八年级竞赛数学培优 正方形 含解析
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13 NP．（1）b=；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．（1）若一次函数y＝﹣12x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H 的坐标．8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．10．如图，四边形OABC 和四边形ODEF 都是正方形，点F ，O ，A 在一条直线上，点D 在OC 边上，以FA 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线132y x =+经过点B ，E ．（1）求正方形OABC 和正方形ODEF 的边长；（2）若点P 是BE 的中点，试证明：点C ，P ，A 三点在同一条直线上．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，0），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y =k （x +3）．（1）点D 的坐标是 ；（2）当直线l 经过D 点时，求k 的值；（3）该直线l 一定经过一个定点，其坐标是 ；（4）当直线l 与正方形的四边有两个交点时，求k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM 于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．【答案】-3＜b＜3【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），∴D（1，4），B（4，1）当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．故答案是：-3＜b＜3．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．【答案】﹣2【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴点B坐标为（1，1），∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在点M ，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5(2)C (-1，3)，D (-3，2)(3)()1,0M -，理由见解答【分析】（1）由一次函数112y x =+，可求出A 和B 点坐标，即得出OA 和OB 的长，再根据勾股定理求出AB 的长，最后由正方形面积公式计算即可；（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，即得出2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，从而可求出3OE =，3OF =，即得出C 、D 两点坐标； （3）找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，根据轴对称的性质可知此时BMD 周长最小．由B (0，1)，得出B '(0，-1)，利用待定系数法可求出直线B D '的解析式为=1y x --，从而可求出M 点坐标．（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =-， ∴A (-2，0)，B (0，1)，∴在Rt AOB △中，2OA =，1OB =，∴根据勾股定理得：22215AB =+=，∴正方形ABCD 面积为5；（2）如图，作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，∴90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒， ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ∴BAO ADF CBE ∠=∠=∠，∴(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，∴2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，∴213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ∴C (-1，3)，D (-3，2)；（3）如图，找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，则此时BMD 周长最小． ∵B (0，1)，∴B '(0，-1)设直线B D '的解析式为(0)y kx b k =+≠，把B '与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线B D '的解析式为=1y x --．对于=1y x --，令0y =，得到=1x -，∴M (-1，0)．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣125x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，当y =0，则x =5，故A (5，0)，即OA ＝5，OB ＝12，∴AB ＝22OA OB +＝22512+＝13，故AB ＝13；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠CDE ＝∠ADE ，在△CDE 和△ADE 中，CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ADE （SAS ），∴∠DCE ＝∠DAE ，设FC 与AD 交点为M ，∵∠EMD ＝∠AMF （对顶角相等），∠DCM +∠EMD ＝∠MAF +∠AMF ，∴∠DCM ＝∠MAF ，∴∠MAF ＝∠EAM ，∴AD 平分∠EAF ；（3）过点C 作y 轴垂线交y 轴于点N ，如图所示：∵∠CBN +∠NCB =∠CBN +ABO =90°，∴∠NCB =∠ABO ，在△CNB 和△BOA 中，90NCB OBA CNB BOA CB BA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CNB ≌△BOA （AAS ），∴BN =AO =5，CN =BO =12，又∵CF ⊥x 轴，∴CF =BO +BN =12+5=17，∴C 的坐标为(12，17)；∵△CDE ≌△ADE ，∴AE =CE ，∴AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，∴C △AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24．【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b 的图象过点A （0，3），点p 是该直线上的一个动点，过点P 分别作PM 垂直x 轴于点M ，PN 垂直y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取：PC=13MP ，MB=13OM ，OE=13ON ，ND=13NP ． （1）b= ；（2）求证：四边形BCDE 是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b 上是否存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形？若存在，请求出所有符合的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为（3）设P 点坐标（x ，y ），当△OBE ≌△MCB 时，四边形BCDE 为正方形，OE=BM ，当点P 在第一象限时，即13y=13x ，x=y ． P 点在直线上，132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 解得22x y =⎧⎨=⎩， 当点P 在第二象限时，﹣x=y132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得66x y =-⎧⎨=⎩在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形，P 点坐标是（2，2）或（﹣6，6）． 点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.6．在平面直角坐标系中，直线y ＝2x+4与两坐标轴分别交于A ，B 两点．（1）若一次函数y ＝﹣12x+m 与直线AB 的交点在第二象限，求m 的取值范围；（2）若M 是y 轴上一点，N 是x 轴上一点，直线AB 上是否存在两点P ，Q ，使得以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M ，N 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜4；（2）M （0，87），N （﹣47，0）或M （0，﹣83），N （43，0）或M （0，﹣4），N （﹣163，0）； 【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB 的解析式，据此进一步用m 表示出x ，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；（2）首先求出A 、B 两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.【解答】（1）联立24y x =+与12y x m =-+，得：1242x x m +=-+， ∴()245x m =-， ∵交点位于第二象限，∴()2405m -<， ∴4m <；（2）当0x =时，244y x =+=，∴A （0，4），当0y =时，024x =+，即：2x =-，∴B （2-，0），∴OA ＝4，OB ＝2．如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵MN ∥AB ，∴△NMO~△BAO ，∴12ON OB OM OA ==， 设ON ＝a ，则OM ＝2a ，∵∠MNQ ＝90°，∴∠QNH+∠MNO ＝∠MNO+∠NMO ＝90°，∴∠QNH ＝∠NMO ，在△QNH 和△NMO 中，∵∠QNH ＝∠NMO ，∠QHN=∠NOM ，QN=MN ，∴△QNH ≅△NMO （AAS ），∴QH＝ON＝a，HN＝OM＝2a，易得：△BQH~△BAO，∴12 BH OBQH OA==，∴BH＝12a，∵OB＝BH+HN+ON，∴2＝122a a a++，解得47a=，∴M（0，87），N（47-，0）；如图2，过点P作PH⊥x轴于H，易证△PNH~△BAO，∴12 PH OBOH OA==，设PH＝b，则NH＝2b，同理证得△PNH≅△NMO，∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，∴OH＝HN−OH＝b，易得：△BPH~△BAO，∴12 BH OBPH OA==，∴BH＝12 b，∵OB＝BH+OH，∴2＝12b+b，解得b＝43，∴M（0，83-），N（43，0）；如图3，过点P作PH⊥x轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，易得：△PAE~△BAO，∴12 PE OBAE OA==，设PE＝c，则AE＝2c，同理证得△PNH≅△PME，∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，∵OA＝AE+OE，∴4＝2c+c，解得c＝43，∵△MQF≅△PME，∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，∴NO＝NH+OH＝163，∴N（163-，0），∵OF＝m＝4，∴M（0，﹣4）．综上所述M（0，87），N（47-，0）或M（0，83-），N（43，0）或M（0，﹣4），N（163-，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）BQOP的值不变，理由见解析；（3）点H的坐标为(42243,22)----或(0,0)或(628,22)-．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），∴22 37k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．