1.11-倒格空间的周期性
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倒格子空间
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3
a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
固体物理第二章第四节 倒格子
1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e
A( g ) 0 or
g
A( g )
定义对布拉维格子中所有格矢满足或或m为整数的全部端点的集合构成该布拉维格子称为正格子的倒格子reciprocallattice与倒格子的定义对应由格矢的端点所描述的布拉维格子称为正格子directlattice由端点的集合所描述的布拉维格子称为倒格子reciprocallattice称为倒格矢利用倒格矢满足的傅里叶展开为
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0
e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
晶体的倒格子和布里渊区
五. 布里渊区： 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
Léon Brilliouin
（1889-1969）
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有 倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原 点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
b
2
a
2
左图是一个二维斜方点阵和它的 倒易点阵， b a , b a , 1 2 2 1
1
a
b
1
a b a b 2 1 1 2 2 a b a b 0 1 2 2 1
简立方点阵：
a a i , aa j , a a k 1 2 3
Face-centered cubic Middle of an edge joining two hexagonal faces Center of a hexagonal face
U
W X H N P A
Middle of an edge joining a hexagonal and a square face
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。 2. 证明：
R G ( n a n a n a ) ( h b k b l b ) n hkl 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 ( n h n k n l ) 2 m 1 2 3
现在定义 3个新的基矢
a2 a3 b1 2 a 1 a 2 a 3 a3 a1 b2 2 a 1 a 2 a 3 a1 a2 b3 2 a 1 a 2 a 3
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
1.10-倒格空间
4
倒格子和倒易空间
5
6
7
8
9
倒格子与正格子 布喇菲格子) 与正格子(布喇菲格子 ● 倒格子与正格子 布喇菲格子 有什么关系？ 有什么关系？
10பைடு நூலகம்
一、正格子与倒格子互为对方的倒格子
证明？ 证明？
11
二、正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于
12
三、倒格矢 (h1h2h3)正交 正交
与正格子晶面族
13
四、倒格矢
的模与晶面族(h 的模与晶面族 1h2h3)的面间距成反比 的面间距成反比
14
五、常见布喇菲格子的倒格子
证 明？
15
正格子与倒格子关系示意图
16
2
第一章 倒格子 倒格子与X-ray衍射 衍射联系一起 衍射 第三章 倒格子与晶体格波、声子联系一起 格波、声子 倒格子 格波 第五章 倒格子 德布罗意波(电子 倒格子与德布罗意波 电子 德布罗意波 电子)联系一起
3
倒格子和倒易空间如何定义? ● 倒格子和倒易空间如何定义 与正格子(布喇菲格子 有什么关系？ 布喇菲格子)有什么关系 ● 与正格子 布喇菲格子 有什么关系？
第一章 晶体的结构
1.10 倒格空间
徐智谋
华中科技大学光电子科学与工程学院
1
倒格子和倒易空间，最初是由Ewald 倒格子和倒易空间，最初是由Ewald 引入用来描 述和解释晶体中x射线衍射现象的一种方法。 述和解释晶体中x射线衍射现象的一种方法。 然而，固体物理学的进一步发展表明， 然而，固体物理学的进一步发展表明，其意义远 非仅此。由于晶体微观结构的平移对称性(即周期性) 非仅此。由于晶体微观结构的平移对称性(即周期性)， 平移对称性 使得晶体内原子、电子等微观粒子运动的量子态 量子态可用 使得晶体内原子、电子等微观粒子运动的量子态可用 一个几何点来标记 倒易空间中的一个几何点来标记， 倒易空间中的一个几何点来标记，这大大简化了对晶 体内原子、电子等微观粒子运动的研究。因此， 体内原子、电子等微观粒子运动的研究。因此，倒格 子和倒易空间这一概念在固体物理学中是非常重要的， 子和倒易空间这一概念在固体物理学中是非常重要的， 它几乎贯穿于整个固体物理学领域。 它几乎贯穿于整个固体物理学领域。
倒点阵和倒格子概述
倒格子，就是类似于上面所设想的那些与晶面族对应的点子所组成的格子。 需要学习倒格子和布里渊区！ 21
§1.6 倒点阵和倒格子
一、倒点阵和倒格子
1、倒点阵和倒格子
K•R2n hl
R 是格点的位矢（平移矢量），也称为正格矢。
l 是正格矢的倒矢量，称为倒格矢。 K
h
倒点阵和倒格子的定义：
对于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间矢量Kh ，满足
