最新-高中数学《空间距离》课件1 北师大版必修2 精品
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空间两点间的距离公式北师大必修PPT学习教案
小结：1、画坐标系，标点；
2 、中点坐标公式、距离公式.
作业：课本P98题4、5、6
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例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５）， Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ 分析：利用两点间距离公式可得
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公式的记忆方法：同名坐标差的平 方和的算术根 练1：P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)的
距离是____3____
练2：给定空间直角坐标系，在x轴上找 一点P，使它与点P0(4,1,2) 距离为 30 分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1
空间两点间的距离公式北师大必修
会计学
1
卦 限：
z
第二卦限
O
y
x
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卦 限：
z
第三卦限
O
y
x
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z
卦 限：
第四卦限
O
y
x
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卦 限：
z
O
y
x
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第五卦限
卦 限：
z
O
x
第5页/共21页
y
第六卦限
z
卦 限：
第七卦限
O
y
x
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z
卦 限：
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练4：如图：M—OAB是棱长为a的正四
面体，顶点M在底面OAB上的射影为H，
分别求出点B、H、M的坐标
O(0,0,0), A(0,0, a)
z M
B( 3 a, a ,0), H ( 3 a, a ,0)
22
62
M ( 3 a, a , 6 a)
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式课件
3．3 空间1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距 离与两点的顺序有关吗？ (2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间中两点间的距离
[典例] 长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中 点，点N是AB的中点，建立如图所示空间 直角坐标系．
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十六)” (单击进入电子文档)
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
两点间的距离公式的应用
[典例] 如图所示，正方体棱长为1， 以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直 线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P 为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式在几何中的应用 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二 次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想， 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就 可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
(1)写出点D，M，N的坐标； (2)求线段MD，MN的长度．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间中两点间的距离
[典例] 长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中 点，点N是AB的中点，建立如图所示空间 直角坐标系．
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高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
两点间的距离公式的应用
[典例] 如图所示，正方体棱长为1， 以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直 线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P 为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式在几何中的应用 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二 次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想， 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就 可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
(1)写出点D，M，N的坐标； (2)求线段MD，MN的长度．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
高中数学 2.3.3空间两点间的距离公式课件 北师大版必修2
【典例】(12分)(2011·黄冈高二检测)如图,在棱长为1的 正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体的三条棱所在直线为轴建 立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上,且满足3|BP|=|BD1|,试写出点P的坐 标,并写出P关于y轴的对称点P′的坐标; (2)在线段C1D上找一点M,使得点M到点 P的距离最小,求出点M的坐标.
空间中两点间距离的计算
空间中两点间距离 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系,并写出相关点的坐标; (2)代入空间两点间的距离公式求值.
建系时尽量使较多的点落在坐标轴上.
【例1】如图,已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,M为BD′ 的中点,点N在A′C′上,且|A′N| =3|NC′|,试求MN的长. 【审题指导】解答本题的关键是先建立适当的坐标系,并把 M、N两点的坐标表示出来;由于M为BD′的中点,故只要求 出B、D′两点的坐标便可,又|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的 四等分点,从而借助几何关系及A′、C′两点的坐标便可求出 N点的坐标.
O′C′的中点,故 N(a根, 3据a ,空a),间两点距离公式,可得
44
MN ( a a )2 ( a 3a )2 ( a a)2 6 a.
24 2 4 2
4
空间中两点间距离公式的应用
空间中两点间的距离公式 (1)空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离 公式的进一步推广.①当空间中的任意两点P1，P2落在同一 坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化 为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；②当空间中的 任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴 上两点间的距离公式.
高中数学北师大必修2课件：第二章 §3 3.3 空间两点间的距离公式
体的长、宽、高分别为a，b，c时，对角线 的长d＝
a2＋b2＋c2 .
2．空间两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)长方体的对角线长度都相等． (2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点． ( √ ) ( × )
[解]
(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，
∴N(2,1,0)． 同理可得M(1,2,3)， 又D是原点，则D(0,0,0)． (2)|MD|＝ 1－02＋2－02＋3－02＝ 14， |MN|＝ 1－22＋2－12＋3－02＝ 11.
