专题勾股定理培优版(综合)

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专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换
（一）动点证明题
1.如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若P为边BC上的中点，连结
22 AP，求证：BP×CP=AB-AP；
（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；
A
B C
P
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论
A
.
B C P （二）最值问题
2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是
A D
E P
3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，
B C .
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将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1）
求证：△AMB≌△ENB；
A D
（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
N
E
M
C
B
C
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
A D
N
E
M
B
C
C
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.
A D
N
E
M
B
C
C
4.问题：如图①，在ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的.
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长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．
A A
B D C
B D C
图①图②
二.勾股定理与旋转
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5.阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

A A'A
B
C B C
P 图1
P
图2
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中
心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接A'A,当点A落在A'C上时,此题可解（如图请你回答：AP的最大值是．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是
果可以不化简）
A
2）．
.（结
P
B图3C 6.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.
A
P
C B .
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变式1：?ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，点P是?ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度
数
C
P
B
A
变式2：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将
△BCP绕点B顺时针旋转90°得到BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．
请你回答：图2中∠APB的度数为．
请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=°，∠BPC=°．
如图3，115125
（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于
2．
A
D A D A
P P
P
E
C B C B B C
图1图2图3
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2 AM
2
BN 2
2 AM 2 BN 2 WORD 格式
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7. 已知 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，CA=CB ，有一个圆心角为 45 ，半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点
C 旋转，且直线 CE ，CF 分别与直线 AB 交于点 M ，N ．
（1）当扇形 CEF 绕点 C 在∠ ACE 的内部旋转时，如图①，求证：
MN ；
C
A
M
N B
E
F
图①
（2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图②的位置时，关系式
MN 是否仍然成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．
C
E
M
A
N B
F
图②
变式 1：如图，在 Rt ABC 中 ,
BAC 90 , AC AB, DAE 45
且 BD 3, CE 4,则 DE =
变式 2
：如图，在
绕
Rt AB AC=45ADC
点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△
AED≌△AEF；A
②△ABE≌△ACD；
③BE DC DE；
F
④BE2DC DE其中正确的是（）
B E D
C A．②④；B．①④；C．②③；D．①③
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△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE°，将
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（三）其它应用
7.在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上__________________；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2a、13a、
17a．．．
（a0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面
积填写在横线上__________________；
探索创新：
（3）若△ABC中有两边的长分别为2a、10a（a0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图
．．
法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的．
三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．
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8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的
内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.
（1）如图1，若AB=23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助
线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=23，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式．
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