2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题43双曲线(押题专练)含解析
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题43双曲线(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想．1．双曲线的定义平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质高频考点一 双曲线的定义及应用【例1】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( )A.1＋2 2B.4－2 2C.5－2 2D.3＋2 2(2)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.【答案】(1)C (2)12 6|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.【变式探究】(1)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．【答案】(1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1【解析】(1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双【变式探究】(1)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．5B ．5＋4 3C ．7D ．9 【答案】(1)B (2)D【解析】(1)由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.高频考点二 双曲线的标准方程【例2】(1)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E的离心率为( )A. 2B.32C. 3D.2(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 【答案】(1)A (2)A选A.(2)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【变式探究】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 (2)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【答案】(1)A (2)y 24－x 25＝1【解析】(1)由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝2x ，所以b a＝2，即b 2＝4a 2.又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c ＝5，即a 2＋b 2＝25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2，a 2＋b 2＝25，【举一反三】 (1)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ (2)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________.【答案】(1)A (2)－2【解析】(1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2.所以双曲线的离心率的范围是⎝⎛⎦⎥⎤233，2. (2)由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0).设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.【方法规律】与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【变式探究】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0，12)；(3)经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7)．高频考点三 双曲线的几何性质例3、已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A. x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1【答案】D得b2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.【感悟提升】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2(2)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 【答案】(1)C (2)Bb >a时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.1. （2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.2. （2018年天津卷）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】A3. （2018年全国卷Ⅱ）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.4. （2018年全国III卷）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】D 【解析】，所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离5. （2018年全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】y =2x –2 【解析】由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.6. （2018年北京卷）若双曲线的离心率为，则a =_________.【答案】4【解析】在双曲线中，，且7. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 【答案】21．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32【答案】D2．[2017·天津高考]已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1【答案】D【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝bax 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a＝tan60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.3.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B. 2,2)C. 2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e << C. 4.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=3，则实数m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以131c m a +==，解得2m = . 5.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =. 1.【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________.【答案】1,2a b ==.【解析】依题意有52c b a⎧=⎪⎨-=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.2.【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】．14.【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 3.【2016高考天津文数】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】由题意得2215,2,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，选A.4.【2016高考上海文科】（本题满分14分）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率【答案】（1）2y x =．（2）15. 【解析】由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-， 故()()()2222121212261143k AB x x y y k x k +=-+-=+-==-，解得235k =，故l 的斜率为15．1.【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12±(B) 22± (C) 1± (D) 2【答案】C2.【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B 3 (C )6 (D 3【答案】D【解析】由题意，a ＝1，b 3c ＝2， 渐近线方程为y 3将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±3故|AB |＝3 D3.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ， 由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(0,66A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为1366x +=-，即326x =代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得6y =86y =-(舍)，所以P 点的纵坐标为26，∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=1166662622⨯⨯⨯⨯64.【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()222y 3x -+=223a b =+由2c ==,解得1,a b ==故选D.5.【2015高考湖南，文6】若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=． 故选D. 6.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .7.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D.8.【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =9.