【人教B版】选修2-2数学：1.7.1《定积分在几何中的应用》ppt课件

f x g x dx a .
b
例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形 的面积.
思考1：曲线y2=x与y=x2所围成的图形是什么？
思考2：用定积分求其面积时, 被积函数是上边界函数减去下边界函数 , 积分区间由公共 交点 位置确定
例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形 的面积. 作出y2=x,y=x2的图象如图所示: 解：
3 2
3
需分割的图形面积求解
问题 3 ：已知函数 y f ( x) ， y g ( x) 在区间
a, b 上的图象如图所示， 试用定积分表示阴影图
形的面积：
S S1 S2 g ( x ) f ( x ) d x
c a
f ( x ) g ( x ) d x c
b
(一)求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别 注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
（二）常见的曲边梯形面积的计算方法： 类型一：不必分割的图形面积求解：在公共的区 间上，用曲边梯形的上边界函数减去下边界函数 构造被积函数，求其定积分即可.
a
y
y＝f(x)
b xຫໍສະໝຸດ baf ( x) d x
O a
即： S a f ( x) d x
b
不必分割的图形面积求解 问题1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a, x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y
y f ( x)
o
a
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a
b
(2)
b
(2) S
y
y2 x
y x x 0 及 x 1 2 y x 两曲线的交点 O(0, 0) B(1,1)
B
C o O
1 3 1
y x2
D
x A
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 1 2
2 1 1 2 3 x 2 . xdx x dx x 0 0 3 3 0 3 3 3 0 1 3 1 1 2 x 2 或S ( x - x )dx ( x ) . 0 3 3 0 3
a
A2 [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
a
o
a
b
b
x
图3.如图
y
图4.如图
b
0
a
y
0
y f2 ( x)
a
b x
b
x
y f ( x)
A3 f ( x )dx
a
b
y f1 ( x )
A4 [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
a
例2
计算由曲线 y 2 x ，直线 y x 4以及 x 轴所
类型二：需分割的图形面积求解：当曲边梯形无 法一次性用定积分表达出来，需要分割图形后， 在不同的区间上选择合适上下边界确定被积函数 ，进而计算其定积分即可.
试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形 y y f ( x)
图2.如图 y
y f2 ( x) y f1 ( x )
b x o a b A1 f ( x )dx

b
a
f ( x) d x f ( x) d x
a
问题2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线
x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
问题：用定积分表示曲边梯 确定积分区间后，被积 总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) 形的面积时，如何确定被积 函数为曲边梯形的上边 函数？ 界函数 减去 下边界函 数. 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
解：图象效果如右图所示：
y x2 2x 3 由 ， y x 3 解得x 0或x 3，
因此所求图形的面积为
2 S x 3 ( x 2 x 3) dx 0 3
9 1 3 3 2 x 3x d x x x 0 2 0 2 3
1.7
定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用
内容：S a f ( x)d x 应用: 1.不必分割的图形面积求解 2.需分割的图形面积求解
b
3.利用图形面积求参数
本课主要学习定积分在几何中的应用。以一段视频 引入新课，接着复习定积分的几何意义、微积分基本定 理为利用定积分求平面曲边图形的面积做准备。能够应 用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．求解不 规则的平面图形的面积时，在不同的积分区间选择恰当 的函数边界，表示曲边图形的面积. 在讲述定积分在几何中的应用时，采用例题与变式 结合的方法，通过例 1 和变式 1探讨不必分割的图形面积 求解；通过例 2 和变式 2掌握需分割的图形面积的求解方 法；通过例 2和变式 2 掌握需分割的图形面积的求解方法 。例3和变式3是利用图形面积求参数，有一定的难度.采 用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解定积分在几何 中的应用.
3 2
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象(弄清相对位置关系); 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，
特别注意分清被积函数的上、下位置;
4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
变式1：计算由曲线y=x2-2x+3和直线y=x+3所围成 的图形的面积.
围成的图形的面积.
思考 1：直线 y x 4 与曲线
定积分的几何意义是什么？
我们知道定积分 f ( x )dx 的几何意义：
a b
如果在区间 a, b 上函数 f ( x) 连续且恒有 f ( x) 0 ， 那 么定积分 f ( x) d x 表示由直线 x a, x b, y 0 和曲
.
b
线 y f ( x) 所围成的曲边图形的 面积 .