Z23-动力学共振法测量材料杨氏模量 (1)
111
第3章 综合实验
实验二十三 动态法测量材料杨氏模量
杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。
动态法由于其在测量上的优越性在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。
【实验目的】
1． 熟悉动态法测量杨氏模量的基本原理，掌握动态测量材料杨氏模量的基本方法。
2． 学习测量不同材料的杨氏模量。
3． 学习变温条件下杨氏模量的测量。
【实验原理】
及边界条件：棒的两端（x=0,L ）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力，对于圆棒：()24d
S J =，用分离变量法求解该方程，令： ()()()t T x X t x y =,，
则有： 2
24411dt T d T EJ S dx X d x ⋅-=ρ； 由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程：
0444=-x K dx
X d 0422=+T S EJ K dt
T d ρ 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为：
()Kx a Kx a shKx a chKx a x X sin cos 4321+++=
()()ϕω+=t b t T cos
于是可以得出：
112
()()()
ϕω+⋅+++=t b Kx a Kx a shKx a chKx a t x y cos sin cos ,4321其中：214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=S EJ K ρω，这称作频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。
如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，如图1所示，则根据边界条件可以得到：
1cos =⋅chKL KL
采用数值解法可以得出K 和L 应满足如下关系：
996.10,853.7,730.4,0=L K n
其中K 0L=0的根是对应试样静止状态，K 1L=4.730所对应的试样振动频率称为基频，此时的振动状态如图1（a ）所示，同样，K 2L=7.853所对应的振动状态如图1(b)所示。
由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别为距端面0.224L 和0.776L 。
将基频对应的K 值代入频率公式，可得到杨氏模量为：
232243108870.710
9978.1f J m L J S L E --⨯=⨯=ωρ 如果试样为圆棒，则：644
d J π=，所以上述公式可改写为
2436067.1f d
m L E = 同样，对于矩形杆试样则有： 2339464.6f bh
m L E =矩 其中：E 为动态杨氏模量，L 为被测件长度，m 为被测件质量，f 为共振频率，d 为圆杆直径，b 为矩形宽度，h 是矩形厚度，单位为Pa 或牛顿/米2。
图1（a ） 图1（b ）
113 由上式知道，只要得到试棒的共振频率
就可以计算试棒的动态杨氏模量。
所以整个
实验的主要任务就是测量试棒的基频共振
频率。
实验装置如图2所示。
由信号源输出
的等幅正弦波信号加在激振器上，是电信号
变成机械振动，再由试棒一端的悬丝或支撑
点将机械振动传给试棒，使试棒受迫作横振
动，机械振动沿试棒以及另一端的悬丝或支撑点传送给另一激振器，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器显示。
当信号源的频率不等于试棒的固有频率时，试棒不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试棒发生共振时，这是示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即是试棒的共振频率。
可以计算出材料的杨氏模量，该实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试棒的温度。
在实际测量中，由于悬丝及支撑点对试棒振动的阻尼，所以检测到的共振频率是随支撑点的位置而有所变化，由于压电换能器所拾取的是加速度共振信号而不是振幅共振信号，所以，所检测到的共振频率应随支点到节点的距离增大而增大（试棒上的两个节点，它们的位置距离端面分别为0.224L 和0.776L ）。
若要测量试棒的基频共振频率，则只有将支点与振动节点重合，而节点处的振幅等于零，所以要测量基频需要采用外延测量法。
所谓外延测量法就是所需要的数据一般很难测量，为了求得这个数，采用作图外推求值的方法。
本实验中，就是以支点位置作横坐标，以所对应的共振频率为纵坐标作出关系曲线，求得曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即为试棒的基频共振频率f 。
【实验仪器】
功率函数发生器、激振器、拾振器、示波器、温控器、游标卡尺以及测试架等。
【实验内容】
分别采用动态支撑法和悬挂法测量不同试样的杨氏模量。
（自己设计表格，用外延法测量试样的基频）；将所测量的值代入计算公式，计算该试棒的杨氏模量E ，并利用误差传递公式计
（N.m -2）
【思考题】
1． 在实验过程中将会发现有假共振信号的出现，请问如何判别？
2． 如果试样不满足L d <<条件，则对测量结果如何修正？
图2. 动态杨氏模量实验原理图。
物理实验课件-动态杨氏模量-文档资料
三、实验原理
在本实验中，通过棒作弯曲振动求出的是共振频率， 物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概 念，二者之间的关系为： f固 f 共 1
1 4Q2
其中Q为试样的机械品质因数.一般悬挂法测杨氏模 量时,Q值的最小值约为50,所以共振频率和固有频率相比 只偏低0.005%,故实验中都是用 f共 代替 f固。
d 使用螺旋测微仪在不同部位测量5次
次数 1 2 3 4 5 平均值
直径d(mm)
d 7 . 935 0 . 005 mm
f共
?
