初中数学竞赛：奇数 偶数
初一数学竞赛讲座
初一数学竞赛讲座第3讲奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。
被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。
前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。
关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。
灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。
用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 右表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。
因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。
最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。
说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。
所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
初中数学拔尖材料07奇数与偶数性质及其应用
初中数学拔尖材料07 奇数与偶数性质及其应用在整数中，能被2整除的数叫做偶数，如：0，2±，4±，…；不能被2整除的数叫做奇数，如：1±，3±，5±，…．通常偶数用2k 表示，奇数用21k +或21k -表示，这里k 是整数．在整数分析中，奇偶分析也是一把十分锋利的剑．．．．，用好此剑，尽显智慧． 一、奇数和偶数的性质1．奇偶性：一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数．一个数是偶数还是奇数，是这个数自身的属性，此称为奇偶性．2．运算性质：（这些必须熟悉，并能运用自如）①奇数+奇数＝偶数；偶数+偶数＝偶数；奇数+偶数＝奇数．②+++=奇数个奇数奇数奇数奇数；+++=偶数个奇数奇数奇数偶数．③奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数． ④奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数．⑤若a b 、是整数，则a b +与a b -有相同的奇偶性．（* 特别有用）⑥两个连续的整数中，必有一个是奇数另一个是偶数；三个连续的整数中，至少有一个奇数和一个偶数．3．奇偶分析：上述性质看似浅显，若能巧妙运用，可解决一些看上去很难下手的问题．这种利用奇、偶数的性质解题的方法叫做奇偶分析．二、典型例题例1．能不能将1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由．（例如75可写成10各连续自然数之和为：75=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）加强练习：小明买了一本共96页的练习本，并依次将它的各面编号（即由第一面一直编到第192面）．小亮从该练习本中撕下某25页纸，并将写在它们上面的50个编号相加．试问：小亮所加的和数能否为2014？例2．如果先任意写三个自然数，然后擦去任意一个，换上未擦去的两个数的和减1，这样连续多次后，变成了199，2003，2014这三个数．那么，原来最先写的三个自然数都能是偶数吗？都能是奇数吗？加强练习2013个球无论多少人采用什么样的分法，最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数，为什么？例3．元旦前同学们相互写信祝贺新年，如果每人只要接到对方来信就一定回信，那么写了奇数封信的学生人数是奇数个还是偶数个?加强练习如果两人每通一次电话，每人都记通话一次．问：通话次数是奇数的那些人的总数是奇数还是偶数？并说明理由．例4．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次同时拨动4个房间开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？加强练习有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转”，使其杯口向下，能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？例5．80个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，最右边的一个数是奇数还是偶数？加强练习一次数学考试，某班学生共得48247分．试说明，这次考试得奇数分的总人数不能是偶数，为什么？例6．试题50道，规定答对一题得3分，不答得1分，答错扣1分，阅卷的结果，所有的学生的得分数都是偶数，这是偶然的吗？为什么？加强练习某校数学竞赛，共有20道填空题，评分标准是每做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分，某题没做，该题得0分，结果小英得了69分，那么小英有多少道题没做？例7．某班49个同学，坐成7行7列（在数学里，习惯于把横排叫“行”竖排叫“列”）。
数学奇数和偶数
数学奇数和偶数在数学中，奇数和偶数是基本的数学概念。
奇数指的是不能被2整除的整数，而偶数指的是可以被2整除的整数。
在本文中，我们将探讨奇数和偶数的特性以及它们在数学中的应用。
一、奇数和偶数的定义奇数是指除以2的余数为1的整数，偶数是指除以2的余数为0的整数。
奇数和偶数是自然数的两个重要的分类。
二、奇数和偶数的性质1. 奇数加奇数：两个奇数相加，结果为偶数。
例如，3 + 5 = 8。
2. 偶数加偶数：两个偶数相加，结果为偶数。
例如，2 + 4 = 6。
3. 奇数加偶数：一个奇数与一个偶数相加，结果为奇数。
例如，3 +4 = 7。
4. 奇数乘奇数：两个奇数相乘，结果为奇数。
例如，3 × 5 = 15。
5. 偶数乘偶数：两个偶数相乘，结果为偶数。
例如，2 × 4 = 8。
6. 奇数乘偶数：一个奇数与一个偶数相乘，结果为偶数。
例如，3 ×4 = 12。
7. 奇数的平方：奇数的平方仍为奇数。
例如，3² = 9。
8. 偶数的平方：偶数的平方仍为偶数。
例如，2² = 4。
三、奇数和偶数的应用奇数和偶数在数学中具有广泛的应用，以下是其中几个例子：1. 质数分类：质数是只能被1和自身整除的正整数。
奇数可以是质数，如3、5、7，而偶数只有2是质数。
2. 奇偶校验：在计算机科学中，奇偶校验是一种错误检测方法。
通过判断二进制数中1的个数是奇数还是偶数，可以检测出数据传输中的错误。
3. 数字游戏：奇偶数在数字游戏中常被应用。
例如，石头剪刀布游戏中，奇数可以代表石头，偶数可以代表布。
4. 排列组合：奇数和偶数的排列组合具有特定的性质。
根据排列组合的原理，奇数个奇数的排列组合结果为奇数个；偶数个奇数的排列组合结果为偶数个。
五、结论奇数和偶数在数学中具有重要的地位，它们有着各自独特的特性和应用场景。
深入理解奇数和偶数的性质，可以帮助我们更好地应用数学知识。
无论是在计算机科学还是日常生活中，奇数和偶数都扮演着重要的角色。
数论--奇数偶数 奇偶分析-第5讲奇数和偶数竞赛班教师
第五讲奇数和偶数一、基础知识整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1. （★★）一个奇数的完全平方数先减去1再除以4，得到的是一个奇数还是一个偶数，请说明理由.【解】设这个奇数是2n+1,那么它的平方减1再除以4以后得n(n+1),连续2个整数必然是1个奇数1个偶数，那么乘积一定是偶数.例2（★★第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.【解】因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例3 (★★第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数【解】由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例4.(★★)在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.【解】因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.例5. (★★)黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（【解】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数*偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数*奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。
初中数学竞赛大纲
初中数学竞赛大纲(修订讨论稿)
1．数
整数及进位制表示法，整除性及其判定；
素数和合数，最大公约数与最小公倍数；
奇数和偶数，奇偶性分析；
带余除法和利用余数分类；
完全平方数；
因数分解的表示法，约数个数的计算；
有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
2．代数式
综合除法、余式定理；
因式分解；
拆项、添项、配方、待定系数法；
对称式和轮换对称式；
整式、分式、根式的恒等变形；
恒等式的证明。
·
3．方程和不等式
含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；
含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；
含绝对值的一元一次不等式；
简单的多元方程组；
简单的不定方程(组)。
4．函数c x b ax y c bx ax y b ax y 22++=++=+=,,的图象和性质；
二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；
含字母系数的二次函数。
5．几何
三角形中的边角之间的不等关系；
面积及等积变换；
三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；
相似形的概念和性质；
圆，四点共圆，圆幂定理；
四种命题及其关系。
6．逻辑推理问题
抽屉原理及其简单应用；
简单的组合问题；
简单的逻辑推理问题，反证法；
极端原理的简单应用；
枚举法及其简单应用。
初中数学重点梳理：奇数和偶数
奇数和偶数知识定位奇数和偶数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答整除问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，奇数和偶数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关奇数偶数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的奇数和偶数除问题。
知识梳理1、奇数偶数的性质整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数。
关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.m 的奇偶性相同（6）设m、n是整数，则m土n，n（7）设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法例题精讲【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】三个质数之和为86，那么这三个质数是【答案】（2，5，79）、（2，11，73）、（2，13，71）、（2，17，67）、（2，23，61）、（2，31，53）、（2，37，47）、（2，41，43）【解析】解：若三个质数都是奇数，则它们的和是奇数，则不等于86，所以三个数中必有一个偶数，偶数中只有2是质数，所以86-2=84，84=5+79=11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=37+47=41+43，所以这三个质数是：（2，5，79）、（2，11，73）、（2，13，71）、（2，17，67）、（2，23，61）、（2，31，53）、（2，37，47）、（2，41，43）【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2001年TI杯全国初中数学竞赛题【题目】如果a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、【答案】至少会有一个整数【解析】解：至少会有一个整数．根据整数的奇偶性：两个整数相加除以2可以判定三种情况：奇数+偶数=奇数，如果除以2，不等于整数．奇数+奇数=偶数，如果除以2，等于整数．偶数+偶数=偶数，如果除以2，等于整数．故讨论a，b，c 的四种情况：全是奇数：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 全是整数全是偶数：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 全是整数一奇两偶：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 一个整数一偶两奇：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 一个整数∴综上所述，所以至少会有一个整数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?【答案】这不可能【解析】解：这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和7，是奇数，因此，不可能【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?【答案】奇数【解析】解：两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可．因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=21(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数； 因此，所求代数和为奇数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?