2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件 巧用性质 妙解函数
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件导数的简单应用
[典例]
(2017· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝exex－a－a2x.
❶
(1)讨论 f(x)的单调性； (2)若fx≥0，求 a 的取值范围． [解答示范]
❷
(一)搭桥——找突破口
(一)搭桥——找突破口
第(1)问： 欲讨论 f(x)的单
第(2)问： 欲求 a 的取值范围， 调性，应先求 f(x)的定义 应想到找出有关 a 的不等关 系．由 f(x)≥0，则应求 f(x)的最 小值，借助(1)的结论可得．
g(1))处的切线方程为 9x＋y－1＝0，则曲线 y＝f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为________．
解析：由已知得 g′(1)＝－9，g(1)＝－8， 1 x 1 9 1 又 f′(x)＝ g′ 2 ＋2x，∴f′(2)＝ g′(1)＋4＝－ ＋4＝－ ， 2 2 2 2 1 f(2)＝g(1)＋4＝－4，∴所求切线方程为 y＋4＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y＋6＝0.
[答案] 2x－y＝0
[类题通法] 1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的 3 种类型及方法
(1)已知切点 P(x0，y0)，求切线方程 求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率 k，求切线方程 设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式 写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜 率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式 写出方程．
π f′2＝1，则
a＝(
)
解析：∵f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且 π π π ∴sin ＋ cos ＋a＝1，即 a＝0. 2 2 2
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-6函数的性质及图像 精品
[函数的周期性、对称性] (1)(2016·马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝1，其 对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则 f(2 015)＋f(2 016) ＝________．
【解析】 令 x＝－3，故 f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又 f(－ 3)＝－f(3)，故 f(3)＝0，故 f(x＋6)＝f(x)，故 f(2 015)＝f(5)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－1，f(2 016)＝f(0)＝0，故 f(2 015)＋f(2 016)＝－1.
【答案】 C
(5)(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1
∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围
为( )
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【审题】 对∀x1，∃x2 使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
【解析】 由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0 对一切实数 x 都成立，即 mx2－6mx＋m＋8＝0 在实数集上无解．当 m＝0 时， 定义域为 R，满足题意；当 m≠0 时，由 Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0， 解得 0<m<1.综上，实数 m 的取值范围是[0，1)．
【答案】 [0，1)
【答案】 A
【回顾】 (1)①若 f(x＋T)＝f(x)，则 T 为周期；②若 f(x＋ a)＝－f(x)，则 T＝2a；③若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；④若 f(x ＋a)＝－f（1x），则 T＝2a.
(2)①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，即 f(x)＋f(2a －x)＝2b，则 y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)成轴对称；③若 y＝f(x＋a)是偶函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称，若 y＝f(x＋a)是奇函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件：第二部分 板块(二) (六)向量小题 三招搞定
且满足|―M→N |＝ 2，则―BM→·―B→N 的取值范围为
()
A．32，2 C．32，2
B．32，2 D．32，＋∞
解析：以等腰直角三角形的直角边BC为x轴， BA为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 B(0，0)，直线AC的方程为x＋y＝2. 设M(a,2－a)，0<a<1，N(b,2－b)，∵MN＝
上，由|c－a－2b|＝1，可知|c－(a＋2b)|＝
|―O→C －―O→B |＝|―B→C |＝1，所以点C在以B
为圆心，1为半径的圆上，如图所示．
法一：因为a·(a＋2b)＝0，所以2a·b＝－|a|2. 又|a|＝|b|＝1，所以|a＋2b|＝ |a|2＋4|b|2＋4a·b ＝ 4|b|2－|a|2 ＝ 3， 所以|c|max＝|―O→B |＋1＝|a＋2b|＋1＝ 3＋1. 法二：连接AB，因为―O→B ＝―O→A ＋―A→B ＝a＋2b， 所以―A→B ＝2b. 因为|a|＝|b|＝1，所以|―A→B |＝2，|―O→A |＝1， 所以|―O→B |＝ |―A→B |2－|―O→A |2＝ 3， 所以|c|max＝|―O→B |＋1＝ 3＋1. 答案：D
| AC | | AP |
所以I在∠BAP的平分线上，由此得I是△ABP的内心．
如图，过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径作△PAB的
内切圆，分别切PA，PB于E，F，
因为|―PA→|－|―P→B |＝4，|―PA→－―P→B |＝10， |―BH→|＝|―F→B |＝12(|―P→B |＋|―A→B |－|―PA→|) ＝12[|―A→B |－(|―P→A |－|―P→B |)]＝3.