本次实验的重点，
用外推法找出节点的共振频率
外推法的引入
处于基频振动时，试样存在两个节点：
0.224L=0.224*16.618=3.722(cm) 0.776L=0.776*16.618=12.896(cm) 由于节点处的振动幅度几乎为零，很难激振和检测，所 以要测量基频共振频率需要采用外推法（外延法）。 外推法：所需数据在测量范围之外，为了求得这个数值， 先用已测数据绘制曲线，再将曲线按原规律延
0.02 1.002 0.03 1.005 0.04 1.008 0.05 1.014 0.06 1.019 0.08 1.033 0.10 1.055
3
径长 比d/L 修正 系数T1
0.01 1.001
最后结果
3 L m 2 E 1 .6067 4 f共 T 1 d
16 .618 * 10 *69 .3* 10 1 .6067 * *827 .92 * 1 .014 7.935 * 10
3 L m 2 1 .6067 4 f共 实验中使用的公式 E d
四、实验仪器
激振器
拾振器 示波器
共振法测量金属杨氏模量的数据处理
显示 出来 。调 节信 号发生 器 的输 出频率 与试样 固有 频 率一致时 ，试样将发生共振 。
现代 工业 经 济 和信息 化
第４ 卷
ｘ ｄ ｇ ｙ ｊ ｊ ｘ ｘ ｈ ｘ ＠１ ６ ３ ． ｅ ｏ ｍ
用两 根 细 丝悬 挂 在 两 只换 能 器 （ 一 只 激振 ，一 只 拾
振） 下 面 ，信号发 生器产 生一个正 弦信号 通过激振 换
能器转换 成机械振 动 ，由悬 线传递 给试样激 发试样 振
点是准确地测量固有频率。 １ ． ２ 共振频率的确定
动 ，在试样 两端 自由的条件 下 ，由激振信号 通过激振
现代 工业 经 济和信 息化
总 第８ Ｏ 期 一 ２ ０ ｌ 俾 第１ ０ 期
工程 技术
Ｍ ｏｄｅ ｒ ｎ Ｉ ｎｄｕ ｓ ｔ ｒ ｉ ａ ｌ Ｅｃ ｏ ｎｏｍ ｙ ａ ｎｄ Ｉ ｎｆ ｏｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎｉ ｚａ ｔ ｉ ｏｎ
Ｔ ｏｔ ａ ｌ ｏｆ８ Ｏ
文章 编号 ：２ ０ ９ ５ — ０ ７ ４ ８ （ ２ ０ １ ４ ） １ ０ ｂ － ０ ０ ６ ２ － ０ ２位 置的变化而变化 。悬线 吊扎点 与试样节点 的距离越 大 ，共振 频率越偏 离基频
固有频率 ；悬线 吊扎点与 节点的距 离越小 ，共振频 率 越 接近基 频固有频 率 ，故 若要测得 试样的基 频固有频 率 ，则必 须将悬线 吊扎点 置于节点 的位置 。但节点处
．
６ ３．
本 实验 中 ，选用 小喇 叭作为换 能器 ；信号发 生器 为 函数 信号 发 生器 ，频率 ５ Ｈ ｚ ～ ５ ０ ０ ｋ Ｈ ｚ ；悬 线采 用直 径０ ． ０ ５ ｍｍ一 ０ ． １ ５ ｒ ａ ｉ ｎ 的细线 。
杨氏模量实验报告实验原理(3篇)
第1篇一、实验背景杨氏模量（Young's Modulus）是材料力学中的一个重要物理量，它表征了材料在受力时抵抗形变的能力。
在工程实践中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要指标之一，对材料的选择和结构设计具有重要意义。
本实验旨在通过实验方法测定金属材料的杨氏模量，并掌握相关实验原理和操作步骤。
二、实验原理1. 杨氏模量的定义杨氏模量（E）是指材料在弹性变形范围内，单位面积上所承受的应力与相应的应变之比。
其数学表达式为：E = σ / ε其中，σ为应力，ε为应变。
应力（σ）是指单位面积上的力，其数学表达式为：σ = F / A其中，F为作用在材料上的力，A为受力面积。
应变（ε）是指材料形变与原始长度的比值，其数学表达式为：ε = ΔL / L其中，ΔL为材料形变的长度，L为原始长度。
2. 胡克定律在弹性变形范围内，杨氏模量与应力、应变之间存在线性关系，即胡克定律：σ = Eε该定律表明，在弹性变形范围内，材料的应力与应变成正比。
3. 实验原理本实验采用拉伸法测定金属材料的杨氏模量。
具体实验步骤如下：（1）将金属样品固定在实验装置上，使其一端受到拉伸力F的作用。
（2）测量金属样品的原始长度L0和受力后的长度L。
（3）计算金属样品的形变长度ΔL = L - L0。
（4）根据胡克定律，计算应力σ = F / A，其中A为金属样品的横截面积。
（5）计算应变ε = ΔL / L0。
（6）根据杨氏模量的定义，计算杨氏模量E = σ / ε。
三、实验仪器1. 拉伸试验机：用于施加拉伸力F。
2. 样品夹具：用于固定金属样品。
3. 量具：用于测量金属样品的原始长度L0、受力后的长度L和形变长度ΔL。