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
3． 3
空间两点间的距离公式
预习课本P92～94，思考并完成以下问题
(1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距 离与两点的顺序有关吗？
(2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？
[新知初探]
1．长方体的对角线 如图，连接长方体两个顶点 A，C′的
线段AC′ _________ 称为长方体的对角线．当长方
[活学活用] 已知△ABC的三顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC 中最短边的边长．
解：由空间两点间距离公式得： |AB|＝ 1－22＋5－32＋2－42＝3， |BC|＝ 2－32＋3－12＋4－52＝ 6， |AC|＝ 1－32＋5－12＋2－52＝ 29. ∴△ABC中最短边是BC，其长度为 6.
a2＋b2＋c2 .
2．空间两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)长方体的对角线长度都相等． (2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点． ( √ ) ( × )
[解]
(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，
∴N(2,1,0)． 同理可得M(1,2,3)， 又D是原点，则D(0,0,0)． (2)|MD|＝ 1－02＋2－02＋3－02＝ 14， |MN|＝ 1－22＋2－12＋3－02＝ 11.
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
3． 3
空间两点间的距离公式
预习课本P92～94，思考并完成以下问题
(1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距 离与两点的顺序有关吗？
(2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？
[新知初探]
1．长方体的对角线 如图，连接长方体两个顶点 A，C′的
线段AC′ _________ 称为长方体的对角线．当长方
[活学活用] 已知△ABC的三顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC 中最短边的边长．
解：由空间两点间距离公式得： |AB|＝ 1－22＋5－32＋2－42＝3， |BC|＝ 2－32＋3－12＋4－52＝ 6， |AC|＝ 1－32＋5－12＋2－52＝ 29. ∴△ABC中最短边是BC，其长度为 6.
《空间两点间的距离公式》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】
新课学习
二、知识应用： 题型一 两点间距离公式
例 1．⑴ 在空间中，已知点 A(1,0, －1)，B(4,3, －1)，求 A、B 两点之间的距离.
⑵ 空间坐标系 Oxyz 中，点 A 在 x 轴上，点 B（1，0，2），且| AB | 5 ，求点 A．
⑴【答案】| AB | 3 2 ⑵【答案】（0，0，0）或（2，0，0）
再见
解：∵点 A 在 x 轴上，∴可设点 A（x，0，0）， 又∵B（1，0，2），且| AB | 5 ， ∴ (x 1)2 (0 0)2 (0 2)2 5 ， 解之得 x=0 或 2，所以点 A 的坐标为：（0，0，0）或（2，0，0）.
新课学习
二、知识应用： 题型一 两点间距离公式
例 2．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 为平面 A1B1C1D1 的中心，求证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPA⊥PB1．
解：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，设棱长为 1，则 A（1，0，0），
B1（1，1，1），
P
1 2
,
1 2
,1
，由两点间的距离公式得
| AP |
1 2
2
1 2
2
1
6 2，
| PB1 |
11 44
2 2
，
|
AB1
|
12 12
2.
∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．
北师大版·统编教材高中数学必修2
第二章·第三节
空间两点间的距离公式
新课学习
一、新课讲授：
1.空间两点间距离公式
空间中有两点 A x1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ，则此两点间的距离：
高中数学北师大版必修二课件：4.3.2空间两点间的距离公式
正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面
ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上 移动，若CM＝BN＝a(0<a<)，求a为何值时，MN的长最小． 分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求 解，应该说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也 更体现出了坐标法解题的优越性． 解析：∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD.∴AB、BC、BE 两两垂直． ∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
思考应用 若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x，y，z满
足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
自测自评 1．坐标原点到下列各点的距离最小的是( A )
2 2 2 2 则 M a，0，1－ a，N a， a，0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴|MN|＝ ＋ ＋ 2 a－ 2 a 0－ 2 a 1－ 2 a－0 22 1 2 ＝ a － 2a＋1＝ a－ 2 ＋2. 2 2 时，|MN|最短，即为 时， 2 2 M、N 恰为 AC、BF 的中点． ∴当 a＝
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体 中的线面关系，对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几 何体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟踪训练 1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则 △ABC的形状是( ) A．等腰三角形 C．直角三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形
高中数学 第二章 解析几何初步 2.3.3 空间两点间的距离公式课件5 北师大版必修2
C′
A
C′
A
K12课件
4
一.公式的计算
a, b, c, 如果一块砖的长、宽、高分别为
我们可以计算出对
角线的长度。
C′
a2 b2 c2
D′
C′
c
A′
B′
A
c
a2 b2
C
D
A
a
bC
B
A
K12课件
a2 b2 a
C
b
B
5
一般地，如果长方体的长、宽、高分别为
a,b, c, 那么对角线长
d a2 b2 c2 ①
o
x
Qx1，y2
两点 P1 x1，y1 P2 x2，y2 间的距离
P1P2 = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2
那么，空间中任意两点间的距离如何求呢？
K12课件
3
实例分析
建筑用砖通常是长方体，我们可以尺子测量出一块砖的 长、宽、高，那么怎么能够测量出它的对角线AC′的长度呢？
K12课件
6
二.坐标运算 给出空间两点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ,如何利
用点的坐标求它们的距离？
问题1：在空间直角坐标系中点 O(0,0,0)
到点 P(x0, y0, z0) 的距离，怎么求？
z
d O
A
y
0
P z0 C
x0 B
y
d
x02 y02 z02
x
K12课件
7
问题2；给出空间任意两点
A(x1, y1, z1), B( x2, y2, z 2)
如何利用坐标求它们的距离？
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 空间向量与立体几何 第2课时 空间中的距离问题
距离,而'∥n0 ,所以向量在法向量 n0 方向上的投影向量的长度|·n0|
就等于线段PP'的长度.