【2015高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x10.【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .【答案】23【解析】双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线by x a =平行，其方程为()b y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由2222a c a c +=，得2()410c ca a-+=，解之得2c a =23c a =（舍去，因为离心率1ca>），故双曲线的离心率为231.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x【答案】B【解析】因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 【答案】C【解析】因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( )A.53 B.355 C.63 D.62【答案】B4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.45 【答案】C【解析】由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.5.过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 3 【答案】D【解析】由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.6.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 【答案】A7.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 【答案】C【解析】由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52. 8.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积.解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结42 双曲线高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲 研读1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45 C.±53 D ．±35 答案 D解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35.故选D.2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A (O 为坐标原点)，且|OA |＝2|AF |，则双曲线C 的离心率e 为( )A.5 B ．52 C.2 D ．2 答案 B解析 由题意可得tan ∠AOF ＝|AF ||OA |＝|AF |2|AF |＝12，渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝12，e 2＝c 2a 2＝b 2＋a 2a 2＝a 24＋a 2a 2＝54，故e ＝52.故选B.5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4 C.6 D ．8 答案 B解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.6．(多选)已知曲线C 的方程为x 2k 2－2－y 26－k ＝1，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4＋15B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为3C ．对任意实数k ，曲线C 都不可能为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切答案 BC解析 对于A ，当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 22＝1，该曲线为椭圆，焦距2c ＝262－2＝415，A 错误；对于B ，当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 24＝1，该曲线为双曲线，则a ＝2，c ＝6，其离心率e ＝ca ＝3，B 正确；对于C ，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧6－k <0，k 2－2<0，不等式组无解，故不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 正确；对于D ，当k ＝3时，曲线C 的方程为x 27－y 23＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y ＝±217x ，则圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心到渐近线的距离d ＝|±421|21＋49＝4310＝2305≠3，所以双曲线C 的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9不相切，D 错误．故选BC.7．(多选)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论正确的是( )A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±33xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14答案 AC解析 对于双曲线C ：x 2－y 23＝1，a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，A 正确，B 错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33y ＝0和x ＋33y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－y 20343＝34，C 正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1||PF 2|2＝|PF 1|(|PF 1|＋2)2＝|PF 1||PF 1|2＋4＋4|PF 1|＝1|PF 1|＋4|PF 1|＋4≤12|PF 1|·4|PF 1|＋4＝18，当且仅当|PF 1|＝2时，等号成立，所以|PF 1||PF 2|2的最大值为18，D 错误．故选AC.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离为9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17.解法二：若P 在右支上，则|PF 1|≥a ＋c ＝4＋6＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17.9．直线y ＝k (x ＋6)(k >0)与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)及其渐近线从左至右依次交于点A ，B ，C ，D ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为4，则△F 2CD 与△F 1AB 的面积之比为________．答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y2b2＝1，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2xb 2－1－36k 2b 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝0，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2x b 2－36k2b 2＝0，由以上两式可知，x A ＋x D ＝x B ＋x C ，故AD ，BC 具有相同的中点，故|AB |＝|CD |，又直线y ＝k (x ＋6)过定点G (－6,0)，如图，过F 1，F 2作直线y ＝k (x ＋6)的垂线，垂足分别为N ，M ，由焦距为4可得F 1(－2，0)，F 2(2,0)，则|GF 2|＝2|GF 1|.所以S △F 2CD S △F 1AB＝12|CD |·|MF 2|12|AB |·|NF 1|＝|GF 2||GF 1|＝2.二、高考小题10．(2022·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D ．3x23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选A.11．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C.7 D ．13 答案 A解析 由|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(3a )2＋a 2－2×3a ×a ×cos60°，得4c 2＝7a 2，所以C 的离心率e ＝c a ＝72.故选A.12．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |.则双曲线的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ．3 答案 A解析 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－c ，令x ＝－c ，则c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b 2a ，又因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以|CD |＝2bc a ，所以2bc a ＝22b 2a ，即c ＝2b ，所以a 2＝c 2－b 2＝12c 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.故选A.13．(2022·浙江高考)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )．若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线 答案 C解析 因为函数f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以[f (s )]2＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，即t ＝0或as 2b －at 22b ＝1，易知点(s ，t )的轨迹是直线和双曲线．故选C.14．