M.V.劳厄 发现X射线通过晶体时的衍射，决定了X射线波
长，证明了晶体的原子点阵结构
1914诺贝尔物理学奖
W.H.布拉格 W.L.布拉格
用X射线分析晶体结构
1915诺贝尔物理学奖 13
§1.6 倒点阵和倒格子
※ 布拉格定律(Bragg law) 把晶体对X射线的衍射看成是晶面对X射线的反射
K•R2n hl
的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子或倒点阵，这些点称为倒格点， Kh为倒 格矢。
2）倒格子空间
§1.6 倒点阵和倒格子
正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间是位 置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或K 空间。
3
1
2
31
2
b
2
2a
a
/
bb3的 23方 (ad向 3 aa)1就 /a2的 是 1 方 2 向
3
1
2
b1 b
2(a 2(a2
a)/
3 a)/
上式表示正格子与倒格子的关系，除因 子2π外，互为倒数，有了正格子基矢 就能得出倒格子基矢，反之亦然。
2
3
1
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。 本是倒格矢，但可理解为 波矢，因为常用波矢来描述运动状态，故可以将倒格子所组成的空间（ 空间）理解为状态空间， 正格子组成的空间是位置空间或坐标空间。
§1.6 倒点阵和倒格子
一、倒点阵和倒格子
1、倒点阵和倒格子
K•R2n hl
R 是格点的位矢（平移矢量），也称为正格矢。
l 是正格矢的倒矢量，称为倒格矢。 K
h
倒点阵和倒格子的定义：
对于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间矢量Kh ，满足
M.V.劳厄 发现X射线通过晶体时的衍射，决定了X射线波
长，证明了晶体的原子点阵结构
1914诺贝尔物理学奖
W.H.布拉格 W.L.布拉格
用X射线分析晶体结构
1915诺贝尔物理学奖 13
§1.6 倒点阵和倒格子
※ 布拉格定律(Bragg law) 把晶体对X射线的衍射看成是晶面对X射线的反射
K•R2n hl
的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子或倒点阵，这些点称为倒格点， Kh为倒 格矢。
2）倒格子空间
§1.6 倒点阵和倒格子
正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间是位 置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或K 空间。
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b
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2a
a
/
bb3的 23方 (ad向 3 aa)1就 /a2的 是 1 方 2 向
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b1 b
2(a 2(a2
a)/
3 a)/
上式表示正格子与倒格子的关系，除因 子2π外，互为倒数，有了正格子基矢 就能得出倒格子基矢，反之亦然。
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注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。 本是倒格矢，但可理解为 波矢，因为常用波矢来描述运动状态，故可以将倒格子所组成的空间（ 空间）理解为状态空间， 正格子组成的空间是位置空间或坐标空间。
晶体的周期性结构(2)(倒格矢)
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r )
V
l
原子
r R l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足
F (r R l ) F (r )
• 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性
F (r R l ) F (r )
2
N 3是 原 胞 的 总 数 ，
k 是 满 足 波 恩 -卡 曼 周 期 性 边 界 条 件 的 波 矢 量
k
l1 N1
b1
+
l2 N
2
b2+
l3 N
3
b3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对
k 的连续积分
kBZ
(.....)
V ( 2 )
3
( . . . . )d
3
k
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
b 1 2 b 2 2 b 3 2 a2 a3 a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 a 1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 a 1 (a 2 a 3 )
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b3 b 1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 b 1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 b 1 (b 2 b 3 )
j
bi a
2
ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系