试证明你的结论【答案】正确的【解析】 解：这句话是正确的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由【答案】正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上【解析】 解：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动全部1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的【答案】这6个数中至少有两个是相同的【解析】 解：设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数对应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值． 于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同． 所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能确定【答案】A【解析】 解：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】游戏机的“方块”中共有下面7种图形．每种“方块”都由4个l×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？【答案】要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种【解析】解：用其中的六种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，如图①仅出示一种．下面证明不能7种图形方块各有一次，将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色．则如图②所示，黑白格各14个，若7×4的长方形能用7个不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次，其中“品字形”如图③必占3个黑格，1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格，7个不同的方块占据的黑格总数，白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾，因此不存在7种图形方块每个各用一次，拼成7×4的长方形的方法．所以，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】已知x1、x2、x3、…、x n都是+1或﹣1，并且，求证：n是4的倍数【答案】如下解析【解析】证明：，，…不是1就是﹣1，设这n个数中有a个1，b个﹣1，则a+b=n，a×1+b×（﹣1）=a﹣b=0，所以得：n=2b，又（•…）=1，即1a•（﹣1）b=1，由此得b为偶数，又b=2m，∴n=2b=4m，故n是4的倍数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】（1）设1，2，3，…，9的任一排列为a l，a2，a3…，a9．求证：（a l l一1）（a2﹣2）（a9﹣9）是一个偶数．（2）在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003【答案】如下解析【解析】解：（1）用反证法．假设（a1﹣1）（a2﹣2）…（a9﹣9）为奇数，则a1﹣1，a2﹣2，…，a9﹣9都为奇数，则a1，a3，a5，a7，a9为偶数，a2，a4，a6，a8为奇数，而1﹣9是5个奇数、4个偶数，奇偶数矛盾，因此假设不成立．（2）∵11，22，33，44，54，…20022002，20032003，与1，2，3，4，5，…2002，2003的奇偶性相同，∴在11，22，33，44，54，…20022002，20032003的任意数前加“+”或“﹣”的奇偶性与在1，2，3，4，5，…2002，2003的任意数前加“+”或“﹣”的奇偶性相同，∵两个整数的和与差的奇偶性相同，且1+2+3+4+5+…+2003=2003×（2003+1）÷2=2003×1002是偶数，∴这个代数式的和应为偶数，即这个代数式的和必定不等于2003．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？【答案】经过9次操作变为1的数有55个【解析】解：通过1次操作变为1的数为2，再经过一次操作变为2的数为4、1，即通过两次操作变为1的数为4、1，再经过1次操作变为4的数有两个为3、8、2，即通过3次操作变为1的数有两个为3，8，…，经过1、2、3、4、5…次操作变为1的数依次为1、2、3、5、8…，这即为斐波拉契数列，后面的数依次为：13+8=21，21+13=34，34+21=55．即经过9次操作变为1的数有55个【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】（1）是否有满足方程x2﹣y2=1998的整数解x和y？如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．（2）一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0？【答案】如下解析【解析】解：（1）x2﹣y2=1998，1998=2×3×3×3×37若x，y同为偶数，则（x+y），（x﹣y）同为偶数，→（x+y）（x﹣y）=4×…不合若x，y同为奇数，则（x+y），（x﹣y）同为偶数，→（x+y）（x﹣y）=4×…不合若x，y一奇一偶，则（x+y），（x﹣y）同为奇数，→（x+y）（x﹣y）=不含因数2∴方程x2﹣y2=1998没有整数解．9992﹣9982=（999+998）（999﹣998）=1997×1=199710002﹣9992=（1000+999）（1000﹣999）=1999×1=19991997lt；1998lt；1999，∴方程x2﹣y2=1998没有整数解（2）所标的14个数的和能否为0．则有7个+1，7个﹣1．但可以知道，1个面有5个数，无论怎么放，都只有2或4个﹣1．所以不可能出现7个﹣1．故：所标的14个数的和不能为0．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是数【答案】奇数【解析】解：12，22，32，…，20022002，与1，2，3，••，2002的奇偶性相同，因此在12，22，32，…，20022002，前面放上“+”号，这些数的和的奇偶性与1+2+3+…+2002的奇偶性相同．而1+2+3+…+2002=×2002×（2002+1）=1001×2003是奇数，因而12+22+32+…+20022002是奇数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有名选手参加【答案】45【解析】解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n﹣1）个选手比赛一局，共计n （n﹣1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为局．