点差法应用
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法假设我们需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率，其中a<b。
我们将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h，即h=(b-a)/n。
将区间[a,b]划分为n个小区间后，我们使用中点弦公式计算每个小区间上的平均变化率，然后将这些平均变化率相加并除以n，即可得到整个区间上的平均变化率。
具体来说，对于第i个小区间，我们选择该区间的中点 xi = a + (i - 0.5) * h，其中 i = 1, 2, ..., n。
然后，我们计算函数在xi和xi+1处的函数值，即 f(xi) 和 f(xi+1)。
使用这两个函数值来计算小区间上的平均变化率，即：平均变化率 = (f(xi+1) - f(xi)) / h然后，我们将每个小区间上的平均变化率相加，并除以n，即：整个区间上的平均变化率≈(平均变化率1+平均变化率2+...+平均变化率n)/n这样就得到了函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率的近似值。
中点弦公式的点差法是一种通过逐渐减小小区间的长度来提高计算精度的方法。
当我们增加小区间的数量n时，每个小区间的长度h也会减小，从而使得近似值更加接近真实值。
通常情况下，增加小区间的数量n可以提高计算精度，但同时也会增加计算的复杂度。
需要注意的是，中点弦公式是一种数值近似方法，所以得到的结果只是函数在给定区间上的平均变化率的近似值，并不是精确的值。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的区间和小区间的数量，以及适当考虑计算精度和计算复杂度的平衡。
总结起来，中点弦公式点差法是一种通过计算函数在区间上的平均变化率的数值计算方法。
它通过将区间等分为多个小区间，并使用中点弦公式来计算每个小区间上的平均变化率，从而得到整个区间上的平均变化率的近似值。
通过增加小区间的数量n可以提高计算精度，但同时也会增加计算的复杂度。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的参数，并进行合理的计算精度和计算复杂度的平衡。
透析“点差法”
透析“点差法”所谓“点差法”是设圆锥曲线上的点的坐标，然后代入圆锥曲线方程，再作差。
这种方法可速解以下三个重要题型。
题型1：已知弦中点坐标，求弦所在的直线方程例1.设中心在原点，焦点x在轴上，且离心率为的椭圆与直线l交与A，B 两点，且A，B两点的中点M（1，2）为，求直线l的方程.解：由椭圆的离心率e=可设椭圆方程为x2+2y2=2b2设直线l与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+2y12=2b2x22+2y22=2b2两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0∴kAB==，又A，B中点为M（2，1）∴=2 =1 ∴kAB=-1∴l的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0题型2：已知弦所在的直线的斜率，求弦中点的轨迹方程例2.已知倾斜角为的直线交椭圆+y2=1与A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+4y12=4x22+4y22=4两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0因直线AB的倾斜角为，∴kAB=1∴kAB==-=1设AB的中点M（x，y），则x=，y=代入上式得-=1，∴x+4y=0（橢圆内部的部分）题型3：已知弦所在的直线的斜率和弦中点的坐标，求圆锥曲线的方程例3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且它的一条弦所在的直线方程为y=2x+5，弦中点的横坐标为-3，求此抛物线的标准方程.解：设弦中点M（-3，y），代入直线方程为y=2x+5得y=2×（-3）+5=-1，即M（-3，-1）设抛物线的标准方程为y2=ax，设直线与抛物线交点为A（x1，y1），B（x2，y2）则=2，y1+y2=-2，y12=ax1，y22=ax2.两式相减得（y1-y2）（y1+y2）=a（x1-x2），∴a=（y1+y2）=2×（-2）=-4，y2=-4x.总评：“点差法”解决的几个题型充分体现了“设而不求”的思想，使得复杂问题简单化。
点差法的应用
点差法公式在高考中的应用圆锥曲线中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就圆锥曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.022********=-+-b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.【注意】能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a . ∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点 为),(y x P .由平行四边形法则知：F F F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=F .∴.926)1(22=+-y x ① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例 2. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ， ∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x . （Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB . （Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB=⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.① 由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.②,由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴符合题意的k 的值存在，2±=k .例（05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=，∴)81,0(,41F p =.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=.由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 练习1. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D四点是否共圆，为什么？3. (08陕西理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N. （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由 参考答案1. 解：（1） 点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在. 由22ba x y k AB-=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x . 2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200a b x y k AB=⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 8.（Ⅰ）证明：41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行.当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =.∴82220k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k .设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82kx m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=.代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x .0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB ∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ， ∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N .由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x .设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x k x x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB . ∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。