2 ，∴(a－b)2＋(2－a－2＋b)2＝2， 即(a－b)2＝1，解得b＝a＋1 或b＝a－1(舍去)， 则N(a＋1,1－a)，∴―BM→＝(a,2－a)，―B→N ＝(a＋1,1－a)， ∴―BM→·―B→N ＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝2a－122＋32， ∵0<a<1，∴当a＝12时，―BM→·―B→N 取得最小值32，
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件：第二部分 板块(二) (十三)均值柯西 妙解最值
[常用结论——记一番]
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取等号)． 2．如果 a，b 是正数，那么a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)． 我们称a＋2 b为 a，b 的算术平均数，称 ab为 a，b 的几何平均数． 3．最值定理：若 x，y∈R＋，x＋y＝S，xy＝P，则： ①如果 P 是定值，那么当 x＝y 时，S 的值最小； ②如果 S 是定值，那么当 x＝y 时，P 的值最大．
答案：25
3．设 x，y 为正数，x＋y＝1，求x＋x22＋y＋y21的最小值． 解：x＋x22＋y＋y21＝x2－x＋4＋2 4＋y2－y＋1＋1 1 ＝x－2＋x＋4 2＋y－1＋y＋1 1 ＝x＋4 2＋y＋1 1－2 ＝14x＋4 2＋y＋1 1[(x＋2)＋(y＋1)]－2 ＝145＋4xy＋＋21＋xy＋＋12－2≥14(5＋4)－2＝14， 当且仅当 x＝2y＝23时取等号．所以x＋x22＋y＋y21的最小值为14.
[例 2] (2017·湖南湘中名校高三联考)已知关于 x 的不等式
|x＋a|<b 的解集为{x|2<x<4}． (1)求实数 a，b 的值；
(2)求 at＋12＋ 3bt的最大值． [解] (1)由|x＋a|<b，可得－b－a<x<b－a， 所以－b－a＝2 且 b－a＝4. 解得 a＝－3，b＝1. (2)利用柯西不等式，可得 －3t＋12＋ 3t＝ 3( 4－t＋ t)≤ 3 1＋14－t＋t＝ 6 4－t＋t＝2 6，当且仅当 t＝ 4－t，即 t＝2 时等号成立． 所以 at＋12＋ 3bt的最大值为 2 6.
(十三)均值柯西 妙解最值
[速解技法——学一招] 柯西不等式
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第三部
回扣一集合与常用逻辑用语[基础知识看一看]一、牢记概念与公式四种命题的相互关系二、活用定理与结论运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[易错易混想一想]1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B ⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[保温训练手不凉]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题“若α≠β，则“sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然是假命题，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．因此，“α≠β是sin α≠sin β”的必要而不充分条件．3．命题p ：m >7，命题q ：f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R)有零点，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当m >7时，方程x 2＋mx ＋9＝0的判别式Δ＝m 2－36>0，此时f (x )有两个零点；反过来，当f (x )有零点时，Δ＝m 2－36≥0，即m 2≥36，不能得知m >7.因此，p 是q 的充分不必要条件．4．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1,0}D ．{0,1,2}解析：选B 不妨设a <b <c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋c ＝2，b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，c ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，|a －c |＝2，|b －c |＝1.由此知所求集合为{1,2}．5．已知集合M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝2x}，则M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |x ≤1}，N ＝{y |y >0}，所以M ∩N ＝{x |0<x ≤1}． 答案：(0,1]6．下面四个命题：①函数y＝log a(x＋1)＋1(a>0且a≠1)的图象必过定点(0,1)；②“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；③过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y－1＝0.其中所有真命题的序号是________．解析：①中，当x＝0时，y＝log a1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y＝log a x的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以①为真命题；②中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，所以②为真命题，其逆否命题也为真命题；③中，直线2x－3y＋4＝0的斜率为23，所以和2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－32，因为直线过点(－1,2)，所以所求直线方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，所以③为真命题．综上真命题有①②③.答案：①②③回扣二函__数[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．函数的单调性、奇偶性、周期性(1)单调性是函数在其定义域或定义域某子区间I上的性质．对任意的x1，x2∈I，若x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为I上的增函数；若x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为I上的减函数．(2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．2．指数与对数式的运算公式a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a m n；log a(MN)＝log a M＋log a N；log a MN＝log a M－log a N；log a M n＝n log a M；a log a N＝N；log a N＝logb Nlog b a(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．3．指数函数与对数函数的性质1．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．3．函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)到原来的a 倍，而横坐标不变，得到函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象．(2)把y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长(0＜b ＜1)或缩短(b ＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y ＝f (bx )(b ＞0)的图象．4．确定函数零点的三种常用方法(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．(2)零点定理法．根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )·f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点．(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．[易错易混想一想]1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．[保温训练手不凉]1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 符合． 2．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43解析：选D 首先讨论分母1－x (1－x )的取值范围：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.因此，有0<11－x－x≤43.所以f (x )的最大值为43.3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1；令x －1＝0，解得x ＝1.所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2-43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选B a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，b ＝2-43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11613，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213.考查幂函数y ＝x 13，显然该函数在(0，＋∞)上是增函数，则易知c >a >b .7．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，在各选项中画出直线y ＝2，满足在(－∞，0)内有交点的只有选项D.8．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，函数f x x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析：选A g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈，1].和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1,0]和y ＝x ，x ∈(0,1]都相交时0<m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m x ＋，y ＝1x ＋1－3消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，即m ＝－94时，直线y ＝m (x＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.综上，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，选A.10．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a >0，4ac －164a ＝0，∴ac＝4，c >0，∴1c ＋9a≥29ac ＝3，当且仅当1c ＝9a ，即a ＝6，c ＝23时等号成立，∴1c ＋9a的最小值为3.