2018届高考数学二轮不等式选讲专题卷(全国通用)(11)

矩阵与变换1．定义行列式运算：32414321a a a a a a a a -=，将()xx x f co s 1sin 3----=向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为（ ）A 、8π B 、3π C 、32π D 、65π【答案】D【解析】试题分析：由题意知：()sin sin 2cos 61cos x f x x x x x π-⎛⎫==-=+ ⎪--⎝⎭，向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为2cos 6y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为它为偶函数，所以,6m k k Z ππ+=∈，所以m 的最小值为65π。

考点：三角函数图像的变换；三角函数的奇偶性。

点评：若函数)s i n ()(φω+=x A x f 为偶函数，则Z k k ∈+=,2ππϕ；若函数)s i n ()(φω+=x A x f 为奇函数，则Z k k ∈=,πϕ。

2．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a，则ABC ∆一定是（ ）．A 、等腰非等边三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形 【答案】B 【解析】试题分析: 方程化为0222222222=---++ca bc ab c b a ，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，也即a b c ==，选B .考点：行列式，三角形的形状.3．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1; 22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002{ y x x y ==，所以00{ 2x yx y ==.因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=， 从而22188x y +=，即228x y +=. 因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ： 228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘： a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换： a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(),x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(),x y ''．4．已知矩阵，，求矩阵【答案】【解析】试题分析：先用待定系数法求出，再求出. 试题解析：设矩阵的逆矩阵为，则， 1分即， 4分故，从而的逆矩阵为． 7分所以． 10分考点：矩阵的乘法、逆矩阵. 5．已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 【答案】12α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题。

设xy α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：32432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦6．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=20021M ，矩阵M 对应的变换把曲线x y sin =变为曲线C ，求曲线C 的方程。

【答案】曲线C 的方程为x y 2sin 2=【解析】解：设),(y x P 是所求曲线C 上的任意一点， 它是曲线),(sin 000y x P x y 上点=在矩阵M 变换下的对应点，则有⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x x y y x x y x y x 212,221,20021000000因此即 ………………5分 又点),(000y x P 在曲线,sin ,sin 00x y x y ==故上 从而x y x y 2sin 2,2sin 21==即， 所以曲线C 的方程为x y 2sin 2= ………………10分7．已知a 、b ∈R，若M ＝⎣⎡⎦⎤－1b a3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a 、b 的值．【答案】解：在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎡⎦⎤－1b a 3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1，∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.【解析】略8．已知曲线C ：1xy =，若矩阵M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. 【答案】222y x -=【解析】 试题分析：解决本题关键有两点，一是熟练掌握二阶矩阵左乘向量的运算，即a b x ax by c d y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，主要注意点是对应；二是利用“相关点法”求轨迹方程.根据原曲线上点与对应点的关系,22.22x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，及1xy =，平方相减得222y x ''-=，从而解出所求轨迹方程.试题解析：解：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎦⎣⎦⎣⎦，∴22x y x ''-=，22x y y ''+=， 5分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. 10分考点：矩阵与向量乘积.9．二阶矩阵A 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量为11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵A 对应的变换将点()1,2变换成点()8,4，求2A .【答案】23241620A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出；试题解析：设所求二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则6{ 1824Ae eA =⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴66{ 2824a b c d a b c d +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦∴66{ 2824a b c d a b c d +=+=+=+=……5分解方程组得A=4282⎡⎤⎢⎥-⎣⎦2424232482821620A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦10．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值．【答案】【解析】试题分析： 先根据逆矩阵公式得逆矩阵，再根据矩阵运算得直线上一点坐标，代入可得斜率试题解析：矩阵，得，所以，将点 代入直线得.11．已知函数cos ()sin xf x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.【答案】()122k x k z ππ=+∈ 【解析】试题分析：由函数cos ()sin xf x x=，可得函数()cos f x x x =-.所以方程()021cos =+⋅x x f可化为21cos cos 02x x x -+=.即求方程sin(2)06x π-=的解. ()122k x k z ππ=+∈. 考点：1.行列式的计算.2.三角函数的化简.3.三角方程的解法. 12．已知)0,2(,53cos πx x -∈=， 则11cos sin x x =_______ 【答案】57- 【解析】试题分析：由于(,0)2x π∈-，所以4s i n s5x ==-，所以 11cos sin x x sin cos x x =-75=-．考点：行列式．13．若关于x ，y 的线性方程组的增广矩阵为　⎪⎪⎭⎫⎝⎛n m 3060，该方程组的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43y x ，则mn 的值等于 【答案】24- 【解析】试题分析：由题意方程组63mx y n =⎧⎨=⎩的解为34x y =-⎧⎨=⎩，所以212m n =-⎧⎨=⎩，24mn =-．考点：方程组的增广矩阵．14．三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为【答案】6-【解析】试题分析：在行列式ij a 中，元素ij a 的代数余子式为原行列式去掉第i 行和第j 列元素后构成的行列式乘以(1)i j +-，本题中2sin 1()sin 6cos 6cos sin x f x x x x x--=-=-，可见当cos 1x =时，得()f x 的最小值6-（cos x 最大值为1，此时2sin x 取最小值0，从而()f x 取得最小值，否则要变形为2cos 6cos 1y x x =--+作为cos x 的二次函数来求）．考点：代数余子式，三角函数的最值．15．三阶行列式76341253--中，元素1的代数余子式的值是 . 【答案】35- 【解析】试题分析：由题意得元素1的代数余子式是第2行第1列元素的代数余子式2152(1)(1)(5720)3507+--=-⨯+⨯=-.考点：三阶矩阵.16．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，1），则实数a 等于 ．【答案】4 【解析】试题分析：先根据二阶行列式，将原不等式等价转化为一元二次不等式，再对a 分类讨论，求出a 的值即可．解：原不等式可化为：ax 2+2＜6，即ax 2＜4． 当a≤0时，得x ∈R ，不符合题意； 当a ＞0时，得x 2＜，﹣＜x ＜，由已知不等式＜6的解集为（﹣1，1），得=1，∴a=4．故答案为：4． 点评：本小题主要考查二次不等式的解法、二阶行列式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。