第7讲 点差法(解析版)
第7讲 点差法1. 点差法适用范围 （1）中点弦（2）圆锥曲线有三点P 、A 、B 且A 、B 关于原点对称 2.点差法在中点弦中推导过程1122002211222222222222121222222122221221212212120AB0x x x y 1a b x y 1a b x x y y (2)0a b y y b x x a(y y )(y y )b (x x )(x x )a 2y k k 2x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩---=-⇔=---+⇔=--+⇔=设直线与圆锥曲线交于A 、B 两点，且A （x ,y )、B （,y )AB 的中点为M （,y )以焦点在x 轴的椭圆为例分析推导过程（1）代点：作差：222200AB AB AB 0M 2200y y 0b c a k k k e 1x x 0a a--===-=-=--3点差法在对称中的推导过程1122000M PBpA OB pA PB222pA OB pA PB222222pA OB pA PB222x x O M AB PA k k k k k k b e 1x a k k k k a1-y b e 1b e 1x a k k k k a 1y b e 1∴==⎧-=-⇔⎪⎪∴==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩设A （x ,y )、B （,y )PA 的中点为M （,y )、分别是、的中点根据中点弦的推导可得焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴4.点差法在圆锥曲线中的结论2220ABAB 0M 222222ABAB 0M 222AB 0AB 0AB 0AB b e 1x a y k k k x a1-y b e 1b e 1x a y k k k x a1y be 1pk y pk y x k px k p⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程技巧1 点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线1y kx =+与椭圆2214xy +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ） A．3BCD【答案】（1）C （2）D （3）B （4）B【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y 把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814k x x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1，所以24114k k -=+，解得12k =-.故选:C （2）设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B （4）设()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，()()()()222121212222121212y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=---+， 结合12121y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，e === B.【举一反三】1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【解析】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=， 所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mm x y mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=， ∴1212121202x x y y y y m x x m+-++⋅=-， 即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-， 所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-， 解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．3．（2020·全国高三专题练习）椭圆()2210,0ax by a b +=>>与直线1y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则b a 的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：()22212101ax by a b x bx b y x⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩，122b x x a b +=+. 设线段AB 中点为C ，则C bx a b=+. 将C b x a b =+代入1y x =-得到C a y a b=+.因为2OC aa ab k b b a b+===+，故b a =.故选：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于AB 、两点，线段AB 的中点为M O ，为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则b =（ ） A ．1 BCD．2【答案】B【解析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，两式相减，得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π ∴12121y y x x -=--，∴1212204x x y y b ++-=，即00204x y b-=，∴2004y b x =——① 直线OM 的斜率为12∴0012y x =——② 由①②可得∴22b =得b =B ．5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】B【解析】令AB 的中点为M ，坐标为(1,1)-，则()011312AB MF k k --===-，1OM k =-因为A 、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x 轴，所以2112AB OM k k e ⋅=-=-则2e =故选：B 技巧2 点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E ：24x －22y ＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为（ ） A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为2，过点()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( ) A ．43B ．2 CD（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【答案】（1）C （2）C （3）D （4）B【解析】（1）依题意，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有22112222142142x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得22124x x -＝222y y -，即1212y y x x --＝12×1212x x y y ++.