.C.D.2. 若复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（）A.B.C.D.4. 已知是定义在上的奇函数，且对任意的，都有．当时，，则（）A.B.C.A={x ∈N |x ≤3}B={x |+6x −16<0}x 2A ∩B={x |−8<x <2}{1}{0,1}{0,1,2}z =(1−i)(2+i)i z ()20%10%5%161429950f(x)R x f(x +3)+f(−x)=0x ∈(0,1]f(x)=sin −1πx 2f(2018)+f(2019)=−2−1D.5. 若，为实数，则""是“"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线＝的准线分别交于、两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则＝（）A.B.C.D.7. 已知向量满足，则与夹角为( )A.B.C.D.8. 已知等比数列的前项和为，公比．若数列的前项和为，则( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列命题：其中正确命题数是( )A.在线性回归模型中，相关系数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归效果越好1a b b <1a ab <1−=l(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2y 22px(p >0)A B O 2–√△AOB 1p 2123–√3，a →b →||=1，||=2，|2+|=|2−|a →b →a →b →3–√a →b →a →b →45∘60∘90∘120∘{}a n n S n q >0，=1，=+2a 1a 3a 2{}b n n ，=T n a n+1b n S n+1S n =T 9510511102310241022102311023r x y r 21B.两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于C.在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少个单位；D.对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，观测值越小，“与有关系”的把握程度越大．10. 欧拉公式(为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是( )A.B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限11. 设, , ，则（）A.B.C.D.12. 方程所有根之和为（）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. ________.14. 的展开式中的系数为________.15. 设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则1=−0.5x +2yˆx y ˆ0.5X Y K 2X Y =cos x +i sin x e ix i x ∈R +1=0e πi ||=1e ix cos x =−e ix e −ix 2e 12i a =ln43b =732c =ln ,d =121580.42.1c >ab >ca >ba >dsin 2πx −=0(x ∈[−2,3])22x −1231241−2=cos 267.5∘(2x −)12x (1−2x)4x 3{}a n =a 12=a 26−2+=a n+2a n+1a n 2[x]x ++⋯+]=202020202020________． 16. 已知时，不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________．四、解答题（本题共计 4 小题，每题 11 分，共计44分）17. 已知中，，且．求的值；若是内一点，且，，求． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当，．（1）求的解析式．（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．19. 在等差数列中，，，数列的前项和为，且．求及；求数列的前项和．20. 某机构为了解年当地居民网购消费情况，随机抽取了人，对其年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…分成组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）若将全年网购消费金额在千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．男女合计网购迷非网购迷合计（3）若甲、乙两位网购迷网购时支付方式采用软件支付分概率分别为，采用其它支付方式的概率分别为，且甲、乙两人网购时采用支付方式相互独立．在甲、乙各自独立完成的次网购中，记甲、乙两人支付方式采用支付的次数分别为，，令，求的分布列和数学期望下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中）[++⋯+]=2020a 12020a 22020a 2020a>0≥1+−1+x −−−−−√x 2x 2ax a △ABC AB =BC =6–√23–√A +2AB =5C 2(1)∠ABC (2)P △ABC ∠APB =5π6∠CPB =3π4tan ∠PBA f(x)R x >0f(x)=+13x f(x)t ∈[0,2]f(m +t)+f(2−3t)>0t 2m {}a n =5a 3+=28a 7a 8{}b n n S n =(−1)S n 43b n (1)a n b n (2){⋅}a n b n n T n 20171002017[0,30][0,5][5,10][25,30]6a 202×299%2047A ，1223，12132A X Y ξ=|X −Y |ξP(K 2≥)k 00.150.100.050.0250.0100.0050.001k 0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合，，．故选．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：，则在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选.3.【答案】A【考点】条件概率与独立事件A={x ∈N |x ≤3}={0,1,2,3}B={x |+6x −16<0}x 2={x |−8<x <2}A ∩B={0,1}C z z =(1−i)(2+i)=3−i z (3,−1)D【解答】解：记“一名学生语文及格”为事件，“该生数学不及格”为事件，所求即为：．故选．4.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.【解答】解：当，时，满足，但不成立，即充分性不成立；当，时，满足，但不成立，即必要性不成立；则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选．6.【答案】AA B P (B|A)====P (A ∩B)P (A)20%−5%1−10%159016A b =−2a =−1b <1a ab <1a =−1b =2ab <1b <1a b <1a ab <1D双曲线的离心率【解析】求出，坐标，根据面积公式得出的值．【解答】∵，即＝，∴＝＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为：＝，又抛物线的准线方程为，∴，，∴，解得＝（2）7.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴.∵，，∴，∴，∴.∵，∴.故选．8.【答案】C【考点】等比数列的通项公式A B p =c a 2–√c 22a 2b 2−c 2a 2a 2a b y ±x x =−p 2A(−,)p 2p 2B(−,−)p 2p 2=⋅⋅p =1S △AOB 12p 2p |2+|=|2−|a →b →3–√a →b →4+4⋅+=12−12⋅+3a →2a →b →b →2a →2a →b →b→2||=1a →||=2b →4+4⋅+4=12−12⋅+12a →b →a →b →⋅=1a →b →cos θ==11×212θ∈[,]0∘180∘θ=60∘B等比数列的前n 项和数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：等比数列中，已知，，∴，∴或，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B,C【考点】求解线性回归方程命题的真假判断与应用变量间的相关关系回归分析【解析】此题暂无解析【解答】解：，在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，{}a n =1a 1=+2a 3a 2−q −2=0q 2q =2q =−1q >0q =2=a n 2n−1=S n ==−1×(1−)a 1q n 1−q 1−2n1−22n =a n+1b n S n+1S n −=S n+1S n b n S n+1S n =b n −S n+1S n S n+1S n =−b n 1S n 1S n+1=++⋯+T n b 1b 2b n =(−)+(−)+⋯+(−)1S 11S 21S 21S 31S n 1S n+1=−1S 11S n+1=1−1−12n+1=1−T 9=.1−121010221023C A r x y越接近于，表示回归效果越好，故选项正确；，根据相关系数的意义，可知两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于，故选项正确；，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，故选项正确；，对分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，则“与有关系”的把握程度越大，故选项错误.故选．10.【答案】A,B【考点】欧拉公式复数的基本概念复数的模【解析】根据欧拉公式的定义，代入，判断选项，根据模的计算公式判断，令，两个式子联立解方程组判断．令，则表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，判断．【解答】解：，，故正确；，，故正确；，，故错误；，依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，显然该点位于第四象限，故错误.故选．11.【答案】A,C,D【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】【解析】本题考查基本初等函数及两数大小的比较，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．设函数令，得；令，得则，当且仅当时，等号成立，所以即，即．因为又，所以12.r 1B |r|1C =−0.5x +2yˆx y 0.5D X Y K 2k X Y ABC x =πA B x =−x C x =12e 12i (cos 12,sin 12)D A +1=cos π+i sin π+1=0e πi A B ||=|cos x +i sin x |=1e ix B C cos x =+e ix e −ix 2C D e ix (cos x,sin x)e 12i (cos 12,sin 12)D AB ACD f (x)=(−1)−ln x 12x 2(x)<0f ′0<x <1(x)>0f ′x >1f (x)≥f (1)=0x =1f ()>034×(−1)−ln >01291634ln >43732d =<=0.16<0.2<0.42.10.42732c =ln >ln =ln =a 121581216943c >a >b >d.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出函数图象判断根的个数，利用图象的对称性得出根的和．【解答】作出＝和在上的函数图象如图所示：由图象可知方程在上有个根．∵＝和都关于点对称，且关于点对称，∴方程的个根两两关于点对称，∴方程的个根的和为故选：．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：.故答案为：.y sin 2πx y =22x −1[−2,3]sin 2πx −=022x −1[−2,3]4y sin 2πx y =22x −1(,0)12[−2,3](,0)124(,0)124×2×2=(2)12C 2–√21−2=−(2−1)cos 267.5∘cos 267.5∘=−cos =135∘2–√22–√214.【答案】【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】展开式通项为，令，，得到含的项为项.【解答】解：展开式通项为，令得，令得，含的项为项为：，故展开式的系数为.故答案为：.15.【答案】【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：由，可得，则数列为首项为，公差为的等差数列，则，可得，上式对也成立，则，所以40(1−2x)4==T r+1C r 4(−2x)r (−2)r C r 4x r r =2r =4x 3(1−2x)4==T r+1C r 4(−2x)r (−2)r C r 4x r r =2=×=24T 3(−2)2C 24x 2x2r =4==16T 5(−2)4C 44x 4x 4∴x 32x ⋅24+(−)⋅16x 212xx 4=48−8=40x 3x 3x 3x 340402019−2+=a n+2a n+1a n 2(−)−(−)=a n+2a n+1a n+1a n 2{−}a n+1a n 42−=a n+1a n 4+2(n −1)=2(n +1)=a n +(−)+...+(−)a 1a 2a 1a n a n−1=2+4+6+...+2n =n(2+2n)12=n(n +1)n =1==−1a n 1n(n +1)1n 1n +1++⋯+2020a 12020a 22020a 2020=2020(++⋯+)1a 11a 21a 2020=2020(1−+−+⋯+−)1212131202012021=2020(1−)12021+1＝，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】依题意，可将分离出来，构造函数，，利用该函数的单调递增的性质求其最小值，即可求得的最大值．【解答】解：∵，，，∴，∴对一切非负实数恒成立．令，则．∵，∴在上单调递增，∴．∴．故的最大值为．故答案为：．四、解答题（本题共计 4 小题，每题 11 分，共计44分）17.【答案】解：由，知，，由知，在中，由余弦定理得：2019+12021[++⋯+]=20192020a 12020a 22020a 202020198a f(x)=4(1++)(x ≥0)x 21+x −−−−−√a a >0x ≥0≥1+−1+x −−−−−√x 2x 2a≥1+−x 2a x 21+x −−−−−√=(1+−)(1++)x 21+x −−−−−√x 21+x−−−−−√(1++)x 21+x−−−−−√=x 24(1++)x 21+x −−−−−√=x 24(1++)x 21+x −−−−−√0<a ≤4(1++)x 21+x −−−−−√x f(x)=4(1++)(x ≥0)x 21+x −−−−−√0<a ≤f(x)min f'(x)=4(+)>012121+x−−−−−√f(x)=4(1++)(x ≥0)x 21+x −−−−−√[0,+∞)f(x =f(0)=8)min 0<a ≤8a 88(1)AB =BC =6–√23–√AB =3–√BC=2–√A +2AB =5C 2A =5−2AB =5−2C 23–√△ABC cos ∠ABC =B +A −A C 2B 2C 22AB ×BC=2+3−5+2–√–√，∵，∴．∵，，∴．设，在中，由正弦定理得：，∴．在中，由正弦定理得：，∴，∴．化简可得：，故．【考点】余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由，知，，由知，在中，由余弦定理得：，∵，∴．∵，，∴．设，在中，由正弦定理得：，==2+3−5+23–√2××2–√3–√2–√20<∠ABC <π∠ABC =π4(2)∠PBA +∠PBC =π4∠PCB +∠PBC =π−∠BPC =π4∠PBA =∠PCB ∠PBA =α△PBC =PBsin αBCsin 3π4PB =2sin α△APB =PB sin(−α)π6ABsin 5π6PB =2sin(−α)3–√π6sin α=sin(−α)3–√π6=(sin cos α−cos sin α)3–√π6π6tan α=3–√5tan ∠PBA =3–√5(1)AB =BC =6–√23–√AB =3–√BC =2–√A +2AB =5C 2A =5−2AB =5−2C 23–√△ABC cos ∠ABC =B +A −A C 2B 2C 22AB ×BC==2+3−5+23–√2××2–√3–√2–√20<∠ABC <π∠ABC =π4(2)∠PBA +∠PBC =π4∠PCB +∠PBC =π−∠BPC =π4∠PBA =∠PCB ∠PBA =α△PBC =PB sin αBCsin 3π4∴．在中，由正弦定理得：，∴，∴．化简可得：，故．18.【答案】【考点】函数恒成立问题函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：设的公差为，由题意得所以所以；当时，，解得，当时，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．因为，所以，所以两式相减得PB =2sin α△APB =PB sin(−α)π6AB sin 5π6PB =2sin(−α)3–√π6sin α=sin(−α)3–√π6=(sin cos α−cos sin α)3–√π6π6tan α=3–√5tan ∠PBA =3–√5(1){}a n d {+2d =5,a 12+13d =28,a 1{=1,a 1d =2,=1+(n −1)×2=2n −1a n n =1==(−1)b 1S 143b 1=4b 1n ≥2=−b n S n S n−1=(−1)−(−1)43b n 43b n−1=4b n b n−1{}b n 44=b n 4n (2)⋅=(2n −1)⋅a n b n 4n =4+3×+5×+⋯+(2n −1)×T n 42434n 4=+3×+⋯+(2n −3)×+(2n −1)×T n 42434n 4n+1−3=4+2×(++⋯+)−(2n −1)×T n 42434n 4n+1=4+2×+(1−2n)×−×4424n 1−44n+1=×−5−6n 34n+1203×+6n −5+120所以．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列递推式数列的求和【解析】利用已知条件求出数列的首项与公差，得到通项公式，通过，然后求解数列的通项公式．化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：设的公差为，由题意得所以所以；当时，，解得，当时，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．因为，所以，所以两式相减得所以．20.【答案】根据频率分布直方图得：，解得．根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，列联表如下：男女合计网购迷非网购迷合计 =×+T n 6n −594n+1209(1)=−b n S n S n−1{}b n (2)(1){}a n d {+2d =5,a 12+13d =28,a 1{=1,a 1d =2,=1+(n −1)×2=2n −1a n n =1==(−1)b 1S 143b 1=4b 1n ≥2=−b n S n S n−1=(−1)−(−1)43b n 43b n−1=4b nb n−1{}b n 44=b n 4n (2)⋅=(2n −1)⋅a n b n 4n =4+3×+5×+⋯+(2n −1)×T n 42434n 4=+3×+⋯+(2n −3)×+(2n −1)×T n 42434n 4n+1−3=4+2×(++⋯+)−(2n −1)×T n 42434n 4n+1=4+2×+(1−2n)×−×4424n 1−44n+1=×−5−6n 34n+1203=×+T n 6n −594n+12095×(0.01+0.02+0.03+2a +0.06)=1a =0.04100×(0.03×5+0.04×5)=351520354718656238100≈8.37>6.635100(15×18−20×472解得．∴有的把握认为样本数据中的网购迷与性质有关系．根据题意，的可能取值为，，，，，．∴的分布列为：．【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据频率分布直方图能求出的值．（2）根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，列联表，求出．从而有的把握认为样本数据中的网购迷与性质有关系．（3）根据题意，的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【解答】根据频率分布直方图得：，解得．根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，列联表如下：男女合计网购迷非网购迷合计解得．∴有的把握认为样本数据中的网购迷与性质有关系．根据题意，的可能取值为，，，，，．∴的分布列为：=≈8.37>6.635K 2100(15×18−20×47)262×38×35×6599%ξ012P(ξ=0)=((((+()()()()+((((=C 0212)012)20C 223)013)2C 121212C 122313C 2212)212)02C 223)213)01336P(ξ=1)=((()()+()()(((+(()+((()()=C 0212)012)21C 22313C 121212C 0223)013)2C 2223)213)0C 2212)212)01C 2231312P(ξ=2)=((((+((((=C 0212)012)22C 223)213)0C 2212)212)00C 223)013)2536ξξ012P 133612536E(ξ)=0×+1×+2×=133********a 35≈8.37>6.635K 299%ξ012ξE(ξ)5×(0.01+0.02+0.03+2a +0.06)=1a =0.04100×(0.03×5+0.04×5)=351520354718656238100=≈8.37>6.635K 2100(15×18−20×47)262×38×35×6599%ξ012P(ξ=0)=((((+()()()()+((((=C 0212)012)20C 223)013)2C 121212C 122313C 2212)212)02C 223)213)01336P(ξ=1)=((()()+()()(((+(()+((()()=C 0212)012)21C 22313C 121212C 0223)013)2C 2223)213)0C 2212)212)01C 2231312P(ξ=2)=((((+((((=C 0212)012)22C 223)213)0C 2212)212)00C 223)013)2536ξξ012P 133612536(ξ)=0×+1×+2×=1315713 361253679．E(ξ)=0×+1×+2×=。