(2022·天津高考)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 答案 D解析 由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的斜率为－b ，又双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，所以－b ＝－b a ，－b ×ba ＝－1.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝1.故选D.15．(2022·全国Ⅲ卷)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2 C.4 D ．8 答案 A解析 ∵ca ＝5，∴c ＝5a ，根据双曲线的定义可得||F 1P |－|F 2P ||＝2a ，∵S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|F 2P |＝4，∴|F 1P |·|F 2P |＝8.∵F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝(2c )2，∴(|F 1P |－|F 2P |)2＋2|F 1P |·|F 2P |＝4c 2，即(2a )2＋2×8＝4(5a )2，解得a ＝1.故选A.16．(2022·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8 C.16 D ．32 答案 B解析 ∵直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，不妨设D 在第一象限，E 在第四象限，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ax ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b .故D (a ，b )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝－b .故E (a ，－b )．∴|ED |＝2b .∴△ODE 的面积为S △ODE ＝12a ×2b ＝ab ＝8.∵双曲线的焦距为2c ＝2a 2＋b 2≥22ab ＝216＝8，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴C 的焦距的最小值为8.故选B.17．(2022·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ． 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A.18．(2022·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B ．322 C.22 D ．3 2 答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.19．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C.23 D ．4 答案 B解析 因为双曲线的一条渐近线为y ＝33x ，所以tan ∠FON ＝33，所以∠FON ＝30°，∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝12|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3 D ． 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc ，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝b c ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.21．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1 答案 C解析 解法一：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.解法二：如图，设双曲线的右焦点为F (c,0)，一条渐近线为y ＝ba x ，则F 到该渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，又d 1＋d 2＝6，由梯形中位线可知2d ＝d 1＋d 2，即2b ＝6，b ＝3，∵双曲线离心率为2，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，∴a 2＝3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.22．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .23．(2022·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C 的焦距为________．答案 4解析 双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±1m x ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m3y ＝0，对比两式可得m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.24．(2022·北京高考)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．答案 (3,0)3解析 在双曲线C 中，a ＝6，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，则双曲线C 的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为31＋2＝ 3. 25．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形． 如图1所示，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2.三、模拟小题26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为( )A ．±1B ．±2 C.±3 D ．±2 答案 C解析 由题设，渐近线为y ＝±33x ，不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，33x 0，而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2，33x 0，F 2P →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2，33x 0，又F 1P →·F 2P →＝x 20－4＋x 203＝0，∴x 0＝±3.故选C.27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF ⊥AF 时满足|AF |>2|BF |，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．1<e <2B ．1<e <32 C.32<e <2 D ．1<e <3＋32 答案 B解析 设双曲线半焦距为c ，因BF ⊥AF ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得|BF |＝|y |＝b 2a ，而|AF |＝a ＋c ，于是得a ＋c >2·b 2a ，即a ＋c >2·c 2－a 2a ，整理得a >23c ，从而有e ＝c a <32，又e >1，所以双曲线离心率e 的取值范围是1<e <32.故选B.28．(2022·湖北黄石高三上调研)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF→的最小值为() A ．3 B ．4 C.5 D ．9 答案 C解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →)＝(PC →＋CE →)·(PC →－CE →)＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小，即PE →·PF →最小．此时PE →·PF→的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )A.174 B ．173 C.214 D ．213 答案 B解析 如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 的中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有▱PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ，在Rt △F ′PR 中，(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝4a 3或m ＝0(舍去)，从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt △F ′PF 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝4c 2，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173，所以双曲线E 的离心率为173.故选B.30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 23－y 2＝1的两个焦点，点M 在直线x －y ＋3＝0上，则|MF 1|＋|MF 2|的最小值为( )A ．213B ．6 C.26 D ．5 答案 C解析 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，可得c ＝2，所以F 1(－2，0)，F 2(2,0)，设点F 2(2,0)关于x －y ＋3＝0对称的点为P (m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22－n 2＋3＝0，n m －2＝－1，可得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝5，所以P (－3，5)，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |≥|PF 1|，当且仅当P ，M ，F 1三点共线时等号成立，|PF 1|＝[－3－(－2)]2＋(5－0)2＝26，所以|MF 1|＋|MF 2|的最小值为26，故选C.31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO→＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则() A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0 B ．双曲线C 的离心率为132 C ．|OE→|＝1 D ．△OMN 的面积为6 答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO→＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，a ＝2，b ＝3，e 2－1＝94，解得e ＝132.