又线段AB 的中点坐标是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝（－1）×2＝－2， 所以1212y y x x --＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝11()42x --，即2x ＋8y ＋7＝0.故选：C ． （2）由题,双曲线E 中2ca =,又焦点(),0c 到渐近线0ax by ±=的距离d b ===且222c a b =+,解得2221,3,4a b c ===.故双曲线22:13y E x -=.设()()1122,,,A x y B x y 则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得 ()221222121212121233x x y y y yx x x x y y +---=⇒=-+ .又AB 中点()2,1,故()121212123322621x x y y k x x y y +-⨯⨯====-+⨯.故选：C（3）设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a =∴c e a ===:D. （4）∵k AB =015312++=1,∴直线AB 的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c 2=9. 设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b -=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9,∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.【举一反三】1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y --= B ．2100x y +-= C ．20x y -= D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选C 2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是 A ．2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C±y ＝0D ．x＝0【答案】B【解析】设直线方程为y x m =+，联立22221x y a b y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()20b a x a mx a m a b ----=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以212122228,822a mx x y y m b a+==+=+=-，解得3m =-， 所以22268a b a-=-，所以2a b =，所以双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y ±=，故选B. 3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =B ．4．（2020·全国高三专题练习）过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10. 所以|AB |＝故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝故选：D5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-= 整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-= 可得2ce a==． 故选：A.技巧3 点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．230x y ++=（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为6π的直线交C 于,A B 两点.若线段AB中点的纵坐标为p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】（1）A （2）C【解析】（1）设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.故选：A.（2）设直线方程为y x m =+，联立22y px y x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得206y y m p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=，因为线段AB中点的纵坐标为12y y +=2p =.故选：C. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ） A．3B．3 C．3D．3【答案】B【解析】设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-， 所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以AB ===故选：B.1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212728x y +=D ．221189x y +=【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：D ．2．（2020·全国高三专题练习）椭圆2249144x y +=内有一点(3,2)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．23-B ．32-C ．49-D ．94-【答案】A【解析】设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ． 则221149144x y +=，222249144x y +=，两式相减得121212124()()9()()0x x x x y y y y +-++-=， 又126x x +=，124y y +=，1212y y k x x -=-，代入解得462943k =-⨯=-．故选：A ．3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为()110k k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC (O 为坐标原点)的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-【答案】B【解析】设A ()()1122,,,x y B x y ，()00,C x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，11002212,y y y k k x x x -==- A ()()1122,,,x y B x y ，代入椭圆方程2214y x +=得：222212121144y y x x +=+=，，两式相减可得：()()()()1212121204y y y y x x x x +--++=，化简可得：()()010*******y y y x x x -+=-，即：()()202011104y y y x x x -+=-，12104k k ⋅∴+= 124k k ∴⋅=-故选：B4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=， 两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-， 所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-， 故选：C ．5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（y＝3x－2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（）A．222217525x y+=B．2217525x y+=C．2212575x y+=D．222212575x y+=【答案】C【解析】由已知得c＝2222150x ya a+=-，联立得222215032x ya ay x⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1＋x2＝()221250 10450aa--，由题意知x1＋x2＝1，即()221250 10450aa--＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为221 2575x y+=.