4. 计算器：用于计算应力、应变和杨氏模量。
四、实验步骤1. 将金属样品固定在实验装置上，确保其牢固。
2. 调整拉伸试验机，使其施加一定的拉伸力F。
3. 测量金属样品的原始长度L0。
4. 拉伸金属样品，使其受力后的长度L。
Z23-动力学共振法测量材料杨氏模量 (1)
111第3章 综合实验实验二十三 动态法测量材料杨氏模量杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。
动态法由于其在测量上的优越性在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。
【实验目的】1． 熟悉动态法测量杨氏模量的基本原理，掌握动态测量材料杨氏模量的基本方法。
2． 学习测量不同材料的杨氏模量。
3． 学习变温条件下杨氏模量的测量。
【实验原理】及边界条件：棒的两端（x=0,L ）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力，对于圆棒：()24dS J =，用分离变量法求解该方程，令： ()()()t T x X t x y =,，则有： 224411dt T d T EJ S dx X d x ⋅-=ρ； 由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程：0444=-x K dxX d 0422=+T S EJ K dtT d ρ 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为：()Kx a Kx a shKx a chKx a x X sin cos 4321+++=()()ϕω+=t b t T cos于是可以得出：112()()()ϕω+⋅+++=t b Kx a Kx a shKx a chKx a t x y cos sin cos ,4321其中：214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=S EJ K ρω，这称作频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。
如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，如图1所示，则根据边界条件可以得到：1cos =⋅chKL KL采用数值解法可以得出K 和L 应满足如下关系：996.10,853.7,730.4,0=L K n其中K 0L=0的根是对应试样静止状态，K 1L=4.730所对应的试样振动频率称为基频，此时的振动状态如图1（a ）所示，同样，K 2L=7.853所对应的振动状态如图1(b)所示。
动力学共振法测定材料的杨氏弹性模量
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大学物理实验报告
一、实验预 习
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大学物理实验报告
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动力学共振法测定材料的杨氏弹性模量
实验二 动力学共振法测定材料的杨氏弹性模量杨氏弹性模量（杨氏模量）是固体材料的重要力学参量，它标志者材料抵抗力产生拉伸（或压缩）形变的能力，是选择机械构件材料的依据之一。
测定杨氏模量的方法有静态拉伸法和动力学共振法。
前者常用于大形变、常温下的测量。
但由于静态拉伸法载荷大，加载速度慢，有驰豫过程，而不能真实地反应材料内部结构的变化，它既不适用于对脆性材料的测量，也不能测量材料在不同温度时的杨氏模量。
动力学共振法不仅克服了前者的缺陷，而且更具有实用价值，它也是国家GB/T2105-91所推荐使用的测量方法。
本实验采用当前工程技术常用的“动力学共振法”测量杨氏弹性模量。
其基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面，在两端自由的条件下，使之作自由振动，测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度参数，测得材料的杨氏弹性模量。
【实验目的与要求】1.学会用动力学法测定材料的杨氏模量；2.学习用内插法测量、处理实验数据；3.了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用；4.培养学生综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【实验原理】杨氏弹性模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法有关。
