2014届江苏高考数学最后一卷

2014届江苏高考数学最后一卷
一．填空题 1．已知i i z 2)
1(2
=+，则z = 。

2．若“12
>x ”是“a x <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 。

3．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边上有一点)4,3(-A ，则
)2
sin(π
θ+
= 。

4．已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率是 。

5．已知一个正四面体的边长为2，则它的体积为 。

6. 已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1
sin sin 3
x y =
，则x y -=_______. 7. 圆05622
2=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形，则b a -的取值范
围是___________.
8. 在平面直角坐标系xoy
中，直线2m y =+与圆222x y n +=相切，其中m ，
∈n N *，01m n <-≤，若函数1()x f x m n +=-的零点0(,1)x k k ∈+，∈k Z ，则
k = .
9. 若直线1+=kx y 与圆042
2
=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于直线
x y =对称，动点),(b a P 在不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤-≥+-000
2y my kx y kx 表示的平面区域内部及边界上
运动，则
1
2
--a b 的取值范围是 . 10. 在ABC ∆中,设()()4,2,3,2=-=AC k BC
∈≤k ,4Z ，则A
B C ∆为直角三角
形的概率为__________.
11. 已知函数()x
x x f +-=
112，若方程()a x f =-1有且仅有三个不同的实根，则实
数a 的取值的集合为 .
12. 已知∈b a ,R ，且2
2
3a ab b ++=，设2
2
a a
b b -+的最大值和最小值分别为
,M m ，则M m +=________.
13. 已知函数234
2015
()12342015
x x x x f x x =+-+-+
+，设()(4)F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[],a b （a b <，a ，∈b Z ）内，圆22x y b a +=-的面积的最
小值是_______.
14. 各项均为正偶数的数列1a ，2a ，3a ，4a 中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为__________. 二．解答题
15. 已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，(0,)4
πα∈.
(1)若17
8
a b ⋅=，求sin cos αα-的值；
(2)若a ∥b ，又β为锐角，且1
tan 3
β=求αβ+的值.
16. 在四棱锥ABCD P -中，︒
=∠=∠90ACD ABC ,︒
=∠=∠60CAD BAC ,⊥PA 平
面ABCD ,E 为PD 的中点，AB PA 2=. (1)若F 为PC 的中点，求证⊥PC 平面AEF ； (2)求证//CE 平面PAB .
M
F E
D
C
B
A
P
17. 如图所示,l 1,l 2是两条互相垂直的海岸线，C 为一海岛，
ABCD 是一矩形渔场，为了扩大渔业规模，将该渔场改建成一个更大的矩形渔场AMPN ，要求点D ,N 在海岸线l 1上，点B ，M 在海岸线l 2上，且两点M ，N 连线经过海岛C ，已知AB =3km ,AD =2km .
(1)要使矩形AMPN 的面积大于32km 2，则AN 的长应在什么范围内?
(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积.
(3)若AN 的长度不少于6km ，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.
18. 已知椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 上的一动点到右焦点的最短距离为
22-，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设()0,4P ，B A ,是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E , 证明直线AE 与x 轴相交于定点Q .
(3)在(2)的条件下, 过点Q 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，直线MN 中点的横坐标为0
x ，求
x 的范围.
19. 设.2)(,ln )(),(2)(--==--
=e
p qe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）。

（1）求p 与q 的关系；
（2）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （3）若∈a R ，试讨论方程()f x x a =+的解的个数
20. 已知数列}{n a 是以d 为公差的等差数列，数列}{n b 是以q 为公比的等比数列．
(1)若数列}{n b 的前n 项和为n S ,且112a b d ===,31003252010S a b <+-,且q 为
整数，求q 的值；
(2)在(1)的条件下，试问数列}{n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为
该数列中连续∈p p (N ，)2≥p 项的和？请说明理由；
(3)若123,,r s r t b a b a a b a ==≠=(其中t s r >>,且(s r -)是(t r -)的约数)，求证：数列
}
{n b 中每一项都是数列
}
{n a 中的项.
附加题
21. B . 选修4—2：矩阵与变换
设214,,5311x A X B y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，且AX B =. ⑴求1A -； ⑵求X .
C ．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 经过点4
P π，）
，圆心为直线sin()3
π
ρθ-求圆
C 的极坐标方程．
22. 全美职业篮球联赛(NBA)某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比
赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束. 因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等. 据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：
(1)组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？ (2)某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上(含2分)，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率； (3)求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望.
23. 设A 是集合{}n P ,,3,2,1⋅⋅⋅=的一个k 元子集
（即由k 个元素组成的集合），且A 的任何两个子集的元素之和不相等；而对于集合P 的包含集合A 的任意1+k 元子集B ，则存在B 的两个子集，使这两个子集的元素之和相等. (1)当6=n 时，试写出一个三元子集A .
(2)当16=n 时，求证：5≤k ，并求集合A 的元素之和S 的最大值.。