故选：C6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中，则mn的值是（）A．2B．3C．2D【答案】A【解析】由2211mx nyy x⎧+=⎨=-⎩得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2nm n+，所以y1＋y2＝2mm n+，所以线段MN 的中点为P (,)n mm n m n++，. 由题意知，k OP＝2，所以2m n =． 故选：A.7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======故选：B.8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a ==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则e = D 9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．43B ．2 CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩.直线l :30x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e ==故选：D 10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A ，B 为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）上的两个不同点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若k AB •k OM 12=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +＝2M x ，12y y +＝2M y ，由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=．∴ 2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 即2212AB OMb k k a ⋅==，则双曲线的离心率为e ==D ． 11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==故选D ．12．（2020·全国高三专题练习）已知F 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点，过点R (2，1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点.若|FA |+|FB |=5，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．12【答案】B【解析】由于R (2，1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).根据抛物线的定义|FA |+|FB |=x A +x B +p =2×2+p =5，解得p =1，抛物线方程为y 2=2x .2222A AB By x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得22121B A B A A B y y x x y y -===-+⨯，即直线l 的斜率为1. 故选：B13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若线段AB 中点横坐标为2，则直线的斜率k =（ ）. A ．2 B ．1- C ．2- D ．1-或2【答案】A【解析】联立直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =， 消y 整理可得()224840k x k x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()()()22122484401482222k k x x k k ⎧⎡⎤∆=-+-⨯>⎣⎦⎪⎨++==⎪⎩， 解()1可得1k >-，解()2可得2k =或1k =-， 综上可知，2k =. 故选：A14．（2020·全国高三月考（理））已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||AB =C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,1)【答案】A【解析】因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A.15．（2020·全国高三月考）已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=．∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A.16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-=即M 的横坐标是6 故选:C17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为24x y =，动点P 的坐标为()1,t ，若过P 点可以作直线与抛物线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,由题得2111212122224,()()4()4x y x x x x y y x y ⎧=∴+-=-⎨=⎩， 所以212112y y k x x -==-，故选：A18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程 . 【答案】240x y +-=【解析】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y)1(2,M 为AB 的中点124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y += 两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=∴12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即12AB k =-，故所求直线的方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．故答案为：240x y +-=19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程 . 【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--， ∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.20．（2020·全国高三专题练习）直线m 与椭圆22x ＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________.【答案】12-【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，中点()00,P x y ，则满足221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，整理得12121212102y y y y x x x x -++⋅=-+，即012120102y y y x x x -+⋅=-，即12102k k +⋅=， 1212k k ∴=-.故答案为：12-.21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a =====2212ca=.. 22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++=___________． 