浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入5.1平面向量的概念及线性运
【数学】浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数55复数教师用书
【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.5 复数教师用书1．单数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做单数，其中a叫做单数z的实部，b叫做单数z的虚部．(i为虚数单位)(2)分类：(3)单数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭单数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量的模叫做单数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．单数的几何意义单数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．单数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(2)几何意义：单数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出单数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( ×)(2)单数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( ×)(3)单数中有相等单数的概念，因此单数可以比较大小．( ×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √)(5)单数的模实质上就是复平面内单数对应的点到原点的距离，也就是单数对应的向量的模．( √)1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( )A．－3 B．－2 C．2 D．3答案 A解析∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A.2．(2015·课标全国Ⅰ)已知单数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i答案 C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i. 3．(2016·嘉兴一模)设i是虚数单位，若z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵z＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴∴θ为第二象限角，故选B.4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.答案 1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.题型一单数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )A．3，－2 B．3,2C．3，－3 D．－1,4(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i是虚数单位，单数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．答案(1)A (2)A (3)1解析(1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. (2)由解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝＝1－i ，∴其实部为1. 引申探究1．若将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值． 解 (1＋i)(2－3i) ＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ， 所以a ＝5，b ＝－1.2．若将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部． 解 z ＝21＋i3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)(2016·苏北四市调研二)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 (1)A (2)2i解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝2＋a i 1＋2i 5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 (1)C (2)B (3)B解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)C (2)A (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i5＝i.(3)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 (1)B (2)D (3)D解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.(2)z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i 解析 (1)z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选A. (2)(1＋i 1－i )2 017＝[1＋i 21－i 1＋i ]2 017＝i 2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 017＝i 1＋23i 1＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三 复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2) 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．12．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， [4分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[6分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3a 2＋b 2＝－6，[8分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. [14分]1．(2016·绍兴二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4.2．