理由：连接BM，设PB交OM于G．∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵四边形POMN是正方形，∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，∴∠AOP＝∠BOM，∵OA＝OB，∴△AOP≌△BOM（SAS），∴∠OPG＝∠GMB，∵∠OGP＝∠BGM，∴∠GBM＝∠GOP＝90°，∴QM＝QP，∴QB＝QP＝QM，∵△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝2QP，∴22 BQ PQOP OP==．（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，∵BH 垂直平分线段PN ，BH 垂直平分线段OM ，∴BM ＝OB ＝4，∴M （﹣22，4+22），∴P （﹣4﹣22，﹣22），∴BN ＝BP ＝()()2242242243++-=，∴PH ＝BN ＝43，∵QB ＝QN ＝OQ ，∴∠NBO ＝90°，∴BN ∥OA ∥PH ，∴H （﹣4﹣2243-，﹣22）．如图2﹣2中，当点P 与A 重合时，得到四边形PNMO 是正方形（是菱形），此时H 与原点O 重合，H （0，0）．如图2﹣3中，当四边形PBNH 是菱形时，设PH 交OB 于J ，在JO 上取一点F ，使得PJ ＝JF ．∵BP ＝BN ，∴∠BPN ＝∠BNP ＝22.5°，∵∠OPN ＝90°，∠P AO ＝45°，∴∠APO ＝67.5°，∴∠AOP ＝67.5°，∴∠POJ ＝22.5°，∵∠PFJ ＝∠FPO +∠POF ＝45°，∴∠FPO ＝∠POF ＝22.5°，∴PF ＝OF ，设PJ ＝BJ ＝JF ＝x ，则PB ＝BN ＝PF ＝OF ＝2x ，∴2x +2x ＝4，∴x ＝4﹣22，∴BN ＝PH ＝42﹣4，P （22﹣4，22），∴H （62﹣8，22），综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣4﹣22﹣43，﹣22）或（0，0）或（62﹣8，22）．【点评】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P 与A 重合时．得到四边形PNMO 是正方形，此时是特殊的菱形.8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(5，0)，(4，2)(2)见解析(3)①5；②存在，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A 的坐标，又点D 的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M 的坐标；（2）过点C 作CQ ⊥x 轴于点Q ，利用勾股定理可得出OC =5，又点C ，D 的坐标可得出CD =5，CD ∥x 轴，结合点A 的坐标，可得出CD =OA ，进而可得出四边形OADC 为平行四边形，再结合OC =OA ，即可证出四边形OADC 是菱形；（3）①过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P 的坐标，结合点M 的坐标可得出MN ，PN 的长，再利用勾股定理，即可求出MP 的长；②存在，分OA 为边及OA 为对角线两种情况考虑，（i ）当OA 为边时，点E 与点P 重合，利用正方形的性质可求出点F 的坐标；（ii ）当OA 为对角线时，点E 在线段AP 的中点，结合点A ，P 的坐标可得出点E 的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F 的坐标．（1）解：当y=0时，-2x+10=0，解得：x=5，∴点A的坐标为（5，0）；设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，解得：k=12，∴直线OD的解析式为y=12x．联立两函数解析式得：21012y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，∴点M的坐标为（4，2），故答案为：（5，0）；（4，2）；（2）证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．∵点C的坐标为（3，4），∴OQ=3，CQ=4，∴OC= 222234OQ CQ+=+=5．∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），∴CD=5，CD∥x轴，即CD∥OA．∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5=CD，∴四边形OADC为平行四边形，又∵OA=OC=5，∴四边形OADC是菱形；（3）解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．当x=0时，y=-1×0+5=5，∴点P的坐标为（0，5）．∵点M的坐标为（4，2），∴MN=4，ON=2，∴PN=5-2=3，∴MP=2222+=+=5.34PN MN故答案为：5；②存在，分两种情况考虑，如图3所示．（i ）当OA 为边时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴点E 与点P 重合，∴点F 的坐标为（5，5）；（ii ）当OA 为对角线时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴△AOP 为等腰直角三角形，又∵四边形AEOF 为正方形，∴点E 为线段AP 的中点，∴点E 的坐标为（52，52）， ∴点F 的坐标为（0+5-52，0+0-52），即（52，-52）． ∴在平面直角坐标系中存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD 的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC 是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP 的长；②分OA 为边及OA 为对角线两种情况，求出点F 的坐标．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．【答案】y x=【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.【解答】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,∵四边形ABCD为正方形，∴BE=AE,且∠AEB=90°，∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠BGE=∠AFE=90°，∴△BEG≌△AEF（ASA）,∴EF=EG.所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),代入可得a=ak,解得k=1,∴过,O E两点的直线的解析式是为y=x.故答案为：y=x.【点评】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.10．如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线132y x=+经过点B，E．（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．【答案】（1）6和2；（2）见解答【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入132y x=+，即可求解；（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．【解答】解：（1）设正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：a，b，∴B（a，a），A（-b，b），∵直线132y x=+经过点B，E，∴132132a ab b⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：62ab=⎧⎨=⎩，∴正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：6和2；（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是BE的中点，∴P（2，4），∵A（6，0），C（0，6），设AC的解析式为：y=kx+b，∴606k bb+=⎧⎨=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴AC的解析式为：y=-x+6，∵x=2时，y=-2+6=4，∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．【点评】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．（1）点D的坐标是；（2）当直线l经过D点时，求k的值；（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)4 0k3 <<【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D 的坐标；（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．【解答】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED=∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.∴∠1+∠3=90°，12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C -，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C -，()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC -的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC -的“相关点”当M 与点()2,0B -重合时，此时M x 取得最小值，为2-，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =-+联立224y x y x =-+⎧⎨=+⎩ 解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23- 223M x ∴-≤<- (2)点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨-+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=-+⎩，12e f m =-⎧⎨=+⎩∴直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()23,1F m --， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m -=--+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()25,1F m --，代入直线AC 解析式，可得()1252m m -=--++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，0m <或8m >．【点评】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．【答案】(1)483y x =+ (2)122455M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)4607G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()02G -，【点评】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．。
初二数学知识点专题讲解与练习20---正方形(培优版)
F
A
D
M
B
C
A
D
F
EB
M C
E
G
图1
图G2
【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ， DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DA .
