第一课时 勾股定理
勾股定理(第1课时)精选教学PPT课件
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 B的面积 C的面积
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
1.1 第1课时 认识勾股定理
利用勾股定理进行计算
8 cm
10 cm
2.判断题. AB=5,AC=12,则斜边BC=13 ( )
c=10 ( )
①△RtABC的两直角边
②△ABC的两边a√=6,b=8,则
3.填空题 ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
△ABC的面积为_____,斜边24上的高CD为______.
4.8
在△ABC中,
A D
C
B
解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得:
152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64，
解得 x=±8（负值舍去），
所以另一直角边长为8 cm， 故直角三角形的面积是:
1 8 15 60 (cm2).
2
当堂练 习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积 为 36. cm²
第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理
学习目标 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的
数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）
导入新 课
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑 问我们来一起探索吧.
讲授新 课
名字的由来
我国古代把直角三角形中较短的直角边 称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名.
在西方又称毕达哥拉 斯定理
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边.
利用勾股定理进行计算 例 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.
勾股定理的初步认识
问题1：观察下面地板砖示意图：
八年级数学第一章1 勾股定理第1课时
a:b=3:4,c=15,求a、b. ∴ (3k)2+ ∴a= ∴c=
= =
方法 小结
∵k>0, ∴k=3
2 k 1 2 =9
2
c b a
=152
2 2 25k2=2252 2
2 2
3 8 ∴a=3k=3×3=9
= =
b=4k=4×3=12 =
2 2
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
A
130
?
C
120
B
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续 偶数,则它的三边长分别为 ( B ) A 2、4、6 Ｂ 6、8、10 Ｄ 8、10、12
Ｃ 4、6、8
分析：分别设直角 三角形的三边长为 x－2,x,x+2根据勾 股定理列方程求解
x－2 X+2
x
试一试:
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则 BC的长为 B 4 C 4
我们也来观察 右图中的地面，看 看有什么发现？
SA+SB=SC C
B 甲 图甲 图甲 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8
用了“补”的方法
用了“割”的方法 1.观察图甲，小方格 的边长为1. C ⑴正方形A、B、C的 面积各为多少？ ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？
A
SA+SB=SC c
八年级数学（上册）
勾股定理 — 1
这就是本届大会 会徽的图案．
你听说过勾股定理吗？ 这个图案是我国汉代数学家 赵爽在证明勾股定理时用到的， 被称为“赵爽弦图”．
在我国古代，人们将直角三角形中 较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股， 斜边叫做弦。
勾
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理(第一课时) 初中数学 八年级数学
例：在Rt △ ABC中，∠C=90° 3 1）如果 b=4 ， c =5 ， 那么a = _____ 20 2）如果 a=15 ， c=25 ，那么 b= _____ 10 3）如果 a =6 ， b=8 ， 那么 c = ____ B 总结归纳： 直角三角 c 形中，如果知道其中的 a 任意的两边，则可以求 C A b 出第三边 像这些满足两个数的平方和等于第三个数的平方的 一组整数称为勾股数
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
课堂小结
1、这节课我的收获是＿ ＿ ＿ ；源自2、我最感兴趣的地方是＿ ＿ ＿ ；
3、我想进一步研究的问题是＿ ＿ ＿ ；
毕达哥拉斯（公元前572公元前492），古希腊著 名的哲学家、数学家、天 文学家）
推广至一般直角三角形 即：两条直角边上的正
方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积 A B
图1-1
C
SA+SB=SC
C A B
图1-2
即：直角三角形
两直角边的平方 和等于斜边的平 方。
勾股定理
c a
勾
股
b
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 为“股”，斜边称为“弦”.
第1课时 勾股定理
的三边满足a2+b2=c2
D. 在Rt∆ABC 中,若∠B=90° ,则三角形对应
的三边满足a2+b2=c2
数学小知识
勾
弦
股
我国古代称直角三角形的较短的直角边 为勾，较长的直角边为股，斜边为弦， 这便是勾股定理的由来。
一 想
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米 长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你 能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵ 582 462 5480
742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
运用新知，深化理解
1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，
1、在纸上画若干个直角三角形，分别测 量它们的三条边，看看三边长的平方和 之间有怎么样的关系？
观ห้องสมุดไป่ตู้与发现
观察图形，正方形A中有 个小方格，即A的面积 为 个面积单位。
正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积 单位。
正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积 单位。
你发现A、B、C的面积之间 有什么关系？
探索勾股定理
第1课时 勾股定理
情景导入 按三角形内角的大小把三角形分为三类
锐角三角形 三 角 形 直角三角形 的 分 类 钝角三角形
三个内角都是锐角 有一个内角是直角 有一个内角是钝角
直角三角形
A
直
斜
角
边
边
B 直角边
1、常用符号“Rt∆ABC”来 表示直角三角形ABC.