(2016·杭州质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4 答案 D解析 ∵2i－a 1－i＝2i －a 1＋i1－i1＋i＝2i －a 2－a 2i ＝(2－a 2)i －a2，a ∈R ，∴2－a2＝0，∴a ＝4.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2016·杭州模拟)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 5．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 答案 C 解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．(2016·台州五校联考一)集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( ) A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．3答案 D解析 由题意可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，经检验符合题意．*7.若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i (a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定 答案 A解析 ∵a ＋b i ＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝12＋32i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2，∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．8．(2016·温州高三8月模拟)已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z －i ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝5＋i ， ∴复数z 在复平面上对应点在第一象限．9．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，23)解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.10．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．11．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i )2 017＝________. 答案 i解析 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，所以(m ＋n i m －n i )2 017＝(1＋i 1－i)2 017＝i 2 017＝i. 12．已知i 为虚数单位，则5－i 1＋i ＝________. 答案 2－3i解析 5－i 1＋i ＝5－i 1－i 1＋i 1－i ＝5－6i －12＝2－3i. 13．(2016·金华、丽水、衢州十二校高三8月联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i 1＋i (i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z |＝________.答案 022 解析 a ＋i 1＋i ＝a ＋i 1－i 2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由a ＋12＝1－a 2，可得a ＝0，∴z ＝12＋12i ，z ＝12－12i ， ∴|z |＝22. 14．(2016·浙江名校高三第二次联考)已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z2＋az ＝0，则实数a ＝________，|z ＋a |＝________.答案 2 2 3解析 z ＝1＋3i ，由z 2＋az ＝0，得(1＋3i)2＋a (1－3i)＝0，∴－2＋a ＋(23－3a )i ＝0，∴a ＝2，∴z ＋2＝3－3i ，∴|z ＋a |＝2 3. *15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案－2 3解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋2i，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
2020年浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入
••＞必过教材美1. 复数的有关概念 (1) 复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = da , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ ＞的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义一一対宜(1) 复数z = a + br •复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——讨丈 一＞ (2) 复数 z = a + bi(a , b € 0 ------- ■:•平面向量 OZ .3. 复数的运算(1) 复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),贝U ① 加法：Z 1 + Z 2= (a + bi) + (c + di) = (a + c)+ (b + d)i ; ② 减法：Z 1 — Z 2= (a + bi) — (c + di) = (a — c)+ (b — d)i ; ③ 乘法：z 1 z 2= (a + bi) (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ; —人， z 1 a + bi fa + bi'fc — di \ ac + bd bc — ad④ 除法：Z1= a +bi = a +c =爭专+ ^7—ad i(c + di z 0).Z 2 c + di (c + di ]c — di) c + d c + d ''(2) 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1, Z 2,爲€ C,有Z 1+ Z 2= Z 2+ Z j , (Z 1+ Z 2)+ Z 3= Z 1+ (Z 2+ Z 3［小题体验］51. ________________________________________________________________________ （2019杭州高三质检）设复数z =—（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 _______________________-H-第2 —i虚部为__________ .解析：因为z=芒厂普廿=2+「所以复数z的实部为2,虚部为1.