陕西省西安市2022-2023学年高三一模文科数学试题及参考答案

陕西省西安市2022-2023学年高三一模文科数学试题及参考答案一、选择题1.设全集{}64<≤-=x x A ，{}73<≤=x x B ，则=⋃B A （）A .{}74<≤-x xB .{}63<≤x xC .{}63<<x xD .{}74≤≤-x x 2.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，则=-OC AB （）A .OAB .ODC .OCD .OB3.抛物线x y 682-=的准线方程为（）A .17-=x B .34=x C .17=x D .34-=x 4.()=-++-+-n23277771 （）A .()87112+--n B .87112--n C .()87112---n D .87122++n 5.函数()()20log log 42+-=x x x f 的零点为（）A .4B .4或5C .5D .4-或56.执行如图所示的程序框图，则输出的=i （）A .5B .6C .8D .77.一个正四棱柱的每个顶点都在球O 的球面上，且该四棱柱的地面面积为3，高为10，则球O 的体积为（）A .π16B .332πC .π10D .328π8.若354tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则=+-++θθθθ22cos 32sin 21cos 32sin 21（）A .3B .34C .2D .49.已知3.02=a ，2.03=b ，3.0log 2.0=c ，则（）A .a c b >>B .a b c >>C .ba c >>D .ca b >>10.若从区间[]5,2-内，任意选取一个实数a ，则曲线23ax x y +=在点()11+a ，处的切线的倾斜角大于45°的概率为（）A .75B .1413C .76D .141111.将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36sin 2πx y 的图象向左平移⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕϕ个单位长度后得到()x f 的图象.若()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛1819ππ，上单调，则ϕ的值不可能为（）A .365πB .3πC .4πD .3617π12.已知21F F ，分别是双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，直线l 经过1F 且与C 左支交于Q P ，两点，P 在以21F F 为直径的圆上，4:32=PF PQ ：，则C 的离心率是（）A .3172B .317C .3152D .315二、填空题13.复数()()32131ii ++的实部为.14.若圆柱的底面半径为2，母线长为3，则该圆柱的侧面积为.15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤43y x ，则y x z 2-=的取值范围为.16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列{}n a 由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则nS n 96+的最小值为.三、解答题17.c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边.已知()a C a C A c =-+2cos 1sin sin .（1）求C ；（2）若c 是b a ,的等比中项，且ABC ∆的周长为6，求ABC ∆外接圆的半径.18.在四棱锥ABCD P -中，平面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，E 是PD 的中点，PD P A =，2=AB ，︒=∠60ABC （1）PB ∥平面EAC（2）若四棱锥ABCD P -的体积为364，求PCD ∠cos .19.某加工工厂加工产品A ，现根据市场调研收集到需加工量X （单位：千件）与加工单价Y （单位：元/件）的四组数据如下表所示：根据表中数据，得到Y 关于X 的线性回归方程为6.20ˆˆ+=X b Y，其中4.11ˆ=-b m .（1）若某公司产品A 需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断Y 与X 是否高度线性相关.X 681012Y12m64参考公式：()()()()∑∑∑===----=ni ni iini i iyyxxyy x xr 11221，9.0>r 时，两个相关变量之间高度线性相关.20.已知函数()()1ln -+=x a x x x f .（1）当2-=a 时，求()x f 的单调区间；（2）证明：当1-<a 时，()x f 在()∞+，1上存在唯一零点.21.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别为B A ,，左焦点为F ，32-=AF ，32+=BF .（1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于不同于B 的N M ,两点，且BN BM ⊥，求BN BM ⋅的最大值.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是02sin 2cos =+-θρθρ（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点B A ,两点，点()10，P ，求PBP A 11+的值.23.已知函数()a x x x f -++=1.（1）当2=a 时，求不等式()x x f 2>的解集；（2）若不等式()2≤x f 的解集包含⎦⎤⎢⎣⎡+-9212a ，，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.A 2.D 解析:AC OC =∴OB AO AB OC AB =-=-.3.C 解析：由题意682=p ，∴34=p ，∴准线方程为172==px .4.A解析：()n23277771-++-+- 表示以1为首项，7-为公比的前12+n 项和，∴()()()()8717171777711n 21n 2232++--=----=-++-+-n.5.C解析：有题意可得：⎩⎨⎧>+>0200x x ，解得0>x ，故()x f 的定义域为()∞+，0，令()()020log log 42=+-=x x x f ，得()()020log log 424>+=x x x ，则202+=x x 解得5=x 或4-=x ，又∵0>x ，∴5=x .6.D 解析: 3,2,1=i ，当7=i 时，9872128227=⨯>=，故输出i 的值为7.7.B解析：设该正四棱柱的地面边长为a ，高为h ，则32=a ，10=h ，解得3=a ，∴该正四棱柱的体对角线为球O 的直径，设球O 的半径为R ，∴42222=++=h a a R ，即2=R ，∴球O 的体积为3322343ππ=⨯.8.A解析：35tan 11tan 4tan tan 14tantan 4tan -=-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθπθπθπθ，解得，4tan =θ.原式=32tan 2tan cos 2sin cos 2sin cos 4cos sin 4sin cos 4cos sin 4sin 2222=-+=-+=+-++θθθθθθθθθθθθθθ9.D解析：∵xy 2=，xy 3=是R 上的增函数，故12203.0=>，13302.0=>，又82310==a，93210==b ，∴1>>a b ，而()0log 2.0>=x x y 为单调减函数，故12.0log 3.0log 2.02.0=<=c ，故c a b >>.10.B解析：∵ax x y 232+='，∴当1=x 时，32+='a y .由题意可得132>+a 或032<+a ，解得1->a 或23-<a .11.B解析：由题知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ϕπ636sin 2x x f ，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1819ππ，x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛++++∈++ϕππϕππϕπ6326636636，x .∵20πϕ<<，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+310363ππϕπ，，⎪⎭⎫⎝⎛∈+31132632ππϕπ，，又()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛1819ππ，上单调，∴23632632πϕπϕππ≤+<+≤或256326323πϕπϕππ≤+<+≤或276326325πϕπϕππ≤+<+≤∴ϕ的取值范围是⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎦⎤⎢⎣⎡36173613361136736536ππππππ，，，.12.B解析：如图，由题知，︒=∠902QPF ，∵4:32=PF PQ ：，不妨令3=PQ ，42=PF ，∴52=QF 由双曲线的定义得a PF PF 212=-，a QF QF 212=-，∴+-12PF PF 12QF QF -2PF =a PQ QF 463542=--+=-+，∴23=a ，∴11=PF .∴在21F PF ∆中，1741222221221=+=+=PF PF F F ，即()1722=c ，∴217=c .∴双曲线的离心率为317==a c e .二、填空题13.7解析：()()()()i i i ii +=-+=++7213121313，故实部为7.14.π26解析：由题知圆柱的底面半径为2=r ，母线长为3=h ，∴该圆柱的侧面积为πππ263222=⨯⨯=rh .15.[]11,11-解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，要求y x z 2-=的取值范围，即求z x y -=21在y 轴上的截距z -的取值范围，数形结合可知当直线z x y -=21过点()43，-A 时在y 轴上的截距最大，即z 最小，过点()43-，B 时在y 轴上的截距最小，即z 最大，∴11423min -=⨯--=z ，()11423max =-⨯-=z ，∴y x z 2-=的取值范围为[]11,11-.16.52解析：由题知数列{}n a 是首项为10，公差为1243=⨯的等差数列，∴()21211210-=-+=n n a n ，()n n n n S n 462212102+=-+=，∴5249662496696=+⋅≥++=+nn n n n S n 当且仅当n n 966=，即4=n 时，等号成立，∴nS n 96+的最小值为52.三、解答题17.解：（1）由题意，根据正弦定理可得()A C A C A sin cos 1sin sin sin 22=-+，∵()π，0∈A ，∴0sin ≠A ，于是可得()1cos 1sin 22=-+C C ，即1cos cos 21sin 22=+-+C C C ，整理得1cos 2=C ，即21cos =C ，∵()π，0∈C ，∴3π=C .（2）∵c 是b a ,的等比中项，∴abc =2∵ABC ∆的周长为6，∴6=++c b a ，即c b a -=+6，由余弦定理可知：3cos2222πab b a c -+=∴()ab ab b a c --+=222，即()ab b a c 322-+=，∴()22236c c c --=解得2=c 或6-=c （舍去），∴ABC ∆外接圆的半径为33223221sin 21=⨯=⨯C c .18.解：（1）连接BD 交AC 于点F ，连接FE∵底面ABCD 是菱形，∴F 是BD 的中点，又E 是PD 的中点，∴PB EF ∥，∵⊂EF 平面EAC ，⊄PB 平面EAC ，∴PB ∥平面EAC ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，则AD PO ⊥，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD AD =，∴PO ⊥平面ABCD ，设a PD =，则364122433122=-⨯⨯⨯⨯=-a V ABCD P ，则3=a ，连接CO ，∵底面ABCD 是菱形，︒=∠60ABC ，∴AD OC ⊥，且3=OC ，∵22=PO ，OC PO ⊥，∴11=PC ，又2==AB CD ，∴由余弦定理可得221132cos 222=⋅-+=∠CD PC PD CD PC PCD .19.解：（1）∵()912108641=+++⨯=X ，()422461241mm Y +=+++⨯=，则6.20ˆ9422+=+bm ，又∵4.11ˆ=-bm ，∴4.1ˆ-=b ，10=m ，∴6.204.1ˆ+-=X Y ，∵1.1万11=千，∴当11=X 时，2.56.20114.1ˆ=+⨯-=Y （元），∴57200110002.5=⨯（元），答：估计高公司需要给该加工工厂57200元加工费.（2）由（1）知，9=X ，10=m ，881022422=+=+=m Y ，()()2841-=--∑=i i iY Y X X，()()800414122=--∑∑==i i ii Y Y XX ,()()220414122=--∑∑==i i iiY Y XX()()()()9898.010272202811221-≈-=-=----=∑∑∑===ni ni iini i iY Y XXYY X Xr ∴9.09898.0>≈r ，∴两个相关变量之间高度线性相关.20.解：（1）当2-=a 时，()()12ln --=x x x x f ，该函数的定义域为()∞+，0，()1ln -='x x f 令()0<'x f 得e x <<0，令()0>'x f 得e x >，∴()x f 的单调递减区间为()e ，0，单调递增区间为()+∞,e .（2）∵1-<a ，()()1ln -+=x a x x x f ，则()()1ln ++='a x x f .令()0='x f 得1--=a e x .∵1-<a ，∴101=>--e ea .当()1,1--∈a e x 时，()0<'x f ，()x f 在()1,1--a e 上单调递减；当()∞+∈--，1a e x 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+--，1a e 上单调递增.而()()011=<--f ef a ，且()()01ln >-=-+=----a e a e e e f a a aa.又∵()x f 在()∞+--，1a e 上单调递增，∴()x f 在()∞+--，1a e 上有唯一零点.当()1,1--∈a ex 时，恒有()()01=<f x f ，()x f 在()1,1--a e 上无零点.综上，当1-<a 时，()x f 在()∞+，1上存在唯一零点.21.解：（1）设C 的半焦距为c ，由32-=AF ，32+=BF ，可得32-=-c a ，32+=+c a ，解得2=a ，3=c ，∵1222=-=c a b ，∴C 的方程为1422=+y x .（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，在不妨设直线l 的方程为()2≠+=t t my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t my x y x 1422，消去x 得：()0424222=-+++t mty y m ，()()044442222>-+-=∆t m t m ，化简得224t m >+，设()11,y x M ，()22,y x N ，则44422221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，，∵BN BM ⊥，∴0=⋅BN BM ，∵()0,2B ，∴()11,2y x BM -=，()22,2y x BN -=，∴()21-x ()22-x 021=+y y ，将t my x +=11，t my x +=22代入上式，得()()()()0221221212=-++-++t y y t m y y m ，∴()()()0242244122222=-++--++-⋅+t m mt t m m t m ，解得56=t 或2=t （舍去）.∴直线l 的方程为56+=my x ，则直线l 恒过点⎪⎭⎫⎝⎛0,56Q ，∴()()()22221221214364252584542121+-+=-+⨯⨯=-=∆m m y y y y y y BQ S BMN .设412+=m p ，则410≤<p ，p p S BMN 25362582+-=∆，已知p p y 25362582+-=在⎥⎦⎤⎝⎛410，上单调递增，∴当41=p 时，BMN S ∆取得最大值2516.又BN BM S BMN ⋅=∆21，∴()()25322max max ==⋅∆BMN S BN BM .22.解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11（t 为参数）得422=-y x ，故曲线C 的普通方程为14422=-y x .由02sin 2cos =+-θρθρ得022=+-y x ，故直线l 的直角坐标方程022=+-y x .（2）有题意可知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 551552（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并整理得0255232=--t t ，设B A ,对应的参数分别是21,t t ，则3253522121-==+t t t t ，从而()358310092042122121=+=-+=-t t t t t t ，故25581121212121=-=+=+t t t t t t t t PB P A .23.解：（1）当2=a 时，()21-++=x x x f ，当1-<x 时，()x x f 2>可化为()()x x x 221>--+-，解得41<x ，∴1-<x ；当21≤≤-x 时，()x x f 2>可化为()()x x x 221>--+，解得23<x ，∴231<≤-x ；当2>x 时，()x x f 2>可化为()()x x x 221>-++，得01>-，不成立，此时无解.综上：不等式()x x f 2>的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<23x x .(2)∵()x x f 2>的解集包含⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-9212a ，，∴当9212+≤≤-a x 时，()x x f 2≤恒成立.当9212+≤≤-a x 时，()x x f 2≤可化为21≤-++a x x ，即x ax -≤-1，即x a x x -≤-≤-11，则112≤≤-a x ，由9212+≤≤-a x 得9521232-≤-≤-a x ，∴9522-≥a a ，解得6531≤≤-a .综上，a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6531，.。

