初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD＝1，BC＝3，DC＝ 2 ，试判断△ DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△ PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ ABN≌ △ADN；②若∠ ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ ABC = 90 °，记点M运动所经过的路程为x （6≤x≤12）试问：x为何值时，△ ADN为等腰三角形.3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动” ．正方形ABCD和点P，P 点关于 A 左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2 关于C左转弯运动到P3，P3 关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，⋯⋯．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1 的位置；（2）P 两点的坐标为（0，4）、（ 1 0三点的坐P由。

（3）以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A、A4、如图 1 和 2，在 20×20 的等 QAC 的面积为 y.(1) 如图 1，当 Rt △ABC 向下平移到 Rt △A 1B 1C 1 的位置时，请你在网格中画出 Rt △A 1B 1C 1关于直线 QN 成轴对称的图形；(2) 如图 2，在 Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与 x 的函数关系式， 并说明当 x 分别取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多 少？ (3)在 Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当 x 取何值时， y 取得最大值和 最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ ABC 中， AB=AC ，∠ B 、∠C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥BC 交 AB 、 AC 于 E 、F ．(1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF 与 BE 、CF 之间有怎样的关系，并说 明理由．(2) 如图②，若 AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ?如果有， 分别指出它们．在第 (1) 问中 EF 与 BE 、CF 间的关系还存在吗 ?(3) 如图③，若△ ABC 中∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、CF6、已知，如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC,D 为 AC 上一点，且 ∠ BDC=12°4 ，延长 BA 到点 E ，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F ， 求∠ E 的度数。

距网格(每格的宽和高均是 1 个 单位长)中， Rt △ABC 从点 A 与 点 M 重合的位置开始，以每秒 1 个单位长的速度先向下平移， 当 BC 边与网的底部重合时，继续 同样的速度向右平移，当点 C 与点 P 重合时， Rt △ ABC 停止 移7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点 E 和 F 通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。

1、解：（1）证明：∵ EF=EC，∴∠ EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠ B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；1 （2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF= 1 CD，2 ∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF= 1（BC-AD）=1，∵DC= 2 ，∴由勾股定2 理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3- 2 ，PB=3+ 22、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵ AN=AN，∴△ ABN≌△ ADN．②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠ MAH∠= ABC=60°．在Rt△AMH中，MH=A?Msin60 °=4×sin60 °=2 3．∴点M到AD的距离为 2 3．∴ AH=2．∴DH=6+2=．8（2）解：∵∠ ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=4°5 ．下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=N，A 则∠ADN=∠NAD=4°5 ．此时，点M恰好与点 B 重合，得x=6；（Ⅱ）若DN=D，A 则∠DNA=∠ DAN=4°5 ．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（Ⅲ）若AN=AD=，6 则∠ 1=∠2．∵AD∥BC，∴∠1=∠4，又∠ 2=∠3，∴∠ 3=∠ 4．∴CM=C．N ∴AC=6 2．∴CM=CN=AC-AN=6 2．-6故x=12-CM=12-（ 6 2-6 ）=18-6 2 ．综上所述：当x=6 或12 或18-6 2 时，△ ADN是等腰三角形3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；ABP1可看成是由△ ADP绕点 A 顺时针旋转90°而得．理由如下：在△ ABP1和△ ADP中，由题意：AB=AD，AP=AP1，∠ PAD=∠P1AB，∴△ ABP1≌△ ADP，又∵△ ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠ PAP1=90°，∴△ ABP1可看成是由△ ADP绕点A顺时针旋转90°而得；（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3 ，3），点P1（-3 ，3）关于点B（-4 ，4）左转弯运动到点P2（-5 ，3），点P2（-5 ，3）关于点C（-4 ，0）左转弯运动到点P3（-1 ，1），点P3（-1 ，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1），点P4（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P5（-3 ，3），点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，，点P2009的坐标为（-3 ，3）点P2010的坐标为（-5 ，3）．4、解：（1）如图1，△ A2B2C2 是△A1B1C1 关于直线QN成轴对称的图形；（2）当△ ABC以每秒 1 个单位长的速度向下平移x 秒时（如图2），则有：MA=x，MB=x+4，MQ=2，0y=S 梯形QMB-C S △AMQ-S△ABC1 1 1= 4+20）（x+4）- × 20x- × 4× 42 2 2=2x+40（0≤x≤16）．由一次函数的性质可知：当x=0 时，y 取得最小值，且y 最小=40，当x=16时，y取得最大值，且y 最大=2×16+40=72；（3）解法一：当△ ABC继续以每秒 1 个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16 ）=36-x ，PC=PB-4=32-x，111∴ y=S 梯形BAQ-P S △CPQ-S △ ABC= （4+20）（36-x ）- ×20×（32-x ）- ×4×4 222 =-2x+104（16≤x≤32）．由一次函数的性质可知：当x=32时，y取得最小值，且y 最小=-2 ×32+104=40；当x=16时，y取得最大值，且y 最大=-2 ×16+104=72．解法二：在△ ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△ QAC某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．因此，根据轴对称的性质，只需考查△ ABC在自上至下平移过程中△ QAC面积的变化情况，便可以知道△ ABC在自左向右平移过程中△ QAC面积的变化情况．当x=16 时，y 取得最大值，且y 最大=72，当x=32 时，y 取得最小值，且y 最小=40．5、解：（1）图中有 5 个等腰三角形，EF=BE+C，F ∵△ BEO≌△ CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+；CF（2）还有两个等腰三角形，为△ BEO、△ CFO，如下图所示：∵ EF∥BC，∴∠ 2=∠3，又∵∠ 1=∠2，∴∠1=∠3，∴△ BEO为等腰三角形，在△ CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．（3）有等腰三角形：△ BEO、△ CFO，此时EF=BE-CF，∵如下图所示：OE∥BC，∴∠ 5=∠6，又∠ 4=∠5，∴∠ 4=∠ 6，∴，△ BEO是等腰三角形，在△ CFO中，同理可证△ CFO是等腰三角形，此时EF=BE-CF，6、解：在△ ABD和△ ACE中，∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，∴△ ABD≌△ ACE（SAS），∴∠ E=∠ ADB．∵∠ ADB=180°- ∠BDC=18°0 -124°=56°，∴∠ E=56°．7、解：OE=O．F证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=O，B ∠ OAB=∠OBE=4°5 ，AC⊥ BD．∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，∴∠ AOF=∠EOB．在△ AOF和△ BOE中∠OAB=∠OBE，OA=O，B ∠ AOF=∠ EOB，∴△ AOF≌△ BOE （ASA）．∴OE=O．F。