点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ,在平
面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=| ·n0|.
n0= (平面
||
α 的法向量为 n)
=
1
1+3+3
=
7
,
7
即平面 PCD 和平面 ADC 所成锐二面角大小的余弦值为
7
.
7
规律方法
求点到平面的距离的方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即点到平面的距离.
(2)在三棱锥中利用等体积法求解.
(3)向量法.步骤如下:
变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面
以点 M 到平面 PCD 的距离为
| · 1 |
d=
| 1 |
=
|- 3|
1+3+3
=
21
.
7
(2)由(1)可知平面 PCD 的法向量为 n1=(1,- 3,- 3),
因为 A(0,0,0),D(0,2,0),C(0,1,1),
所以=(0,2,0), =(0,1,1).
设平面 ACD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
距离.
解 ∵A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),∴ =(-1,2,2), =(-2,-2,5), =(0,0,5).
设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),
· = - + 2 + 2 = 0,
7
1
则
就等于线段PP'的长度.
点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ,在平
面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=| ·n0|.
n0= (平面
||
α 的法向量为 n)
=
1
1+3+3
=
7
,
7
即平面 PCD 和平面 ADC 所成锐二面角大小的余弦值为
7
.
7
规律方法
求点到平面的距离的方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即点到平面的距离.
(2)在三棱锥中利用等体积法求解.
(3)向量法.步骤如下:
变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面
以点 M 到平面 PCD 的距离为
| · 1 |
d=
| 1 |
=
|- 3|
1+3+3
=
21
.
7
(2)由(1)可知平面 PCD 的法向量为 n1=(1,- 3,- 3),
因为 A(0,0,0),D(0,2,0),C(0,1,1),
所以=(0,2,0), =(0,1,1).
设平面 ACD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
距离.
解 ∵A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),∴ =(-1,2,2), =(-2,-2,5), =(0,0,5).
设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),
· = - + 2 + 2 = 0,
7
1
则
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9.9空间距离
【教学目标】
1.掌握空间两条直线的距离的概念，能在 给出公垂线的条件下求出两异面直线的距 离. 2.掌握点与直线，点与平面，直线与平面 间距离的概念. 3.计算空间距离时要熟练进行各距离间的 相互转化.以点线距离，点面距离为主， 在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形 再应用解三角形知识. 4.能借助向量求点面、线面、面面距离
【知识梳理】
1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到 这个平面的距离.
2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面 的距离叫做这条直线与平面的距离.
3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做 这两个平面的距离.
4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条 异面直线的距离.
【知识梳理】 5.借助向量求距离
B
P
D C
E
在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的
距离是
B
A.13
B.11
C.9
D.7
【点击双基】
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是 AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 D
6
A. a
B. 3 a
3
C. a
D.
6a
3
6 D1 4
6
C1
பைடு நூலகம்
A1
B1
M
D
【点击双基】
4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l 于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D
（1）点面距离的向量公式
平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M
为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d
就是 MP 在向量n方向射影的绝对值，即
d= | n MP |
.
|n|
【知识梳理】 5.借助向量求距离
（2）线面、面面距离的向量公式
平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点
M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就
P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是 MP
在向量n方向射影的绝对值，即 d=.| n MP |
|n|
【点击双基】
1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直
二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、
BC的距离为
D
A. 2 B.
3
C. 3 2
D.1
2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所
【典例剖析】
【例2】 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1 中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且 OH⊥O1B，垂足为H. （1）求证：MO∥平面BB1C1C； （2）分别求MO与OH的长；
（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线?为 什么?求这两条异面直线间的距离.