2022中考一轮复习《第十九单元一次函数》单元检测试卷(含答案)

中考(zhōnɡ kǎo)数学一轮复习单元检测试卷第十九单元(dānyuán) 一次函数考试(kǎoshì)时间：120分钟；满分：150分学校(xuéxiào):___________姓名：___________班级：___________考号：___________得分评卷人一、选择题（本大题共10小题(xiǎo tí)，每小题4分，共40分）1．在函数y ＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 2．变量x与y之间的关系是y＝2x﹣3，当因变量y＝6时，自变量x的值是（）A．9 B．15 C．4.5 D．1.53．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y3＜y1＜y25．若函数(hánshù)y＝kx（k≠0）的值随自变量的增大(zēnɡ dà)而增大，则函数y＝x+2k的图象(tú xiànɡ)大致是（）A．B．C．D．6．如图，在平面(píngmiàn)直角坐标系中，OABC的顶点(dǐngdiǎn)A在x轴上，定点B的坐标为（6，4），若直线经过定点（1，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（）A．y＝3x﹣2 B．y＝x﹣C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣3 7．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；②关于x 的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④8．速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y （km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+；④若s＝60，则b＝．其中说法正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④9．如图，已知直线(zhíxiàn)l：，过点A（0，1）作y轴的垂线(chuí xi àn)交直线l于点B，过点B作直线(zhíxiàn)l的垂线(chuí xiàn)交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线(chuí xiàn)交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）10．如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC 与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．得分评卷人二、填空题（本大题共4小题(xiǎo tí)，每小题5分，共20分）11．某汽车(qìchē)生产厂对其生产的A型汽车进行(jìnxíng)油耗试验，试验中汽车为匀速行驶汽在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶(xíngshǐ)时间t（小时(xiǎoshí)）之间的关系如下表：t（小时）0123y（升）100928476由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶小时，油箱的余油量为0．12．若点（a，3）在函数y＝2x﹣3的图象上，a的值是．13．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为．14．点A（m，n）为直线y＝﹣x+4上一动点，且满足﹣4＜m＜4，将O点绕点B（﹣，﹣）逆时针旋转90°得点C，连接AC，则线段AC长度的取值范围是．得分评卷人三、解答(jiědá)题（本大题共9小题，满分(mǎn fēn)90分,其中(qízhōng)第15,16,17,18题每题8分，19,20题每题10分，21,22题每题12分，23题14分）15．已知y与x+2成正比，当x＝4时，y＝4．（1）求y与x之间的函数(hánshù)关系式；（2）若点（a，3）在这个函数(hánshù)图象上，求a的值．16．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示（1）求k、b的值；（2）在平面直角坐标系内画出函数y＝bx+k的图象；（3）利用（2）中你所画的图象，写出0＜x＜1时，y的取值范围．17．已知正比例函数y＝kx图象经过点（3，﹣6），求：（1）这个函数的解析式；（2）判断点A（4，﹣2）是否在这个函数图象上；（3）图象上两点B（x1，y1）、C（x2，y2），如果x1＞x2，比较y1，y2的大小．18．如图，在平面(píngmiàn)直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），C（4，4）．已知四边形ABCD为菱形(línɡ xínɡ)，其中AB与BC为一组邻边．（1）请在图中作出菱形(línɡ xínɡ)ABCD，并求出菱形(línɡ xínɡ)ABCD的面积(miàn jī)；（2）过点A的直线l：y＝x+b与线段CD相交于点E，请在图中作出直线l的图象，并求出△ADE的面积．19．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米．（2）小明在书店停留了分钟．（3）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的汽车速度最快，速度在安全限度内吗？20．如图，在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中，直线(zhíxiàn)y＝﹣x+4与x轴、y轴分别(fēnbié)交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线(zhíxiàn)AD折叠(zhédié)，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB ＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示．（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每干克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）（2）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．22．某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象(túxiànɡ)，图中的折线ABC表示(biǎoshì)日销售量y（件）与销售(xiāoshòu)时间x（天）之间的函数(hánshù)关系．（1）求y与x之间的函数(hánshù)表达式，并写出x的取值范围；（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）23．阅读下列两段材料，回答问题：材料一：点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（，）．例如，点（1，5），（3，﹣1）的中点坐标为（，），即（2，2）．材料二：如图1，正比例函数l1：y＝k1x和l2：y＝k2x的图象相互垂直，分别在l1和l2上取点A，B，使得AO＝BO．分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D．显然，△AOC≌△OBD．设OC＝BD＝a，AC＝OD＝b，则A（﹣a，b），B（b，a）．于是k1＝﹣，k2＝，所以k1•k2的值为一个常数．一般地，一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2可分别由正比例函数l1，l2平移得到．所以，我们经过探索得到的结论(jiélùn)是：任意两个一次函数y＝k1x+b1，y ＝k2x+b2的图象(tú xiànɡ)相互垂直，则k1•k2的值为一个(yīɡè)常数．（1）在材料(cáiliào)二中，k1•k2＝（写出这个(zhè ge)常数具体的值）；（2）如图2，在矩形OBAC中A（4，2），点D是OA中点，用两段材料的结论，求点D的坐标和OA的垂直平分线l的解析式；（3）若点C′与点C关于OA对称，用两段材料的结论，求点C′的坐标．参考答案与试题(shìtí)解析一．选择题（共10小题(xiǎo tí)）1．解：在函数(hánshù)y＝中，x+3≥0，解得：x≥﹣3，故自变量x的取值范围(fànwéi)是：x≥﹣3．故选：B．2．解：当y＝6时，2x﹣3＝6，解得：x＝4.5，故选：C．3．解：由题意(tí yì)可得，小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随x的增大而增大，小明的妈妈开始给你小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小，小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大，故选：B．4．解：∵直线y＝﹣x，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．5．解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0，∵一次函数y＝x+2k，∴k′＝1＞0，b＝2k＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限．6．解：∵点B的坐标为（6，4），∴平行四边形的中心(zhōngxīn)坐标为（3，2），设直线(zhíxiàn)l的函数(hánshù)解析式为y＝kx+b，则，解得，所以(suǒyǐ)直线l的解析(jiě xī)式为y＝x﹣1．故选：C．7．解：由图象得：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确；③当x＞2时，y＜0，正确；④当x＜0时，y＞3，错误；故选：A．8．解：①两车的速度之差为80÷（b+2﹣b）＝40（km/h），∴a＝100﹣40＝60，结论①正确；②两车第一次相遇所需时间＝（h），∵s的值不确定，∴b值不确定，结论②不正确；③两车第二次相遇时间为b+2+＝b+（h），∴c＝b+，结论③正确；④∵b＝，s＝60，∴b＝，结论④正确．故选：D．9．解：∵直线l的解析式为；y＝x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2，∴AB＝，∵A1B⊥l，∴∠ABA1＝60°，∴A1O＝4，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…∴A4纵坐标为44＝256，∴A4（0，256）．故选：B．10．解：如图所示，设△ABC平移(pínɡ yí)中与DG交于点H，＝CD•HD＝t•t•tan60°＝t2，当t≤a时，S＝S△HCD该函数为开口(kāi kǒu)向上的抛物线；当t＞a时，S＝S四边形ACDH＝S△ABC﹣S△BDH＝﹣（a﹣t）（a﹣t）tan60°═﹣（a﹣t）2，该函数为开口(kāi kǒu)向下的抛物线；故选：C．二．填空题（共4小题(xiǎo tí)）11．解：由题意(tí yì)可得：y＝100﹣8t，当y＝0时，0＝100﹣8t解得：t＝12.5．故答案(dáàn)为：12.5．12．解：把点（a，3）代入y＝2x﹣3得：2a﹣3＝3，解得：a＝3，故答案(dáàn)为：3．13．解：如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，∵点A的坐标为（3，4），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝AB＝5，∴BD＝3+5＝8，∴B（8，4），设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝kx，∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B，∴4＝8k，即k＝，∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝x，故答案为：y＝x．14．解：如图1中，∵A（m，n），∴点A关于(guānyú)原点对称点A′（﹣m，﹣n），∴OA′的中点(zhōnɡ diǎn)B（﹣，﹣）；∴OA＝2OB＝2BC，∴tan∠CAB＝＝，∴点A在运动(yùndòng)过程中，△ABC的形状(xíngzhuàn)相同，∴AB的值最大时，AC的值最大，AB的值最小时(xiǎoshí)，AC的值最小，当点A的坐标为（﹣4，8）时，AB的值最大，此时B（2，﹣4），∴AB＝＝6，∴BC＝AB＝2，∴AC＝＝10．如图2中，当直线AB⊥直线y＝﹣x+4时，AB的值最小，此时直线AB的解析式为y＝x，由，解得，∴A（2，2），B（﹣1，﹣1），∴AB＝＝3，∴BC＝AB＝，∴AC＝＝2，综上所述，线段(xiànduàn)AC长度(chángdù)的取值范围是2≤AC＜10，故答案(dáàn)为2≤AC＜10．三．解答(jiědá)题（共9小题）15．解：（1）设y＝k（x+2），∵当x＝4时，y＝4，∴k（4+2）＝4，∴k＝，∴y与x之间的函数(hánshù)关系式为y＝（x+2）＝x+；（2）∵点（a，3）在这个函数图象上，∴a+＝3，∴a＝2.5．16．解：（1）A（0，﹣2），B（1，0）．将A（0，﹣2），B（1，0）两点代入y＝kx+b中，得b＝﹣2，k﹣2＝0，k＝2．（2）对于(duìyú)函数y＝﹣2x+2，列表(liè biǎo)：x01y20图象(tú xiànɡ)如下：（3）由图象(tú xiànɡ)可得：当0＜x＜1时，y的取值范围(fànwéi)为：0＜y ＜2．17．解：（1）∵正比例函数y＝kx经过点（3，﹣6），∴﹣6＝3•k，解得：k＝﹣2，∴这个正比例函数的解析式为：y＝﹣2x；（2）将x＝4代入y＝﹣2x得：y＝﹣8≠﹣2，∴点A（4，﹣2）不在这个函数图象上；（3）∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵x1＞x2，∴y1＜y2．18．解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，4），∴点D的坐标为（4+4﹣0，0+4﹣2），即（8，2）．作出菱形ABCD，如图所示．S菱形(línɡ xínɡ)ABCD＝AC•BD＝×8×4＝16．（2）将A（4，0）代入y＝x+b，得：0＝×4+b，∴b＝﹣6．∵点C的坐标(zuòbiāo)为（4，4），点D的坐标(zuòbiāo)为（8，2），∴直线(zhíxiàn)CD的解析(jiě xī)式为y＝﹣x+6．联立直线l与直线CD的解析式成方程组，得：，解得：，∴点E的坐标为（6，3），＝×2×3+×（3+2）×2﹣×4×2＝4．∴S△ADE19．解：（1）由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；（2）小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟），故答案为：4；（3）本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），一共用了14分钟，故答案为：2700，14；（4）当时间在0～6分钟内时，速度为：1200÷6＝200米/分钟，当时间在6～8分钟内时，速度为：（1200﹣600）÷（8﹣6）＝300米/分钟，当时间(shíjiān)在12～14分钟内时，速度为：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分钟，∵450＞300，∴在整个上学途中12～14分钟时间段小明的汽车速度(sùdù)最快，速度不在安全限度．20．解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）∵S△PAB ＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点Py轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标(zuòbiāo)为（0，12）或（0，﹣4）．21．解：（1）由图可知(kě zhī)，6月份每千克售价为3元，成本为1元，∴每千克收益(shōuyì)为3﹣1＝2元；（2）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．∴y1＝．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13．（3）收益(shōuyì)W＝y1﹣y2＝＝（x﹣5）2+，∵a＝＜0，＝．∴当x＝5时，W最大值故5月出售(chūshòu)每千克收益最大，最大为．22．解：（1）当1≤x≤10时，设AB的解析(jiě xī)式为：y＝kx+b，把A（1，300），B（10，120）代入得：，解得：，∴AB：y＝﹣20x+320（1≤x≤10），当10＜x≤30时，同理可得BC：y＝14x﹣20，综上所述，y与x之间的函数(hánshù)表达式为：；（2）当1≤x≤10时，w＝（10﹣6）（﹣20x+320）＝﹣80x+1280，当w＝1040元，﹣80x+1280＝1040，x＝3，∵﹣80＜0，∴w随x的增大(zēnɡ dà)而减小，∴日销售利润不超过1040元的天数：3，4，5，6，7，8，9，10，一共8天；当10＜x≤30时，w＝（10﹣6）（14x﹣20）＝56x﹣80，56x﹣80＝1040，x＝20，∵56＞0，∴w随x的增大(zēnɡ dà)而增大，∴日销售利润不超过(chāoguò)1040元的天数：11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，一共10天；综上所述，日销售利润不超过(chāoguò)1040元的天数共有18天；＝﹣80×5+1280＝880，（3）当5≤x≤10时，当x＝5时，w大＝56×17﹣80＝872，当10＜x≤17时，当x＝17时，w大∴若5≤x≤17，第5天的日销售(xiāoshòu)利润最大，最大日销售利润是880元．23．解：（1）∵k1＝﹣，k2＝，∴k1•k2＝﹣•＝﹣1．故答案(dáàn)为：﹣1．（2）∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，2），点D是OA中点，∴点D的坐标为（2，1）．∵点A的坐标为（4，2），∴直线OA的解析式为y＝x．∵直线l⊥直线OA，∴设直线l的解析式为y＝﹣2x+m．∵直线l过点D（2，1），∴1＝﹣4+m，解得：m＝5，∴OA的垂直平分线l的解析式为y＝﹣2x+5．（3）∵点A的坐标为（4，2），四边形OBAC为矩形，∴点C的坐标为（0，2）．设直线CC′的解析式为y＝﹣2x+n，∵直线CC′过点C（0，2），∴n＝2，即直线CC′的解析式为y＝﹣2x+2．联立直线CC′和OA的解析式成方程组，得：，解得：，∴点E的坐标(zuòbiāo)为（，）．∵点E为线段(xiànduàn)CC′的中点(zhōnɡ diǎn)，∴点C′的坐标(zuòbiāo)为（×2﹣0，×2﹣2），即（，﹣）．内容总结（1）中考数学一轮复习单元检测试卷第十九单元一次函数考试时间：120分钟（2）（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD。

2022年全国新高考I卷数学试题(解析版)(3)