答案：2 12. (2019浙江名校联考)设(a+ i)(1 —bi) = 3- i(a, b€ R, i是虚数单位)，则a + b= _________ ; 若z= a + bi,则|z|= ________ .解析：因为(a+ i)(1 —bi) = (a + b) + (1 —ab)i = 3 —i,所以a+ b= 3,1 —ab=—1，贝U ab = 2,所以|z|= ,a2+ b2= a+ b 2—2ab= 9—4= 5.答案：3 53. (教材习题改编)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是1 + 3i,—i,2 + i，则点D对应的复数为______________ .答案：3+ 5i1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若Z1, z2€ C, z j+ z2= 0,就不能推出可=z2= 0; z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数Z1= 2—i, Z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若Z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数Nz2= (2 —i)(a+ 2i) = (2a+ 2)+ (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a =4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为____________解析：因为(2 + ai)i = —a + 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2= 0, 即卩a= 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2018台州二模)复数(a2—3a+ 2)+ (a —1)i是纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. 1C. —2D. 1 或2解析：选A 由a2—3a+ 2= 0,得a = 1或2.因为复数是纯虚数，所以a^ 1，所以可知A .第一象限B .第二象限a = 2.2 — i2.已知i 为虚数单位，a € R,若 为纯虚数，则复数 z = 2a + 2i 的模等于（ ）a 十iA. 2B. 11C. 3D. 62 — i解析：选C 由题意得， -------- i = ti （t ^ 0）,a 十i…2 — i = — t + tai ,t =—2,解得*i1f=2，••• z = 2a + 2i = 1十 2i , |z|= 3，故选 C.3.（2019镇海中学模拟）已知i 是虚数单位，复数z = 2— i ,则z （1十2i ）的共轭复数为（ ）A . 2+ iB . 4十 3iC . 4— 3iD . — 4 — 3i解析：选C 因为z = 2— i ,所以z （1十2i ）= （2 — i ）（1十2i ）= 4十3i ,所以其共轭复数为 4 —3i.4.已知复数Z 1满足（Z 1— 2）（1十i ） = 1— i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2,且可Z 2是 实数，则Z 2= _____________ .解析：（Z 1— 2）（1 十 i ） = 1— i ? Z 1= 2— i. 设 z 2= a 十 2i , a € R,则 Z z 2= （2 — i ）（a + 2i ） = （2a + 2）十（4 — a ）i.T Z 1 Z 2 € R ,「. a = 4.• Z 2= 4+ 2i. 答案：4十2i［谨记通法］求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a 十bi （a , b € R ）的形式，再根据题意求解.考点二复数的几何意义基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019杭二模拟）在复平面内，复数 z = 古对应的点位于（ ）—1= 2,ta =— 1,C•第三象限 D •第四象限解析：选A z= i~^-i =〔；［ 1_ j = 2+*i,其在复平面内对应的点为1，~2，位于第一象限.2 .2i(2019河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z—j所对应的点关于实轴对称的点为A,贝U A对应的复数为()A.1+ i B. 1 —iC.—1 —i D. —1 + i解析：选B 因为z—I —2i 1 i . —i(1 —i) —1+ i，所以A 点坐标为(1, —1),1+ i 1 + i 1-i对应的复数为1-i.3. (2019浙江十校联盟适考)复数z= ^(i为虚数单位)的虚部为____________________ ，其共轭复数在复平面内对应的点位于第_____________ 象限.解析：因为z^-2^ = 2^^一i一= 1 + i,所以z的虚部为1, z = 1- i，故复数z的共1 + i (1+ i］1 —i)轭复数在复平面内对应的点为(1, —1),位于第四象限.答案：1四［谨记通法］对复数几何意义的理解及应用(1) 复数z、复平面上的点Z及向量—O Z相互联系，即z= a + bi(a, b€R)? Z(a, b)? 1O Z.(2) 由于复数、点、向量之间建立了--- 对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点三复数的代数运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2019浙江名校协作体联考)汙=( )B. 10故选D.法二：1+ i -X署晁故选D.C. 102D. .5解析：选D ㈡=(3—i ]1—i L 2—4i=1 —2i1 + i 1+ i 1 —i2 '|1—2i|= .5,即〒；=5, A.222. （2019嘉兴模拟）设复数z = 1—i （i 是虚数单位），则匚+ z 等于（ ）A . 2B .— 2C . 2iD . — 2i解析：选 A * z =右+1-=1八1+「+1八2.B .4 4—— ——解析：选 B 由 一^ = 1— i ,得乙二亠—1 = 1 + 2i ,所以 z = 1 — 2i ,贝 U z-z = (1 + 2i)(11 + z 1 — i—2i) = 5,故选 B.4. (2018 全国卷n )1++2i =()1 — 2i4 3. 5— 5i 3 4.一—一 i5 5［谨记通法］复数代数形式运算问题的解题策略（1）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.⑵复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幕写成最简形式.［提醒］在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. （1）（1 ±= ±2i ；匸=i ； ¥+；=— i ； (2) — b + ai = i(a + bi);4n4n +14n + 24n + 3(3) i = 1, i = i , i =— 1, i =— i , .4n4n +14n + 24n + 3*i + i + i + i = 0, n € N .