答案：311．已知奇函数f (x )＝m －g x1＋g x的定义域为R ，其中y ＝g (x )为指数函数，且其图象过点(2,9)，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设g (x )＝a x (a >0，a ≠1)，则a 2＝9，∴a ＝3或a ＝－3(舍去)，∴g (x )＝3x，∴f (x )＝m －3x1＋3x，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m －3－x1＋3－x＝－m －3x1＋3x，整理得m (3x＋1)＋m (1＋3－x)＝3x＋1＋1＋3－x，∴m ＝1(或由f (0)＝0得m ＝1)，∴f (x )＝1－3x1＋3x .答案：f (x )＝1－3x1＋3x12．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的定义，可得到f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝________.解析：由题意可得，对于函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2，当x 1＋x 2＝0时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝4，所以f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝4×20＋f (0)＝82.答案：82回扣三导数及其应用[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．基本导数公式： (1)c ′＝0(c 为常数)； (2)(x m)′＝mxm －1(m ∈Q)；(3)(sin x )′＝cos x ； (4)(cos x )′＝－sin x ； (5)(a x)′＝a xln a (a >0且a ≠1)； (6)(e x)′＝e x； (7)(log a x )′ ＝1x ln a(a >0且a ≠1)； (8)(ln x )′＝1x.2．导数的四则运算： (1)(u ±v )′＝u ′±v ′； (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫u v′＝u ′v －uv ′v 2(v ≠0)． 二、活用定理与结论 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．2．函数的单调性与导数的关系在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．3．导数研究函数单调性的一般步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0即可；若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[易错易混想一想]1．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．2．导数为零的点并不一定是极值点，例如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．3．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．[保温训练手不凉]1．已知函数f(x)＝1xcos x，则f′(x)＝( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x－x sin xx2D.－cos x＋x sin xx2解析：选D f′(x)＝－1x2cos x－sin xx＝－cos x＋x sin xx2.2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.3．一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )解析：选B 分两种情况讨论：当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能；当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x＋a 2的对称轴为x ＝12a，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 不可能．故选B.4．x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：选C 当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令m ＝1x ，则m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，a ≤－3m 3－4m2＋m ，令g (m )＝－3m 3－4m 2＋m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，则g ′(m )＝－9m 2－8m ＋1＝－(m ＋1)(9m －1)．显然在(－∞，－1]上g ′(m )≤0，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12上，g ′(m )>0，所以g (m )min ＝g (－1)＝－2.所以a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立．故实数a 的取值范围为[－6，－2]．5．若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意有y ′＝－e －x，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e －(－ln 2)＝2.答案：(－ln 2,2) 6．函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.则2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x－sin x x2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. 答案：－1回扣四不_等_式[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．不等式的性质 (1)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(2)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ； (3)a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； (4)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (5)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(6)a ＞b ＞0，n ∈N ，n ＞1⇒a n＞b n，n a ＞nb . 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x ＞0⇔f (x )g (x )＞0，f xg x＜0⇔f (x )g (x )＜0. (2)f x g x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x，f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x(3)对于形如f xg x＞a (≥a )的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．3．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |≤①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 二、活用定理与结论 1．常用的六个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R)． (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(6)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 2．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．3．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.4．基本不等式求最值问题 若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab ，当且仅当“a ＝b ”时取等号．应用基本不等式求最值应注意“一正、二定、三相等”．[易错易混想一想]1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．5．解绝对值不等式易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．6．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2,2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．[保温训练手不凉]1．已知－1<a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2>－a 3>－a B ．－a >a 2>－a 3C ．－a 3>a 2>－aD ．a 2>－a >－a 3解析：选B ∵－1<a <0，∴0<－a <1，∴－a >(－a )2>－a 3，即－a >a 2>－a 3.2．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．3．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是( ) A ．20 B ．150 C ．75D ．1510解析：选A 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ―→·OA ―→的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选B 画出区域D ，如图所示，而z ＝OM ―→·OA ―→＝2x ＋y ，故y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12，故a 的最小值为12.6．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选 D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.7．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意；(2)当a2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，a －2－a 2＋4a －，解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19. 答案：[1,19)回扣五三角函数、解三角形与平面向量 [基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ；(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3．三种函数的性质4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2tan α1－tan 2α. 5．