（重庆市竞
2 / 17
解题思路：构造 AE + FC 的线段是解本例的关键．
赛试题）
A
D
E
G
B
延长线上 (CG > BC) ，取线段 AE 的中点 M .连 MD ， MF ． （1）探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明． （2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变． 探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．
（大
连市中考题改编） 解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
（黑龙江省中考 试题）
解题思路：对于（2），构造 DN − BM 是解题的关键．
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A
D
N
BM
C
图1
A
D
C MB
A
D
N
BM
C
图2
浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习(含解析)
浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习一、选择题1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形2．如图，在正方形ABCD中，E是AC 上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数为（ ）A．37.5°B．30°C．22.5°D．12.5°3．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（ ）A．1B．12C．13D．144．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）A．16B．25C．144D．1695．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，则BF2＝（ ）A．42＋4B．6＋42C．12D．8＋426．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形ABCD，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2.若EG∥CF，EG=3，S1S2=16，则图中阴影部分的面积为（ ）A．23B．94C．32D．92二、填空题7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD 是正方形.8．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为 ．9．勾股定理被合为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵夹弦图”（如图①所示）．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=129，则S2的值是 ．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连接AE，EG．若AB=9，BC+GD=9，则△AEG的面积为 ．2三、解答题11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．12．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B=35°，当∠C=▲度时，四边形AEDF为正方形并证明．13．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC=90°，将△BEC绕点B逆时针方向旋转90°得到△BFA （点E的对应点为点F），延长CE交AF于点G。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题16 正方形折叠问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题16 正方形折叠问题【例题讲解】如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．(1) 求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．(3) 当BE︰EC= 时，DE=DG．试题解析：（1）证明：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，∴△DGA≌△DGF，∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．(2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC ∴BF∥DE．②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x，由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，∴GE=EF+GF=3+x．在Rt△GBE中，根据勾股定理得：解得x=2，即线段AG的长为2．.【综合演练】1．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF 交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（）A．8 B．9 C．12 D．以上都不正确3．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（）A．2 B．3C．6D．14．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则HBC ∠的度数为______．6．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，将△ABE 沿AE 折叠至AB E '∆处，B E '与AC 交于点F ，若∠EFC ＝67°，则∠CAE 的度数为____．7．如图，正方形纸片ABCD 的边长为10cm ，点P 在边BC 上，BP =4cm ，折叠纸片使点A 落在点P 上，折痕为MN ．则AM 的长是______．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，将BCF ∆ 沿BF 对折，得到BPF ∆，延长FP 交BA 的延长线于点Q .给出下列结论:①AE BF =;②AE BF ⊥;③BQF ∆是等边三角形;④若正方形ABCD 的边长为3，则线段AQ 的长为34其中，正确的结论有_____.(把你认为正确的结论的序号都填上)9．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，折痕为PQ ，则PQ 的长__________．10．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为边BC 上任意一点（不与点B 、C 重合），AE 、BD 交于点P ，过点P 且垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、CD 于点M 、N ．连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P '处．AD 的中点为F ，则P′F 的最小值为 ____．11．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交BC 于点G ，连接AG 、CF ．()1求证：ABG ≌AFG ；()2求BG 的长；()3求FGC △的面积．12．如图，正方形ABCD 中，CD =6，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG；②求GC的长；（2）求△FGC的面积．13．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把DEC沿DE折叠得到DEF，延长EF交AB于点G，连接DG.(1)EDG=∠____________；(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF，①求线段AG的长；②求BEF△的面积；=，则BE=________(用含a的式子表示).(3)当DE DG=时，若令CE a15．知识再现：已知，如图，四边形ABCD 是正方形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，连接AM 、AN 、MN ，∠MAN ＝45°，延长CB 至G 使BG ＝DN ，连接AG ，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN ＝BM+DN ．知识探究：（1）在如图中，作AH ⊥MN ，垂足为点H ，猜想AH 与AB 有什么数量关系？并证明； 知识应用：（2）如图，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，且BD ＝2，AD ＝6，则CD 的长为 ； 知识拓展：（3）如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边BC 的中点，F 为边CD 上一点，∠FEC ＝2∠BAE ，AB=24，求DF 的长．16．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB=∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；17．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 为CD 边上一点（不与点C ，D 重合），将ADE 沿AE 所在直线折叠得到AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，可得45EAG ∠=︒．(1)判断BG 与FG 是否相等，并说明理由；(2)若AG CF ∥，求DE 的长；(3)若FC FG =，请直接写出CEF CEG S S △△的值． 18．如图将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使B 点落在CD 边上一点E ，压平后得到折痕MN ，当12CE CD =．(1)求NE 的长；(2)连AN 、AE ，NG ⊥AE ，垂足为G ，求GN 的长； (3)直接写出AM 的长度．19．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)迁移探究：①如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________°，MBQ ∠=___________°．②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片ABCD 的边长为8，当1FQ =时，直接写出AP 的长．(2)拓展应用：正方形ABCD的边长为8，点P在边AD上，将ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G．当BG DP时，则DP的长为___________．答案与解析【例题讲解】如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．(1) 求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．(3) 当BE︰EC= 时，DE=DG．试题解析：（1）证明：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，∴△DGA≌△DGF，∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．(2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC ∴BF∥DE．②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x，由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，∴GE=EF+GF=3+x．在Rt△GBE中，根据勾股定理得：解得x=2，即线段AG的长为2．.【综合演练】1．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF 交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得，DF =DC =DA ，∠DFG =∠A ，进而Rt △ADG ≌Rt △FDG ，根据全等三角形的性质以及折叠的性质，可得到EB =EG ，由此可得△BGE 的周长．