一抓基础，多练小题做到眼疾手快z - z3. （2019浙江期初联考）已知i 是虚数单位, 4— 若复数z 满足1-i ，则z ・z =（）B .1+ 2i1 + 2i2 解析：选 D 1— 2i 1 — 2i 1 + 2i 5—3 + 4i 34 3+4i .1. （2019浙江9+ 1期中）已知i为虚数单位，z表示复数的共轭复数，若z= 1+ i，则一"2复数z 为（）B.2—2i1 1C . -2+ 2i1 1以由条件可知z = 2 +尹故选A.a + i4. （2019金丽衢十二校联考）设a € R,若复数z = 帚（i 为虚数单位）的实部和虚部相等,贝H a= _______ , | z |= _________ .a + i = (a + i (1 — i = (a + 1 +(1 — a)1 + i=( 1+ i (1 — i = 2所以a + 1= 1 — a ，解得a = 0.1 1 — 1 1所以 z = 2+ 2i ，所以 I z|= 2 — 2答案：05.设复数 a + bi(a , b € R )的模为 衍，则(a + bi)(a — bi)= __________ .解析：T |a + bi|= "：Ja 2+ b 2=,•••(a + bi)(a — bi) = a 2 + b 2= 3.答案：3A . — 2B .— 1C . 0D . 2解析：选Aa + 2i a + 2i 1 — ia + 2 + 2 — ai 匚= =是纯虚数，所以a + 2= 0,解得a1 + i1 + i 1 — i 2a -k 2i2. （2019湖州模拟）已知复数 辛y （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a =（ ）=—2.z 和亡表示的点关于虚轴对称，则解析：选BB .— 2i D . — 23. （2018杭州名校协作体二模）在复平面内，复数1 1, —2 — 2i解析：选A因为1—= R1+ i)= (1 —叩 + i =1 1 一2+刁，其在复平面内对应的点为 2,2)z -z—保咼考，全练题型做到咼考达标i11. (2019杭州质检)设z = 百(i 为虚数单位)，则£厂( )A ~2 B. 2 1 C.2 D . 2|7|= 2.所以(2019宁波模拟)已知复数z 满足z(1+ i) = 2 — i ,贝U z 的虚部为( )2i解析：选B因为z =-—=1 — ii 1+ i1 — i 1 + i」+ 1i 2 2i ，2. 所以|z| =2解析：选C2 — 因为屮+ D = 2- i ，所以z = 1— iJ=彳—十=2■―予,所以其虚部为一23.定义运算=ad — be ,则符合条件—i 2i=0的复数z 的共轭复面内对应的点在(A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限—if 1 + i 1 1 1 ——1解析：选 B 由题意得，2zi — [ — i(1 + i)] = 0，则 z = 材 =—2 —刁，二 z = — ~ +1 一2i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.2i4.已知复数 z = 1+-—，则 1 + z + z 2+-+ z 2 018 =()1 — i A . 1+ i B . 1 — iC . iD . 02 019解析：选 C •/ z = 1 +严=1 + 红宁=i 」1+ z + /+••• + z 2018=d 严=1 — i 21 — z2 0194X 504 31 — i 1 — i•==i.5. (2019杭州七校联考)已知复数z = 2+ ai(a € R ),|(— 1+ i)z|= 3电，则a 的值是( A . ±.5 B. 5C . 土 3 D. 3解析：选 A 法 : |(— 1 + i)z|= |( — 2 — a)+ (2 — a)i| =寸(—2 - a(+( 2 - a f =寸 2a ?+ 8 =3 2，则 a = ± 5,故选 A.法二：|(— 1+ i)z|= |— 1+ i| |z|= , 2 • 22+ a 2= 3 ,2,则 a = 土, 5，故选 A.6. (2018嘉兴4月)若复数z 满足(3 + i)z = 2 — i(i 为虚数单位)，贝U z = ____________ ,|z| = 解析：竺=〔+ 叮‘ =2 +讦严—a =与+ 曾i ,解析： 因为(3 + i)z = 2— i ,所以 z = 2^ = 2— i 3— i =匸—'，所以 |z| =¥•3 + i (3+ i]3—i) 2 2答案： 1 — i 22 2z + 2z — 2解析： z + 2 — 2 — 2i |— 2— 2i| 2 2由 c= i 知，z + 2 = zi — 2i ,即卩 z = ，所以 |z|=匕一= 2.z — 2 1 — i |1 — i| 2答案： 21 + ai2— i••• 口为实数, 2 — i1 + 2a5=0, a =— 12. 所以 1 + ai 2— i 12.=i （其中i 是虚数单位），则忆|=7•已知复数z 满足 1 + a i8.已知a € R,若二一7为实数，则 a =2— i9.已知复数z= x+ yi,且|z—2|= 3，则y的最大值为解析：•/ |z—2|= . x —2 2+ 3,2 2•••(X —2)2+ y2= 3.由图可知；max= ~^= 3.答案：3I —1 + i 2 + i10.计算：(1)⑵1+ 2宀3口；(2) 2 + i ；B .解析：选 B g I = 3 2=— i(1 + 2i)= 2- i.故选 B.1 + i (1+ i (1 — i ) 2. (2018湖丽衢三地期末联考)已知a , b € R, i 是虚数单位，Z 1= a + i , z 2= b — i ,若可z 2 是纯虚数，则 ab = 纯虚数，所以 ab =— 1.忆1 z 2| =寸(b - a $ = \|^a 2+ b 2— 2ab = y/a 2+ b 2+ 2— 2ab + 2 = 2,当 且仅当a =— b 时，等号成立.答案：—1 21 — i 1+ i ⑶k +1— i 2；(4) 1— 3i3+ i'解: (1) =— 3+ i =-1-3i.—3+ 4i + 3— 3i2+ i1 — i 1+ i⑶ 7+T + 1—= 2i — 2i — 21— 3i3 + i — i (4)&+厅=討『=—i = —L J —L=3+ i = 4厂=—1. i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州二模)已知i 是虚数单位，则-1+2L 1—1 =() 1+ i ,|z 1 Z 21的最小值为 __________ . 解析：因为 Z 1 = a + i , z 2 = b — i ，所以 Z 1 z 2= (a + i)( b —i) = ab + 1 + (b —a)i.Z z3.复数Z1 =琵+ (10 - a2)i, Z2 =亡+ (2a - 5)i,若N+ Z2是实数，求实数a的值._ 3 2解：z 1+ z2= + (a2—10)i + + (2a—5)ia+5 1 —aa —13 计(a+ 5I a—1)2(a2+ 2a—15)i.Z 1+ Z2是实数,a? + 2a —15= 0, 解得a = —5或a = 3.•/ a+ 5丰 0,a z —5,故a= 3.[(a2—10) + (2a —5)] i。
2020版高中数学(浙江专用)大一轮课件第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3
.