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.6．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )， 则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 二、活用定理与结论 1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径． (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB ―→，AC ―→共线；向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性． 4．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． 6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b·c )与a 共线．9．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．[保温训练手不凉]1．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝( )A.12 B.34C.58D.38解析：选D 由倍角公式，得sin 2α＝12(1－cos 2α)．又cos 2α＝14，所以sin 2α＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38.2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选B 依题意，33＝12×4×3sin C ，解得sin C ＝32.故角C 为60°.3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6解析：选C 因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，所以角α在第四象限，tan α＝cos5π6sin5π6＝－3，故α的最小正值为5π3.4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，由点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|得AB ―→＝2AP ―→，或AB ―→＝－2AP ―→.而AB ―→＝(2,2)，AP ―→＝(x －2，y )，由(2,2)＝2(x －2，y )，解得x ＝3，y ＝1，此时点P 的坐标为(3,1)；由(2,2)＝－2(x －2，y )，解得x ＝1，y ＝－1，此时点P 的坐标为(1，－1)．综上所述，点P 的坐标为(3,1)或(1，－1)．5．若函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f (x )图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选C f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，由题设知2x＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0.6．已知在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE ＝3EC ，若P 是BC 边上的动点，则AP ―→·AE ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，103 解析：选C 以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，23，E (1,0)．设P (x,0)，x ∈[－2,2]，所以AP ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23＝x ＋43∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.7．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13 D.12解析：选D 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，得y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4的图象，由题知tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z)，解得ω＝6k ＋12(k ∈Z)．又因ω>0，故ω的最小值为12.8．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是________．解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝2π3＋2(k 1－k 2)π， ∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 答案：2π39．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2，x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π2＋π62＝π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0应是与对称轴x ＝7π12相邻的对称中心，∴T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.答案：π10.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为3，P 是圆O 上任意一点，点Q 满足BP ―→＝12PQ ―→，则AB ―→·AQ ―→的取值范围是________．解析：AB ―→·AQ ―→＝AB ―→·(AB ―→＋BQ ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BP ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BO ―→＋3OP ―→)＝AB ―→2＋3AB ―→·BO ―→＋3AB ―→·OP ―→， 由已知得AB ＝3，OB ＝OA ＝OP ＝2. 〈AB ―→，BO ―→〉＝π－∠ABO ，由余弦定理得cos ∠ABO ＝32＋22－222×3×2＝34.∴cos 〈AB ―→，BO ―→〉＝－34，AB ―→·OP ―→∈[－6,6]．∴AB ―→·AQ ―→＝9－272＋3AB ―→·OP ―→∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272 回扣六数列与数学归纳法[基础知识看一看]一、牢记概念与公式等差数列、等比数列S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d(1)q ≠1，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11．等差、等比数列的常用性质2．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．3．判断等比数列的三种常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．4．证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．[易错易混想一想]1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n )与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论．7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2n ，求最小值，既要考虑函数f (x )＝x ＋2x(x >0)的单调性，又要注意n 的取值限制条件．8．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 9．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1的过程中增加了哪些项或减少了哪些项．[保温训练手不凉]1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可知，若a 1<a 2<a 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1<a 1q ，a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，解得q >1，此时数列{a n }是递增数列，当a 1<0时，解得0<q <1，此时数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则a 1<a 2<a 3成立，所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件．3．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.4．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.5．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝________. 解析：∵a 4＋a 6＝2a 5＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝3， 又S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝10，解得公差d ＝12. 答案：126．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：由S 5S 6＋15＝0得(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即30a 21＋135a 1d ＋150d 2＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，由于a 1，d 为实数，故(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0，即d 2≥8，故d ≥22或d ≤－2 2.答案：(－∞，－2 2 ]∪[22，＋∞)7．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：8回扣七立_体_几_何[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线长)，S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′，r 分别为上、下底面的半径，l 为母线长)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．“向量法”求解“空间角” (1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. (3)向量法求二面角求出二面角αl β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角αl β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角αl β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.二、活用定理与结论 1．把握两个规则(1)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)画直观图的规则画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x 轴、z 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度为原来的一半．2．线、面位置关系判定的六种方法。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第一部分 层级二 75分的重点保分题精析精研重点攻关