如图2-1所示，一细长棒的横振动满足下述动力学方程：02244=∂∂+∂∂tEJ S xξρξ棒两端是自由端时，端部既不受正应力也不受切向力，棒的轴线沿x 方向，ξ为棒上距左端x 处截面的z 方向位移。
求解上述方程，对圆形棒（162Sd J =）得2436067.1f dm L E = （1）式中E ——杨氏弹性模量，单位牛顿/米2（N·m -2）；S ——棒的横截面积，J ——某一截面的惯性矩；L ——棒的长度；d ——棒的横截面直径；m ——棒的质量；f ——棒基频共振频率。
如果在实验中测得（1）式右边的各量，即可由（1）式计算出试样的杨氏弹性模量E 。
共振法测量材料的杨氏模量
杨氏模量测量
编制：黄绍江
大学物理实验中心
1
实验背景介绍
任何物体（或材料）在外力作用下都会 发生形变。当形变不超过某一限度时，撤走 外力则形变随之消失，这种形变称为弹性形 变，这一极限称为弹性极限。超过弹性极限， 就会产生永久形变（亦称塑性形变）。人们 在研究材料的弹性性质时，希望有这样一些 物理量，它们与试样的尺寸、形状和外力无 关。于是提出了应力F/S(即力与力所作用的 面积之比)和应变△L/L之比的概念。
频率微调
180~300HZ
输出振幅按钮
按下此钮
用正弦波
大学物理实验中心
14
操 作 要 点
1. 音频信号发生器“频率范围”置于1kH刀口间距处于节点长度时设为x=0；
4. 使示波器显示振动波形幅度最大且不失 真的正弦波形，这时信号频率接近试件的 共振频率；对应的最小频率即为基频。
3. 测量试件（黄铜棒）在节点周围6个座标点
处的共振频率 fr
4. 作fr –x曲线，求x=0时的fr0 5. 计算出杨氏模量及其误差
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大学物理实验中心
0.224L
-20 -30
-30
-10
30
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大学物理实验中心
Hz fr0
x
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大学物理实验中心
此杆禁止转动， 可以按压
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大学物理实验中心
3 大学物理实验中心
实验目的
1. 了解共振法测量材料的杨氏模量的 原理； 2. 学会用作图外推求值法测量振动物 体基频与材料的杨氏模量； 3. 培养实验能力。
4
大学物理实验中心
5
大学物理实验中心
实验原理
均质等截面两端自由梁作横向振动时， 其振动方程为：
动态法测量杨氏模量
动态法测量杨氏模虽实验四动态法测定材料杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测屋，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。
动态法由于英在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指迫的一种杨氏模量的测量方法。
本实验用悬挂、支撑二种'‘动态法” 测岀试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模疑。
一、实验目的1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2.掌握动态法测疑杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3.培养貉运ffl知识和使ffl常用实验(义器的fi幼。
4.进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。
二、实验原理长度L远远大于直径d(L»d)的一细长棒，作微小横振动(弯曲振动)时满足的动力学方程(横振动方型为：—+ ^-^- = 0(1)dx A YJ dr式中。
为棒的密度，S为棒的截而积,J称为惯捲矩(取决于截而的形状)，Y为杨氏模蚩:。