(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0 ; a∥b⇔a· b=±|a||b|. (6)|a· b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2| 2 2 2 2 ≤ ������1 + ������1 · ������2 + ������2 .
关闭
由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cos θ =4×cos 120°=-2.
-2
解析
关闭
答案
-9-
知识梳理
双击自测
5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围 是 .
关闭
由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ<2.由 a∥b,得 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ<2, 且 λ≠-6.
-4-
知识梳理
双击自测
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2 .
2 2 (2)模:|a|= ������· ������ = ������1 + ������1 . (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离
.
关闭
=3,������������ = ������������ + ������������ ,则������������ ·������������= ������������ ·������������=3×2×cos 60° 3 3
2
1
2
1 3
������������ +
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
【数学】浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数51平面向量的概念及线性运算教师用书
【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.1 平面向量的概念及线性运算教师用书1．向量的有关概念向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ×)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ×)(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( ×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √)1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是( )A．①B．③C．①③D．①②答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )A．－＋B．－－C.－D.＋答案 A解析如图，＝＋＝＋＝－＋.3．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案 D解析由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1，故选D.4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案 2解析由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴＝2，∴＋＝2.又＋＝λ， ∴λ＝2.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b. 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④答案 A解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)(2016·临安中学统练三)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CD →＝BD → (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)C (2)A解析 (1)AB →＝DC →，AD →＋AB →＝AC →， AD →＋CD →＝BD →正确．而AB →－AD →＝DB →，故C 错误．故选C. (2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2016·台州模拟)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________． 答案 (1)B (2)2 解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)取AC 的中点D ，连接OD ， 则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2.4．容易忽视的零向量 典例 下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0.⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同． 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错． 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量. 1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( ) A.23AB →＋12AD → B.12AB →＋23AD → C.56AB →＋13AD → D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案 B解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部 答案 C解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6．