CO
D
B
A
HM
【典例剖析】
【例3】 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和
MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和
AC的中点.
求：（1）与所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离.
M
E
P
【典例剖析】
【例4】如图，已知二面角-l -的大小为1200，点
A，
是 MP 在向量n方向射影的绝对值，即
d=. | n MP |
|n|
平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、
P∈β，平面α与平面β的距离d就
是
在向量n方向射影的绝对值，即
d=.|
n
|
MP n|
|
【知识梳理】 5.借助向量求距离
（3）异面直线的距离的向量公式
设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、
B，ACl 于点C，BDl 于点D，且
AC=CD=DB=1.求：（1）A、B两点间的距离；
（2）AB与CD所成角的大小；
（3）AB与CD的距离.
l DB A C
【典例剖析】
【例5书】 如图，已知二面角α—PQ—β为60°，点A和点 B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上， ∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a. （1）求证：AB⊥PQ； （2）求点B到平面α的距离； （3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角 为45°，求线段CR的长度.
两点间的距离是__5_或____4.3
5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、 PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距
3 离是_____________；点P到BC的距离是
7 _____________.
【典例剖析】
【例1】 设A（2，3，1），B（4，1，2）， C（6，3，７），D（－５，－4，8），求D 到平面ABC的距离.
【教学目标】
1.掌握空间两条直线的距离的概念，能在 给出公垂线的条件下求出两异面直线的距 离. 2.掌握点与直线，点与平面，直线与平面 间距离的概念. 3.计算空间距离时要熟练进行各距离间的 相互转化.以点线距离，点面距离为主， 在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形 再应用解三角形知识. 4.能借助向量求点面、线面、面面距离
【知识梳理】
1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到 这个平面的距离.
2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面 的距离叫做这条直线与平面的距离.
3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做 这两个平面的距离.
4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条 异面直线的距离.
【知识梳理】 5.借助向量求距离
B
P
D C
E
在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的
距离是
B
A.13
B.11
C.9
D.7
【点击双基】
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是 AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 D
6
A. a
B. 3 a
3
C. a
D.
6a
3
6 D1 4
6
C1
பைடு நூலகம்
A1
B1
M
D
【点击双基】
4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l 于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D
（1）点面距离的向量公式
平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M
为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d
就是 MP 在向量n方向射影的绝对值，即
d= | n MP |
.
|n|
【知识梳理】 5.借助向量求距离
（2）线面、面面距离的向量公式
平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点
M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就
P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是 MP
在向量n方向射影的绝对值，即 d=.| n MP |
|n|
【点击双基】
1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直
二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、
BC的距离为
D
A. 2 B.
3
C. 3 2
D.1
2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所
【典例剖析】
【例2】 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1 中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且 OH⊥O1B，垂足为H. （1）求证：MO∥平面BB1C1C； （2）分别求MO与OH的长；
（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线?为 什么?求这两条异面直线间的距离.
CO
D
B
A
HM
【典例剖析】
【例3】 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和
MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和
AC的中点.
求：（1）与所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离.
M
E
P
【典例剖析】
【例4】如图，已知二面角-l -的大小为1200，点
A，
是 MP 在向量n方向射影的绝对值，即
d=. | n MP |
|n|
平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、
P∈β，平面α与平面β的距离d就
是
在向量n方向射影的绝对值，即
d=.|
n
|
MP n|
|
【知识梳理】 5.借助向量求距离
（3）异面直线的距离的向量公式
设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、
B，ACl 于点C，BDl 于点D，且
AC=CD=DB=1.求：（1）A、B两点间的距离；
（2）AB与CD所成角的大小；
（3）AB与CD的距离.
l DB A C
【典例剖析】
【例5书】 如图，已知二面角α—PQ—β为60°，点A和点 B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上， ∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a. （1）求证：AB⊥PQ； （2）求点B到平面α的距离； （3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角 为45°，求线段CR的长度.
两点间的距离是__5_或____4.3
5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、 PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距
3 离是_____________；点P到BC的距离是
7 _____________.
【典例剖析】
【例1】 设A（2，3，1），B（4，1，2）， C（6，3，７），D（－５，－4，8），求D 到平面ABC的距离.