勾股定理(第1课时)课件
SA+SB=SC
a2+b2=c2
3.探究总结，提出猜想a来自cb命题１：如果直角三角形的两直角边 长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
4.证明命题1
证法：赵爽弦图
小组讨 论，通过割 补拼一个正 方形，探究 a、b、c之 间的关系。 小组展示， 并请3位同 学拿着图形 表演：
a2+b2=c2
5.命题正确，总结定理
勾股定理：
在西方国家又称为毕 达哥拉斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜
边为 c，那么 a2 b2 c2 .
即：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。 勾 a
c弦
b
“赵爽弦图”，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地 利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数
1.问题：A、B、C的面积有什么关系？
A
B
C
AB C
SA+SB=SC 对于等腰直角三角形三边有这样的关系：
两条直边的平方和等于斜边的平方
2.问题：观察图甲、图乙，小方格的 边长为1.正方形A、B、C的面积有什么 关系？
C
A ac
B
b
B
A
图乙
a bc
C
图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 49 4 16 8 25
C
B
a
c a2 b2
三、运用公式，巩固新知
1.求出下列直角三角形中未知边的长度：
(1)
x
6
(2)
x
5
8
13
解：由勾股定理得： 解：由勾股定理得：
∵x2=62+82 ∴x2 =36+64
苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第一课时勾股定理课件
圆的面积S2= 9 π,以BC为直径的半圆的面积S3=25 π,S△ABC=6,
8
8
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6,故选A.
13.(2023江苏南京中考,5,★☆☆)我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其 小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲 知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC =15里,则△ABC的面积是 ( C ) A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=90°=∠EDA+∠BDF, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
能力提升全练
11.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏苏州姑苏期中,5,★ ★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书 《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边 分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的 方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一 定能求出 ( C )
8.(2022江苏盐城校级期末)若一个直角三角形的两边长分别 为4和5,则第三条边长的平方为 9或41 . 解析 当5为直角边长时,第三条边长的平方为42+52=41;当5 为斜边长时,第三条边长的平方为52-42=9.故答案为9或41.
9.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C均 在格点上,求AB2-CA2的值.
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第一课时 勾股定理
归纳巩固
勾股定理： 勾股定理逆定理：
勾股定理的验证方法：
常用的勾股数：
练习提升
一、选择题
1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ） （A ）4cm ，8cm ，7cm （B ） 2cm ，2cm ，2cm （C ） 2cm ，2cm ，4cm （D ）13cm ，12 cm ，5 cm
2．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm
3．Rt ∆ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是∆ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或7
4．有长度为9cm ，12cm ，15cm ，36cm ，39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
5．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上结论都不对
6．在△ABC 中，AB =12cm ， AC =9cm ，BC =15cm ，下列关系成立的是（ ） （A ）B C A ∠+∠>∠ （B ）B C A ∠+∠=∠ （C ）B C A ∠+∠<∠ （D ）以上都不对
7．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ） （A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 8．若一个三角形三边满足ab c b a 2)(2
2
=-+，则这个三角形是（ ）
（A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对
9．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm
（B ）90cm
（C ）80cm
（D ）40cm
10．三角形三边长分别为12+n 、n n 222
+、1222
++n n （n 为自然数），则此三角形是（ ）
（A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对
二、填空题
11．写四组勾股数组.______，______，______，______.
12．若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为____________。
13．如图1，某宾馆在重新装修后，准备在大厅 的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平 方米售价20元，主楼梯宽2米。
则购地毯至少 需要 元．
14．有一个长为l2cm ，宽为4cm ，高为3cm 的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 cm
15．直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为________。
三、解答题
16．如图2，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2．8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9．6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高?(旗杆粗细、断裂磨损忽略不计)
17．一个零件的形状如图3所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
18．如图4是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=0
90，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。
19．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米／时，如图5，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪问的距离变为50米。
这辆小汽车超速了吗?
20．学校校内有一块如图6所示的三角形空地ABC
化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元?
21. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD ∥BC 且使AD =BC ，连接CD ；
（2）线段AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ； （3）△ACD 为 三角形，四边形ABCD 的面积为 ； （4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 ．
22．如图20，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点
A '处；（1）试问
B E B F '=成立吗？（2）设
AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间的一种关系，并说明理由。
A
B
C
E
A
B
C
D
F A '
B '
E
图20。