绝密☆启用前试卷类型：A2022年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31}M x N x x =<=³∣，则M N =I （）A. {}02x x £< B. 123xx ìü£<íýîþC. {}316x x £< D. 1163xx ìü£<íýîþ【答案】D 【解析】【分析】求出集合,M N 后可求M N Ç.详解】1{16},{}3M xx N x x =£<=³∣0∣，故1163M N x x ìü=£<íýîþI ，故选：D2. 若i(1)1z -=，则z z +=（）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i i z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，【故选：D3. 在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（）A. 32m n -r rB. 23m n-+r rC. 32m n+r rD. 23m n+r r【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =uuu r uuu r，即()2CD CB CA CD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以CB uuu r =3232CD CA n m -=-uuu r uuu r r u r23m n =-+r r．故选：B ．4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约2.65»）（）A. 931.010m ´ B. 931.210m ´ C. 931.410m ´ D. 931.610m ´【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==´km m ，下底面积262180.018010S ¢==´km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=´´´+´¢(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=´+´»+´´=´»´．故选：C ．5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==.故选：D.6. 记函数()sin (0)4f x x b p w w æö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T pp <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（）A. 1 B.32C.52D. 3【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T p p <<，得223p pp w <<，解得23w <<，又因为函数图象关于点3,22p æöç÷èø对称，所以3,24k k Z p p w p +=Î，且2b =，所以12,63k k Z w =-+Î，所以52w =，5()sin 224f x x p æö=++ç÷èø，所以5sin 21244f p p p æöæö=++=ç÷ç÷èøèø.故选：A7. 设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A. a b c << B. c b a<< C. c a b<< D. a c b<<【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x¢=-=-++，当(1,0)x Î-时，()0f x ¢>，当,()0x Î+¥时()0f x ¢<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+¥单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+¢=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x ¢=+-，当01x <<-时，()0h x ¢<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x ¢>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x ¢>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36p，且3l ££四棱锥体积的取值范围是（）A. 8118,4éùêúëûB. 2781,44éùêúëûC. 2764,43éùêúëû D. [18,27]【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.的【详解】∵ 球的体积为36p ，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l æö==´´=´-´-ç÷èø，所以5233112449696l l V l l æöæö-¢=-=ç÷ç÷èøèø，当3l ££0V ¢>，当l <£时，0V ¢<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443éùêúëû，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A. 直线1BC 与1DA 所成的角为90° B. 直线1BC 与1CA 所成的角为90°C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45° D. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°【答案】ABD 【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ^1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90°，A 正确；连接1AC ，因为11A B ^平面11BB C C ，1BC Ì平面11BB C C ，则111A B BC ^，因为1B C ^1BC ，1111A B B C B =I ，所以1BC ^平面11A B C ，又1AC Ì平面11A B C ，所以11BC CA ^，故B 正确；连接11A C ，设1111A C B D O =I ，连接BO ，因为1BB ^平面1111D C B A ，1C O Ì平面1111D C B A ，则11C O B B ^，因为111C O B D ^，1111B D B B B Ç=，所以1C O ^平面11BB D D ，所以1C BO Ð为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则1C O =，1BC =，1111sin 2C O C BO BC Ð==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30o ，故C 错误；因为1C C ^平面ABCD ，所以1C BC Ð为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC Ð=o，故D 正确.故选：ABD10. 已知函数3()1f x x x =-+，则（）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x ¢=-，令()0f x ¢>得x >或x <令()0f x ¢<得x <<所以()f x在(上单调递减，在(,-¥，)+¥上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x在,æ-¥ççè上有一个零点，当x ³时，()0f x f ³>，即函数()f x在ö¥÷÷ø+上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x ¢=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC11. 已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A. C 的准线为1y =- B. 直线AB 与C 相切C. 2|OP OQ OA×> D. 2||||||BP BQ BA ×>.【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-ìí=î，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-ìí=î，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ì=->ï+=íï=î，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==，||OQ ==所以2||||||2||OP OQ k OA ×===>=，故C 正确；因为1||||BP x =，2||||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ×=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()f x 及其导函数()¢f x 的定义域均为R ，记()()g x f x ¢=，若322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，则（）A. (0)0f = B. 102g æö-=ç÷èøC. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x æöæö-=+ç÷ç÷èøèø即3322f x f x æöæö-=+ç÷ç÷èøèø，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x ¢=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x æö=-=-ç÷èø，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g æöæö-==ç÷ç÷èøèø，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 81()y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】()81y x y x æö-+ç÷èø可化为()()88y x y x y x +-+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x xæö-++-+ç÷èø，所以()81y x y x æö-+ç÷èø的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x -=-，()81y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2814. 写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，1ì=ïï，解得7242524k p ì=-ïïíï=ïî，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.15. 若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,¥¥--È+【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e xy x a =+，∴(1)e x y x a ¢=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a =+>n ,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,¥¥--È+,故答案为：()(),40,¥¥--È+16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O pÐ=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE ，直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c =+´´=´´n ，∴22264613c CD y =-==´´´=，∴ 138c =，得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ìü=íýîþ是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++<L ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ³时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n æö+++=-ç÷+èøL ，进而证得.【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111Sa =,又∵n n S a ìüíýîþ是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ³时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n nn n n a a a a a a a a a a ---=´´´¼´´()1341123212n n n n n n ++=´´´¼´´=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；【小问2详解】()12112,11n a n n n n æö==-ç÷++èø ∴12111n a a a +++L 1111112121222311n n n éùæöæöæöæö=-+-+-=-<ç÷ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøèøëûL 18. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++．（1）若23C p =，求B ；（2）求222a b c+的最小值．【答案】（1）π6；（2）5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A B A B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c+化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【小问2详解】由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C æö=-=-ç÷èø，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB -+-==+-³-=-．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5-．19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC V 的面积为．（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ^平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ^平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=×===×==V V ，解得h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为；【小问2详解】取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ^,又平面1A BC ^平面11ABB A ，平面1A BC I 平面111ABB A A B =，且AE Ì平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，由BC Ì平面1A BC ，BC Ì平面ABC 可得AE BC ^，1BB BC ^，又1,AE BB Ì平面11ABB A 且相交，所以BC ^平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =12AA AB ==，1A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =uuu r ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==uuu r uuu r ,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =u r ，则020m BD x y z m BA y ì×=++=ïí×==ïîu r uuu r u r uuu r ，可取()1,0,1m =-u r ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =r ，则020m BD a b c m BC a ì×=++=ïí×==ïîu r uuu r u r uuu r ，可取()0,1,1n =-r ，则1cos ,2m =u r ，所以二面角A BD C --=20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ³0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R .【小问1详解】由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -´-´==++++´´´，又2( 6.635)=0.01P K ³，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =××××，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =×××所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×21. 已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ Ð=，求PAQ △的面积．【答案】（1）1-；（2．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ 的倾斜角互补，再根据tan PAQ Ð=即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．【小问1详解】因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+ìïí-=ïî可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k D =++->Þ-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +æö´+-----=ç÷--èø，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．【小问2详解】不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),a b a b <，因为0AP BP k k +=，所以πa b +=，因为tan PAQ Ð=，所以()tan b a -=tan 2a =-，2tan 0a a -=，解得tan a =，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ì=-+ïí-=ïî可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，Q x =Q y=所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d ，故PAQ △的面积为11623´=．22. 已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时， e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e ¢=-x f x a ，若0a £，则()0f x ¢>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,+¥，而11()ax g x a x x¢-=-=.当ln x a <时，()0f x ¢<，故()f x 在(),ln a -¥上为减函数，的当ln x a >时，()0f x ¢>，故()f x 在()ln ,a +¥上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x ¢<，故()g x 在10,a æöç÷èø上为减函数，当1x a >时，()0g x ¢>，故()g x 在1,a æö+¥ç÷èø上为增函数，故min 11()1ln g x g a a æö==-ç÷èø.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11ln ln a a a a -=-，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --¢=-=£++，故()g a 为()0,+¥上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1a a a -=+的解为1a =.综上，1a =.【小问2详解】由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e x S x x b =--，()e 1x S x ¢=-，当0x <时，()0S x ¢<，当0x >时，()0S x ¢>，故()S x 在(),0-¥上为减函数，在()0,+¥上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0b S b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20b u b ¢=->，故()u b 在()1,+¥上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-¢=，当01x <<时，()0T x ¢<，当1x >时，()0T x ¢>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+¥上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()e e 0b b T --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2x h x x¢=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10x s x ¢=->，故()s x 在()0,+¥上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x¢>+-³->，所以()h x 在()0,+¥上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,+¥上有且只有一个零点0x ，0311e x <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，的故11e x x b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44e x b x -=即()44e 0x b x b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-ìí=-î即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。