设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos∠BAC ＝25，则k 等于( ) A.514 B.17 C.57 D.37 答案 A解析 取BC 的中点D ，连接PD ，AD ， 则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos∠BAC ＝cos∠DPC ＝DP PC ＝DP PA ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514，故选A.7. (2016·宁波一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案135解析 如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135.8．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________． 答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*9.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________． 答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.*10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.11．已知O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为________． 答案 32解析 因为OA →＋λ(OB →＋OC →)－OC →＝0，所以AC →＝λ(OB →＋OC →)，设G 为BC 的中点，所以AC →＝2λOG →，所以点O 在过点G 且与AC 平行的直线上，分别过点B ，C 作BF ⊥OA ，CE ⊥OA ，因为S △OAB S △OAC＝13， 所以BF CE ＝BH HC ＝13，所以AC OG ＝CH GH＝3， 所以2λ＝|AC →||OG →|＝3，得λ＝32. 12. 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . *13. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解 由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO → ＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →， 又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ(34AD →＋14AB →)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2020版数学新优化浙江大一轮试题：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点规范练25 Word版含答案
考点规范练25 平面向量的应用基础巩固组1.已知a =(3,4),b =(sin θ,cos θ),若a ∥b ,则=( )sin θ+cos θsin θ-cos θ A.7B C.- D.-7.1717a ∥b ,所以3cos θ-4sin θ=0,即tan θ=,所以=-7.故选D .34sin θ+cos θsin θ-cos θ=tan θ+1tan θ-1=34+134-12.已知|a |=2|b |,|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x-a ·b =0有两个相等的实数根,则向量a 与b 的夹角是( )A.-B.-C D π6π3.π3.2π3a 与b 的夹角为θ.由已知可得Δ=|a |2+4a ·b =0,即4|b |2+4×2|b |2cos θ=0,∴cos θ=-又12.0≤θ≤π,∴θ=2π3.3.在△ABC 中,已知向量满足=0且,则△ABC 为( )AB 与AC (AB|AB |+AC |AC |)·BC AB |AB |·AC|AC |=12A .三边均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形∠BAC 的角平分线为AD ,则=由已知得AD ⊥BC ,∴△ABC 为等腰三角形.又AB|AB |+AC|AC |λAD .AB |AB |,即cos A=,∴A=60°,∴△ABC 为等边三角形.故选D .·AC|AC |=12124.在△ABC 中,AB=8,AC=6,AD 垂直BC 于点D ,E ,F 分别为AB ,AC 的中点,若=6,则BC=( )DE ·DF A.2 B.1013C.2 D.1437BC=a ,则由条件可知,))=)=6.DE ·DF =12(DB +DA ·12(DC +DA 14(DB ·DC +DA 2)=24①,又在Rt △ADC ,Rt △ADB 中有=64②,()2+=36③,DA 2‒DB (BC ‒DB BD 2+DA 2BC ‒BD DA 2联立①②③解得=52.∴a=2故选A .BC 213.5.已知三个向量m =,n =,p =共线,其中a ,b ,c ,A ,B ,C 分别是△ABC 的三条边及(a ,cos A2)(b ,cos B2)(c ,cos C2)相对三个角,则△ABC 的形状是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形m =与n =共线,∴a cos =b cos 由正弦定理,得sin A cos =sin B cos (a ,cos A2)(b ,cos B2)B 2A 2.B 2A2.∵sin A=2sin cos ,sin B=2sin cos ,A2A2B2B2∴2sin cos cos =2sin cos cos ,A 2A 2B 2B 2B 2A2化简,得sin =sin A2B2.又0<,0<,,可得A=B.A2<π2B2<π2∴A2=B2同理,由n =与p =共线得到B=C ,(b ,cos B2)(c ,cos C2)∴在△ABC 中,A=B=C ,可得△ABC 是等边三角形.故选B .6.(2017北京高考)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则的最大值AO ·AP 为 .=||·||cos θ≤||·||≤2×(2+1)=6.所以最大值是6.·AP AO AP AO AP 7.