双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S△OMN ＝6.故选ABD.32．(多选)(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y ＝3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列结论正确的是( )A ．双曲线的方程为x 29－y 227＝1 B.|PF 1||PF 2|＝2C ．|PF 1→＋PF 2→|＝36 D ．点P 到x 轴的距离为3152 答案 ABD解析 ∵F 1(－c,0)到y ＝3x 距离为33，∴3c2＝33，解得c ＝6，又渐近线方程为y ＝3x ，则b a ＝3，结合a 2＋b 2＝c 2可解得a ＝3，b ＝33，则双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故A 正确；∵PQ 为∠F 1PF 2的平分线，∴S △F 1PQ S △F 2PQ ＝12×|PF 1|×|PQ |×sin ∠F 1PQ12×|PF 2|×|PQ |×sin ∠F 2PQ ＝|PF 1||PF 2|，又S △F 1PQ S △F 2PQ ＝|QF 1||QF 2|＝84＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2，故B 正确；由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝122＋62－1222×12×6＝14，则|PF 1→＋PF 2→|2＝PF 1→2＋2PF 1→·PF 2→＋PF 2→2＝122＋2×12×6×14＋62＝216，则|PF 1→＋PF 2→|＝66，故C 错误；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×d ＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d ＝12×12×6×154，解得d ＝3152，故D 正确．故选ABD.33．(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，右焦点为F ，则以原点为圆心，|OF |为半径的圆的面积为________．答案 5π解析 由x 2－my 2＝m (m >0)可得x 2m －y 2＝1，所以a ＝m ，b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±1m x ，因为双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，所以－1m ×2＝－1，可得m ＝4，所以c ＝a 2＋b 2＝m ＋1＝5，所以右焦点为F (5，0)，所以|OF |＝5，以|OF |为半径的圆的面积为π×(5)2＝5π.34．(2022·上饶模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积为________．答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|AB |＝|BF 1|，∴△F 1AB 为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△F 1AB 为等腰直角三角形．∴|AB |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.∴S △F 1AB ＝12|AB |·|BF 1|＝12×22×22＝4.一、高考大题1．(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12， 则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12(x A ＋x B )＋14 ＝(1＋k 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16. 因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16， 所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 二、模拟大题2．(2022·湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为52，点P (4，3)在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM →·QN→为常数？若存在，求出点Q 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－3b 2＝1，c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设定点Q (t,0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x24－y 2＝1，x ＝my ＋1，得(m 2－4)y 2＋2my －3＝0.∴m 2－4≠0，且Δ＝4m 2＋12(m 2－4)＞0，解得m 2＞3且m 2≠4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－2m m 2－4，y 1y 2＝－3m 2－4，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－2m 2m 2－4＋2＝－8m 2－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3m 2m 2－4－2m 2m 2－4＋1＝－4m 2＋4m 2－4＝－4－20m 2－4.∴QM →·QN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝－4－20m 2－4＋t ·8m 2－4－3m 2－4＋t 2＝－4＋t 2＋8t －23m 2－4为常数，与m 无关，∴8t －23＝0，即t ＝238，此时QM →·QN→＝27364.∴在x 轴上存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫238，0，使得QM →·QN →为常数27364.3．(2022·广东珠海高三摸底)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且经过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点A 是C 上一定点，过点B (0,1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．解 (1)由题意a 2＋b 2＝c 2＝2.且54a 2－14b 2＝1.联立解得a ＝b ＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 2＝1. (2)设A (m ，n )，过点B 的动直线为：y ＝tx ＋1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0，由1－t 2≠0且Δ>0，解得t 2<2且t 2≠1，所以x 1＋x 2＝2t1－t 2，x 1x 2＝－21－t 2，k AP ＋k AQ ＝λ，即y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝λ，即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m ＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0， 化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m (λm －2n )＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去． 因此m ≠0，从而λm ＝2n ＝n ＋1，所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，解得m ＝±2，此时A (±2，1)在双曲线C 上． 综上，A (2，1)，λ＝2或A (－2，1)，λ＝－ 2.4. (2022·广东普通高中高三阶段性质量检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2＋1.(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx －1与双曲线E 的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求|MN ||PQ |的取值范围．解 (1)因为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)为等轴双曲线，可得a ＝b . 设双曲线的焦距为2c ，c >0， 故c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，即c ＝2a . 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将x B ＝c ＝2a 代入双曲线的方程可得|y B |＝a ，故|BC |＝2a . 又△ABC 的面积为1＋2，即12|BC |·|AF |＝12×2a ×(a ＋c )＝1＋2， 解得a ＝1.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.(2)由题意可得直线l ：y ＝kx －1与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点， 联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，可得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以1－k 2≠0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)(－2)>0，x M x N ＜0，可得－1<k <1， 且x M ＋x N ＝－2k1－k 2，x M x N＝－21－k 2， 所以|MN |＝(x M －x N )2＋(y M －y N )2 ＝1＋k 2|x M －x N |＝1＋k 2·(x M ＋x N )2－4x M x N ＝21＋k 2·2－k 21－k 2，联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝kx －1，可得x P ＝1k －1，同理可得x Q ＝1k ＋1， 所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1－1k ＋1＝21＋k 21－k 2，所以|MN ||PQ |＝21＋k 2·2－k 221＋k2＝2－k 2， 其中－1<k <1，所以|MN ||PQ |∈(1，2]．。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
2019届高考文科数学一轮复习专题演练：双曲线(含解析)
向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点
.