专题05平面解析几何-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

专题05 平面解析几何1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若→BA1⋅→BA2=―1，则C的方程为（）A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=1【答案】B【解析】【分析】根据离心率及BA1⋅BA2=―1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e=ca =1―b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(―a,0),A2(a,0)，B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1=(―a,―b),BA2=(a,―b)，因为BA1⋅BA2=―1所以―a2+b2=―1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，故椭圆的方程为x29+y28=1.故选：B.2．【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．32B．22C．12D．13【答案】A 【解析】【分析】设P(x1,y1)，则Q(―x1,y1)，根据斜率公式结合题意可得y12―x12+a2=14，再根据x12a2+y12b2=1，将y1用x1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：A(―a,0)，设P(x1,y1)，则Q(―x1,y1)，则k AP=y1x1+a ,k AQ=y1―x1+a，故k AP⋅k AQ=y1x1+a ⋅y1―x1+a=y12―x12+a2=14，又x12a2+y12b2=1，则y12=b2(a2―x12)a2，所以a―x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca =1―b2a2=32.故选：A.3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|= |BF|，则|AB|=（）A．2B．22C．3D．32【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，即点A到准线x=―1的距离为2，所以点A的横坐标为―1+2=1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|=(3―1)2+(0―2)2=22.故选：B4．【2022年全国乙卷】（多选）双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（）A．52B．32C．132D．172【答案】AC【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b =3a 或a =2b ，即可得解，注意就M ,N 在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又|OG |=a ，|OF 1|=c ，|GF 1|=b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有|NF 2|sin β=|NF 1|sin(α+β)=2csin α，故|NF 1|―|NF 2|sin(α+β)―sin β=2csin α即a sin(α+β)―sin β=csin α，所以a sin αcos β+cos αsin β―sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =ca =1+b 2a2=132若M ,N 均在左支上，同理有|NF 2|sin β=|NF 1|sin(α+β)=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=―bc ，故|NF 2|―|NF 1|sin β―sin(α+β)=2csin α即asin β―sin αcos β―cos αsin β=csin α，代入cos α=35，sin β=ac ，sin α=45，整理得到：a4b +2a =14，故a =2b ，故e ==52，故选：AC.5．【2022年北京】若直线2x +y ―1=0是圆(x ―a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =（）A ．12B ．―12C ．1D ．―1【答案】A 【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a +0―1=0，解得a =12．故选：A ．6．【2022年新高考1卷】（多选）已知O 为坐标原点，点A (1,1)在抛物线C :x 2=2py (p >0)上，过点B (0,―1)的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A．C的准线为y=―1B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA|2D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=―14，A错误；k AB=1―(―1)1―0=2，所以直线AB的方程为y=2x―1，联立y=2x―1x2=y，可得x2―2x+1=0，解得x=1，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx―1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立y=kx―1x2=y，得x2―kx+1=0，所以Δ=k2―4>0x1+x2=kx1x2=1，所以k>2或k<―2，y1y2=(x1x2)2=1，又|OP|=x21+y21=y1+y21，|OQ|=x22+y22=y2+y22，所以|OP|⋅|OQ|=y1y2(1+y1)(1+y2)=kx1×kx2=|k|>2=|OA|2，故C正确；因为|BP|=1+k2|x1|，|BQ|=1+k2|x2|，所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.故选：BCD7．【2022年新高考2卷】（多选）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（）A．直线AB的斜率为26B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF|D．∠OAM+∠OBM<180°【答案】ACD【解析】由|AF |=|AM |及抛物线方程求得A (3p 4,6p2)，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B (p3,―6p3)，即可求出|OB |判断B 选项；由抛物线的定义求出|AB |=25p12即可判断C 选项；由OA ⋅OB <0，MA ⋅MB <0求得∠AOB ，∠AMB 为钝角即可判断D选项.【详解】对于A ，易得F (p2,0)，由|AF |=|AM |可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为p2+p 2=3p 4，代入抛物线可得y 2=2p ⋅3p4=32p 2，则A (3p 4,6p2)，则直线AB 的斜率为6p23p 4―p 2=26，A 正确；对于B ，由斜率为26可得直线AB 的方程为x =126y +p2，联立抛物线方程得y 2―16py ―p 2=0，设B (x 1,y 1)，则62p +y 1=66p ，则y 1=―6p3，代入抛物线得―=2p ⋅x 1，解得x 1=p 3，则B (p3,―6p 3)，则|OB |==7p 3≠|OF |=p2，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：|AB |=3p 4+p3+p =25p 12>2p =4|OF |，C 正确；对于D ，OA ⋅OB =(3p 4,6p2)⋅(p3,―6p3)=3p 4⋅p3+6p 2⋅―=―3p24<0，则∠AOB 为钝角，又MA ⋅MB =(―p 4,6p2)⋅(―2p 3,―6p 3)=―p4⋅+6p 2⋅―=―5p26<0，则∠AMB又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D正确.故选：ACD.8．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y―1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．【答案】(x―1)2+(y+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线2x+y―1=0上，∴设点M为(a,1―2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴(a―3)2+(1―2a)2=a2+(―2a)2=R，a2―6a+9+4a2―4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,―1)，R=5，⊙M的方程为(x―1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x―1)2+(y+1)2=59．【2022年全国甲卷】记双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足1<e≤5皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±ba x中0<ba≤2即可求得满足要求的e值.【详解】解：C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)，所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点，只需0<ba ≤2，即b2a2≤4，可满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e =ca =1+b 2a2≤1+4=5，又因为e >1，所以1<e ≤5，故答案为：2（满足1<e ≤5皆可）10．【2022年全国甲卷】若双曲线y 2―x2m 2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2―4y +3=0相切，则m =_________．【答案】33【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线y 2―x2m 2=1(m >0)的渐近线为y =±xm ，即x ±my =0，不妨取x +my =0，圆x 2+y 2―4y +3=0，即x 2+(y ―2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径r =1，依题意圆心(0,2)到渐近线x +my =0的距离d =|2m |1+m 2=1，解得m =33或m =―33（舍去）．故答案为：33．11．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(―1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】(x ―2)2+(y ―3)2=13或(x ―2)2+(y ―1)2=5或x +y ―=659或x +(y ―1)2=16925；【解析】【分析】设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，若过(0,0)，(4,0)，(―1,1)，则F =016+4D +F =01+1―D +E +F =0 ，解得F =0D =―4E =―6，所以圆的方程为x 2+y 2―4x ―6y =0，即(x ―2)2+(y ―3)2=13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则F =016+4D +F =016+4+4D +2E +F =0 ，解得F =0D =―4E =―2，所以圆的方程为x 2+y 2―4x ―2y =0，即(x ―2)2+(y ―1)2=5；若过(0,0)，(4,2)，(―1,1)，则F =01+1―D +E +F =016+4+4D +2E +F =0，解得F =0D =―83E =―143，所以圆的方程为x 2+y 2―83x ―143y =0，即x ―+y=659；若过(―1,1)，(4,0)，(4,2)，则1+1―D +E +F =016+4D +F =016+4+4D +2E +F =0，解得F =―165D =―165E =―2，所以圆的方程为x 2+y 2―165x ―2y ―165=0，即x―+(y ―1)2=16925；故答案为：(x ―2)2+(y ―3)2=13或(x ―2)2+(y ―1)2=5或x ―+y =659或x+(y ―1)2=16925；12．【2022年新高考1卷】写出与圆x 2+y 2=1和(x ―3)2+(y ―4)2=16都相切的一条直线的方程________________．【答案】y =―34x +54或y =724x ―2524或x =―1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆x 2+y 2=1的圆心为O (0,0)，半径为1，圆(x ―3)2+(y ―4)2=16的圆心O 1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为k OO 1=43，所以k l =―34，设方程为y =―34x +t (t >0)O 到l 的距离d =|t|1+916=1，解得t =54，所以l 的方程为y =―34x +54，当切线为m 时，设直线方程为kx +y +p =0，其中p >0，k <0，1=4，解得k =―724p =2524，y =724x ―2524当切线为n 时，易知切线方程为x =―1，故答案为：y =―34x +54或y =724x ―2524或x =―1.13．【2022年新高考1卷】已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y23c 2=1，即3x 2+4y 2―12c 2=0，根据离心率得到直线A F 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =3y ―c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2―12c 2=0，整理化简得到：13y 2―63cy ―9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13.【详解】∵椭圆的离心率为e =ca =12，∴a =2c ，∴b 2=a2―c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2―12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE 的方程：x =3y ―c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2―12c 2=0，整理化简得到：13y 2―63cy ―9c 2=0，判别式∆=(63c )2+4×13×9c 2=62×16×c 2，∴|CD |=1+(3)2|y 1―y 2|=2×∆13=2×6×4×c13=6，∴ c =138，得a =2c =134， ∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为|DF 2|+|EF 2|+|DE |=|DF 2|+|EF 2|+|DF 1|+|EF 1|=|DF 1|+|DF 2|+|EF 1|+|EF 2|=2a +2a =4a =13.故答案为：13.14．【2022年新高考2卷】设点A (―2,3),B (0,a )，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】【分析】首先求出点A 关于y =a 对称点A ′的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：A (―2,3)关于y =a 对称的点的坐标为A ′(―2,2a ―3)，B (0,a )在直线y =a 上，所以A ′B 所在直线即为直线l ，所以直线l 为y =a ―3―2x +a ，即(a ―3)x +2y ―2a =0；圆C :(x +3)2+(y +2)2=1，圆心C (―3,―2)，半径r =1，依题意圆心到直线l 的距离d =|―3(a ―3)―4―2a |(a ―3)2+22≤1，即(5―5a )2≤(a ―3)2+22，解得13≤a ≤32，即a ∈故答案为：15．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为___________．【答案】x +2y ―22=0【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，利用点差法得到k OE ⋅k AB =―12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据|MN |求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为|MA |=|NB |，所以|ME |=|NE |，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126―x 226+y 123―y 223=0，即(x 1―x 2)(x 1+x 2)6+(y 1+y 2)(y 1―y 2)3=0所以(y 1+y 2)(y 1―y 2)(x1―x 2)(x 1+x 2)=―12，即k OE ⋅k AB =―12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =―mk ，即M ―m k,0，N (0,m )，所以E ―m 2k 即k ×m 2―m 2k=―12，解得k =―22或k =22（舍去），又|MN |=23，即|MN |=m 2+(2m )2=23，解得m =2或m =―2（舍去），所以直线AB :y =―22x +2，即x +2y ―22=0；故答案为：x+2y―22=016．【2022年北京】已知双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±33x，则m=__________．【答案】―3【解析】【分析】首先可得m<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线y2+x2m =1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2―x2―m=1，则a=1，b=―m，又双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±33x，所以ab =33，即1―m=33，解得m=―3；故答案为：―317．【2022年浙江】已知双曲线x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【解析】【分析】联立直线AB 和渐近线l 2:y =ba x 方程，可求出点B ，再根据|FB |=3|FA |可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为b4a 的直线AB :y =b4a (x +c )，渐近线l 2:y =ba x ，联立y =b4a(x +c)y =b ax，得|FB |=3|FA |，得A ―5c9而点A 在双曲线上，于是25c 281a 2―b 2c 281a 2b 2=1，解得：c 2a 2=8124，所以离心率e =364.故答案为：364．18．【2022年全国甲卷】设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3．(1)求C 的方程；(2)设直线MD ,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ,AB 的倾斜角分别为α,β．