(重庆市)2014年高考真题数学(文)试题

2014年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） .100A .150B .200C .250C4.下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=-.()22x xD f x -=+5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为.10A .17B .19C .36C6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:"1"q x =是方程"20"x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12B.18C.24D.308.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点， 双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.15C.4D.179.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+B.327+C.346+D.347+10.已知函数]1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.]21,0(]2,49(⋃-- B.]21,0(]2,411(⋃-- C.]32,0(]2,49(⋃-- D.]32,0(]2,411(⋃-- 二、填空题11.已 知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______. 12.已知向量=⋅=--=b a b a b a则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.13. 将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______.14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的， 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（1）若25,2==b a ，求C cos 的值;（2）若CAB B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值.19.（本小题满分12分）已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分） 如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.（1）证明：BC⊥平面POM ；（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.21.如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,FF ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DFF ∆的面积为22. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.数学（文）（重庆卷）参考答案一、 选择题（1）B （2）B （3）A （4）D （5）C （6）A （7）C （8）D （9）D （10）A二、 填空题（11）{}3,5,13 （12）10 （13）22（14）0或6 （15）932二、 简答题 （16）解：（I ）因为{}n a 是首项11a =，公差2d =的等差数列，所以()1121n a a n d n =+-=-故()()12121,13(21)22n n n a a n n S n n ++-=+++-=== （II ）由（I ）得，447,16.a S ==因为()01442=++-S q a q ，即28160q q -+= 所以()240q -=，从而4q =.又因12b =，是{}n b 公比4q =的等比数列，所以11211242n n n n b b q ---==⋅= 从而{}n b 的前n 项和()()1124113n nn b q T q-==-- （17）解：（I ）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a ==（II ）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯=成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯=（III ）记成绩落在[)5060，中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ，则从成绩在[)7050，的学生中人选2人的基本事件共有10个： ()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =（18）解：（Ⅰ）由题意可知：()782c a b =-+=由余弦定理得：222222572122cos 525222a b c C ab ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⋅⋅ （Ⅱ）由22sin cossin cos 2sin 22B A A B C +=可得：1cos 1cos sin sin 2sin 22B A A BC ++⋅+⋅= 化简得sin sin cos sin sin cos 4sin A A B B B A C +++=因为sin cos sin cos sin()sin A B B A A B C +=+=，所以sin sin 3sin A B C += 由正弦定理可知：3a b c +=，又因8=++c b a ，故6a b += 由于19sin sin 22S ab C C ==，所以9ab =，从而2690a a -+=，解得3, 3.a b == （19）解：（Ⅰ）对()f x 求导得()2114a f x x x'=--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =知()32,4f x a '=--=-解得54a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知53()ln 442x f x x x =+--，则()22215145,444x x f x x x x --'=--= 令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞内，故舍去. 当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数； 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-. （20）解：（Ⅰ）如答（20）图，因ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO O B ⊥，因3BAD π∠=，故sin 2sin 16OB AB OAB π=⋅∠==又因为12BM=，且3OBM π∠=，在OBM ∆中2222cos OM OB BM OB BM OBM =+-⋅⋅∠22113121cos 2234π⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭所以222OB OM BM =+，故OM BM ⊥又PO ⊥底面ABCD ，所以PO BC ⊥,从而BC 与平面POM 内两条相交直线,OM PO 都垂直，所以BC ⊥平面.POM（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，cos 2cos36OA AB OAB π=⋅∠=⋅=设PO a =，由PO ⊥底面ABCD 知，POA ∆为直角三角形，故22223PA PO OA a =+=+由POM ∆也是直角三角形，故222234PM PO OM a =+=+连结AM ，在ABM ∆中,2222cos AM AB BM AB BM ABM =+-⋅⋅∠2211221222cos 2234π⎛⎫=+-⋅⋅⋅=⎪⎝⎭由已知MP AP ⊥，故APM ∆为直角三角形，则222PA PM AM +=即22321344a a +++=，得32a =，32a =-（舍去），即32PO = 此时1122ABMO AOB OMB S S S AO OB BM OM ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅1113533122228=⋅⋅+⋅⋅= 所以四棱锥P ABMO -的体积115335338216P ABMO ABMO V S PO -=⋅⋅=⋅⋅=（21）解：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c ==从而122112122,222DF F S DF F F c ∆=⋅==故1c =. 从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11FP ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111,CP F P ⊥得101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故053y =圆C 的半径221415423333CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭。