1mjt-数列的综合应用(第一课时)

数列的综合应用知识回顾111111(2)(2)(1)(1)()22()--=≥=←-=≥=+--=+=++=++=+⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式数列等比数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q 1111(1)(1)11(1)()---=≠=--==+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明n n n n m p q a a q a q q S q qna q a a a a m n p q 典题解析知识点一 数列与不等式应用例题1.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。

解：⑴1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα 又∵α为锐角∴42πα=∴1)42sin(=+πα x x x f +=2)(⑵ n n n a a a +=+21 ∵211=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02>n a ∴n n a a >+1⑶nn n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(11121∴11111+-=+n n n a a a ∴1322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1111211++-=-=n n a a a ∵4321)21(22=+=a , 143)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12 ∴131>≥+a a n ∴21211<-<+n a∴2111111121<++++++<na a a 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。

例题2. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<< （Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若1,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅. 分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时,因为0<x<1时,1()1011x f x x x '=-=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数.所以f(0)<f(k a )<f(1),即0<11ln 21k a +<-<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<.综上可知10 1.n n a a +<<<(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)= 2ln(1)2x x x ++-, 0<x<1,由2()01x g x x'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而21.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n b b +12n +≥,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅ ————① ,由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a aa a a --⋅< ,因为12a =, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a aa -<⋅<112n n a -<2122n a ⋅=12n ————② .由①② 两式可知: !n n b a n >⋅.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

知识点二 数列的实际应用例４ 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大。

需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？解：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为：3×10%)98.11(++3×9%)98.11(++…+3×1%)98.11(+=%)98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310+-+-+⨯≈33.51（万元）设每年存入x 万元，在2010年年底能够存足50万则：50%)98.11(1]%)98.11(1[%)98.11(10=+-+-+∙∙x解得x=4.48（万元）分析：通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题； 方案二：分析方法1：设每年还x ，第n 年年底欠款为n a ，则 2001年底：1a =50（1+4.425%）–x 2002年底：2a =1a （1+4.425%）–x=502%)425.41(+–（1+4.425%）·x –x … 2010年底：10a =9a （1+4.425%）–x=50×10%)425.41(+–9%)425.41(+ ·x –…–（1+4.425%）·x –x=50×10%)425.41(+–0%)425.41(1%)425.41(110=∙+-+-x解得：1010%)425.41(1%)]425.41(1[%)425.41(50+-+-+⨯=x ≈6.29（万元） 分析方法2：50万元10年产生本息和与每年存入x 的本息和相等，故有 购房款50万元十年的本息和：5010%)425.41(+每年存入x 万元的本息和：x ·9%)425.41(++x ·8%)425.41(++…+x=%)425.41(1%)425.41(110+-+-·x 从而有 5010%)425.41(+＝%)425.41(1%)425.41(110+-+-·x解得：x=6.29（万元） ， 10年共付：62.9万元。

基本训练1. 数列{}n a 中，12,a =12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩ 是奇是偶 ，则5a = 。

2. 等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1311,,a a a 恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。

3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，若2110,m mm a a a -+-+=2138m S -=，则m = 。

4. 设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，且10b =，数列{}n c 的前三项依次是1,1,2，且n n n c a b =+，则数列{}n c 的前10项和为 。

5. 如果函数()f x 满足：对于任意的实数a b 、，都有()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则(2)(5)(9)(14)(1274)(1)(3)(6)(10)(1225)f f f f f f f f f f +++++= 。

能力提高1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A.7SB.8SC.13SD.15S2. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 各项都是正数，且112121,n n a b a b ++==，那么，一定有（ ） A .1111.n n n n a b B a b ++++≤≥ C .1111.n n n n a b D a b ++++><3. 等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为 。

4. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为______，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 。