当α―β取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】(1)y 2=4x ；(2)AB :x =2y +4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF |=p +p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN :x =my +1，由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =22，设直线AB :x=2y +n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x=―p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|=p+p2=3，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；(2)设M(y214,y1),N(y224,y2),A(y234,y3),B(y244,y4)，直线MN:x=my+1，由{x=my+1y2=4x可得y2―4my―4=0，Δ>0,y1y2=―4，由斜率公式可得k MN=y1―y2y214―y224=4y1+y2，k AB=y3―y4y234―y244=4y3+y4，直线MD:x=x1―2y1⋅y+2，代入抛物线方程可得y2―4(x1―2)y1⋅y―8=0，Δ>0,y1y3=―8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，所以k AB=4y3+y4=42(y1+y2)=k MN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，所以k AB=tanβ=k MN2=tanα2，若要使α―β最大，则β∈(0,π2)，设k MN=2k AB=2k>0，则tan(α―β)=tanα―tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k⋅2k=24，当且仅当1k =2k即k=22时，等号成立，所以当α―β最大时，k AB=22，设直线AB:x=2y+n，代入抛物线方程可得y2―42y―4n=0，Δ>0,y3y4=―4n=4y1y2=―16，所以n=4，所以直线AB:x=2y+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,―2),―1两点．(1)求E的方程；(2)设过点P(1,―2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH．证明：直线HN过定点．【答案】(1)y24+x23=1(2)(0,―2)【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.(1)解：设椭圆E的方程为mx2+ny2=1，过A(0,―2),―1，4n=1+n=1，解得m=13，n=14，所以椭圆E的方程为：y24+x23=1.(2)A(0,―2),B(32,―1)，所以AB:y+2=23x，①若过点P(1,―2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入x23+y24=1，可得M(1,263)，N(1,―263)，代入AB方程y=23x―2，可得T(6+3,263)，由MT=TH得到H(26+5,263).求得HN方程：y=(2―263)x―2，过点(0,―2).②若过点P(1,―2)的直线斜率存在，设kx―y―(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2).联立kx―y―(k+2)=0x23+y24=1,得(3k2+4)x2―6k(2+k)x+3k(k+4)=0，可得x1+x2=6k(2+k)3k2+4x1x2=3k(4+k)3k2+4，y1+y2=―8(2+k)3k2+4y2y2=4(4+4k―2k2)3k2+4，且x1y2+x2y1=―24k3k2+4(∗)联立y=y1y=23x―2,可得T(3y12+3,y1),H(3y1+6―x1,y1).可求得此时HN:y―y2=y1―y23y1+6―x1―x2(x―x2)，将(0,―2)，代入整理得2(x1+x2)―6(y1+y2)+x1y2+x2y1―3y1y2―12=0，将(∗)代入，得24k+12k2+96+48k―24k―48―48k+24k2―36k2―48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,―2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2―y2a2―1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积．【答案】(1)―1；(2)1629．【解析】【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q (x2,y2)，再根据k AP+k BP=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tan∠PAQ=22即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积．(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2―y2a2―1=1(a>1)上，所以4a2―1a2―1=1，解得a2=2，即双曲线C:x22―y2=1易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，kx+my2=1可得，(1―2k2)x2―4mkx―2m2―2=0，所以，x1+x2=―4mk2k2―1,x1x2=2m2+22k2―1，Δ=16m2k2+4(2m2+2)(2k2―1)>0⇒m2―1+2k2>0．所以由k AP+k BP=0可得，y2―1x2―2+y1―1x1―2=0，即(x1―2)(kx2+m―1)+(x2―2)(kx1+m―1)=0，即2kx1x2+(m―1―2k)(x1+x2)―4(m―1)=0，所以2k×2m2+22k2―1+(m―1―2k)―4(m―1)=0，化简得，8k2+4k―4+4m(k+1)=0，即(k+1)(2k―1+m)=0，所以k=―1或m=1―2k，当m=1―2k时，直线l:y=kx+m=k(x―2)+1过点A(2,1)，与题意不符，舍去，故k=―1．(2)不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,β(α<β)，因为k AP+k BP=0，所以α+β=π，因为tan∠PAQ=22，所以tan(β―α)=22，即tan2α=―22，即2tan2α―tanα―2=0，解得tanα=2，于是，直线PA:y=2(x―2)+1，直线PB:y=―2(x―2)+1，联立y=2(x―2)+1x22―y2=1可得，32x2+2(1―22)x+10―42=0，因为方程有一个根为2，所以x P=10―423，y P=42―53，同理可得，x Q=10+423，y Q=―42―53．所以PQ:x+y―53=0，|PQ|=163，点A到直线PQ的距离d=|2+1―53|2=223，故△PAQ的面积为12×163×223=1629．21．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为―3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.=1【答案】(1)x2―y23(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|B M|等价分析得到x0+ky0=8k2；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方k2―3，由②PQ//AB等价转化为ky0=3x0，由①程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y0M在直线AB上等价于ky0=k2(x0―2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)=3，∴b=3a，∴c2=a2+b2右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±3x，∴ba=4a2=4，∴a=1，∴b=3．=1；∴C的方程为：x2―y23(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x―2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0―2)⇔ky0=k2(x0―2)；两渐近线的方程合并为3x2―y2=0,联立消去y 并化简整理得：(k 2―3)x 2―4k 2x +4k 2=0设A (x 3,y 3),B (x 3,y 4),线段中点为N (x N ,y N ),则x N =x 3+x 42=2k 2k 2―3,y N=k (x N ―2)=6kk 2―3,设M (x 0,y 0),则条件③|AM |=|BM |等价于(x 0―x 3)2+(y 0―y 3)2=(x 0―x 4)2+(y 0―y 4)2,移项并利用平方差公式整理得：(x 3―x 4)[2x 0―(x 3+x 4)]+(y 3―y 4)[2y 0―(y 3+y 4)]=0，[2x 0―(x 3+x 4)]+y 3―y 4x 3―x 4[2y 0―(y 3+y 4)]=0,即x 0―x N +k (y 0―y N )=0,即x 0+ky 0=8k2k 2―3；由题意知直线PM 的斜率为―3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1―y 0=―3(x 1―x 0),y 2―y 0=3(x 2―x 0),∴y 1―y 2=―3(x 1+x 2―2x 0),所以直线PQ 的斜率m =y 1―y 2x 1―x 2=―3(x 1+x 2―2x 0)x 1―x 2,直线PM :y =―3(x ―x 0)+y 0,即y =y 0+3x 0―3x ,代入双曲线的方程3x 2―y 2―3=0,+―y =3中，得：y 0+3x 023x ―y 0+3x 0=3,解得P 的横坐标：x 1=y 0+3x 0,同理：x 2=+y 0―3x 0，∴x 1―x 2+y 0,x 1+x 2―2x 0=―3x 0y 20―3x 20―x 0,∴m =3x 0y 0,∴条件②PQ //AB 等价于m =k⇔ky 0=3x 0，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于ky 0=k 2(x 0―2)；条件②PQ //AB 等价于ky 0=3x 0；条件③|AM |=|BM |等价于x 0+ky 0=8k2k 2―3；选①②推③:由①②解得：x 0=2k2k 2―3,∴x 0+ky 0=4x 0=8k 2k 2―3,∴③成立；选①③推②：由①③解得：x 0=2k 2k 2―3，ky 0=6k2k 2―3，∴ky 0=3x 0，∴②成立；选②③推①：由②③解得：x 0=2k 2k 2―3，ky 0=6k2k 2―3，∴x 0―2=6k 2―3，∴ky 0=k 2(x 0―2)，∴①成立.22．【2022年北京】已知椭圆：E :x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (―2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】(1)x24+y 2=1(2)k =―4【解析】【分析】（1）依题意可得b =12c =23c 2=a 2―b 2，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出x M 、x N ，根据|MN |=|x N ―x M |得到方程，解得即可；(1)解：依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2―b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P (―2,1)的直线为y ―1=k (x +2)，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，不妨令―2≤x 1<x 2≤2，由y ―1=k (x +2)x 24+y 2=1，消去y 整理得(1+4k 2)x 2+(16k 2+8k )x +16k 2+16k =0，所以Δ=(16k 2+8k )2―4(1+4k 2)(16k 2+16k )>0，解得k <0，所以x 1+x 2=―16k 2+8k1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k 2，直线AB 的方程为y ―1=y 1―1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11―y 1，直线AC 的方程为y ―1=y 2―1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21―y 2，所以|MN |=|x N ―x M |=|x 21―y 2―x 11―y 1|=|x 21―[k (x 2+2)+1]―x 11―[k (x 1+2)+1]|=|x 2―k (x 2+2)+x 1k (x 1+2)|=|(x 2+2)x 1―x 2(x 1+2)k (x 2+2)(x 1+2)|=2|x 1―x 2||k |(x2+2)(x 1+2)=2，所以|x 1―x 2|=|k |(x 2+2)(x 1+2)，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=|k |[x 2x 1+2(x 2+x 1)+4]|k +2―+4即81+4k 2(2k 2+k )2―(1+4k 2)(k 2+k )=|k |1+4k 216k 2+16k ―2(16k 2+8k )+4(1+4k 2)整理得8―k =4|k |，解得k =―423．【2022年浙江】如图，已知椭圆x212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =―12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】(1)121111；(2)655．【解析】【分析】（1）设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出|PQ |2，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线AB :y =kx +12与椭圆方程联立可得x 1x 2,x 1+x 2，再将直线y =―12x +3方程与PA 、PB 的方程分别联立，可解得点C ,D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出|CD |，最后代入化简可得|CD |=352⋅16k 2+1|3k +1|，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1―sin θ)2=13―11sin 2θ―2sinθ=―11sin θ++14411≤14411，当且仅当sin θ=―111时取等号，故|PQ |的最大值是121111.(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x212+y 2=1联立,可得k 22+kx ―34=0,设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=―kk 2+112x 1x 2=，因为直线PA :y =y 1―1x 1x +1与直线y =―12x +3交于C ,则x C =4x 1x1+2y 1―2=4x 1(2k +1)x1―1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2―2=4x 2(2k +1)x2―1.则|CD |=1+14|x C ―x D |=52|4x 1(2k +1)x 1―1―4x 2(2k +1)x 2―1|=25|x 1―x 2[(2k +1)x 1―1][(2k +1)x 2―1]|=25|x 1―x 2(2k +1)2x 1x 2―(2k +1)(x 1+x 2)+1|=352⋅16k 2+1|3k +1|=655⋅16k 2+1916+1|3k +1|≥655=655，当且仅当k =316时取等号，故|CD|的最小值为655.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．1．（2022·全国·模拟预测）设M 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点，P 是C 上的一个动点，当P 运动到下顶点时，PM 取得最大值，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,M b ，求出()2220PM x y b =+-消元可得，22342220222c b b PM y a b b c c⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭，再根据0b y b -≤≤以及二次函数的性质可知，32b b c-≤-，即可解出．【详解】设()00,P x y ，()0,M b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PM x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0b y b -≤≤，由题意知当0y b =-时，2PM 取得最大值，所以32b b c -≤-，可得222a c ≥，即0e <≤故选：C ．2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=，则实数a的取值范围是（）A ．[B ．[C ．D ．[ 【答案】D 【解析】【分析】由题意求出OP 的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．【详解】由题可知圆O 的半径为32，圆M 上存在点P ，过点P 作圆 O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则30APO ∠=︒，在Rt PAO △中，3PO =，所以点 P 在圆229x y +=上，由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.又圆 M 的半径等于1，圆心坐标(),1M a ，3131OM -≤≤+∴，∴24≤≤，∴a ∈[ .故选：D.3．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）一个虚轴的顶点为()0,B b ，右焦点为F ，分别以B ，F 为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于M ，N 两点，若ON = ）A ．12B ．1C D 【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线倾斜角的正切值表达出ON =4224200b a b a --=求解即可【详解】由题意，如图，设NOF θ∠=，则因为该渐近线的斜率为b a ，故tan baθ=，cos a c θ==，sin bcθ==，又因为圆与渐近线相切，故BM OM ⊥，FN ON ⊥，故2cos sin 2b OM OB OB c π-θθ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，cos ON OF a θ==,所以a =即2=，所以4224200b a b a --=，即()()2222450b aba -+=，故2240b a -=，即2a b =，故该渐近线的斜率为12b k a == 故选：A4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若12r r >，且直线l 的倾斜角为60︒，则12r r 的值为（）A ．2B ．3CD．【答案】B 【解析】【分析】根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.【详解】记12AF F △的内切圆圆心为C ，边1212,,AF AF F F 上的切点分别为M ，N ，E，则C ，E 横坐标相等，则1122||||,,AM AN F M F E F N F E ===，由122AF AF a -=，即()12||||2AM MF AN NF a +-+=，得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记C 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理12BF F △的内心D 的横坐标也为a ，则有CD x ⊥轴，由直线的倾斜角为60︒，则230OF D ∠=︒，260CF O ∠=︒，在2CEF △中，122tan tan 60r CF O EF ∠=︒=，可得1r =在2DEF △中，222tan tan 30r DF O EF ∠=︒=，可得2r =可得123r r =．故选：B5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知双曲线22214x y b -=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（）A ．2BC ．