【解答】解：由折叠可知：CE =FE ，DF =DC =DA ，∠DFE =∠C =90°，∴∠DFG =∠A =90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中， DG DG DF DA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），∴AG =FG ，∴AG +EC =GF +EF =GE ，故①正确，∵Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴∠ADG =∠FDG ，由折叠可知，∠CDE =∠FDE ，∴∠GDE =∠GDF ＋∠EDF =1452ADC ∠=︒， 故②正确，∵正方形的边长为12，∴BE =EC =EF =6，设AG =FG =x ，则EG =x +6，BG =12-x ，由勾股定理可得：222EG BE BG =+，即()()2226612x x +=+-，解得：x =4，∴AG =GF =4，BG =8，EG =10，∴△BGE 的周长=BE +EG +GB =6+10+8=24，故③正确，故选：D ．【点评】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．形的周长之和是（）A．8 B．9 C．12 D．以上都不正确【答案】C【分析】由图形翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由阴影部分的周长＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出结论．【解答】解：由翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，阴影部分的周长＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（）A．2 B3C6D．1【答案】B【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB=AB=2，BM=1，则在Rt△BMF中，FM=2222--，BF BM=21=3故选B．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键．4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】A【解答】解：由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，∴四边形ECDF是正方形，∴DC=EC=BC-BE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，∴DC=10-6=4（cm）故选：A5．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN ∠的度数为______．上的对应点为H，则HBC【答案】15°【分析】由翻折的性质AH＝AB，MN垂直平分AD，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故此△ADH为等边三角形，由△ADH为等边三角形可知∠HAB＝30°，在△ABH中可求得∠ABH＝75°，故此可求得∠HBC＝15°．【解答】解：∵MN垂直平分AD，∴DH＝AH．由翻折的性质可知：AH＝AB．∵正方形ABCD中，∴AH＝AD＝DH．∴△ADH是一个等边三角形．∴∠DAH＝60°．∴∠HAB＝30°．∵AB＝AH，×（180°−30°）＝75°．∴∠ABH＝12∴∠HBC＝∠ABC−∠ABH＝90°−75°＝15°．故答案是：15°．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，正方形的性质，证得△ADH是一个等边三角形是解题的关键．6．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠至AB E'∆处，B E'与AC交于点F，若∠EFC＝67°，则∠CAE的度数为____．【答案】11°【分析】利用三角形外角的性质先求出∠BEF，进而得到∠BEA，再求出∠BAE，最后用∠BAC－∠BAE即可得到答案．【解答】解：由正方形性质知：∠ACE＝45°，∵∠EFC＝67°，∴在△FEC中，∠BEF＝∠EFC＋∠ACE＝67°＋45°＝112°，∠BEF＝56°，由折叠的性质可知：∠BEA＝12∴∠BAE＝90°－∠BEA＝90°－56°＝34°，∴∠EAC＝45°－34°＝11°．故答案为：11°．【点评】本题考查了正方形的性质和折叠的性质以及三角形的外角定理，熟练掌握性质是解题关键．上，折痕为MN．则AM的长是______．【答案】295cm ． 【分析】由翻折的性质可知MA=PM ，设MA=PM=xcm ，则BM=（10-x ）cm ，最后在Rt △PBM 中由勾股定理可求得AM 的长．【解答】由翻折的性质可知：MA=PM ，设MA=PM=xcm ，则BM=（10-x ）cm ．在Rt △PBM 中由勾股定理得：PM 2=PB 2+MB 2，即x 2=42+（10-x ）2．解得：x=295cm ． AD 的长为295cm ． 故答案为295cm ． 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，将BCF ∆ 沿BF 对折，得到BPF ∆，延长FP 交BA 的延长线于点Q .给出下列结论:①AE BF =;②AE BF ⊥;③BQF ∆是等边三角形;④若正方形ABCD 的边长为3，则线段AQ 的长为34其中，正确的结论有_____.(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①②④【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF ；②AE ⊥BF ；△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF=QB ，再证明∠FBQ≠60°，即可判断③错误，设AQ=x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF=BE ，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE=∠CBF ，AE=BF ，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；根据题意得，FP=FC ，∠PFB=∠BFC ，∠FPB=90°∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴∠ABF=∠PFB ，∴QF=QB ，∵tan ∠FBC=12CF BC =， ∴∠FBC≠30°，∴∠FBQ≠60°，∴△BQF 一定不是等边三角形，故③错误，设AQ=x ，则FQ=BQ=3+x ，QP=x+3-32=x+32， 在Rt △BPQ 中，∵BQ 2=PB 2+QP 2，∴（x+3）2=32+（x+32）2， ∴x=34， ∴AQ=34，故④正确． 故答案为①②④．【点评】本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．DE=，折痕为PQ，9．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使5则PQ的长__________．【答案】13【分析】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△AED，从而求出PQ=AE．【解答】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△AED∴PQ=AE=22+=13．512故答案是：13．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为____．【答案】2 4【分析】判断△ADG是等腰三角形，点P'在等腰直角三角形ADG的边GD上，当FP GD'⊥时，P F'的值最小，求解即可．【解答】解：如图，若点E点B重合，则点P与B点重合，MN与BC重合，△ABC沿AC折叠，则点P'与点D重合，若点E点C重合，则点P为正方形对角线交点，△ADP为等腰直角三角形，沿AD折叠，点P'落在点G处，则△ADG是等腰直角三角形，则点P'在DG上运动，∵AD=2，点F是AD的中点，∴1122 DF AD==根据垂线段最短可知，当FP GD'⊥时，P F'的值最小，此时FP D'∆是等腰直角三角形，∴2224FDFP'==；故答案为：2 4【点评】此题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用“垂线段最短”是解答此题的关键．11．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交BC 于点G ，连接AG 、CF ．()1求证：ABG ≌AFG ； ()2求BG 的长；()3求FGC △的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）185． 【分析】()1根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt ABG △≌Rt AFG ；()2在直角ECG 中，根据勾股定理即可得出结论； ()3结合()1和()2求出CEG 的面积，最后用同高的两三角形的面积的比等于底的比，即可得出结论．【解答】()1AFE 是由ADE 折叠得到，AF AD ∴=，90AFE AFG D ∠=∠=∠=︒，又四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，B D ∠=∠，AB AF ∴=，90B AFG ∠=∠=︒，在Rt ABG △和Rt AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩ Rt ABG ∴≌()Rt AFG HL ，()2正方形ABCD 中，6AB =，3CD DE =，123EF DE CD ===∴， 设BG FG x ==，则6CG x =-．在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(6)4(2)x x -+=+，解得3x =．3BG ∴=；()3由()2知，2EF =，3BG =，由()1知，Rt ABG △≌Rt AFG ，3FG BG ∴==，5EG EF FG ∴=+=，由()2知，6-3CG x ==，4CE CD DE =-=，1134622CEG SCG CE ∴=⋅=⨯⨯=， 31855FGC CEG S S ∴==． 【点评】此题属于四边形的综合题.考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．12．如图，正方形ABCD 中，CD =6，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．（1）求证：①△ABG ≌△AFG ； ②求GC 的长；（2）求△FGC 的面积．【答案】（1）①证明详见解析；②3；（2）185． 【分析】（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB =AF ，∠B =∠AFG =90°，利用HL 定理得出△ABG ≌△AFG 即可；②利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可；（2）首先过C 作CM ⊥GF 于M ，由勾股定理以及由面积法得，CM =2.4，进而得出答案．【解答】（1）①在正方形ABCD 中，AD =AB =BC =CD ，∠D =∠B =∠BCD =90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD =AF ，DE =EF ，∠D =∠AFE =90°，∴AB =AF ，∠B =∠AFG =90°，又∵AG =AG ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AG AG AB AF =⎧⎨=⎩， ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；②∵CD=3DE∴DE=2，CE=4，设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2∵GE2=CG2+CE2∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，解得x=3∴BG=3，又∵AB＝6，∴BG= GC=3；（2）过C作CM⊥GF于M，∵BG=GF=3，∴CG=3，EC=6﹣2=4，∴GE=5，CM•GE=GC•EC，∴CM×5=3×4，∴CM=2.4，GF·CM=3.6．