【答案】8-【解析】由椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>设2a m = ，则b m =∴ 椭圆的标准方程为：222214x y m m+=设112233112233(,),(,),(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D s t E s t M s t 因为边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ， 故323213131212112233,,,,,222222x x y y x x y y x x y y s t s t s t ++++++====== ， 由,A B 在椭圆上，则2221144x y m += ，2222244x y m += 两式相减化简得：1212121214y y x x x x y y -+=-⋅-+ ，所以1212111212111,44y y x x sk x x y y t -+==-⋅=-⋅-+即：11114t k s =-⋅ 同理得：322233114,4t t k s k s =-⋅=-⋅，所以又因为312123,,,OD OE OM t t tk k k s s s === 3121231231114()8t t t k k k s s s ++=-⨯++=- 故答案为：8-23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________． 【答案】1【解析】联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=， 则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.24．（2020·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的方程为______.【答案】22331164x y +=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，121y y +=，2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，由①－②得22221212220x x y y a b--+=，即2221222212y y b x x a -=-- 所以()()2212122212122b x x y y b x x a y y a+-=-=--+， 又12121012122ABy y kx x --===---， 所以22212b a =，即224a b =，又2224c a b =-=，解得243b =，2163a =，所以椭圆方程为22331164x y +=．25．（2020·江苏）椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点b a 的值为________．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则222211221,1ax by ax by +=+=，即()2222221212122212,1by by ax ax by by ax ax --=--=-- ()()()()121212121b y y y y a x x x x -+∴=--+12121AB y y k x x -==--，12121212220OMy y y y k x x x x ++=+-==-+(1)12b a ∴⨯-⨯=-3b a ∴=26．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b -+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线l 与双曲线2221y x -=交于,A B 两点，当,A B 两点的对称中心坐标为()1,1时，直线l 的方程为________. 【答案】210x y --=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122222121y x y x ⎧-=⎨-=⎩，相减得到()()()()1212121220y y y y x x x x +--+-=，即240k -=，2k =.故直线方程为：21y x =-，即210x y --=.故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.【答案】2【解析】点A ，B 关于直线8y x =-对称，线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+. ∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=. ∵点A ，B 关于直线8y x =-对称∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：229．（2020·全国高三月考）过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】因为双曲线方程为222y x λ-= 则0λ≠设()11,A x y ,()22,B x y因为点P 恰为线段AB 的中点则12122,2x x y y +=+= 则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ 即直线l 的斜率为2所以直线l 的方程为21y x =- 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++= 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点所以()1642210λ∆=-⨯⨯+> 解得12λ<且0λ≠所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为: ()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线22(0)y px p =>，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线20x y --=对称的相异两点A ，B ，则线段AB 的中点坐标为_________.【答案】()1,1- 【解析】焦点到准线的距离为1，∴1p =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ，21122222y px y px ⎧=∴⎨=⎩①②，①-②得：()2212122y y p x x -=-，即()1212122y y y y p x x -⋅+=-，即022AB k y p ⋅=故01y p =-=-，又因为()00,M x y 在直线20x y --=上，所以01x =，从而线段AB 的中点坐标为()1,1-.故答案为：()1,1-.。
点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用
[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５(１)求直线ＡＢ的方程ꎻ(２)如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于ＣꎬＤ两点ꎬ那么ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点是否共圆ꎬ为什么?解㊀(１)由题意知ꎬ直线ＡＢ的斜率存在且不为０ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＢ的斜率为ｋꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ꎬｙ１＋ｙ２＝４ꎬｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２.由ｘ２１－ｙ２１２＝１ｘ２２－ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝１ꎬ从而ｋ＝１.故直线ＡＢ的方程为ｙ－２＝１ (ｘ－１)ꎬ即ｘ－ｙ＋１＝０.(２)解略.评注㊀此问题用常规方法也易求解ꎬ但没有用点差法来得快.２.用点差法简求轨迹方程例２㊀(２００１年春季高考上海卷 文理２１)已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２２＝１ꎬ点Ｐ(ａꎬｂ)的坐标满足ａ２＋ｂ２２ɤ１ꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｑ为线段ＡＢ的中点ꎬ求:(１)点Ｑ的轨迹方程ꎻ(２)点Ｑ的轨迹与坐标轴的交点的个数.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ｘꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ.由ｘ２１＋ｙ２１２＝１ｘ２２＋ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘｙꎬ又ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｂ－ｙａ－ｘꎬ从而ｂ－ｙａ－ｘ＝－２ ｘｙꎬ即２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.故点Ｑ的方程为２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.