最新数学三角函数与解三角形解答题100题(教师版)

最新数学三角函数与解三角形解答题100题一、解答题1．（2020·山西高三期末（理））在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin cos 2sin sin cos B A C A B =-.（1）求B ;（2）若5b =，且AC 边上的中线长为3，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π；（22．（2018·江苏高三期末（理））已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，Csin cos +C c B c =， （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C +的值. 【答案】(1)3B π=；. 3．（2020·广东高一期末）已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值； ()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值． 【答案】(1)512；(2)7174．（2020·广东高三期末（理））在ABC n 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c B A a b B C-=+-. （1）求角A ； （2）若3,cos a B ==，求ABC n 的面积. 【答案】（1）60A ︒=；（2）ABC S =△5．（2017·江苏高考模拟）已知向量),1m x =-r，()2sin ,cos n x x =r.（1）当3x π=时，求m n ⋅r r的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12m n ⋅=-r r，求cos2x 的值. 【答案】（1）12（2）66．（2016·安徽高一期末）若函数2cos 2sin y x p x q =++有最大值9，最小值6，求实数,p q 的值. 【答案】，.7．（2017·广西南宁三中高一期末（理））已知向量a r＝(cos 32x ，sin32x)，b r ＝(－sin2x ，－cos 2x )，其中x ∈[2π，π]． （1）若|a r ＋b r|x 的值；（2）函数f(x)＝a r ·b r ＋|a r ＋b r |2，若()c f x >恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】（1）712π或1112π；（2）()5,+∞． 8．（2020·四川高一期末）已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭. (1)化简()fα；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值. 【答案】(1)()cos f αα=-;(2)5. 9．（2019·上海市南洋模范中学高一期末）已知小岛A 的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？【答案】继续向南航行无触礁的危险． 10．（2011·辽宁高一期末（理））已知函数22()3sin cos 2sin 0)122f x x x x x πωωωωω⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π（1）求()f x 的递增区间（2）在∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知1,()1a b f A ===求C ∠的大小【答案】(1)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;(2)712C π=或12π. 11．（2019·福建高二期末（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，cos sin B b A =.（1）求角B 的大小；（2）AD 是BC 边上的中线，若AD AB ⊥，2AB =，求AC 的长.【答案】（1）3π（2）12．（2020·浙江高二期末）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AD//BC ，AB =BC =CD =1，DA =2，DP ⊥平面ABP ，O,M 分别是AD,PB 的中点. （Ⅰ）求证：PD//平面OCM ；（Ⅱ）若AP 与平面PBD 所成的角为60∘，求线段PB 的长. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）PB =√33. 13．（2019·吉林长春市实验中学高一期末）已知函数sin(),(0))4(f x x πωω=+<的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）说明如何由函数sin y x =的图象经过变换得到函数()f x 的图象. 【答案】（1）3[,]()88k k k ππππ-+∈Z （2）详见解析14．（2014·浙江高考模拟（理））已知函数()f x x ω=(0,0)A ω>>的部分图像如图所示．P 、Q 分别是图像上的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点，且四边形OQRP 为矩形．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后，得到函数()y g x =的图像．已知35(,)22α∈，()g α=，求()f α的值．【答案】（1）()3sin2f x x π=；（2）．15．（2019·湖南高一期末）已知α，,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且3cos 5α=-(Ⅰ)求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)若()3sin 5αβ-=，求sin β的值. 【答案】(Ⅰ) 7-；(Ⅱ) 116．（2019·上海市嘉定区第二中学高二期末）已知a b vv、是两个不平行的向量,()()cos sin cos sin a b ααββ==v v，，，. (1)求证:()()a b a b +⊥-v vv v ；(2)若3•4445a b πππαβ⎛⎫∈-== ⎪⎝⎭v v ，，，，求sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值 【答案】（1）见详解 （2）45-17．（2019·安徽亳州二中高二期末（理））某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° （2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° （3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12° （4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin 2（-18°）cos 248° （5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin 2（-25°）cos 255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 【答案】见解析【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想 18．（2020·内蒙古高一期末）已知函数()()()()()3ππsin πcos 2cos sin 222sin 2πcos πx x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+.(1)化简()f x ； (2)若tan 4α=，求()fα的值.【答案】(1)22sin 2cos 2sin cos x xx x+⋅；(2)94.19．（2018·江苏高一期末）已知3sin 5α=-，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）10-；（2）50. 20．（2020·广东高三期末（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知22A B C =≠，且2222sin a c b ac C +=+.（1）求A ；（2）若ABC ∆的面积为2，求a . 【答案】（1）4A π=（2）a =21．（2020·河南高二期末（理））在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()223a b c ab +=+．（1）求C 的值； （2）若ABC ∆的面积为2，c =a 、b 的值． 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩．22．（2018·吉林高考模拟（理））已知函数()22cos 2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (Ⅱ)若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()()20f t t m ⎡⎤-->⎣⎦,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),k Z 63T k k πππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为（2）(),1-∞-23．（2018·上海高二期末）如图1，点A 为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B 为最北端，在点A 的正东4千米C 处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B 处有一小船正以速度v (千米/小时)向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v (千米/小时) . (1)为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向什么方向行驶? (精确到1o ) (2)海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点M 出发才能行程最短? (如图2建立坐标系， 用坐标表示点M 的位置)【答案】（1）缉私艇应向西偏北36.8o 的方向行驶；（2）68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭M24．（2020·河北高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r，(),n sin cos αα=r ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若m n ⊥r r，求tan α的值；（2）若m r 与n r的夹角为3π，求α的值. 【答案】（1）tan 1α=；（2）512πα=25．（2020·河南高二期末（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B 的大小； （2）若,24A a π==，求△ABC 的面积.【答案】（1）3B π=．（2）32+． 26．（2018·北京高一期末）已知向量()sin ,1a x =v，()1,b k =v ，()f x a b =⋅v v .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α.【答案】(1) []0,2 (2) tan α=27．（2017·河南高一期末）已知函数())cos cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最大值； （2）若324f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，R θ∈，求3f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）()max 13122f x =+=;（2）11.828．（2015·四川高考模拟（理））已知向量p r＝（2sin x ），q r＝（－sin x,2sinx ），函数f （x ）＝p r ·q r（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f （C ）＝1，c ＝1，ab ＝且a>b ，求a ，b 的值．【答案】（1）f （x ）的单调增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈．（2）a ＝2，b29．（2020·云南昆明一中高三期末（理））在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,cos 3a b c A B C ==. （1）求tan C ；（2）若ABC V ，求b .【答案】（1；（2）b .30．（2019·天津高三期末（文））在ABC V 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c =πC 3=． ()1若2sinA 3sinB =，求a ，b ；()2若cosB =，求sin2A 的值．【答案】(1)?a 3=，b 2=. ； (2 31．（2019·玉溪市民族中学高一期末） 已知函数()2sin(2)6f x x π=-。