保分专题(一) 基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析][师生共研·悟通]指数与对数式的8个运算公式(1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )m ＝a m b m ；(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(5)log a MN ＝log a M －log a N ；(6)log a M n＝n log a M；(7)a log a N＝N；(8)log a N＝log b N log b a.[注意](1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.[典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析]选D由2x＝3y＝5z，可设(2)2x＝(33)3y＝(55)5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t>1，因为2＝623＝68，33＝632＝69，所以2<33；因为2＝1025＝1032，55＝1025，所以2>55，所以55<2<33.分别作出y＝(2)x，y＝(33)x，y＝(55)x的图象，如图．则3y<2x<5z，故选D.(2)已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()[解析]选B∵f(x)＝a x－2>0恒成立，又f(4)·g(－4)<0，∴g(－4)＝log a|－4|＝log a4<0＝log a1，∴0<a<1.故函数y＝f(x)在R上单调递减，且过点(2,1)，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确．[即学即用·练通]1．已知函数f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[1,81]B ．[1,3]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )的图象过点(2,1)可知b ＝2， ∴f (x )＝3x －2，其在区间[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝30＝1，f (x )max ＝f (4)＝32＝9. 故f (x )的值域为[1,9]．2．若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.3．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2， ∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 2[师生共研·悟通]1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[典例] (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 018x ＋log 2018x ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2 018x 和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示，可知函数f (x )＝2 018x ＋log 2 018x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点，又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3.(2)(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)[解析] 选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：①当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；②当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[类题通法]1．判断函数零点个数的3种方法2．利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法[即学即用·练通]1．函数f (x )＝log 3x －x ＋2必有一个零点的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫19，13 B.⎝⎛⎭⎫13，59 C.⎝⎛⎭⎫59，79 D.⎝⎛⎭⎫79，1 解析：选A 因为f (x )＝log 3x －x ＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319－19＋2＝－2－19＋2＝－19<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝log 313－13＋2＝－1－13＋2＝23>0， 即f ⎝⎛⎭⎫19·f ⎝⎛⎭⎫13<0， 所以函数f (x )＝log 3x －x ＋2在⎝⎛⎭⎫19，13上必有一个零点．2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为f (x )在(1,2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(3－a )<0，所以0<a <3.3．设f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5，函数g (x )是这样定义的：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1(x )，当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 2(x )，若方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(3,4)解析：选D 作出f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的图象如图，函数g (x )的图象为两函数中位置在上的部分(即图中实线部分)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤1，－x 2＋6x －5，1<x ≤4，x －1，x >4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－x 2＋6x －5， 得A (4,3)，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的顶点坐标为B (3,4)，要使方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，即函数g (x )的图象与函数y ＝a 的图象有四个不同交点，数形结合可得3<a <4，故选D.函数的实际应用[师生共研·悟通][典例] (2017·湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析] 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝0.915，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0⎝⎛⎭⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭⎫0.915t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． [答案] 10 [类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[即学即用·练通]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N)．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案．2．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(百台)进行统计，得数据如下：x (月份) 1 2 3 4 5 Q (x )(百台)691086x (月份)变化关系的模拟函数是( )A ．Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B ．Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C ．Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0)D ．Q (x )＝a ·b x (a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(百台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.[专题过关检测]A 级——常考点落实练1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.4．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．5．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．6．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.7．(2017·云南第一次统一检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 因为a ＝60.7>1，b ＝log 70.6<0,0<c ＝log 0.60.7<1，所以a >c >b .8．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．10．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.B 级——易错点清零练1．已知函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－12，2 解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠1，2x ＋1>0，解得x >－12且x ≠0.2．已知a ＞1，f (x )＝a x 2＋2x ，则使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1＜x ＜0B ．－2＜x ＜1C ．－2＜x ＜0D ．0＜x ＜1解析：选A ∵a ＞1，∴y ＝a x 在R 上为增函数，故f (x )<1⇔a x 2＋2x <1⇔a x 2＋2x <a 0⇔x 2＋2x <0⇔－2<x <0，结合选项可知，使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0.3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件， 故f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )， 即A ＝[1,4)，B ＝[2－k,4－k )， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 答案：[0,1]C 级——“12＋4”高考练1．