平面上有三个点A (-2,y ),B ,C (x ,y ),若,则动点C 的轨迹方程为 .(0,y 2)AB ⊥BC2=8x (x ≠0)由题意得AB =(2,-y2),BC =(x ,y2).又,所以=0,AB ⊥BC AB ·BC 即=0,化简得y 2=8x (x ≠0).(2,-y2)·(x ,y2)8.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若=0,则点A 的横坐标为 . AB ·CD,点D 在以AB 为直径的圆上,所以∠ADB=90°,即BD ⊥AD ,所以k AD ·k BD =-1.又因为A ,D 均在直线y=2x 上,k AD =2,所以k BD =-12.又因为B (5,0),所以BD 的直线方程为y=-x+1252.联立解得所以D (1,2).{y =2x ,y =-12x +52,{x =1,y =2.设A (a ,2a ),则C(a +52,a ).则=(5-a ,-2a ),AB CD =(-a +32,2-a ).由=0,得-(5-a )-2a (2-a )=0,AB ·CD (a +32)整理得a 2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.由于点A 在第一象限,则a>0,即a=3,即点A 的横坐标为3.能力提升组9.已知函数f (x )=sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B ,C 是该图象与x 轴的交点,过点C 的直线与该图象交于D ,E 两点,则()的值为( )BD +BE BE ‒CE A.-1B.-12C D.2.12(x )=sin(πx+φ)的周期为2.∴||=1.D ,E 关于点C 对称,∴C 是线段DE 的中点,∴()·(BC BD +BE )=2()=2=2.故选D .BE ‒CE BC ·BE +EC BC 210.已知△ABD 是等边三角形,且,||=,那么四边形ABCD 的面积为( )AB +12AD =AC CD 3A B C.3D .32.3233.923,,CD =AD ‒AC =12AD ‒AB ,∴CD 2=(12AD -AB )2即3=14AD 2+AB 2‒AD ·AB .∵||=||,|2-||||cos 60°=3.AD AB ∴54|AD AD AB ∴||=2.又,AD BC =AC ‒AB =12AD ∴||=|=1.∴||2+||2=||2.∴BC ⊥CD.BC 12|AD BC CD BD ∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =22×sin 60°+1,故选B .12×12××3=32311.设P 为△ABC 所在平面上一点,且满足3+4=m (m>0).若△ABP 的面积为8,则△ABC 的面积PA PC AB 为( )A.7 B.8C.14D.163+4设如图所示)于是可得点D 在PA PC AB 得37PA +47PC =m 7AB PD =37PA +47PC =m7AB 边AC 上,,且3=4,则,由,所以S △ABP =S △ABD ,所以S △ABD =8.又因为AB ∥PD AD DC |DA ||C A|47AB ∥PD S △ABD S △ABC ,|DA ||CA |所以,则S △ABC =14.8S△ABC=4712.在△ABC 中,D 是BC 中点,AD=m ,BC=n ,则等于( )AB ·AC A.m 2-n 2B.m 2+n 21414C m 2+n 2D m 2-n 2.14.14BD=DC==-()·()=()·()=n2,DC DB ,AB ·AC AD +DB AD +DC AD +DB AD ‒DB AD 2‒DB 2=m 2-=m 2-n 2.故选A .(n 2)21413.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为的直线与C 交于M ,N 两点,则=( )23FM ·FN A.5 B.6 C.7 D.8,过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(x+2),与抛物线方程联立消元整2323{y =23(x +2),y 2=4x ,理得,y 2-6y+8=0,解得M (1,2),N (4,4),又F (1,0),所以=(0,2),=(3,4),则=0×3+2×4=8,故选D .FM FN FM ·FN14.已知△ABC 的面积是4,∠BAC=120°,点P 满足=3,过点P 作边AB ,AC 所在直线的垂线,垂足BP PC 分别是M ,N.则= .PM ·PN△ABC 为等腰三角形,∵∠BAC=120°,∴B=C=30°,∴b=c.∴S △ABC =bc sin A=4,∴b 2=c 2=由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A==1612163.4833.=3,∵BP PC ∴||=|=,||=|=PC 14|BC a4BP 34|BC 3a4.过点P 作边AB ,AC 所在直线的垂线,垂足分别是M ,N ,故||=||·sin B=,||=||sin C=PM BP 3a8PN PC a8.∵∠MPN=180°-A=60°,=||·||cos 60°=故答案为∴PM ·PN PM PN 3a 8·a 8·12=3a 2128=338.338.15.在▱ABCD 中,∠BAD=60°,AB=1,AD=,P 为▱ABCD 内一点,且AP=,若=+(λ,μ∈R ),332AP λAB μAD 则λ+的最大值为 . 3μ=+,∴|2=(+)2,∵AP λAB μAD AP λAB μAD 即=λ2||2+μ2||2+2λ(32)2AB AD μAB ·AD .又AB=1,AD=,∠BAD=60°,3=||||cos 60°=∴AB ·AD AB AD 3.=λ2+3μ2+∴343λμ.∴(λ+)2=3μ34+3λμ≤34+(λ+3μ2)2.∴(λ+)2≤1.3μ∴λ+的最大值为1,当且仅当λ=,μ=时取等号.3μ123616.(2017浙江高考)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 25a ,b 的夹角为θ,由余弦定理有:|a-b |=,|a+b |=12+22-2×1×2×cos θ=5-4cos θ,12+22-2×1×2×cos (π-θ)=5+4cos θ则|a+b|+|a-b|=,5+4cos θ+5-4cos θ令y=,5+4cos θ+5-4cos θ则y 2=10+2[16,20],25-16cos 2θ∈据此可得:(|a+b|+|a-b|)max ==2,(|a+b|+|a-b|)min ==4,即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值20516是25.17.