32D【答案】D 【解析】【分析】利用点差法设()11,A x y 、()22,B x y ，作差即可得到2121212124y y y y b x x x x -+⋅=-+，再根据斜率公式，从而得到2124b =，即可得解；【详解】解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则2211214x y b -=，2222214x y b-=，两式相减可得()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=，P 为线段AB 的中点，122p x x x ∴=+，122p y y y =+，2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+，又12122AB y y k x x -==-，121214y y x x +=+， 2124b ∴=，即22b =，b ∴故选：D.6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）A．1)B．1)-C．1D．1【答案】B 【解析】【分析】由题意求得a,b,c ,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当1||QF PQ +取最小值时Q 点的位置，利用方程组求得Q 点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.【详解】由题意可得24,2a a == ，又2e =，故4c = ，所以22212b c a =-= ，则双曲线方程为221412x y -= ，结合双曲线定义可得221||4||||4QF PQ QF PQ QF PQ +=++=++，如图示，连接2PF ,交双曲线右支于点M ，即当2,,P Q F 三点共线，即Q 在M 位置时，1||QF PQ +取最小值，此时直线2PF 方程为4y x =-+ ，联立221412x y-=，解得点Q的坐标为2,6-,( Q 为双曲线右支上的一点)，1)=，故选：B7．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①22221221a a b b -=-；②1221a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2112a a b b +>+；其中所有正确的结论序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④【答案】B 【解析】【分析】对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断22221221a a b b -=-；对于②，举反例可说明1122a b a b <；对于③，根据120a a >>可推得12<b b ，继而推得1212b b a a <，可判断双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点；对于④，举反例可判断.【详解】对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，∴22221122a b a b +=+，即22221221a a b b -=-，故①正确；对于②：若1a =，2a =11b =，2=b ，则1122a b a b <，故②错误；对于③：∵120a a >>，∴22221221a a b b -=->0，∴2221b b > ，即12<b b ，即1212b b a a <，双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点，故③正确；对于④：∵22221221a a b b -=-，∴12121221()()()()a a a a b b b b +-=+-，∵12a a >且12<b b ，∴12211212a ab b b b a a +-=+- ，若12a =，21a =，11b =，22b =，则1212a a b b +=+，故④错误.故选：B8．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．)+∞C．()1+D．1⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】由12MF MF ⊥可得1212sin MF c MF F =∠、2212cos MF c MF F =∠，由双曲线定义可构造方程得到ca=；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围.【详解】M 在以12F F 为直径的圆上，12MF MF ∴⊥，12112sin MF MF F F F ∴∠=，22112cos MF MF F F F ∠=，1212sin MF c MF F ∴=∠，2212cos MF c MF F =∠，由双曲线定义知：122MF MF a -=，即21212sin 2cos 2c MF F c MF F a ∠-∠=，21211sin cos c a MF F MF F ∴=∠-∠215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦ ，21,4126MF F πππ⎡⎤∴∠-∈⎢⎥⎣⎦，211sin 42MF F π⎤⎛⎫∴∠-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦，214MF F π⎛⎫∠-∈ ⎪⎝⎭，1c a ⎤∴∈+⎦，即双曲线离心率的取值范围为1⎤⎦.故选：D.9．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（）A ．3BCD ．2【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义可推导得244AF a ==，求得1a =；在12BF F △中，利用余弦定理可求得12F F ，进而得到c ，由ce a=可求得离心率.【详解】224AB BF AF === ，1212BF BF AF a ∴-==，又212AF AF a -=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=，在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+-⋅=，解得：12F F =2c =c ∴=，∴双曲线C 的离心率ce a==故选：B.10．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由题可知六个P 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设(,)P x y 是第一象限内的点，分112PF F F =或212PF F F =，列方程组求得P 点横坐标x ，由0x a <<可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．【详解】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪⎨=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪⎨=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.11．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数λ，使1AB DF λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说出理由.【答案】(1)2214x y +=(2)存在，λ=【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可求得a 的值，根据椭圆的离心率求得c 的值，再求出b 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知，直线l 不与x 轴垂直，分两种情况讨论，一是直线l 与x 轴重合，二是直线l 的斜率存在且不为零，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出AB 、1DF ，即可求得λ的值.(1)解：由椭圆的定义可得24a =，则2a =，因为c e a==c ∴=1b ==，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)解：若直线l 与x 轴垂直，此时，线段AB 的垂直平分线为x 轴，不合乎题意；若直线l 与x 轴重合，此时，线段AB 的垂直平分线为y 轴，则点D 与坐标原点重合，此时，1AB DF λ=== 若直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为)0x my m =≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，。

高三文科数学一轮单元卷：第十九单元平面解析几何综合 A卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十九单元平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线70ax y ++＝与430x ay +-＝平行，则a 为（） A ．2B ．2或2-C ．2-D ．12-2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线的方程是y =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程的（）A ．221824x y -=B ．221248x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=3．已知椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞经过点)A，()03B ，，则椭圆E 的离心率为（）A ．23BC ．49D ．594．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为（） A ．22420x y x +++= B ．22420x y x +-+= C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=5．若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++=相交于A 、B 两点，且120AOB ∠=︒，则实数a 的值为（） A ．3B ．10C ．11或21D ．3或137．若二次函数()()()12f x k x x =+-的图象与坐标轴的交点是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的顶点或焦点，则k =（）AB ．CD ．8．已知1F ，2F 半焦距为半径的圆交双曲线右支于A ，B 两点，且1F AB △为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D9．过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（）A ．1B ．2C D 10的右焦点恰好是抛物线()220y px p =>的焦点F ，且M为抛物线的准线与x 轴的交点，N 为抛物线上的一点，且满足则点F 到直线MN 的距离为（）A B ．1 C D ．211．若在区间⎡⎤⎣⎦上随机取一个数k ，则“直线y kx =222x y +=相交”的概率为（）A ．34- B ．3-C ．2D ．2312．已知点()44P ，是抛物线2:2C y px =上的一点，F 是其焦点，定点()14M -，，则MPF △的外接圆的面积为（） A ．12532πB ．12516πC ．1258πD ．1254π二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．圆()2215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为__________． 14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________15．已知圆C 经过坐标原点和点()40，，若直线1y =与圆C 相切，则圆C 的方程是__________．16．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a ，则双曲线的离心率为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知ABC △中，()2,1A -，()4,3B ，()3,2C -．（1）求BC 边上的高所在直线方程的一般式；（2）求ABC △的面积．18．（12分）已知圆22430x y y +-+=的圆心为点M ，直线l 经过点(10)-，．（1）若直线l 与圆M 相切，求l 的方程;（2）若直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，且M AB △为等腰直角三角形，求直线l 的斜率．19．（12分）已知直线1:10l x y -+=与2:10l x y +-=相交于点P，直线3:10l ax y a +-+=．（1）若点P 在直线3l 上，求a 的值；（2）若直线3l 交直线1l ，2l 分别为点A 和点B ，且点B 的坐标为()32-，，求PAB△的外接圆的标准方程．20．（12分）已知直线l ：()y x m m R =+∈与直线l '关于x 轴对称．（1）若直线l 与圆()2228x y -+=相切于点P ，求m 的值和P 点的坐标；（2）直线l '过抛物线2:4C x y =的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．21．（12分）已知动点P 与()20A -，，()20B ，两点连线的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C ，过点()10E ，的直线交曲线C 于M ，N 两点．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 22．（12分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为（1）求E 的方程；（2）过的左焦点1F 作直线1l 与E 交于A ，B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于C ，D 两点，且12l l ∥，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积83S =，求1l 与l的方程．2一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十九单元平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】：B【解析】：由直线70ax y ++＝与70ax y ++＝平行，可得1743a a=≠-，解得2a =±，故选B ． 2．【答案】：C 【解析】：双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＞的一条渐近线的方程是y =，可得b ，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，可得4c =，即2216a b =+，2a =，b =所求的双曲线方程为：221412x y -=．故选C ．3．【答案】：A【解析】：由椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞，经过点)A，()03B ，，可得3a =，b =2c =，其离心率23e =，故选A ．4．【答案】：D【解析】：圆224640x y x y ++-+=，即()()22239x y ++-=．圆心为()2,3-，半径为3设圆C 的半径为r 53r =+．所以2r =．的方程为()2224x y -+=，展开得：2240x y x +-=．故选D ． 5．【答案】：B【解析】：圆的方程2220x y y +-=可化为()2211x y -+=，可得圆的圆心坐标为()1,0，半径为1，因为直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，所以，圆心()1,0在直线0x y a ++=上，可得10a +=，1a =-，即a 的值为1-，故选B ． 6．【答案】：D【解析】：圆的方程整理为标准方程即：()2224x y ++=，作OD AB ⊥于点D ，由圆的性质可知ABO △为等腰三角形，其中OA OB =，则1sin30212OD OA =⨯︒=⨯=，即圆心()2,0-到直线430x y a -+=的距离为1d =，1=，即85a -=，解得：3a =或13a =．本题选择D 选项．7．【答案】：B【解析】：由题意得，椭圆C 的一个焦点为()1,0-，长轴的一个端点为20（，），所以2a =，b =02)k -（，是椭圆C 的一个顶点，得2k -=2k -=，所以k =．本题选择B 选项．8．【答案】：A【解析】：连接1AF ，可得1230AF F ∠=︒，1290F AF ∠=︒，由焦距的意义可知212F F c =，1AF =，由勾股定理可知2AF c =，由双曲线的定义可知122AF AF a-=，即，变形可得双曲线的离心率A ．9．【答案】：B【解析】：由于双曲线焦点到渐近线的距离为b ，故OF b =，OM a =，FM b =，2ab =，222c a b =+，解得1a =，2b =，c =故实轴长22a =，选B ． 10．【答案】：D 【解析】：的右焦点为()2,0，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为，解得4p =，则抛物线方程为28y x =，准线方程为2x =-，由点N 向抛物线的准线作垂线，垂足为R，则由抛物线的定义，可得从而可以得到60NMR ∠=︒，从而得到30NMF ∠=︒，所以有点F 到直线MN 的距离为4sin302d =︒=，故选D ． 11．【答案】：C 【解析】：若直线y kx =+222x y +=相交，则<，解得k >或2k <，又2k ≤≤，∴所求概率22p +===，故选C ．12．【答案】：B【解析】：将点()44P ，坐标代入抛物线C 方程22y px =，得2424p =⋅，解得2p =， ∴点()10F ，，据题设分析知，4sin 5MPF ∠=，MF == 又2(sin MF R R MPF=∠为MPF △外接球半径），∴25R =，∴R =，∴MPF △外接圆面积2212516S R π=π=π⋅=⎝⎭，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】：()2215x y ++=【解析】：圆()2215x y ++=的圆心坐标为()10-，，它关于直线y x =的对称点坐标为()01-，，即所求圆的圆心坐标为()01-，，所以所求圆的标准方程为()2215x y ++=． 14．【答案】：13【解析】：由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA AF d PA d =++=++=++≥，填13． 15．【答案】：()22325224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】：设圆的圆心坐标a b （，），半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点40（，），且与直线1y =相切，所以()22222241a b r a b r b r +=-+=⎧⎪-⎨=⎪⎪⎪⎩，解得2a =，32b =-，52r =，所求圆的方程为：()22325224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．故答案为：()22325224x y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭． 16．【答案】【解析】：令双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的焦点为()0c ，，渐近线为by x a =±，即0bx ay ±=，b =，故由题意可得2a b =，所以双曲线的离心率满足22222254c a b e a a+===，即e =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】：（1）530x y ++=；（2）3．【解析】：（1）因为5BC k =，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率所以AD 所在直线方程为．即530x y ++=．（2）BC 的直线方程为：点A 到直线BC 的距离为∴ABC △的面积为3．18．【答案】：（1）3430x y -+=或1x =-；（2）17k k ==或．【解析】：（1）()222243021x y y x y +-+=⇔+-=，所以点M 的坐标为(0)2，，设直线()31=14y k x kx y d k =+⇔-⇒==⇒=，当直线斜率不存在时，1x =-满足题意，所以l 的方程为3430x y -+=或1x =-．