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．2．“1a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >1得0<a <1，若函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增，则3－2a >1，解得a <1.故“1a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的充分不必要条件．3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．1093解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173，则M N ≈101731080＝1093.4．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 函数f (x )＝|log2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.5．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lg x －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lgx ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．6．(2018届高三·济南质检)已知a ＝2－13，b ＝(2log 23)－12，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a解析：选C 依题意得，a ＝2－13，b ＝3－12，c ＝－14cos x π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝⎛⎭⎫126＝164，则a>b>c.7．(2017·沈阳模拟)若函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )A B C D解析：选B 由函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－x ，y ＝(－x)3＝－x 3及y ＝log 3(－x)均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B .8．(2017·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A ．11 000元B ．22 000元C ．33 000元D ．40 000元解析：选C 设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．9．(2018届高三·西安八校联考)已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f(log 3x ＋1)≤5的解集为( )A .⎝⎛⎭⎫13，1B ．[1,4]C .⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5， 解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4.10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2017·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，33B.⎝⎛⎭⎫0，22C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫0，66解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33. 13．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________.解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：414．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④15．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④. 答案：①④保分专题(二) 导数的简单应用[全国卷3年考情分析][师生共研·悟通]1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．2．四个易误导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ； (3)(a x )′＝a x ln a (a >0)； (4)(log a x )′＝1x ln a(a >0，且a ≠1)． [典例] (1)已知M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x 2，1≤x ≤2，y ≥0表示的平面区域，直线l ：y ＝2x＋a ，当a从－2连续变化到0时，区域M 被直线l 扫过的面积为( )A.73 B ．2 C.32D ．43[解析] 选D 作出图形可得区域M 被直线l 扫过的面积为 S 2＝⎠⎛12x 2d x －S 1＝13x 321－12×1×2 ＝13×(8－1)－1 ＝43.(2)(2017·昆明质检)若函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝___________________________________________________________.[解析] 由题意，得f ′(x )＝－2ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3.[答案] 3(3)(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．[解析] 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] 2x －y ＝0[即学即用·练通]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．(2017·沈阳质检)设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ，∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝03.⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.解析：⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 31－1＝23，而根据定积分的定义可知⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，即半圆的面积，∴⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝23＋π2.答案：23＋π2利用导数研究函数的单调性[师生共研·悟通] 导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ❶.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0❷，求a 的取值范围．[解答示范](一)搭桥——找突破口第(1)问：欲讨论f (x )的单调性，应先求f (x )的定义域及导数f ′(x )，再讨论f ′(x )的符号；第(2)问：欲求a 的取值范围，应想到找出有关a 的不等关系．由f (x )≥0，则应求f (x )的最小值，借助(1)的结论可得．(二)建桥——寻关键点[解] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2e 34，1.[即学即用·练通]1．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2 6 ] B ．⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－2 6.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <－2时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ×169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数.利用导数研究函数的极值(最值)问题[师生共研·悟通]函数f (x )在点x 0附近有定义，若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x ❶.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程❷；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值❸. [解答示范](一)搭桥——找突破口第(1)问：欲求函数在某点处的切线方程，应知切线的斜率，即求f (x )在此点处的导函数值；第(2)问：欲求函数在某区间上的最值，应知f (x )在此区间的单调性，即判断f ′(x )在此区间上的正负．(二)建桥——寻关键点[解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x)＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[即学即用·练通]1．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 2．已知函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.3－1B.34 C.43D.3＋1解析：选A 由f (x )＝xx 2＋a 得f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当a ＞1时，若x ＞a ，则f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 若1＜x ＜a ，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝a 时，函数f (x )有最大值12a ＝33，得a ＝34＜1，不合题意；当a ＝1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f (1)＝12，不合题意；当0＜a ＜1时，函数f (x )在 [1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f (1)＝1a ＋1＝33，得a ＝3－1，符合题意．故a 的值为3－1.3．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x . 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减； 当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx ，所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a . 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a ≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,0)．