【考点 1】双曲线的定义与标准方程
【备考知识梳理 】
1. 双曲线的定义： 把平面内与两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于常数 （小于 | F1F2 | ）的点
的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：
| PF1 | | PF2 | 2a ( 2a | F1F2 | ).
注意：（1）当 2a | F1F2 |时， 轨迹是直线 F1F2 去掉线段 F1F2 .(2) 当 2a | F1F2 |时， 轨迹不存
在.
2. 双曲线的标准方程： （ 1） 焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为
x2 y 2 a2 b2 1(a 0, b 0) ；
）
A. 2 B.
15 C.4 D.
17
【答案】 D.
【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题 , 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：
(1) 双曲
线定义的应用； （2）求双曲线的标准方程． (3) 以双曲线的方程为载体， 研究与参数 a ,b,c,e 及
渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为 主，分值为 5 分，难度为容易题和中档题 . 【 2019 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考 试的重点，每年必考，一般是小题形式出现 , 解答题很少考查 , 主要以利用性质求双曲线方程，
6. 【 2019 高考山东，文
15】过双曲线
C：x 2 a2
y2 a2
1（ a
2019届高考文科数学一轮复习练习：第八篇 第5节 双曲
第5节双曲线【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为P,则|PF2|等于( A )(A)6 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意令|PF2|-|PF1|=2a,由双曲线方程可以求出|PF1|=4,a=1,所以|PF2|=4+2=6.故选A.2.(2017·河北唐山二模)已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±x,则双曲线的标准方程是( C )(A)-=1 (B)-=1(C)x2-=1 (D)-=1解析:因为双曲线渐近线方程为y=±x,故可设双曲线方程为x2-=λ,因为双曲线过点(2,3),则4-=λ,即λ=1,故双曲线的标准方程是x2-=1,故选C.3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方各程为( C )(A)y=±x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:因为e==,所以e2===,所以a2=4b2,=±,所以渐近线方程为y=±x=±x.4.(2017·江西南昌摸底考)若圆(x-)2+(y-1)2=3与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为( A )(A) (B)(C)2 (D)解析:渐近线方程y=-x即bx+ay=0,得=,得e==,故选A.5.(2017·湖南娄底二模)给出关于双曲线的三个命题:①双曲线-=1的渐近线方程是y=±x;②若点(2,3)在焦距为4的双曲线-=1上,则此双曲线的离心率e=2;③若点F,B分别是双曲线-=1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,故①错误;双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|-|=2,a=1,从而离心率e==2,所以②正确;F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±,±)均不满足渐近线方程,所以③正确.故选C.6.(2017·唐山摸底考)已知F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为( A )(A)1 (B) (C)2 (D)解析:不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2|| =|m-n|=4,又因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20,即m2+n2=20,又||PF1|-|PF2||2=|m-n|2=16,所以mn=2,所以△F1PF2的面积S=mn=1,故选A.7.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,MC2-MC1=BC2-AC1=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).答案:x2-=1(x≤-1)8.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率为.解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又因为|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由正弦定理得,∠PF2F1=90°,所以|F1F2|=2a,所以双曲线C的离心率e==.答案:能力提升(时间:15分钟)·湖南郴州质监)已知F为双曲线-=1 (a>0,b>0)的左焦点,点A为双曲线虚轴的一个顶点,过F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=(-1),则此双曲线的离心率是( A )(A) (B) (C) (D)2解析:设A为上端虚顶点,FA的方程为+=1,即bx-cy+bc=0,联立得B(,),因为=(-1),所以c=(-1)·,解得e=,故选A.10.(2017·福建三明质检)设F1,F2为双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为Γ上一点,PF2与x轴垂直,直线PF1的斜率为,则双曲线Γ的渐近线方程为( C )(A)y=±x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±2x解析:不妨设点P位于第一象限,坐标为(c,m),则-=1,解得m=,即P(c,),又F1(-c,0),据此有==,整理可得2e2-3e-2=0,结合离心率的范围可得e==2,则=4⇒=3,=±,双曲线Γ的渐近线方程为y=±x.故选C.11.(2017·黑龙江哈师大附中三模)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0),P为C1与C2在第一象限的交点,|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5,若椭圆C1的离心率e1∈(,),则双曲线的离心率e2的范围是( C )(A)(,) (B)(,2)(C)(2,3) (D)(,3)解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意有2c+5=2a⇒e1==,设双曲线方程为-=1(m>0,n>0),同理可得e2= ,由e1=∈(,)有e2=∈(2,3).故选C.·长春质检)过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( B )(A)10 (B)13 (C)16 (D)19解析:由题可知,C1(-4,0),C2(4,0),|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13. 故选B.13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为 .解析:由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,又已知|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==-e2,要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,因为cos∠F1PF2≥-1,所以cos∠F1PF2=-e2≥-1,解得e≤,即e的最大值为.答案:14.(2018·河南百校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为.解析:由双曲线定义得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为F1A∥F2B,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B,再利用余弦定理得=-,化简得2e2-3e-1=0,e>1⇒e=.答案:15.(2016·山东泰安模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的离心率为,虚轴长为2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,若OA⊥OB,求m的值(O为坐标原点).解:(1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意可得2b=2,e==,c2=a2+b2,解得a=1,b=,故双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)联立直线方程与双曲线方程得消去y,可得x2-2mx-2-m2=0,判别式Δ=4m2+4(2+m2)>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知x1+x2=2m,x1x2=-2-m2,由OA⊥OB,可得·=x1x2+y1y2=0,由y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2, 可得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,即-2m2-4+2m2+m2=0,解得m=±2.。