∴S△FGC＝12（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【答案】（1）AH =AB ；（2）成立，理由见解析；（3）6【分析】（1）先证明ABM ADN ∆≅∆，可得AM AN =，BAM DAN ∠=∠，再证明ABM AHM ∆≅∆即可；（2）延长CB 至E ，使BE DN =，证明AEM ANM ∆≅∆，能得到AH AB =；（3）分别沿AM 、AN 翻折AMH ∆和ANH ∆，得到ABM ∆和AND ∆，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH x =，则2MC x =-，3NC x =-，在Rt MCN △中，由勾股定理，解得x ．【解答】解：（1）如图①，AH AB =．理由如下：四边形ABCD 是正方形，90B BAD D ∴∠=∠=∠=︒，AB AD =，在ABM ∆和ADN ∆中，AB AD B D BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADN SAS ∴∆≅∆，AM AN ∴=，BAM DAN ∠=∠，AMN ∴∆是等腰三角形，又AH MN ⊥，90AHM ∴∠=︒，HAM HAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，14522.52HAM ∴∠=⨯︒=︒，45BAM DAN ∠+∠=︒， 22.5BAM HAM ∴∠=︒=∠，在ABM ∆和AHM ∆中，90BAM HAM B AHM AM AM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABM AHM AAS ∴∆≅∆，AH AB ∴=；故答案为：AH AB =；（2）数量关系成立．如图②，延长CB 至E ，使BE DN =．∵四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90D ABE ∠=∠=︒，在Rt AEB 和Rt AND 中，AB AD ABE ADN BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴Rt AEB ≌Rt AND （SAS ），AE AN ∴=，EAB NAD ∠=∠，45DAN BAM ∠+∠=︒，45EAB BAM ∴∠+∠=︒，90EAN ∴∠=︒，45EAM NAM ∴∠=∠=︒，在AEM ∆和ANM ∆中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEM ANM SAS ∴∆≅∆．AEM ANM S S ∆∆∴=，EM MN =，AB 、AH 是AEM ∆和ANM ∆对应边上的高，AB AH ∴=．（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折AMH ∆和ANH ∆，得到ABM ∆和AND ∆，2BM ∴=，3DN =，90B D BAD ∠=∠=∠=︒．分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由（2）可知，AH AB BC CD AD ====．设AH x =，则2MC x =-，3NC x =-，在Rt MCN △中，由勾股定理，得222MN MC NC =+，2225(2)(3)x x ∴=-+-，解得16x =，21x =-．（不符合题意，舍去），6AH ∴=．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键． 14．如图1，在正方形ABCD 中，点E 为BC 上一点，连接DE ，把DEC 沿DE 折叠得到DEF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG .(1)EDG =∠____________；(2)如图2，若正方形边长为6，点E 为BC 的中点，连接BF ，①求线段AG 的长；②求BEF △的面积；(3)当DE DG =时，若令CE a =，则BE =________(用含a 的式子表示).【答案】（1）45︒；（2）①线段AG 的长为2；②185；（3）2a . 【分析】（1）根据正方形的性质可得DC=DA ．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C ，DC=DF ，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A ，DA=DF ，然后利用“HL”证明Rt △DGA 和Rt △DGF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解；（2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE=3，DC=DF=AB=BC=6，利用“HL”证明Rt △DGA 和Rt △DGF 全等，可得AG=GF ，设AG=x ，表示出GF 、BG ，再利用勾股定理列出方程求解即可；②根据勾股定理求出EG=5，求出GBE 1S =BE BG=62⋅⋅ ，再根据△GBE 和△BEF 等高求解即可； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F 是EG 的中点，再利用“HL”证明Rt △ADG 和Rt △CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CE=a ，可得AG=CE=EF=GF=a ，再求出BG=BE ，然后根据勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：(1)如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴DC=DA ．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC 沿DE 折叠得到△DEF ，∴∠DFE=∠C ，DC=DF ，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF ，在Rt △DGA 和Rt △DGF 中，DG=DG DA=DF ⎧⎨⎩， ∴Rt △DGA ≌Rt △DGF （HL ），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=12∠ADF+12∠FDC ，=12（∠ADF+∠FDC ）， =12×90°，=45°；(2)①解：∵将DEC 沿DE 折叠得到DEF ，E 为BC 的中点，∴CE EF BE ==，CD DF =，∵四边形ABCD 是正方形，∴6AB BC CD AD ====，∴6DF AD ==.在Rt ADG 和Rt FDG △中， AD DF DG DG=⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ADG FDG △≌△(HL)，∴AG GF =，∵E 为BC 中点，∴1632CE EF BE ===⨯=.设AG x =，则GF x =，6BG x =-，∴3GE EF GF x =+=+，在Rt GBE △中，根据勾股定理得：222GB BE GE +=，即()()222633x x -+=+， 解得2x =，即线段AG 的长为2；②在Rt GBE △中，3BE =，4BG =，根据勾股定理得：225EG GB BE =+=.∵12GBE S =BE•BG 13462=⨯⨯=. ∵△BEF 和△BEG 等高，∴318655FBE S =⨯=△； (3)∵DE=DG ，∠DFE=∠C=90°，∴点F 是EG 的中点，即GF=EF ，在Rt △ADG 和Rt △CDE 中，DG=DE AD=CD ⎧⎨⎩， ∴Rt △ADG ≌Rt △CDE （HL ），∴AG=CE ，∴AB-AG=BC-CE ，AG=CE=EF=GF=a ，即BG=BE ，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴222BE +BG =GE 即()222BE =2a解得BE=2a .故答案为（1）45︒；（2）①线段AG 的长为2；②185；（3）2a . 【点评】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．AN 、MN ，∠MAN ＝45°，延长CB 至G 使BG ＝DN ，连接AG ，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN ＝BM+DN ．知识探究：（1）在如图中，作AH ⊥MN ，垂足为点H ，猜想AH 与AB 有什么数量关系？并证明； 知识应用：（2）如图，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，且BD ＝2，AD ＝6，则CD 的长为 ； 知识拓展：（3）如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边BC 的中点，F 为边CD 上一点，∠FEC ＝2∠BAE ，AB=24，求DF 的长．【答案】（1）AB ＝AH ， 证明见解析；（2）3；（3）8 .【分析】（1）先证△ABG ≌△ADN ，再证△GAM ≌△NAM ，根据GM 和NM 是对应边，得到AB ＝AH （全等三角形对应边上的高相等）；（2）作△ABD 关于直线AB 的对称△ABE ，作△ACD 关于直线AC 的对称△ACF ，延长EB 、FC 交于点G ，则四边形AEGF 是矩形，又AE =AD =AF ，所以四边形AEGF 是正方形，设设CD =x ，则BG =6−2=4；CG =6− x ；BC =2+ x ，在Rt △BGC 中，()2224(62,)x x +-=+得x =3，所以CD 的长为3． （3）过点A 作AM EF ⊥交EF 于点M ,证明△ABE ≌△AME ，得到12,BE ME ==,AB AM AD ==再证明Rt ADF ≌Rt AMF ,设DF =x ，得到EF =12+ x ；FC =24− x ；EC =12，在Rt △EFC中,()2221(221)42,x x +-=+ 解方程即可.【解答】（1）AB ＝AH ，证明：如图1图1∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC D ∠=∠=︒，∴18090ABG ABC ∠=︒-∠=︒，又∵AB =AD ，∵在△ABG 和△ADN 中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△ADN (SAS)，∴BAG DAN AG AN ∠=∠=，，∵90BAD ∠=︒，45MAN ∠=︒，∴9045DAN BAM MAN ∠+∠=︒-∠=︒，∴45BAG BAM ∠+∠=︒，即45GAM ∠=︒，∵在△GAM 和△NAM 中，AG AN GAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△GAM ≌△NAM (SAS)，又∵GM 和NM 是对应边，∴AB =AH (全等三角形对应边上的高相等)；（2）作△ABD 关于直线AB 的对称△ABE ，作△ACD 关于直线AC 的对称△ACF ，图2∵AD 是△ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，∴90E F ∠=∠=︒，又∵45BAC ∠=︒，∴90EAF ∠=︒，延长EB 、FC 交于点G ，则四边形AEGF 是矩形，又∵AE =AD =AF∴四边形AEGF 是正方形，由（1）、（2）知：EB =DB =2，AE =AF=AD=EG =6，设CD =x ，∴BG =6−2=4；CG =6− x ；BC =2+ x ，在Rt △BGC 中,()2224(62,)x x +-=+解得3,x =故CD 的长为3.（3）如图3，过点A 作AM EF ⊥交EF 于点M ,901,21,AEB FEC ∠=-∠∠=∠︒180901,AEM AEB FEC ∠=-∠∠=︒-∠︒-,AEB AEM ∴∠=∠在△ABE 和△AME 中，90ABE AME AEB AEFAE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△AME (AAS)， 1112,22BE ME BC AB ∴==== ,AB AM AD == 在Rt ADF 和Rt AMF 中，,AD AM AF AF =⎧⎨=⎩ Rt ADF ≌Rt AMF ,,MF DF ∴=设DF =x ，∴EF =12+ x ，FC =24− x ，EC =12，在Rt △EFC 中,()22212(24)12x x +-=+，解得8x =，故DF 的长为8.【点评】考查正方形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质, 勾股定理, 翻折变换（折叠问题），作出辅助线是解题的关键.16．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB=∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；【答案】(1)证明详见解析；（2）△PDH 的周长不发生变化，理由详见解析．