（2）由题意有：MA MB =，MA MB ⊥，作MD AB ⊥，则MD ==，()()287017017d k k k k k k =-+=⇒--=⇒==或． 19．【答案】：（1）2；（2）()2211)5(x y -++=．【解析】：（1）()100110x y P x y ⎧-+=⇒⎩+-=⎨，，又P 在直线3l 上，110a -+=，2a =，（2）32B -（，）在3l 上，3210a a --+=，12a =，联立3l ，1l 得：()1010210x y A x y ⎧-+=⇒⎩=⎨-++，，设PAB △的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，把1(0)P ，，0(1)A ，，2(3)B ，代入得：101013320E F D F D E F ++=-+=+-+=⎧⎪⎨⎪⎩解得223D E F =-==-⎧⎪⎨⎪⎩， ∴PAB △的外接圆方程为222023x y x y +--+=，即()2211)5(x y -++=．20．【答案】：（1）当2m =时()02P ，，当6m =-时()42p -，；（2）8．【解析】：（1）由点到直线的距离公式：d ==2m =或6m =-，当2m =时()02P ，，当6m =-时()42p -，．（2）∵直线的方程为y x m =+，∴l '的方程为y x m =--，焦点(0)1，，1m =- 将直线1y x =-+代入抛物线24x y =，得整理2440x x +-= 124x x +=-，()1212426y y x x +=-++=，1228AB y y =++=21．【答案】：（1）()22124x y x +=≠±；（2）是，13．【解析】：（1）设点()()2P x y x ≠±，，由题知，1224y y x x ⋅=-+-，整理，得曲线C ：()22124x y x +=≠±，即为所求．（2）由题意，知直线MN 的斜率不为0，故可设MN ：1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，，设直线MB 的斜率为3k ，由题知，()20A -，，()20B ，，由22114x my x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去x ，得()224230m y my ++-=，所以1221222434m y y m y y m +⎧=-+⋅=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以()()()121223212121232241y y y y k k x x m y y m y y ⋅===----++．又因为点M 在椭圆上，所以211321144y k k x ⋅==--，所以1213k k =，为定值． 22．【答案】：（1）2212x y +=；（2）1:10l x y -+=，2:10l x y --=或1:10l x y ++=，2:10l x y +-=．【解析】：（1）由已知得c a =ab =a ，1b =， ∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设2:1l x my =+，代入2212x y +=得()222210m y my ++-=，设()11C x y ，，()22D x y ，，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+．)2212m CD m +==+．设1l 的方程为1x my =-，则AB 与CD 之间的距离为d 由对称性可知，四边形为平行四边形，∴)2212m S CD d m +===+． 1t =≥，则2221m t +=+，∴831S t ==+，即2220t -+=，解得t(舍），∴1m =±．故所求方程为1:10l x y -+=，2:10l x y --=或1:10l x y ++=，2:10l x y +-=．。

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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线70ax y ++＝与430x ay +-＝平行，则a 为（） A ．2B ．2或2-C ．2-D ．12-2．已知双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＞的一条渐近线的方程是3y x =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程的（）A ．221824x y -=B ．221248x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=3．已知椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞经过点)5A，，()03B ，，则椭圆E 的离心率为（） A ．23B 5C ．49D ．594．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为（）A ．22420x y x +++=B ．22420x y x +-+=C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=5．若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++=相交于A 、B 两点，且120AOB ∠=︒，则实数a 的值为（） A ．3B ．10C ．11或21D ．3或137．若二次函数()()()12f x k x x =+-的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点或焦点，则k =（）A 3B ．3C 3D ．38．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于A ，B 两点，且1F AB △为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．31+B ．3C ．21+D ．29．双曲线2222:1(00x y E a b a b-=>>，）的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（）A ．1B ．2C ．2D ．2210．已知双曲线2213x y -=的右焦点恰好是抛物线()220y px p =>的焦点F ，且M 为抛物线的准线与x 轴的交点，N 为抛物线上的一点，且满足32NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为（）A ．12B ．1C ．3D ．211．若在区间2⎡⎤-⎣⎦，上随机取一个数k ，则“直线3y kx =+222x y +=相交”的概率为（） A ．3224-B ．322-C ．22D ．22312．已知点()44P ，是抛物线2:2C y px =上的一点，F 是其焦点，定点()14M -，，则MPF △的外接圆的面积为（） A ．12532π B ．12516πC ．1258πD ．1254π二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．圆()2215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为__________．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________15．已知圆C 经过坐标原点和点()40，，若直线1y =与圆C 相切，则圆C 的方程是__________． 16．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a ，则双曲线的离心率为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC △中，()2,1A -，()4,3B ，()3,2C -．（1）求BC 边上的高所在直线方程的一般式；（2）求ABC △的面积．18．（12分）已知圆22430x y y +-+=的圆心为点M ，直线l 经过点(10)-，．（1）若直线l 与圆M 相切，求l 的方程;（2）若直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，且M AB △为等腰直角三角形，求直线l 的斜率．19．（12分）已知直线1:10l x y -+=与2:10l x y +-=相交于点P ，直线3:10l ax y a +-+=．（1）若点P 在直线3l 上，求a 的值；（2）若直线3l 交直线1l ，2l 分别为点A 和点B ，且点B 的坐标为()32-，，求PAB △的外接圆的标准方程．20．（12分）已知直线l ：()y x m m R =+∈与直线l '关于x 轴对称．（1）若直线l 与圆()2228x y -+=相切于点P ，求m 的值和P 点的坐标；（2）直线l '过抛物线2:4C x y =的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．21．（12分）已知动点P 与()20A -，，()20B ，两点连线的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C ，过点()10E ，的直线交曲线C 于M ，N 两点．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．22．（12分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>2，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为22．（1）求E 的方程；（2）过的左焦点1F 作直线1l 与E 交于A ，B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于C ，D 两点，且12l l ∥，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积83S，求1l 与2l 的方程．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十九单元平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】由直线70ax y ++＝与70ax y ++＝平行，可得1743a a =≠-，解得2a =±，故选B ． 2．【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线的方程是3y x =，可得3b a =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，可得4c =，即2216a b =+，2a =，3b = 所求的双曲线方程为：221412x y -=．故选C ．3．【答案】A【解析】由椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞，经过点)5A，，()03B ，，可得3a =，5b =952c =-=，其离心率23e =，故选A ． 4．【答案】D【解析】圆224640x y x y ++-+=，即()()22239x y ++-=．圆心为()2,3-，半径为3设圆C 的半径为r ()()22220353r ++-==+．所以2r =．的方程为()2224x y -+=，展开得：2240x y x +-=．故选D ． 5．【答案】B【解析】圆的方程2220x y y +-=可化为()2211x y -+=，可得圆的圆心坐标为()1,0，半径为1，因为直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，所以，圆心()1,0在直线0x y a ++=上，可得10a +=，1a =-，即a 的值为1-，故选B ． 6．【答案】D【解析】圆的方程整理为标准方程即：()2224x y ++=，作OD AB ⊥于点D ，由圆的性质可知ABO △为等腰三角形，其中OA OB =，则1sin30212OD OA =⨯︒=⨯=，即圆心()2,0-到直线430x y a -+=的距离为1d =， ()2280143a -++=+-，即85a -=，解得：3a =或13a =．本题选择D 选项．7．【答案】B【解析】由题意得，椭圆C 的一个焦点为()1,0-，长轴的一个端点为20（，），所以2a =，22213b =-02)k -（，是椭圆C 的一个顶点，得23k -=23k -=-，所以3k =．本题选择B 选项． 8．【答案】A【解析】连接1AF ，可得1230AF F ∠=︒，1290F AF ∠=︒，由焦距的意义可知212F F c =，13AF c =，由勾股定理可知2AF c =，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，即32c c a -=，变形可得双曲线的离心率23131c a ==+-，故选A ． 9．【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b ，故OF b =，OM a =，FM b =，根据面积公式有112ab =，2ab =，而5ca=，222c a b =+，解得1a =，2b =，5c =，故实轴长22a =，选B ． 10．【答案】D【解析】双曲线2213x y -=的右焦点为()2,0，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22p =，解得4p =，则抛物线方程为28y x =，准线方程为2x =-，由点N 向抛物线的准线作垂线，垂足为R ，则由抛物线的定义，可得32NR NF MN == 从而可以得到60NMR ∠=︒，从而得到30NMF ∠=︒，所以有点F 到直线MN 的距离为4sin302d =︒=，故选D ． 11．【答案】C【解析】若直线3y kx =222x y +=2321k <+22k >或22k <，又22k -≤，∴所求概率()222222222222p -+-===-+--，故选C ．12．【答案】B【解析】将点()44P ，坐标代入抛物线C 方程22y px =，得2424p =⋅，解得2p =， ∴点()10F ，，据题设分析知，4sin 5MPF ∠=，224225MF + 又2(sin MF R R MPF=∠为MPF △外接球半径），∴2525R =，∴55R =， ∴MPF △外接圆面积225512516S R π=π=π⋅=⎝⎭，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】()2215x y ++=【解析】圆()2215x y ++=的圆心坐标为()10-，，它关于直线y x =的对称点坐标为()01-，，即所求圆的圆心坐标为()01-，，所以所求圆的标准方程为()2215x y ++=． 14．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA AF d PA d =++=++=++≥，填13．15．【答案】()22325224x y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭【解析】设圆的圆心坐标a b （，），半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点40（，），且与直线1y =相切，所以()22222241a b r a b r b r +=-+=⎧⎪-⎨=⎪⎪⎪⎩，解得2a =，32b =-，52r =，所求圆的方程为：()22325224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．故答案为：()22325224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 16．5【解析】令双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的焦点为()0c ，，渐近线为b y x a =±，即0bx ay ±=， 220bc a b b a ±⋅=+，故由题意可得2a b =，所以双曲线的离心率满足22222254c a b e a a +===，即5e 5．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）530x y ++=；（2）3．【解析】（1）因为5BC k =，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率15k =-．所以AD 所在直线方程为()1125y x +=--．即530x y ++=．（2）BC 的直线方程为：()()322343y x --+=--．点A 到直线BC 的距离为()()222511762651⨯---=+-．()()22||=342326BC -+--=，∴ABC △的面积为3．18．【答案】（1）3430x y -+=或1x =-；（2）17k k ==或．【解析】（1）()222243021x y y x y +-+=⇔+-=，所以点M 的坐标为(0)2，，设直线()2231=141k y k x kx y d k k -=+⇔-⇒==⇒=+，当直线斜率不存在时，1x =-满足题意，所以l 的方程为3430x y -+=或1x =-．（2）由题意有：MA MB =，MA MB ⊥，作MD AB ⊥，则2222MD ==， ()()22228701701721k d k k k k k k k -=⇒-+=⇒--=⇒==+或． 19．【答案】（1）2；（2）()2211)5(x y -++=．【解析】（1）()100110x y P x y ⎧-+=⇒⎩+-=⎨，，又P 在直线3l 上，110a -+=，2a =，（2）32B -（，）在3l 上，3210a a --+=，12a =，联立3l ，1l 得：()1010210x y A x y ⎧-+=⇒⎩=⎨-++，，设PAB △的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，把1(0)P ，，0(1)A ，，2(3)B ，代入得：101013320E F D F D E F ++=-+=+-+=⎧⎪⎨⎪⎩解得223D E F =-==-⎧⎪⎨⎪⎩， ∴PAB △的外接圆方程为222023x y x y +--+=，即()2211)5(x y -++=．20．【答案】（1）当2m =时()02P ，，当6m =-时()42p -，；（2）8．【解析】（1）由点到直线的距离公式：2222md +==2m =或6m =-，当2m =时()02P ，，当6m =-时()42p -，．（2）∵直线的方程为y x m =+，∴l '的方程为y x m =--，焦点(0)1，，1m =- 将直线1y x =-+代入抛物线24x y =，得整理2440x x +-= 124x x +=-，()1212426y y x x +=-++=，1228AB y y =++=21．【答案】（1）()22124x y x +=≠±；（2）是，13．【解析】（1）设点()()2P x y x ≠±，，由题知，1224y y x x ⋅=-+-，整理，得曲线C ：()22124x y x +=≠±，即为所求．（2）由题意，知直线MN 的斜率不为0，故可设MN ：1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，，设直线MB 的斜率为3k ，由题知，()20A -，，()20B ，，由22114x my x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去x ，得()224230m y my ++-=，所以1221222434m y y m y y m +⎧=-+⋅=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以()()()121223212121232241y y y y k k x x m y y m y y ⋅===----++．又因为点M 在椭圆上，所以211321144y k k x ⋅==--，所以1213k k =，为定值． 22．【答案】（1）2212x y +=；（2）1:10l x y -+=，2:10l x y --=或1:10l x y ++=，2:10l x y +-=．【解析】（1）由已知得2c a =2ab =2a ，1b =， ∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设2:1l x my =+，代入2212x y +=得()222210m y my ++-=，设()11C x y ，，()22D x y ，，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+． ())2221212221142m CD m y y y y m +=++-=+．设1l 的方程为1x my =-，则AB 与CD 之间的距离为21d m =+由对称性可知，四边形为平行四边形， ∴)222222142121m m S CD d m m ++===++．211m t+=≥，则2221m t+=+，∴42831tSt==+，即223220t t-+=，解得2t=2(舍），∴1m=±．故所求方程为1:10l x y-+=，2:10l x y--=或1:10l x y++=，2:10l x y+-=．。

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