(２)解略.３.用点差法简求圆锥曲线的方程例３㊀(２０１３年高考新课标全国卷Ⅱ 理２０)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１ꎬｙ０－０ｘ０－０＝１２.ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬ㊀①ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï①－②并整理ꎬ得ｂ２(ｘ１＋ｘ２)ａ２(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ꎬ所以ｂ２ ２ｘ０ａ２ ２ｙ０＝１ꎬ故ｂ２ａ２ ２＝１ꎬ即ａ２＝２ｂ２.又由题意知ꎬＭ的右焦点为(３ꎬ０)ꎬ故ａ２－ｂ２＝３.因此ꎬａ２＝６ꎬｂ２＝３.所以Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)解略.评注㊀此问题若没有想到点差法ꎬ就不易求解了ꎬ甚至解不出来.４.巧用点差法简解对称题型一般地ꎬ对称直线㊁对称点的题目ꎬ用点差法求解较为简便.例４㊀(１９８６年高考广东卷 理４)已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ试确定ｍ的取值范围ꎬ使得对于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍꎬ椭圆Ｃ上有不同的两点关于该直线对称.解㊀设椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１上不同两点Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)关于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍ对称ꎬ线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｋｐｐ＝－１４.ｘ２１４＋ｙ２１３＝１ꎬ㊀①ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï４５①－②并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－３４ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ又因为ｋｐｐ＝－１４ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１４ꎬ所以－１４＝－３４ ２ｘ０２ｙ０ꎬ即ｙ０＝３ｘ０.由ｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｙ０＝３ｘ０ꎬ{解得ｘ０＝－ｍꎬｙ０＝－３ｍ.{因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１内ꎬ所以ｘ０２４＋ｙ０２３<１ꎬ即ｍ２４＋９ｍ２３<１ꎬ解得－２１３１３<ｍ<２１３１３ꎬ即为所求ｍ的取值范围.评注㊀解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件ꎬ应认真领会.５.注意中点的构造ꎬ创造点差法的条件简解题例５㊀(２０１６年高考浙江卷 理１９)设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１).(１)求直线ｙ＝ｋｘ＋１被椭圆截得的线段长(用ａꎬｋ表示)ꎻ(２)若任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点ꎬ求椭圆离心率的取值范围.分析㊀(１)略.(２)因为此问题ꎬ正面情况较多或正面入手困难ꎬ所以想到从反面入手ꎬ即运用正难则反思想ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至少有４个公共点.而在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的公共点数不可能是５ꎬ６ꎬ７ꎬ ꎬｎ.故而ꎬ在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)有４个公共点.解㊀(１)略.(２)假设圆与椭圆有４个公共点ꎬ则圆与椭圆在ｙ轴左侧有２个交点ＰꎬＱ.设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＰＱ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ于是ｘ２１ａ２＋ｙ１２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２＝１ꎬ两式相减整理ꎬ得(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ａ２(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０.因为ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ又ｋＡＭ ｋＰＱ＝－１ꎬ即ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｘ０ｙ０－１ꎬ从而ｘ０＋ａ２ｙ０ －ｘ０ｙ０－１＝０ꎬ由ｘ０ʂ０ꎬ得ｙ０＝１１－ａ２.因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１内ꎬ所以ｘ０２ａ２＋ｙ０２<１.故ｘ０２ａ２＋１(１－ａ２)２<１ꎬ即ｘ０２<ａ２－ａ２(１－ａ２)２.又存在ｘ０２ɪ(０ꎬａ２)使上式成立ꎬ所以ａ２－ａ２(１－ａ２)２>０ꎬ即ａ>２.因此ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点的充要条件为１<ａɤ２ꎬ由离心率ｅ＝ｃａ＝ａ２－１ａꎬ得所求离心率的取值范围为(０ꎬ２２].评注㊀(１)命题者(官方)给出的解答计算量较大ꎬ详见文[４].(２)此问题ꎬ解法较多(详见文[１])ꎬ上述解法最简捷.点差法在高考中有着广泛的运用ꎬ如:２０１０年高考ꎬ山东卷 文９ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１２ꎬ安徽卷 理１９ꎻ２０１２年高考ꎬ湖北卷 理２１ꎻ２０１３年高考ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１０ꎻ２０１５年高考ꎬ全国卷Ⅱ 理２０ꎬ浙江卷 理１９ꎻ２０１８年高考ꎬ全国卷Ⅲ 理２０.综上所述ꎬ点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用ꎬ同时作为一种基础数学方法ꎬ它与其它数学方法之间有着极大的相关性ꎬ这是我们在解题过程中所不能忽视的ꎬ在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法ꎬ才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中ꎬ来提高解题效率与质量.㊀㊀参考文献:[１]李美君.数学 入题 三维度:直接㊁间接㊁转换 以２０１６年浙江省数学高考理科第１９题为例[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(１１):３３－３７.[２]赵建勋.点差法及其应用[Ｊ].中学生数学(高中)ꎬ２０１２(１２):２０－２１.[３]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用[Ｊ].数理化解题研究(高中)ꎬ２０１９(２):９－１０.[４]天利高考命题研究中心.２０１６高考真题(数学 理科)[Ｍ].拉萨:西藏人民出版社ꎬ２０１６.[责任编辑:李㊀璟]５５。
定比点差法的11大应用
定比点差法的11大应用
定比点差法（BCR）是一种用于经济和工程评估的方法，用于衡量项目的效益和成本之间的关系。
以下是定比点差法的11个常见应用：
1. 项目可行性分析：BCR可用于评估不同项目方案的经济可行性，并帮助选择最具经济效益的项目。
2. 投资决策：BCR可用于评估投资项目的回报率，帮助决策者判断是否值得进行投资。
3. 资本预算编制：BCR可用于编制资本预算，确定哪些项目应该获得资金支持。
4. 优化资源配置：通过比较不同项目的BCR，可以优化资源的分配，将有限的资源投入到最具经济效益的项目中。
5. 政府投资项目评估：对于政府投资项目，BCR可用于评估其社会经济效益，帮助政府决策者做出明智的投资决策。
6. 公共基础设施建设项目评估：BCR可用于评估公共基础设施建设项目的经济效益，例如道路、桥梁、水利等项目。
7. 环境保护项目评估：BCR可用于评估环境保护项目的经济效益，例如减排项目、生态修复项目等。
8. 新产品开发项目评估：BCR可用于评估新产品开发项目的经济效益，帮助企业决策者判断投入研发资源的回报率。