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH ，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答案；（2）首先证明△ABP ≌△QBP ，进而得出△BCH ≌△BQH ，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．【解答】（1）∵将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，折痕为EF ，∴四边形EBCF 与四边形EPGF 关于EF 对称，∴∠BPH =∠PBC （轴对称性质），∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ∥BC ，∴∠APB =∠PBC ，∴∠APB =∠BPH ；（2）△PDH 的周长不发生变化，为定值8，如图，过BQ ⊥PH ，垂足为Q ，由（1）知∠APB =∠BPH ，∴在△ABP 与△QBP 中，90APB BPH A BQP BP BP ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()ABP QBP AAS ≌，∴AP QP AB QB ==，，又∵AB =BC ，∴BC =BQ ，又∵90C BQH ︒∠=∠=，在Rt △BCH 与Rt △BQH 中，BH BH BQ BQ=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCH ≌Rt △BQH （HL ），∴CH =QH ，∴△PDH 的周长为：DP +PH +DH = DP +AP +CH +DH =AD +CD =8，∴当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长不发生变化．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 为CD 边上一点（不与点C ，D 重合），将ADE 沿AE 所在直线折叠得到AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，可得45EAG ∠=︒．(1)判断BG 与FG 是否相等，并说明理由；(2)若AG CF ∥，求DE 的长；(3)若FC FG =，请直接写出CEF CEGS S △△的值． 【答案】(1)BG FG =，理由见解析(2)DE 的长是53(3)12【分析】（1）先由ABCD 是正方形，再根据Rt ABG Rt AFG ≌△△可求得BG FG =；（2）由AG CF ∥，得到Rt ABG Rt AFG ≌△△，由勾股定理可得222CG CE EG +=，且5522EG FE DE =+=+，可求得53DE =； （3）由FC FG =，得FGC FCG ∠=∠，又可证明FEC FCE ∠=∠，则FC FE =，FE FG =，可求得CEF CEGS S △△的值是12． 【解答】（1）BG FG =，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BCD ∠=∠=∠=︒，由折叠得AF AD =，FE DE =，90AFE D ∠=∠=︒，∴AB AF =，18090AFG AFE ∠=︒-∠=︒，在Rt ABG △和Rt AFG 中，AG AG AB AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABG Rt AFG ≌△△，∴BG FG =．（2）如图1，∵AG CF ∥，∴GCF AGB ∠=∠，GFC AGF ∠=∠，∵Rt ABG Rt AFG ≌△△，∴AGB AGF ∠=∠，∴GCF GFC ∠=∠，∴CG FG =，∴BG CG FG ==，∵5BC DC ==，∴1522BG CG FG BC ====，5CE DE =-， ∵222CG CE EG +=，且5522EG FE DE =+=+， ∴()22255522DE DE ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴53DE =， ∴DE 的长是53． （3）如图2，∵FC FG =，∴FGC FCG ∠=∠，∴90FEC FGC ∠+∠=︒，90FCE FCG ∠+∠=︒，∴FEC FCE ∠=∠，FC FE =，FE FG =，∴12CEF CGF CEG S S S ==△△△， ∴12CEF CEG S S =△△， ∴CEF CEGS S △△的值是12． 【点评】此题考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，此题综合性强、难度较大．18．如图将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使B 点落在CD 边上一点E ，压平后得到折痕MN ，当12CE CD =．(1)求NE 的长；(2)连AN 、AE ，NG ⊥AE ，垂足为G ，求GN 的长；(3)直接写出AM 的长度．【答案】(1)NE =2.5；(2)NG =11510； (3)AM =0.5．【分析】（1）由折叠性质可得EN =BN ，由题意可得CE =DE ，在Rt △CEN 中，利用勾股定理求解即可；（2）利用正方形面积减去△ABN ，△ADE 和△CEN 的面积可得△AEN 的面积，利用勾股定理可得由折叠性质可得：AM =FM ，AB =EF ，∠BAM =∠EFM ，∴△ABM ≌△FEM （SAS ），∴BM =EM ，设AM =x ，则DM =4-x ，在Rt △ABM 中，由勾股定理可得：BM 2=AB 2+AM 2，即BM 2=42+x 2， 在Rt △DEM 中，由勾股定理可得：EM 2=DM 2+DE 2，即EM 2=（4-x ）2+22，∵BM =EM ，∴BM 2=EM 2，∴42+x 2=（4-x ）2+22，解得：x =0.5，∴AM =0.5．【点评】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是明确折叠的性质：折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．19．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)迁移探究：①如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________°，MBQ ∠=___________°．②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片ABCD 的边长为8，当1FQ =时，直接写出AP 的长．(2)拓展应用：正方形ABCD 的边长为8，点P 在边AD 上，将ABP 沿直线BP 翻折，使得点A 落在正方形内的点M 处，连接DM 并延长交正方形ABCD 一边于点G ．当BG DP =时，则DP 的长为___________． 90，利用锐角三角函数可求得30，进而可得30，再由Rt BMQ Rt BCQ ≌可求得15；②同样根据正方形的性质和折叠性质，以及定理证明Rt BMQ Rt BCQ ≌得到MBQ ∠③根据题意，可分点Q 在线段DF 上两种情况，利用正方形的性质和折叠性质分别求解即可；）可分两种情况：当点G 在BGDP 是平行四边形，再根据折叠性质得到4PM AP ==；当点G 在于N ，证明ABP ADG ≌，进而可推2MP AP AG x ===，由勾股定理可求得90，90C =∠， 90，30，则60∠，30，Rt BMQ 和Rt BCQ 中，BM =()Rt BMQ Rt BCQ HL ≌，1152MBQ CBQ CBM =∠=∠， 故答案为：30，15；MBQ CBQ =∠，理由：∵四边形ABCD 是正方形，90，由折叠性质得：BM AB =，A PMB ∠=∠，∴BM BC =，90BMQ C ∠=∠=，又=BQ BQ ，∴()Rt BMQ Rt BCQ HL ≌，∴MBQ CBQ ∠=∠；③由折叠性质得：AP PM =，由Rt BMQ Rt BCQ ≌得MQ CQ =，当点Q 在线段CF 上时，如图，则415DQ DF FQ =+=+=，3CQ =，∴3PQ PM MQ AP CQ AP =+=+=+，又8PD AP =-，90D ，∴由勾股定理得()()222385AP AP +=-+，解得：4011AP =； 当点Q 在线段DF 上时，如图则413DQ DF FQ =-=-=，5CQ =，∴5PQ PM MQ AP CQ AP =+=+=+，又8PD AP =-，90D ，∴由勾股定理得()()222583AP AP +=-+，解得：2413AP =， 故AP 的长为4011或2413； （2）解：当点G 在BC 上时，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD BC ∥，AB AD =，又BG DP =，∴四边形BGDP 时平行四边形，∴BP DG ∥，∴APB PDM ∠=∠，BPM PMD ∠=∠，由折叠性质得：AP PM =，APB BPM ∠=∠，∴PDM PMD ∠=∠，∴142DP PM AP AD ====； 当点G 在AB 上时，如图，过M 作MN AD ⊥于N ，则90MNA ∠=︒，∵AB AD =，BG DP =，∴AG AP =，在Rt ABP 和Rt ADG 中，90AB AD BAP DAG AP AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴()Rt ABP Rt ADG SAS ≌，∴ABP ADG ∠=∠，由折叠性质得：AP MP =，AM BP ⊥，∴90DAM BAM ABP ∠=︒-∠=∠，AG PM =，∴DAM ADG ∠=∠，∴AM DM =，又MN AD ⊥，∴142DN AN AD ===，Rt PMN中，+=PN AP AN 解得：84x=-3==PN x=+DP DN PN。
正方形培优试题及答案【范本模板】
武汉重点中学八年级数学下学期正方形专题培优训练1。
已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示）,点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是（）A．B．C．D．2．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．a2B．a2C．（1﹣）a2D．(1﹣）a23.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G 为BC的三等分点,R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为(）A．10 B．12 C．14 D．16 4.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1,A2，…,A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分)的面积和为()A．cm2B．cm2C．cm2D．cm25．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10,ab=20，那么阴影部分的面积是．6.已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为．7。
如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE,△ACF．请回答下列问题：（1)说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?（4)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A,D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2)（3）(4）（5）题不必说明理由）8。
在平面直角坐标系xOy中,OEFG为正方形,点F的坐标为(1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．(1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2)若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合,且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不写求解过程），并画出此时的图形．9。
人教版数学八年级培优竞赛 正方形 专题课件
CD 于 F.
A
D
E
A
D
E
P
F
P
F
B
图⑴
C
B
C
图⑵
（1）求证：PC=PE； （2）求 CPE 的度数； （3）如图②，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，若 ABC 65 ，则 CPE =__________.
（1）提示：证△ABP≌△CBP（SAS）； （2）由（1）知，AABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA ＝PE， ∴∠DAP＝∠E，.∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）， ∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°； （3）115.
B A
图1
B A
图2
10.如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有两个格点 A、B.（注： 网格线交点称为格点）
（1）请在图 1 中确定格点 C，使得△ABC 的面积为 12.如果符合题意的格点 C 不止一个，请分别用 C1 、 C2 、 C3 …表示；
（2）请用无刻度的直尺在图 2 中以 AB 为一边画一个面积为 18 的矩形 ABMN.
（第 3 题）
H
A
D
F
E
G
B
C
（第4题）
4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线，将△DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45 得到△DGH，
HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG.则下列结论：
① 四边形 AEGF 是菱形； ②△AED≌△GED； ③ DFG 112.5 ；④ BC+FG=1.5
15年八年级数学同步培优竞赛详附答案：第十六讲 完美的正方形
名师第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨 AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP 交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为 ．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．52．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A ．12B ．20C ．48D ．804．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若22AC =，则EF 的长的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（ ）A ．82B ．410C ．854D ．41346．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．8．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE PF的值最小时，CP的值为______．9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以P A、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．11．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为___．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．13．如图，正方形ABCD 的边长是8，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且1AE CF ==，若点P 是对角线AC 上一个动点，则EP PF +的最小值是______．14．如图，在正方形ABCD 中，22AB =AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．18．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE +PF 的值最小时，CP 的值为________．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．21．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AC 与BD 相交于点O ，M 是AO 的中点，P ，Q 为对角线BD 上的两点，若PQ =2，则PM +CQ 的最小值为 ___．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是________．答案与解析【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．5 【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N′，N′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =2222345CM BC +=+=故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．2．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-【答案】D【分析】取AB 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线的性质可求出MN 的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM 的最小值．【解答】解：因为4PA AB ==，M 为PB 的中点，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，易得25CN =，所以122MN PA ==. 在点P 的运动过程中，MN 的值不变，因为CM MN CN +≥，当C ，M ，N 三点在同一条直线上时，CM 最小，此时252CM CN MN =-=-．故选：D【点评】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．⊥4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE BD⊥于点E，PF AC 于点F，若22AC=，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C2D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，BC，∴OP=12∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．82B．410C．854-D．4134-【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO 交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，2222=+=+==（勾股定理），OF FG OG812208413∴4134EF=-，∴PD+PE的长度最小值为4134-，故选D．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm ．【答案】17【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF CG BF QF +=+，当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，依据勾股定理即可得到Rt BNQ ∆中，224117BQ =+=，即可得出BF CG +的最小值为17．【解答】解：如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ PG CG ==，4FG QP ==，BF CG BF QF ∴+=+，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，由题可得2(53)4BN =-=，541NQ =-=，Rt BNQ∴△中，224117BQ=+=，BF CG∴+的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．【答案】45°8 5【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝35CD，∵42 CD AB==∴CH ＝CD ﹣DH ＝25 CD ＝825， ∴GH 最小值＝CH •sin 45°＝8228525⨯= ． 故答案为：85． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G 的运动轨迹是射线CG ，是解题的关键．8．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE PF +的值最小时，CP 的值为______．【答案】32【分析】延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．【解答】解：延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小.正方形ABCD 边长为2，2AB BC ∴==，222AC AB ==.E ，F 为AB ，AC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==. B 为EQ 中点， BP ∴为EFQ △的中位线，1122BP EF ∴==.2BC =，13222CP BC BP ∴=-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．9．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以P A 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．【答案】3【分析】作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，利用正方形的性质得△AO 1P 和△PO 2B都是等腰直角三角形，则AM ＝PM ，PN ＝BN ，所以MN ＝12AB ＝3，再证明四边形O 1MNO 2为矩形得到O 1Q ＝MN ＝3，然后根据垂线段最短得到O 1O 2的最小值．【解答】解：作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，∵四边形APDC 和四边形PBEF 都为正方形，111222,90,,90O A O P AO P O P O B PO B ∴=∠=︒=∠=︒ ,∴△AO 1P 和△PO 2B 都是等腰直角三角形，∵O 1M ⊥AP ，O 2N ⊥PB ，∴AM ＝PM ，PN ＝BN ，∴MN ＝PM +PN ＝12AB ＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，1190Q MN QNM QQN∴∠=∠=∠=︒,∴四边形O1MNO2为矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．【答案】45【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．11．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为___．【答案】10【分析】首先作出点D 关于BC 的对称点D ，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PD '最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：1PG =，3GD '=，最后由勾股定理即可求得PD '的长，从而可求得MD MP +的最小值．【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，由轴对称的性质可知：2MD D M CD CD ''===，，∴PM DM PM MD PD +=+=''，过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，由题意得AE DF =，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=︒，∴BAE ADF △≌△，∴ABE DAF ∠=∠，∴90BAP DAF ∠+∠=︒，∴90BAP ABP ∠+∠=︒，∴90APB ∠=︒，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时， 此时，PD '最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴112PG AD ==，112GC DC ==． ∴3GD '=．在Rt PGD '△中，由勾股定理得：22221310PD PG GD ''=+=+=．故答案为：10．【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P 的位置是解题的关键．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．【答案】45 【分析】首先利用正方形的性质可以证明ADF ∆和()CDE SAS ∆，然后利用全等三角形的性质得到BF CE +的最小值就是BF AF +的最小值，最后利用轴对称即可求解．【解答】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 中，AE CF =，AD CD ∴=，DE DF =，在ADF ∆和CDE ∆中，AD CD ADC ADC DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴∆和()CDE SAS ∆，CE AF ∴=，BF CE BF AF ∴+=+，BF CE ∴+的最小值就是BF AF +的最小值，如图，作A 关于CD 的对称点H ，连接BH 交CD 于F ，则F 即可满足BF AF +最小，4AB =，AH=，4∴==，8AD DH2245∴+=+==+=．BF CE BF AF BH AB AHBF CE∴+的最小值是45．故答案：45．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且1==，若点P是对角AE CF线AC上一个动点，则EP PF+的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F 即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=2222'+=+=10．68E G GF故答案为：10．【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．BM=，14．如图，在正方形ABCD中，22AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且3-的最大值为_____________．P为对角线BD上一点，则PM PN【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，∴当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD 中，AB =4，∴AC =42，∵N 是AO 的中点，点N 和E 关于BD 成轴对称，∴点E 是OC 中点，∴CE =14AC =2， ∵BC =4，BM =3，∴CM =1=14BC ， ∵∠BCQ =45°，∴△MCQ 为等腰直角三角形，∴CQ =2CM =22， ∴EQ =22， ∴CM =EM =1，即PM -PN 的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．