已知a =(2cos x ,2sin x ),b =,函数f (x )=cos <a ,b >.(sin (x -π6),cos (x -π6))(1)求函数f (x )零点;(2)若锐角三角形ABC 的三内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且f (A )=1,求的取值范围.b +ca由条件可知,a ·b =2cos x ·sin +2sin x ·cos =2sin ,(x -π6)(x -π6)(2x -π6)∴f (x )=cos <a ,b >==sin a ·b|a |·|b |=2sin (2x -π6)2(2x -π6).∴函数f (x )零点满足sin =0,由2x-=k π,k ∈Z ,解得x=,k ∈Z .(2x -π6)π6kπ2+π12(2)由正弦定理得,由(1)f (x )=sin ,又f (A )=1,即sin =1,∴2A-=2k π+b +ca =sin B +sin C sin A (2x -π6)(2A -π6)π6,k ∈Z ,又A ∈(0,π),∴A=,π2π3∵A+B+C=π,∴C=-B.代入上式化简得,2π3b +ca =sin B +sin (2π3-B)sin A =32sin B +32cos B sin A =3sin (B +π6)sin A=2sin ,又在锐角三角形ABC 中,有0<B<,∴0<C=-B<,<B<<B+,则有<sin(B +π6)π22π3π2∴π6π2,π3π6<2π3321,即2.(B +π6)≤3<b +ca ≤18.已知平面上一定点C (2,0)和直线l :x=8,P 为该平面上一动点,作PQ ⊥l ,垂足为Q ,且(PC +12PQ )·=0.PC ‒12PQ (1)求动点P 的轨迹方程;(2)若EF 为圆N :x 2+(y-1)2=1的任一条直径,求的最值.PE ·PF设P (x ,y ),则Q (8,y ).由=0,(PC +12PQ )·(PC -12PQ )得||2-|2=0,即(x-2)2+y 2-(x-8)2=0,PC 14|PQ 14化简得=1.x 216+y 212所以点P 在椭圆上,其方程为=1.x 216+y 212(2)因=()·()=(-)·()=-1,PE ·PF NE ‒NP NF ‒NP NF ‒NP NF ‒NP NP 2‒NF 2=NP 2P 是椭圆=1上的任一点,设P (x 0,y 0),x 216+y 212则有=1,即=16-,又N (0,1),x 2016+y 2012x 204y 203所以+(y 0-1)2=--2y 0+17=-(y 0+3)2+20.因y 0∈[-2,2],所以当y 0=-3时,取得NP 2=x 2013y 201333NP 2最大值20,故的最大值19.PE ·PF 当y 0=2时,取得最小值13-4(此时x 0=0),3NP 23故的最小值为12-4PE ·PF 3.。
2020版数学新优化浙江大一轮：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入5.4
考点一
考点二
考点三
考点四
向量在平面几何中的应用(考点难度★★★)
【例 1】 (1)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,若������������ + ������������ = ������������ + ������������,则四边形 ABCD 一定为( )
A.正方形 B.矩形
.
关闭
由 2������������ + ������������ + ������������=0,得������������ + ������������ =0,所以 BC 为圆 O 的直径.
又|������������|=|������������|=1,所以在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,∠ACB=π.故������������ ·������������ =
=3cos x-
3sin x=2
3cos
������ + π
6
.
因为 x∈[0,π],所以 x+π6 ∈
π 6
,
7π 6
,
从而-1≤cos 于是,当 x+π6
������ =
+π
π 6
6
,即
≤ 3.
2
x=0 时,f(x)取到最大值
3;
当 x+π6 =π,即 x=56π时,f(x)取到最小值-2 3.
A.2
B.3
C.4
D.32
关闭
由������������ + ������������ = ������������知,ABDC 为平行四边形,又 A,B,C,D 四点共圆,∴
ABDC 为矩形,即 BC 为圆的直径,
2020版高中数学(浙江专用)大一轮课件第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.2
1
4
B. ������������ + ������������
3 1 3 4
1
4
关闭 C.- ������������ + ������������ D.- ������������ − ������������ 3 3 3 3 4 4 1 4 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + (������������ − ������������)=- ������������ + ������������,故 3 3 3 3 选 C. 关闭 C
关闭
设 D(x, y), 则由������������ = ������������, 得(4,1)=(5-x,6-y), 4 = 5-������, ������ = 1, 即 解得 ������ = 5. 1 = 6-������, (1,5)
解析
关闭
答案
-7-
知识梳理
双击自测
3.下列向量组能够作为基底表示向量a=(-2,3)的序号 是 . ①(2,1),(-4,-2);②(0,1),(1,2);③(1,4),(2,5)
知识梳理
双击自测
1.已知向量a=(2,3),b=(x,-6),若a∥b,则x的值为( A.2 B.-2 C.-4 D.-3
)
关闭
因为a∥b,所以2×(-6)-x×3=0,x=-4. C
解析
关闭
答案
-6-
知识梳理
双击自测
2.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的 坐标为 .