高考数学二轮复习 知识点总结 概 率

概 率【高考考情解读】 1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小，易于得分.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质，如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大，易于得满分.3.近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查，涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验，试题难度中等，考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力．1． 概率的五个基本性质(1)随机事件A 的概率：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．2． 两种常见的概型(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②概率公式：P (A )＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)几何概型①特点：无限性，等可能性． ②概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.考点一 古典概型例1 (2013·山东)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括的事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310.求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m ； (4)计算事件A 的概率P (A )＝m n.(1)(2012·安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )A.15 B.25 C.35D.45答案 B解析 利用古典概型求解．设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个． ∴其概率为615＝25.故选B.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.1136B.518C.16D.49答案 D解析 根据题目条件知所有的数组(a ，b )共有62＝36组，而满足条件|a －b |≤1的数组(a ，b )有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P ＝1636＝49.故选D.(3)盒中有6个小球，其中3个白球，记为a 1，a 2，a 3,2个红球，记为b 1，b 2,1个黑球，记为c 1，除了颜色和编号外，球没有任何区别． ①求从盒中取一球是红球的概率；②从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率． 解 ①所有基本事件为：a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，c 1共计6种．记“从盒中取一球是红球”为事件A ，事件A 包含的基本事件为：b 1，b 2， ∴P (A )＝26＝13.∴从盒中取一球是红球的概率为13.②记“两次取球得分之和为5分”为事件B ，总事件包含的基本事件为：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，a 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，c 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，c 1)，(c 1，a 1)，(c 1，a 2)，(c 1，a 3)，(c 1，b 1)，(c 1，b 2)，(c 1，c 1)，共计36种．而事件B 包含的基本事件为：(b 1，c 1)，(b 2，c 1)，(c 1，b 1)，(c 1，b 2)，共计4种． ∴P (B )＝436＝19.∴“两次取球得分之和为5分”的概率为19.考点二 几何概型例2 (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻 为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(1)在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是( )A.18 B.14 C.34D.78(2)(2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 (1)D (2)A解析 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋a ，由于a ≥0，故f ′(x )≥0恒成立， 故函数f (x )在[－1,1]上单调递增，故函数f (x )在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f－1≤0，f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1≥0，a －b ＋1≥0.设点(a ，b )，则基本事件所在的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤2，0≤b ≤2，画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是78.故选D.(2)方法一 解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如 图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二 连接AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2. 所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π. 考点三 互斥事件与对立事件例3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．解 (1)设通晓中文和英语的人数为x ，通晓中文和日语的人数为y ，通晓中文和韩语的人数为z ，且x ，y ，z ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＋z ＝12，y x ＋y ＋z ＝310，0<z ≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.(2)设通晓中文和英语的人为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，甲为A 1，通晓中文和韩语的人为B 1，B 2，乙为B 1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A 1，B 1)1种． 所以甲和乙不全被选中的概率为1－110＝910.求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA →5，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种； 数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝7 15；因为去唱歌的概率为P2＝4 15，所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－415＝1115.1．互斥事件与对立事件的关系(1)对立一定互斥，互斥未必对立；(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立事件公式P(A)＝1－P(A)来求P(A)．2．古典概型与几何概型P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积1． 电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180B.1288C.1360D.1480答案 C解析 因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为41 440＝1360.2． 袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________． 答案 12解析 从四个不同的数中选三个的情况有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2,3,4)和(2,4,6)，共两种．故所求概率为24＝12.3． (2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.(推荐时间：60分钟)一、选择题1． (2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12 B.13 C.14D.16答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2. 所以，所求概率P ＝26＝13，故选B.2． (2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23 B.25 C.35D.910答案 D解析 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.3． (2012·北京)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区 域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2 的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是 4－π4，故选D. 4． 第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A 大学2名和B 大学4名的大学生志愿者，从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，则至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415答案 C解析 若这2名学生来自两所大学， 则P 1＝2×415＝815；若这2名大学生来自A 大学， 则P 2＝115.故至少有一名A 大学志愿者的概率是815＋115＝35. 5． 一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为( )A.25 B.45 C.225D.425答案 D解析 有放回地摸球，基本事件总数为25；两次都是白球所包含的基本事件为4.所以两次摸出的球都是白球的概率为425.6． 若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为( )A.14 B.12 C.34D.25答案 B解析 方程x ＝22a －2b x，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1 的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)． 由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.二、填空题7． 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________． 答案 23解析 如图，设A ，M ，N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时， 对劣弧AB 来说，其长度小于1，故其概率为23.8． (2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案2063解析 P ＝4×57×9＝2063.9． 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y，则x y为整数的概率是________． 答案 12解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12.10．已知区域Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x －y ≥0，x ≤5，y ≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P (A )＝________. 答案 14解析 作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为12×10×10＝50，区域A (阴影部分)的面积为12×5×5＝252.故该点落在区域A 的概率P (A )＝25250＝14.三、解答题11．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解 从图中可以看出，3个球队共有20名队员．(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A .所以P (A )＝3＋5＋420＝35.故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为35.(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B .则P (B )＝1－P (B )＝1－220＝9 10.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为9 10 .12．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)．(1)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有：(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，所以P(M)＝616＝38.(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，所以P(N)＝516.13．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}．事件M由9个基本事件组成，因而P(M)＝918＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19. 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.。