[专题过关检测]一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( ) A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值 B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2 解析：选D f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， 所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．0D ． 2解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－bx2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，令当1－bx 2＝0，得b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．6．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x ，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－18，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2， 易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.二、填空题7．(2017·长春质检)⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．已知函数f(x)＝12x 2＋2ax －ln x ，若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x)＝x ＋2a －1x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________．解析：显然m ＞0，由e x ＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m 得x ＝2e m －12，则|AB|＝2e m－12－ln m ．令h(m)＝2e m －12－ln m ，由h ′(m)＝2e m －12－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜12时，h ′(m)＜0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减；当m ＞12时，h ′(m)＞0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．所以h(m)min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝2＋ln 2，因此|AB|的最小值为2＋ln 2.答案：2＋ln 2 三、解答题 10．已知函数f(x)＝xln x＋ax ，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值． 解：(1)f ′(x)＝ln x －1ln 2x＋a ， 由题意可得f ′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)， ∴ln x ∈(0，＋∞)， ∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. (2)当a ＝2时，f(x)＝xln x＋2x(x>1)， f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2xln 2x，令f ′(x)＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0， 解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍去)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 12时，f ′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1212＋2e 12＝4e 12.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2.12．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝aln x ＋x 2－ax (a ∈R)． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x ， 所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3. (2)g (x )＝a ln x ＋x 2－ax －2x ，则g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x . 令g ′(x )＝0，得x ＝a2或x ＝1.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.保分专题(三) 三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]三角函数的定义、诱导公式及基本关系[师生共研·悟通]1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)． 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin xcos x. [典例] (1)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan(π－α)＝( ) A.43 B ．23C ．－23D ．－43[解析] 选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2α＝45， 所以tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－45－35＝43.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．[解析] 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，故原式＝－34.[答案] －34[即学即用·练通]1．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13.法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z)．。
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题二 函数与导数4.2
即 g(x)>g 即 g(x)<g
1 ������ 1 ������
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, .
当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,
-8-
(3)满足条件的x0不存在.证明如下:
假设存在 x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立,
������
1
即对任意 x>0,有 ln x<g(x0)<ln x+ ,(*)
-2-
难点突破二(分离参数构造函数) 若x≥-2时,f(x)≤kg(x)⇔当x≥2,x2+4x+2≤2kex(x+1)恒成立. ������(������)min ≥ 2������(-2 ≤ ������ < -1) ������ 2 +4������ +2 构造函数 h(x)= ������ ,则即证 恒成立 , e (������ +1) ������(������)max ≤ 2������(������ > -1)
难点突破 |f(x1)-f(x2)|≤e-1⇔|f(x1)-f(x2)|max≤e-1⇔|f(x)max-f(x)min|
������(������) ≤ 0, e������ -������ ≤ e-1, ������(1)-������(0) ≤ e-1, ≤e-1⇔ ⇔ -������ ⇔ ⇒g(t) ������(-������) ≤ 0 ������(-1)-������(0) ≤ e-1 e + ������ ≤ e-1, ������(������) ≤ 0, 的单调性 ⇒ 的 m 范围 . ������(-������) ≤ 0
-6-
2018年高考理科数通用版二轮专题复习课件：专题六 第一讲 小题考法——函数的图象与性质
[析考情·明重点]
小题考情分析 大题考情分析 高考对此部分在解答题中的考查以导 1.函数图象与性质及 数的应用为主，主要考查导数、含参 其应用(3年7考) 不等式、方程、探索性问题等方面的 常 常 2.线性规划问题(3年 综合应用，难度较大，题型主要有： 考 考 7考 ) 1.导数的简单应用问题 点 点 3.函数与不等式问题 2.导数与函数零点或方程根的问题 (3年4考) 3.导数与不等式恒成立、存在性问题 4.导数与不等式的证明问题 1.函数与方程 2.不等式的性质 偶 偶 3.利用导数研究函数 考 考 导数与函数、不等式的其他综合问题 的单调性、极值最 点 点 值问题 4.导数的几何意义
3．已知函数
x－1 2e ，x<1， f(x)＝ 3 x ＋x，x≥1，
则 f(f(x))<2 的解集为(
)
A．(1－ln 2，＋∞) C．(1－ln 2,1)
－
B．(－∞，1－ln 2) D．(1,1＋ln 2)
必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求 解
[演练冲关]
fx－4，x>2， x 1． (2018 届高三· 浙江名校联考)已知函数 f(x)＝e ，－2≤x≤2， f－x，x<－2， 则 f(－2 017)＝ ( )
1 A．1 B． e C． D．e2 e 解析：由已知可得，当 x>2 时，f(x)＝f(x－4)，故 f(x)在 x>－2
求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求 “层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 求参数 利用函数 性质求值
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应 的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
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1≤m≤2， 2 －1≤log2m≤1， 7 －1≤log4m＋2≤1， －4≤m≤2， 可得log2m<log4m＋2， 解得 0<m<2， m >0 ， m>0， m＋2>0， m>－2，1 1 故 ≤m<2. 综上可知，实数 m 的取值范围为2，2. 2 1 [答案] 2，2
[经典好题——练一手]
1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝－f(2－x)，当x<2 时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)· (x2－2)<0， 则f(x1)＋f(x2)的值为 A．可正可负 C．恒大于0 B．可能为0 D．恒小于0 ( )
解析：由f(2＋x)＝－f(2－x)可知，函数图象关于点(2,0)中心 对称．因为x<2时，f(x)单调递增，所以x>2时，f(x)单调递 增．因为x1＋x2<4且(x1－2)· (x2－2)<0，设x1<2<x2，则x2<4－ x1，所以f(x2)<f(4－x1)．又因为f(4－x1)＝－f(x1)，所以f(x2)< －f(x1)，即f(x1)＋f(x2)<0.