【答案】213【分析】过点P 作EF AD ∥，由:1:3PAB PCD S S =△△可得13PE PF =，得PE =1，PF =3，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，可得出四边形PFCN 是矩形，得CN =PF =3，延长CB 到K ，使NK =CN =3，连接DK ，根据两点之间线段最短故可知PC PD +的最小值为DK 的长，根据勾股定理可求解【解答】解：如图，过点P 作EF AD ∥，交AB 于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB AD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，4AB BC CD AD ====，∴EF AB EF CD ⊥⊥，∵12PAB S AB PE =⋅△，12PCD S CD PF =⋅△， ∴112132PABPCD AB PE S S CD PF ⋅==⋅△△， ∴13PE PF = ∵EF AD ∥∴4EF AD ==，∴3PF =，1PE =，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，则PN BC ⊥，∴∠90PNC NCF CFP ︒=∠=∠=∴四边形CFPN 是矩形，∴四边形AEFD 是矩形，∴=3CN PF =，∵∠90DAE AEF EPD ADF ︒=∠=∠=∠=，延长CB 到K ，使NK =CN =3，则有：6CK CN KN =+=连接DK ，当D P K ，，在一条直线上时，DP PK DK +=，当D P K ，，不在一条直线上时，DP PK DK +>，故当D P K ，，共线时，222246213DP PK DK DC CK +==+=+=又N 是CK 的中点，PN CK ⊥，∴PN 是CK 的垂直平分线，∴CP =PK ，所以PC PD +的最小值为213， 故答案为：213．【点评】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．【答案】22【分析】连接CG ．证明(SAS)ADE CDG ≌△△，推出45DCG DAE ∠=∠=︒，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小．【解答】解：连接CG ．四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，==3DA DC AB ∴=，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，45DAC ∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，(SAS)ADE CDG ∴≌△△，45DCG DAE ∴∠=∠=︒，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小，223DH CD ==，321CH CD DH ∴=-=-=，此时sin GH DCG CH∠= ∴ 22sin 45122GH CH =⋅︒=⨯=，即GH 的最小值为22． 故答案为：22．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键(SAS)ADE CDG ≌△△得到45DCG DAE ∠=∠=︒，证明出点G 的运动轨迹是射线CG ．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．【答案】92【分析】把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，根据旋转的性质得∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，易得四边形HEPQ 为矩形，则PQ ＝EH ＝2，∠HEP ＝90°，接着计算出CP ，从而得到CQ 的长，然后利用垂线段最短得到CG 的最小值．【解答】解：∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，∴∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝12CE＝722＝52，∴CQ＝CP＋PQ＝52＋2＝92．∴CG的最小值为92．故答案为92．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】3 2【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【解答】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E ，F 为AB ，AC 的中点，BC =2，∴//EF BC ，112EF BC ==， ∵B 为EQ 中点，//BP EF ，∴BP 为EFQ △的中位线，∴1122BP EF ==， ∴13222CP BC BP =-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．【答案】45【分析】如图所示，根据题意构造出△AED 和△GFE 全等，分析出点F 的轨迹，然后根据D 、F 、C 三点共线时求出最小值即可．【解答】解：连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，且EF ＝DE ，∵90ADE AED ∠+∠=︒，90GEF AED +=︒∠∠，∴∠EDA ＝∠FEG ，∴在△AED 和△GFE 中，A EGF ADE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GFE （AAS ），∴FG ＝AE ，AD GE =，又∵AD AB =，∴GE AB =，∴AE BG =，∴FG BG =，又∵FG BG ⊥，∴BGF 是等腰直角三角形，∴45GBF ，∴BF 是∠CBC ′的角平分线，即F 点在∠CBC ′的角平分线上运动，过点C 作BF 的对称点C '，则4,BC BC '==∴C 点在AB 的延长线上，CBC '△是等腰直角三角形，∴当D 、F 、C 三点共线时，DF +CF ＝DC '最小，∴在DAC '△中，AD ＝4，8AC AB BC AB BC ''=+=+=，∴22224845DC AD AC ''=+=+=，∴DF +CF 的最小值为45，故答案为：45． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．【答案】23【分析】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HI ，P 点在HI 上运动，当PB HI ⊥时，PB 有最小值，证明PHB △≌CHB 即可求得BP 的最小值．【解答】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HIP 为DF 中点当F 点与C 点重合时，P 点与H 点重合，当F 点与E 点重合时，P 点与I 点重合，∴P 点在HI 上运动当PB HI ⊥时，PB 有最小值四边形ABCD 是矩形,AB ＝4，AD ＝2390A ABC BCD ∴∠=∠=∠=︒4,23CD AB BC AD ====H为DC∴1HC=2E为AB∴=AE BE=DE EC∴DEC是等边三角形∴∠=ECD60HI EC//DHI∴∠=60=HC BC2,∴=HB∴∠=HBC∴∠=BHCPB与CHB中≌CHB（【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明PHB△≌CHB是解题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为___．【答案】25【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM 是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∴AC=BD=42，∴OD=OB=OA=OC=22，∵AM=OM，AT=DT，OD=2，∴MT=12∴MT=PQ=2，∵MT∥PQ，∴四边形PQTM是平行四边形，∴PM=TQ，∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，∵∠CMT=90°，MT=2，CM=32，∴CT=2225+=，MT CM故答案为：25．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．【答案】22【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵点D′与点D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP'＝P'D′，∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，∴P'D′＝22，即DQ＋PQ的最小值为22．故答案为：22.【点评】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．。
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正方形
【思维入门】
1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，
④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有
下列四种选法，其中错误的是()
A．①②B．②③
C．①③D．②④
2．如图8－26－1，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()
图8－26－1
A．45°B．55°
C．60°D．75°
3．如图8－26－2，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是()
图8－26－2
A．2.5 B. 5
C.3
2 2 D．2
4．如图8－26－3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．
图8－26－3
5．如图8－26－4，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP，DP，延长BC 到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.
图8－26－4
【思维拓展】
6．如图8－26－5，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，
3)，则点C的坐标为()
图8－26－5
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(3，1) D．(－3，－1)
7．如图8－26－6，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；
④S
△EGC ＝S
△AFE
；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.
其中正确的个数是()
图8－26－6
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图8－26－7，将n 个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n
分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 ( )
图8－26－7
A ．n
B ．n －1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1
D.14n
9．如图8－26－8，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC 和CD 上．下列结论：①CE ＝CF ；②∠AEB ＝75°；③BE ＋DF ＝EF ；④S 正方
形ABCD
＝2＋ 3.其中正确的序号是____(把你认为正确的都填上)．
图8－26－8
10．在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如图8－26－9放置，连DE ，BH ，两线交于M .
求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE .
图8－26－9
11．如图8－26－10①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 上的点，且AF ⊥BE .
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图8－26－10②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，
DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．
图8－26－10
12．如图8－26－11①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF 上，点C在△AEF内，则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连结BE，DF.请在图8－26－11②中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．
图8－26－11
13．(1)如图8－26－12①，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE.连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)
图8－26－12
(2)如图8－26－12②，已知△ABC，以AB，AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.
连结BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：
如图8－26－12③，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100 m，AC＝AE，求BE的长．
【思维升华】
14．如图8－26－13，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连结BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为()
图8－26－13
A．6＋4 2 B．16
C．12＋8 2 D．32
15．如图8－26－14，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C，D在边AB上，且AC ＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F分别为MN，QR的中点，连结EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为
()
图8－26－14
A．1B．2C．3D．6
16．如图8－26－15，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点
是A点关于线段EF的对称点，则AE
ED等于
()
图8－26－15
A.5
3 B.
3
5C．2 D.
1
2
17．如图8－26－16，已知正方形ABCD中，点M在边CD上，且DM＝3，MC＝1，把
线段AM绕点A顺时针旋转，使点M落在BC所在的直线上的点N处，则N，C两点的距离为____．
图8－26－16第17题答图
18．如图8－26－17，已知四边形ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP＝90°，且D，P，E三点共线，若EA＝AP＝1，PB＝5，则DP＝____．
图8－26－17
19．如图8－26－18，四边形ABCD是正方形，∠1＝∠2＝∠3.
(1)∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长；
(2)求证：AG－GF＝GE.
图8－26－18。