由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为=n（n﹣1）分．显然（n﹣1）与n为相邻的自然数，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，∴总分只能是1980，∴由n（n﹣1）=1980，得n2﹣n﹣1980=0，解得n1=45，n2=﹣44（舍去）．∴参加比赛的选手共有45人．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则（a1﹣a2）（a3﹣a4）…（a23﹣a24）为（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数【答案】B【解析】解：在这24个数字中，有13个奇数，11个偶数，随意地逐个抽取1个数字，假设恰好a1，a2，…a24一奇一偶排列，则必然有两个奇数相连，设是a23，a24，则（a1﹣a2）、（a3﹣a4）、（a5﹣a6）…为奇数，而（a23﹣a24）为偶数，由此可得（a1﹣a2）（a3﹣a4）…（a23﹣a24）为偶数，除此之外无论两个偶数或奇数相连，必然保证其中的一个因式为偶数，其积一定为偶数；【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】41。
初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数
初一奥数数学竞赛第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+...+a9)-(1+2+ (9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。
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初中数学竞赛：奇数 偶数
【内容提要】
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。
如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。
可表示为： 整数⎩
⎨⎧偶数奇数 或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，
两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
【例题】
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数，
（2k －1）2－1＝4k 2
－4k ＋1－1＝4k(k －1)
∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0
求证：n 是4的倍数
证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得
⎪⎩⎪⎨⎧=++++=②①
0321
321n n x x x x n x x x x 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数；
当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n 是4的倍数。
例3己知：a,b,c 都是奇数
求证：方程ax 2
+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x ，若它是奇数，这时方程左边的ax 2，bx ，c 都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x 是偶数，那么ax 2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax 2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)
例4求方程x 2－y 2＝60的正整数解
解：(x+y)(x －y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10
左边两个因式(x+y)，(x －y)至少有一个是偶数
因此x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组 ⎩⎨⎧=-=+230y x y x ⎩⎨⎧=-=+6
10y x y x 解得⎩⎨⎧==1416y x ⎩
⎨⎧==28y x ∴方程x 2－y 2＝60的正整数解是⎩⎨⎧==1416y x ⎩
⎨⎧==28y x
【练习】
1． 选择题
①设n 是正整数，那么n 2+n-1的值是（ ）
（A ）偶数（B ）奇数（C ）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x －324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ）
（A ）⎩⎨⎧==15y x （B ）⎩⎨⎧==86329y x （C ）⎩⎨⎧==171
653y x （D ）⎩⎨⎧==256978y x
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿
④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤
位
n 01100能被11整除，那么n 是正奇数或正偶数？答＿＿ 3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？
4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由
5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除
6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数
7． 求方程（2x －y －2）2＋（x+y+2）2=5的整数解
8． 方程19x+78y=8637的解是( )
(A)⎩⎨⎧==9178y x (B)⎩⎨⎧==9284y x (C)⎩⎨⎧==9388y x (D)⎩⎨⎧==91
81y x
9. 十进制中，六位数8719ab 能被33整除，求a,b 的值
【答案】
1.①B ，②D
2.①210，②45，945 ③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数
3.整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数
4.∵左边2，10、都是偶数，x.y 不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立
5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n
6.任意两个奇数可设为2m-1,2n-1
7.∵两个整数的平方和5为，只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5
可得四个方程组⎩⎨
⎧--=++--=--1,2,1,222,1,2,122y x y x ，解得⎩⎨⎧----=--=2,3,2,11,.1,.1,.1..y x 8. (D)
9. a=9， b=2；a=2， b=6；a=5 ，b=9。