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2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．“m<8”是“方程x 2m －10－y2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A2．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 【答案】D【解析】由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等。
选D 。
3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 【答案】A【解析】由题意可得b a ＝2，c ＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，则所求双曲线的方程为x 25－y 220＝1。
4．已知双曲线y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为( )A.y 29－x 216＝1B.y 24－x23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x24＝1 【答案】A【解析】由题意，c ＝32＋42＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线方程为y 29－x216＝1.5．双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 【答案】C6．点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左、右焦点，则双曲线C 1的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.5＋12D.5－1 【答案】A【解析】x 2＋y 2＝a 2＋b 2＝c 2，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴PF 1⊥PF 2。
又2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 又P 在双曲线上，∴3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1。
7．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 【答案】D【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 24－x 2＝0，即y ＝±2x .8．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53【答案】D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B .x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 【答案】C10．P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 【答案】B【解析】如图，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a >2c ，a <c ，∴1<e <3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】y ＝±2x【解析】根据已知可得，|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x .12．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．【答案】213．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________。
【答案】33【解析】因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为y ＝－3x ，所以1a ＝3，故a ＝33。
14．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点。
若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________。
【答案】22【解析】由题意，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，因为点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与直线x －y ＝0的距离，即22。
15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________。
【答案】10【解析】曲线C 2是以曲线C 1的右焦点F 2为圆心，1为半径的圆，则|PQ |max ＝|PF 2|＋r ＝|PF 2|＋1，此时点P 在双曲线左支上；曲线C 3是以曲线C 1的左焦点F 1为圆心，1为半径的圆，则|PR |min ＝|PF 1|－r ＝|PF 1|－1。
故(|PQ |－|PR |)max ＝(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝10。
16．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点。
(1)求|AB |； (2)求△AOB 的面积。
17．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。
(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，18．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B。
(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
【解析】(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1，19．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.20．已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4. 所求中点弦所在直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消y ，得2x 2－4x ＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．21．知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W . (1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝＋k2m 2＋k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以OA →·OB →>2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 22．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．－k－2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0，∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0.而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立，∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.。