9. 基金会项目评估：对于非营利组织的基金会项目，BCR可用于评估其社会效益，并帮助基金会决策者选择最具价值的项目。
10. 教育和培训项目评估：BCR可用于评估教育和培训项目的经济效益，帮助学校或培训机构决策者做出合理的投资决策。
11. 健康医疗项目评估：BCR可用于评估健康医疗项目的经济效益，例如医疗设备购置、医院扩建等项目。
这些是定比点差法的一些常见应用领域。
BCR作为一种经济评估方法，可以在各个行业和领域中用于决策和资源分配的优化。
点差法公式焦点在y轴
点差法公式焦点在y轴
点差法是求抛物线焦点的一种方法，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以利用点差法来求解。
首先，我们知道抛物线的一般方
程是y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
如果焦点在y轴上，那
么抛物线必然是开口向上或者向下的，也就是a的符号为正或者负。
首先，我们需要计算抛物线的顶点坐标，顶点的横坐标可以通
过-b/2a来求得。
然后，我们可以利用顶点坐标和抛物线的一般方
程来求得焦点的坐标。
如果抛物线开口向上，那么焦点的坐标为(Vx, 1/(4a) + Vy)，如果抛物线开口向下，那么焦点的坐标为(Vx, -
1/(4a) + Vy)，其中(Vx, Vy)为顶点的坐标。
另一种方法是直接利用抛物线的焦点公式来求解。
对于焦点在
y轴上的抛物线，焦点的坐标可以表示为(0, 1/(4a))或者(0, -
1/(4a))，具体取决于抛物线开口的方向。
这个公式可以直接用来求
解焦点的坐标，而不需要先求出顶点的坐标。
综上所述，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以通过点差法
或者直接利用焦点公式来求解焦点的坐标。
这样就能够全面地回答
这个问题了。
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),(11y x ),(22y x 解析几何解题思路分析求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数. （2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题----定点定值问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值 （5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决； <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1、求弦中点的轨迹方程例1 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：()2222121202x x y y -+-=， ()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）.例2直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，51AB MN y k k x +∴==-. 又()2111y x =+，（1）()2221y x =+，（2）()()12-得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-. 于是5221y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）.2、求曲线方程例3 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是002281282012x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+， 解得00114x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-.设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-.又21132y x =，（1）22232y x =，（2）()()12-得：()22121232y y x x -=-，121212323248BC y y k x x y y -∴====--+-.BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.例4 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆方程.解 设()()1122,,A x y B x y 、，则121211,2x x y y +=-+=，且2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b+=，（2）()()12-得：2222121222x x y y a b--=-，()()221212*********b x x y y b x x a y y a +--∴=-=-⋅-+， 21221221AB y y b k x x a-∴===-，222a b ∴=，（3） 又21a c=，2a c ∴=，（4）而222a b c =+，（5） 由（3），（4），（5）可得2211,24a b ==， ∴所求椭圆方程为2211124x y +=. 3、求直线的斜率例5 已知椭圆221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .（1）证 略. （2）解 128x x +=，∴设线段AC 的中点为()04,D y .又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22221259x y +=，（2） ()()12-得：22221212259x x y y --=-， ()()1212121200998362525225x x y y x x y y y y +-∴=-=-⋅=--+. ∴直线DT 的斜率02536DT y k =，∴直线DT 的方程为()0025436y y y x -=-. 令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线BT 的斜率9055644425k -==-.4、确定参数的范围例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.解 当0m =时，显然满足.当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，（1）222y x =，（2） ()()12-得：221212y y x x -=-，1212120112PQ y y k x x y y y -∴===-+， 又1PQ k m =-，02my ∴=-. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是052x =. 中点M 在抛物线2y x =区域内200y x ∴<，即2522m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得m <<综上可知，所求实数m的取值范围是(.5、证明定值问题例7 已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.证明 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y a b --=-，()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP y y k x x +=+，221AB OPb k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）.7、处理存在性问题例8 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解 假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则122x x +=，122y y +=，又2211112x y -=，（1）2222112x y -=，（2） ()()12-得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， ∴()()121220x x y y ---=PQ ∴的斜率 12122y y k x x -==-又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为 ()121y x -=-，即21y x =-.但若将21y x =-代入22112x y -=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.。