解以上方程的具体过程如下(不要求掌握): 用分离变量法:令y(x.t) = X(x)T(t)1 d"X _ ps 1 d2r X d? Y J T dr代入方程(1)得：等式两边分别是x和(的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为K4,于是得:^2L-K4X =od2T K A YJps・这两个线形常微分方程的通解分别为:X (x) = B\ChKx + B 、shKx + B 、cos Kx + B 4 sin KxT(t) = Acos(cot +(p)于是解振动方程式得通解为：y(x,t) = (B 、chKx+ B 2shKx + B y cos Kx + B 4 sin Kx)Acos((ot + (p)其中式(2 )称为频率公式：（2）该公式对任意形状的截而，不同边界条件的试样都是成立的。
动态杨氏模量
846 844 842 840 838
f (Hz)
836 834 832 830 828 826 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
(3.72,827.92)
x(cm)
根据曲线横坐标3.72cm所对应的纵坐标频率 ，即为基 所对应的纵坐标频率f， 根据曲线横坐标 所对应的纵坐标频率 频的共振频率f 频的共振频率 共。
三、实验原理
在本实验中，通过棒作弯曲振动求出的是共振频率， 在本实验中，通过棒作弯曲振动求出的是共振频率， 共振频率 物体固有频率 固和共振频率f共是相关的两个不同概 物体固有频率f 共振频率 固有频率 念，二者之间的关系为： f 固 = f 共 1 + 二者之间的关系为：
1 4Q 2
其中Q为试样的机械品质因数 一般悬挂法测杨氏模 其中 为试样的机械品质因数.一般悬挂法测杨氏模 为试样的机械品质因数 量时,Q值的最小值约为 所以共振频率 固有频率相比 值的最小值约为50,所以共振频率和 量时 值的最小值约为 所以共振频率和固有频率相比 只偏低0.005%,故实验中都是用 f共 代替 f固。 只偏低 故实验中都是用
L3 m 2 实验中使用的公式 E = 1.6067 4 f共 d
成立条件： 实际不能满足的，应加一个修正系数 修正系数T 成立条件：d<<L ，实际不能满足的，应加一个修正系数 1。 所以： 所以：
Lm 2 E = 1.6067 4 f共 T1 d
表1 径长比与修正系数的对应关系
0.02 1.002 0.03 1.005 0.04 1.008 0.05 1.014 0.06 1.019 0.08 1.033 0.10 1.055
实验23 实验23 动力学共振法测金属杨氏模量
动态法测定金属材料的杨氏模量
动态法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。
拉伸法是最常用的方法之一。
但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。
另外，此法还不适用于脆性材料的测量。
本实验动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。
【实验目的】1、了解测量材料杨氏模量的原理；2、学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率；3、学会用动态法测定金属材料的杨氏模量。
【实验器材】YJ-DYZ-I动态杨氏模量综合实验仪及其专用信号源、示波器、钢卷尺、游标卡尺、电子天平。
【实验原理】在外力的作用下，当物体的长度变化不超过某一限度时，撤去外力之后，物体又能完全恢复原状。
在该限度内，物体的长度变化程度与物体内部恢复力之间存在正比关系。
杨氏模量是反映材料应变(即单位长度变化量)与物体内部应力(即单位面积所受到的力的大小)之间关系的物理量。
或者说是反映材料的抗拉或抗压能力。
应变为单位长度的变化量:L L∆；应力为单位面积受到的力:F S；所以有：杨氏模量F SEL L=∆进一步得：F S ESE F L F kxL L L=⇒=∆⇒=∆ESkL=。
所谓“动态法”就是使测试棒（如铝棒、不锈钢棒、铜棒）产生弯曲振动，并使其达到共振，通过共振测量出该种材料的杨氏模量值。
在一定条件下（l d）,试样在某温度下圆棒的杨氏模量为：3241.6067l mE fd=。
其中E为金属棒的杨氏模量，l为金属棒的长度，d为金属棒的直径，m为金属棒的质量。
在实验中测定了试样（金属棒）在某一温度时的固有频率（基频谐振频率）f ，即可计算出试样在该温度时的杨氏模量E 。
国际单位制中，杨氏模量的单位为-2•牛顿米。
现实情况不太可能达到ld 的条件，故对原理公式需要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。
3241.6067l m E f T d= 本实验统一近似取 =1.008T 。