a＋b c x)＝c，则函数图象关于点 ， 2 对称． 2
[例 1]
定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－2)＝－f(x)， (
3 2 3 2
且在[0,1]上是增函数，则有 A．f B． f C．f D．f
1 4
)
<f
的图象关于直线 x＝1 对称． 由于奇函数 f(x)在[0,1]上是增函数， 故 f(x)在[－1,0]上也是增 函数， 综上，函数 f(x)在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数． 又f
3 1 3 ＝f 2－ ＝f ， 2 2 2 1 1 1 3 － <f <f ＝f . 4 4 2 2
要使方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则直线 y＝ax＋2a＝a(x＋2)的斜率满足kAH<a<kAG， 由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(－2,0)， 2 2 2 2 所以kAH＝ ，kAG＝ ，所以 <a< . 5 3 5 3
2 2 答案：5，3
[常用结论——记一番] 1．函数的单调性
2．函数的奇偶性 (1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： fx f(x)± f(－x)＝0， ＝± 1； f－x (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的 公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 ×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数f(x)是定,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x) ＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ________．
解析：由f(x＋2)＝f(x)，得函数的周期是2. 由ax＋2a－f(x)＝0， 得f(x)＝ax＋2A． 设y＝f(x)，则y＝ax＋2a，作出函数y ＝f(x)，y＝ax＋2a的图象，如图．
答案：C
3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2， 则g(－1)＝________.
解析：由题意得g(－1)＝f(－1)＋2.又f(－1)＋(－1)2＝ －[f(1)＋12]＝－2，所以f(－1)＝－3. 故f(－1)＋2＝－3＋2＝－1，即g(－1)＝－1.
答案：－1
答案：D
2．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x
－m|
－1(m为实数)为偶函
数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c 的大小关系为 A．a<b<c C．c<a<b B．a<c<b D．c<b<a ( )
解析：由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0， 故f(x)＝2|x|－1.当x>0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23， ∴log25>|－log0.53|>0. ∴b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)．
所以 f
[答案]
B
[例 2] 已知函数 f(x)＝x3＋sin x 的定义域为[－1，1]，若 f(log2m)<f(log4(m＋2))成立，则实数 m 的取值范围为_______． [解析] 由 f(x)＝x3＋sin x 的定义域为[－1,1]，
易知 f(x)在[－1,1]上单调递增， 由 f(log2m)<f(log4(m＋2))，
1 － 4 1 4
<f <f
1 － 4 1 4
<f
<f
3 2
<f
1 － 4 1 4
1 － 4
<f
3 2
<f
[解析]
由题设知 f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数 f(x)
板块(二) 系统热门考点——以点带面
(一)巧用性质 妙解函数
[速解技法——学一招]
函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称 性，要深刻理解并加以巧妙地运用． 以对称性为例，若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函 a＋b 数图象关于直线x＝ 对称；若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－ 2
在公共定义域内： (1)若函数 f(x)是增函数，函数 g(x)是增函数，则 f(x)＋g(x) 是增函数； (2)若函数 f(x)是减函数，函数 g(x)是减函数，则 f(x)＋g(x) 是减函数； (3)若函数 f(x)是增函数，函数 g(x)是减函数，则 f(x)－g(x) 是增函数； (4)若函数 f(x)是减函数，函数 g(x)是增函数，则 f(x)－g(x) 是减函数． [提示] 在利用函数单调性解不等式时， 易忽略函数定义域 这一限制条件．